Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Inicia demostrando las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β). Luego, deduce las identidades para la diferencia de ángulos usando estas demostraciones. Finalmente, enlista algunas propiedades importantes de las identidades trigonométricas. El documento concluye con ejemplos numéricos para practicar.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo



























1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas de Arcos
Compuestos”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para
ángulos compuestos que son:
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen
Demostración:
A partir del gráfico:
Se observa:
Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)
En el OQR  QR = ORSen = Sen.Cos;
(OR = Cos)
En el MSR  SM = RMCos = Cos.Sen;
(RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado
También observamos:
Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)
En el OQR  OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)
En el MSR  SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)
Reemplazamos:
Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)
Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente
manera:
Sabemos que:
Tg(+) =
 
 
sen sen sen
sen sen
 
 
   
   




cos
cos cos
cos cos
Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)
Tg(+) =
sen sen
sen sen
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  

  
  
     
     

cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos
Simplificando obtendremos:
Tg(+) =
sen sen
sen sen
Tg Tg
Tg Tg








 
 
cos cos
cos
.
cos
.




1 1
* Tg(+) =
Tg
Tg Tg
 
 
+ Tg
1 . (Demostrado)
Tomaremos en cuenta para las demás razones
trigonométricas que:
 
 
 
 
 
 
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
 
 
 
 
 
 
 

 

 

1
1
1

1 S
R
P Q A X
Y
M
B
Semana Nª 8
0

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos:
Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las identidades para la
diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.
* Sen( - ) = sen(+(-))
 Sen(+(-)) =
   sen sen
sen
   
 
cos cos
cos
  

     
    sen sen sen     cos cos
Demostrado
* Cos(-) = Cos(+(-))
 Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)
Cos - Sen
    cos cos cos     sen sen
(Demostrado)
* Tg(-) =


TgTg
TgTg
.1 

De igual manera tomar en cuenta que:
 
 
 
 
 
 
Ctg
Tg
Sec
Cos
Csc
Sen
 
 
 
 
 
 
 

 

 

1
1
1
Algunas Propiedades de Importancia
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
c) Si:  +  +  = 180°  Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg
d) Si:  +  +  = 90°  Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
f) Si: +  +  =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
g)
1
2
.
22
.
22
.
2

C
tg
B
tg
C
tg
A
tg
B
tg
A
tg
h)
2
.
2
.
2222
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg
C
Ctg
B
Ctg
A
Ctg 
i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg(  - )
j)
yx
yxsen
tgyTgx
cos.cos
)( 

k)
SenySenx
yxsen
CtgyCtgx
.
)( 

l)
SenyCosx
yxCos
Ctgytgx
.
)( 

m) )(... 22
 xSenbaCosxbsenxa
Donde:
22
ba
b
Sen


22
ba
a
Cos


n) Si: Rxxbsenxaxf  ;cos..)(
Se cumple: 2222
)( baxfba 
PROBLEMAS DE CLASE
1) Si
𝑇𝑔𝛼+3
1−3𝑇𝑔𝛼
=
2−𝑇𝑔𝜃
1+2𝑇𝑔𝜃
; calcule 𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝜃).
A) – 7 B) 1/7 C) – 1/6 D) – 1/7 E) 7
2) Calcule el equivalente de la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛11º𝑠𝑒𝑛20º𝑠𝑒𝑛13º + 𝑠𝑒𝑛11º𝑐𝑜𝑠20º𝑐𝑜𝑠13º
+ 𝑠𝑒𝑛20º𝑐𝑜𝑠11º𝑐𝑜𝑠13º – 𝑠𝑒𝑛13º𝑐𝑜𝑠11º𝑐𝑜𝑠20º
A) sen18º B) sen32º C) sen20º
D) sen42º E) sen54º
3) Calcule el valor de la siguiente expresión
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦 + 𝑧) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑧 − 𝑦)
𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑦 + 𝑧)𝑠𝑒𝑛(𝑦 − 𝑧) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑧)𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑧)
A) 0 B) –1 C) 2 D) – 2 E) 1
4) Si se cumple que
2𝑠𝑒𝑛𝛼 + 3𝑐𝑜𝑠𝛼 = √ 13 𝑠𝑒𝑛(∅ − 𝛼) … …. (I)
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 2𝑐𝑜𝑠𝛼 = 5 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) ……….(II)
Calcule 𝑠𝑒𝑛(𝛽 + ∅).
A)
√65
65
B) ¼ C) −
√65
66
D) ½ E) −
√65
65

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
5) Reduzca la siguiente expresión
𝑐𝑜𝑠2
(𝜃 + 𝛽) – 2𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛽)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛽
A) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 B) 𝑐𝑜𝑠2 𝛽 C) 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
D) 𝑠𝑒𝑛2
(𝜃 + 𝛽) E) 𝑠𝑒𝑛2
𝛽
6) Reduzca la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑐11º𝑠𝑒𝑐19º – 2𝑐𝑜𝑡71º
A) 2tan11º B) ½ tan19º C) 2cot11º
D) tan19º E) ½ tan11º
7) Del gráfico, calcule 𝑠𝑒𝑛2𝛼.
A) 2/5 B)3/4 C) 3/5 D) 1/3 E)4/5
8) Si 1 + 5𝑡𝑎𝑛2
𝛽 = 5𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 𝑡𝑎𝑛2
𝛽 · 𝑡𝑎𝑛2
𝜃,
Calcule
𝑠𝑒𝑛2 𝜃− 𝑠𝑒𝑛2 𝛽
cos2θ− 𝑠𝑒𝑛2 𝛽
A) 1/5 B) 10 C) 1/10 D) 5 E) 1
9) Reduzca la siguiente expresión.
𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑡𝑎𝑛2𝑥(2+ 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛3𝑥)
𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥
A) sen6x B) cos5x C) cos4x D) sen5x E) tan5x
10)Si
𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑥+ 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝑦
𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑥+ 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝑦
= 𝑡𝑎𝑛𝑧 ; calcule
𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑥 – 𝑧) + 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑦 – 𝑧).
A) 0 B) 2 C) 1 D) – 2 E) –1
11) Si 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
𝑛𝑡𝑎𝑛𝛼
1+(1−𝑛)𝑡𝑎𝑛2 𝛼
; calcule
𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)
𝑇𝑎𝑛𝛼
A) 1– 2𝑛 B) 1– 𝑛 C) 2𝑛 + 1 D) 𝑛– 1 E) 𝑛 + 1
12)Si 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 3𝑠𝑒𝑛𝛼, donde
𝛼, 𝛽 ∈ 〈0º; 90º〉, calcule 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽).
A)
3√6
5
B)
√3
5
C)
√2
3
D)
2√6
5
E) 3/8
13)Reduzca la siguiente expresión.
𝑡𝑎𝑛 38º + 𝑡𝑎𝑛16 º
𝑡𝑎𝑛54º
−
𝑡𝑎𝑛 16º − 𝑡𝑎𝑛38 º
𝑡𝑎𝑛22º
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) –1
14)En un triángulo ABC se cumple que
3𝑠𝑒𝑛𝐴 + 4𝑐𝑜𝑠𝐵 = 6 𝑦 3𝑐𝑜𝑠𝐴 + 4𝑠𝑒𝑛𝐵 = 1.
Calcule la medida del ángulo C.
A) 150º B) 60º C) 30º D) 45º E) 120º
15) Si 𝑐𝑜𝑡𝐴 – 2𝑐𝑜𝑡𝐵 = 𝑐𝑜𝑡𝐶, calcule
𝑠𝑒𝑛( 𝐵+𝐶 )
𝑠𝑒𝑛(𝐵 −𝐴 )
.
A) 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑐𝐴 B) 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑠𝑐𝐴 C) 𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑠𝑒𝑐𝐴
D) 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑡𝑎𝑛𝐴 E) 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑐𝑠𝑐𝐴
16) Del gráfico, calcule ab.
A) 315
B) 320
C) 310
D) 312
E) 314
17) Calcule el área de la región sombreada en
términos de 𝜃.
A)
27
5
𝑡𝑎𝑛𝜃
B)
23
5
𝑡𝑎𝑛𝜃
C)
27
2
𝑡𝑎𝑛𝜃
D)
22
3
𝐶𝑜𝑡𝜃
E)
27
10
𝐶𝑜𝑡𝜃
18)Si se cumple que 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 2 + 3𝑡𝑎𝑛2
𝑦,
calcule el valor de la siguiente expresión.
1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)
sen(𝑥 + 𝑦) sen(𝑥 − 𝑦) − 1
A) ½ B) 2 C) –1 D) 1 E) – 2
19)De las condiciones
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑧 = 𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑏
Calcule 𝑐𝑜𝑠(𝑥 – 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑦 – 𝑧) + 𝑐𝑜𝑠(𝑧 – 𝑥).
A)
𝑎2+ 𝑏2+ 3
2
B)
𝑎2− 𝑏2+ 3
2
C)
𝑎2− 𝑏2− 3
2
D)
𝑎2+ 𝑏2− 3
4
E)
𝑎2+ 𝑏2− 3
2
20)Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝜋 y
𝑡𝑎𝑛 (
𝐴
2
) = 3𝑡𝑎𝑛 (
𝐵
2
) = 2 𝑡𝑎𝑛 (
𝐶
2
) , Calcule cotC.
A) 3 B) 4/3 C) 2 D) 1/4 E) ¾
21)Si tanx, tany, tanz están en progresión
aritmética tal que 𝑡𝑎𝑛𝑥 < 𝑡𝑎𝑛𝑦 < 𝑡𝑎𝑛𝑧,
además 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝜋 , 𝑦 ≠ 0.
Calcule el valor de
𝐶𝑜𝑠(x −z )
𝐶𝑜𝑠( x+z )
.

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo
A) 1/3 B) 3 C) ½ D) – 2 E) 2
22) Del gráfico, calcule el máximo valor que toma
AC.
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
23)Del gráfico, calcule √13 𝑐𝑜𝑠𝜃.
A) – 17/5 B) – 13/5 C)-17/4 D)-12/7 E)-9/5
24) Si 𝜃 𝑦 𝛼 son ángulos complementarios,
calcule
𝑠𝑒𝑛( 𝜃 + 2 𝛼 ) 𝑡𝑎𝑛( 2𝜃 + 3𝛼 )
𝑐𝑜𝑠( 2𝜃 + 𝛼 )𝑡𝑎𝑛( 4𝜃 + 3 𝛼 )
+
𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 2𝛼 )
𝑐𝑜𝑠(7𝜃 + 6𝛼 )
A) –1 B) 0 C) 2 D) 1 E) – 2
25)Si 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝜋 y 𝑐𝑜𝑡𝐴 + 𝑐𝑜𝑡𝐵 = 𝑐𝑜𝑡𝐶,
calcule el equivalente de la expresión 𝑐𝑠𝑐2
𝐴 +
𝑐𝑠𝑐2
𝐵 + 𝑐𝑠𝑐2
𝐶.
A) 2𝑐𝑜𝑡2
𝐶 + 1 B) 4𝑐𝑜𝑡2
𝐶 – 1 C) 2𝑐𝑜𝑡2
𝐶 – 1
D) 4𝑐𝑜𝑡2
𝐶 + 1 E) 𝑐𝑜𝑡2
𝐶 + 4
26)Calcule 𝑡𝑎𝑛𝑥 cuando la expresión
5( √3 𝑐𝑜𝑠7º − 𝑠𝑒𝑛7º)𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 15𝑠𝑒𝑛 𝑥 ;
toma su máximo valor.
A) 12/5 B) ¾ C) 15/4 D) 3/5 E) 15/8
27)De la siguiente igualdad
𝑠𝑒𝑛 38º
√3 + 1
+
𝑐𝑜𝑠38 º
√3 − 1
=
3√2
𝑘
Calcule el valor de k.
A) – 4 B) 4 C) – 5 D) – 3 E) 2
28) Si 𝑠𝑒𝑛170º = 𝑛, calcule
𝑠𝑒𝑛65º + √3 𝑐𝑜𝑠65º + 2𝑐𝑜𝑠125º.
A) √2𝑛 B)
√2
2
𝑛 C) 4 √2𝑛 D) 2√2𝑛 E)
√2
4
𝑛
29)Calcule el valor de la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛 (405º + 𝜃) 𝑡𝑎𝑛 (230º + 𝜃) 𝑠𝑒𝑛 (392º + θ)
𝑐𝑜𝑡(400º − 𝜃) 𝑐𝑜𝑠 (778º − 𝜃) 𝑠𝑒𝑛(495º − 𝜃)
A) –1 B) 1 C) 0 D) – ½ E) 2
30)De la igualdad
𝑠𝑒𝑛 (390º+𝑥)+𝑐𝑜𝑠 (750º+𝑥)
𝑐𝑜𝑡 (1200º+𝑥)−1
= −
4
5
;
calcule la medida del ángulo agudo x.
A) 15º B) 18º C) 5º D) 16º E) 7º
31)Si 𝑡𝑎𝑛32º𝑡𝑎𝑛8º = 𝑎, calcule
𝑡𝑎𝑛932º 𝑡𝑎𝑛1320 º 𝑐𝑜𝑡 1470º
𝑐𝑜𝑡1665º 𝑡𝑎𝑛1342 º
A)
√3
2
𝑎 B)
𝑎
2
C) 3a D) √3𝑎 E) a
32)Si 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5𝜋, calcule
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑐𝑜𝑠 xcos 𝑦
−
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧
𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 cos 𝑥
A) 1 B) tanx C) –1 D) tany E) 0
33)Del gráfico, calcule el máximo valor de 𝑡𝑎𝑛𝜃.
A)
9
10
√10 B)
9
20
√10 C)
√10
20
D)
9
5
√10 E)
√10
5
34)Calcule el valor de la siguiente expresión.
(1 + 𝑡𝑎𝑛1º)(1 + 𝑡𝑎𝑛2º)(1 + 𝑡𝑎𝑛3º). . . (1
+ 𝑡𝑎𝑛45º)
A) 223
B) 224
C) 222
D) 220
E) 221
35)Calcule el valor de la siguiente expresión.
𝑠𝑒𝑛 1º
𝑠𝑒𝑛45º 𝑠𝑒𝑛46 º
+
𝑠𝑒𝑛1º
𝑠𝑒𝑛47º 𝑠𝑒𝑛48 º
+
𝑠𝑒𝑛1º
𝑠𝑒𝑛49º 𝑠𝑒𝑛 50º
+ ⋯ …
+
𝑠𝑒𝑛1º
𝑠𝑒𝑛133º 𝑠𝑒𝑛134º
A) ½ B) 1 C) ¼ D) 2 E) 4