1) El documento presenta la corrección de una prueba de fundamentos de matemática que contiene 5 problemas resueltos. 2) Los problemas incluyen ecuaciones, logaritmos, funciones trigonométricas y análisis de intervalos de monotonía. 3) Se provee la justificación detallada para cada solución.

1. ESCUELAPOLITÉCNICANACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
CORRECCIÓN DE LAPRUEBAN°3
2016 A GR11 2016-08-01
1. El conjunto solución de la ecuación (√ℯ)
ln⁡( 𝑥2−2𝑥)2
= ⁡2𝑥. Es:⁡⁡
a) ∅
b) 4
c) 2
d) 0⁡⁡
Justificación:
𝐶. 𝑉. 𝐴
(𝑥2 − 2𝑥)2 > 0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(+) > 0
𝑥⁡ ∈ ⁡ℝ − {0}⁡
(√ℯ)
ln(𝑥2
−2𝑥)2
= ⁡2𝑥
ℯ
1
2
2ln(𝑥2
−2𝑥)
= ⁡2𝑥
(ℯ)ln(𝑥2−2𝑥) = ⁡2𝑥⁡
𝑥2 − 2𝑥 = 2𝑥
𝑥2 − 4𝑥 = 0
𝑥( 𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ∨ ⁡⁡⁡⁡𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 4⁡
-∞ 0 4 ∞
𝑥 = 4
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:⁡𝑑)⁡4⁡

2. 2. El log1
8
⁡(8)es igual a:
a) 2 log2 ⁡(3)
b) −2 log2 ⁡(3)
c) 3 log3(2)⁡
d) −3 log3 ⁡(2)
Justificación:
log1
8
(8) =
log3 8
log3 3−1⁡ =
log3 23
−1
= ⁡− log3 23
= −3 log3 2
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑)⁡− 3log3 ⁡(2)
3. Si log4⁡( 𝑎) = 2, entonces [log2⁡
1
⁡𝑎⁡
]
3
es igual a:
a) 23
b) −23
c) 26
d) −26
Justificación:
log4
( 𝑎) = 2
42
= 𝑎⁡ [log2 ⁡
1
⁡𝑎⁡
]
3
= [log2
1 −⁡log2
⁡(𝑎)]
3
𝑎 = 16⁡
= [0 −⁡log2⁡(2)4]3
= (−4)3
⁡
= (−22
)3
= (−26
)
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑)⁡−26
⁡

3. 4. Si log 𝑐( 𝑎) = ℎ, 𝑦 log 𝑐(𝑏) = 𝑘. El valor de log√ 𝑏 √ 𝑎3
es igual a:
a)
ℎ
𝑘
b)
2ℎ
3𝑘
c)
3ℎ
2𝑘
d)
𝑘
ℎ
Justificación:
log√ 𝑏 √ 𝑎⁡3
=⁡⁡
log 𝑐 √ 𝑎3
⁡
log 𝑐 √ 𝑏
⁡ =⁡⁡
log 𝑐 𝑎
1
3
log 𝑐 𝑏
1
2
⁡=⁡⁡
1
3
⁡log 𝑐 𝑎
1
2
⁡log 𝑐 𝑏
⁡ =⁡⁡
1
3
⁡ℎ
1
2
⁡𝑘
⁡ =⁡⁡
2ℎ
3𝑘
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏)⁡
2ℎ
3𝑘
5. Sea tan 𝑥 =⁡
−3
4
⁡⁡y⁡
3𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋. El valor exacto de 𝐸 = sec 𝑥 −
𝜋
2
es:
a) −
3
5
b) −
5
3
c) −
4
5
d)
5
3
Justificación:⁡⁡⁡
sen 𝑥 = −
3
5
cos 𝑥 =⁡
4
5
tan 𝑥 = −
3
4
⁡
cot 𝑥 = −
4
3
⁡
sec 𝑥 =⁡⁡
5
4
⁡
csc 𝑥 = −
5
3
⁡
3𝜋
2
< 𝑥 < 2𝜋
∴ 𝑥⁡ ∈ IV⁡⁡𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒⁡⁡
5
3
4
sec 𝑥 −
𝜋
2
=⁡
1
cos 𝑥 −
𝜋
2
⁡⁡⁡
cos 𝑥⁡𝑒𝑠⁡𝑢𝑛𝑎⁡𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛⁡𝑝𝑎𝑟⁡⁡
=
1
cos
𝜋
2
− 𝑥
⁡
=⁡
1
sen 𝑥
=⁡
1
−3
5
=⁡−
5
3
⁡
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏)⁡−
5
3
⁡⁡

4. EJERCICIOS.-
1. Resolver la inecuación: log2( 𝑥 − 1) + 5log( 𝑥 − 1) + 6⁡ ≤ 0⁡
C.V.A
𝑥 − 1⁡ > 0 z = ⁡log( 𝑥 − 1)⁡
𝑥 > 1⁡ 𝑧2 + 5𝑧 + 6⁡ ≤ 0
( 𝑧 + 3)( 𝑧 + 2) ≤ 0
-∞ - 3 - 2 ∞
( 𝑧 + 3) - + +
( 𝑧 + 2) - - +
+ - +
−3 ≤ 𝑧⁡ ≤⁡−2
−3 ≤ log( 𝑥 − 1) ≤ −2
log10−3 ≤ log( 𝑥 − 1) ≤ log10−2
10−3 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 10⁡−2
1
1000
≤ 𝑥 − 1 ≤
1
100
1 +
1
1000
≤ 𝑥 ≤
1
100
+ 1
1001
1000
≤ 𝑥 ≤
101
100
⁡⁡⁡
- ∞ ∞
1
1001
1000
101
100
𝑥⁡ ∈ ⁡[
1001
1000
;⁡
101
100
]

5. 2. Analizar los intervalos de monotonía de la función 𝑓( 𝑥) =
1
9
𝑥
−⁡
1
3
𝑥
𝑓( 𝑥) = (
1
3
)
2𝑥
− ⁡(
1
3
)
𝑥
𝑧 =⁡ (
1
3
)
𝑥
𝑓( 𝑥) = 𝑧2
− 𝑧⁡⁡
𝑓( 𝑥) = ( 𝑧 −
1
2
)
2
−
1
4
⁡⁡
𝑓( 𝑥) = [(
1
3
)
𝑥
− ⁡(
1
2
)]
2
−⁡
1
4
PRIMER MÉTODO:
0 log1
3
1
2
0
𝑦 = ⁡
1
3
𝑥
= ⁡
1
2
log1
3
(
1
3
)
𝑥
= ⁡ log1
3
(
1
2
)
𝑥 = ⁡ log1
3
1
2
⁡
𝐷𝑓(𝑥):⁡𝑥 ∈ ℝ
𝐼1:⁡⁡⁡𝑥 ∈ ]−∞⁡⁡;⁡log1
3
1
2
⁡[
⁡⁡⁡𝑥1 <⁡ 𝑥2 ⁡< ⁡log1
3
(
1
2
)⁡
⁡⁡(
1
3
)
𝑥⁡1
⁡> (
1
3
)
𝑥⁡2
⁡⁡>⁡
1
2
⁡⁡(
1
3
)
𝑥⁡1
−⁡
1
2
> (
1
3
)
𝑥⁡2
−⁡
1
2
⁡>⁡ 0
⁡⁡[(
1
3
)
𝑥⁡1
− ⁡
1
2
]
2
> [(
1
3
)
𝑥⁡2
− ⁡
1
2
]
2
⁡>⁡ 0
⁡⁡[(
1
3
)
𝑥⁡1
− ⁡
1
2
]
2
−⁡
1
4
> [(
1
3
)
𝑥⁡2
−⁡
1
2
]
2
−⁡
1
4
⁡> ⁡−
1
4
⁡⁡⁡⁡
𝑓( 𝑥1)⁡ > ⁡𝑓( 𝑥2)
1
2
𝐼2:⁡𝑥 ∈ [⁡log1
3
(
1
2
)⁡;⁡+∞[
⁡⁡⁡log1
3
(
1
2
) ≤ ⁡ 𝑥1 < ⁡ 𝑥2⁡⁡
⁡⁡
1
2
⁡⁡≥ (
1
3
)
𝑥⁡1
⁡> (
1
3
)
𝑥⁡2
> 0⁡
⁡⁡0⁡ ≥⁡ (
1
3
)
𝑥⁡1
−⁡
1
2
> (
1
3
)
𝑥⁡2
− ⁡
1
2
⁡>⁡−
1
2
⁡⁡0 ≤ [(
1
3
)
𝑥⁡1
−⁡
1
2
]
2
< [(
1
3
)
𝑥⁡2
−⁡
1
2
]
2
⁡<⁡
1
4
⁡−
1
4
⁡⁡⁡ ≤⁡ [(
1
3
)
𝑥⁡1
−⁡
1
2
]
2
− ⁡
1
4
< [(
1
3
)
𝑥⁡2
−⁡
1
2
]
2
−⁡
1
4
⁡< ⁡0⁡⁡⁡⁡
𝑓( 𝑥1) ⁡< ⁡𝑓( 𝑥2)
∴ 𝑓⁡( 𝑥) ↗ ⁡𝑥 ∈ [⁡log1
3
(
1
2
)⁡;⁡+∞[⁡
1
1
2

6. SEGUNDO MÉTODO:
∴ 𝑓⁡( 𝑥) ↙ ⁡𝑥 ∈ ]−∞⁡⁡;⁡log1
3
(
1
2
)⁡[
Compuesta:
ℎ( 𝑥) = 𝑥2
− 𝑥 ℎ( 𝑥) = 𝑥 −
1
2
2
−
1
4
⁡
𝑔( 𝑥) = (
1
3
)
𝑥
𝑓( 𝑥) = ℎ⁡[ 𝑔( 𝑥)]
𝑓( 𝑥) = ⁡⁡ [
1
3
𝑥
−
1
2
]
2
−
1
4
⁡
0 log1
3
1
2
0
𝑔( 𝑥) = ⁡
1
3
𝑥
1
2
= ⁡
1
3
𝑥
⁡
log1
3
(
1
2
) =⁡ log1
3
(
1
3
)
𝑥
𝑥 = ⁡ log1
3
1
2
⁡
𝐼1:⁡𝑔( 𝑥) ↙ 𝑥 ∈⁡]−∞,⁡log⁡1
3
⁡
1
2⁡
]⁡
𝐼1:⁡ℎ( 𝑥) ↗ 𝑥 ∈ [ ⁡
1
2⁡
, +∞⁡[⁡
𝐼1:⁡𝑓( 𝑥) ↙ ⁡⁡𝑥 ∈ ]−∞,⁡log⁡⁡1
3
⁡
1
2⁡
]⁡⁡
1
2
1
2
1
𝐼2: 𝑔( 𝑥) ↙ 𝑥 ∈ ⁡]⁡log⁡1
3
(⁡
1
2⁡
)⁡, +∞[
𝐼2:ℎ( 𝑥) ↙ 𝑥 ∈ ]−0,(⁡
1
2⁡
)⁡[⁡
𝐼2: 𝑓( 𝑥) ↗ ⁡⁡𝑥 ∈ ]⁡log⁡1
3
⁡
1
2⁡
⁡, +∞[⁡⁡