El documento presenta una asignación de ejercicios de matemáticas sobre variable compleja. Incluye 4 ejercicios a resolver: 1) realizar operaciones con números complejos, 2) describir un lugar geométrico definido por una desigualdad compleja, 3) demostrar una identidad trigonométrica compleja, y 4) expresar una función compleja en forma paramétrica. Los estudiantes deben entregar los ejercicios resueltos antes del 17 de mayo de 2015.

1. Luis Sánchez
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Asignatura: Matemática IV
ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA.
ENTREGA: DESDE EL 11-05-2015. HASTAEL 017-05-15 A LAS 23:50 pm. VALOR: 10 PUNTOS.
Prof.: Marleny de Parra
SI EL ALUMNO NO HA ACTUALIZADO EL PERFIL AL MOMENTO DE CORREGIR SE LE ASIGNA
LA NOTA DE 01
1.- EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS
   4
1
24413245
3252Re iiiiZ 
2.- DESCRIBIR Y BOSQUEJAR EL LUGAR GEOMETRICO DEFINIDO POR
  025103
22
 ZZZZ
3.) DEMOSTRAR QUE:   212121 coscos senzzzsenzzzsen 
4- EXPRESAR LA FUNCIÒN        27
Re45
Im2 zi
ezzf  EN LA FORMA
     yxiVyxUzfw ,, 

2. Luis Sánchez
1.- EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS
   4
1
24413245
3252Re iiiiZ 
Para resolver el ejercicio debemos saber que 𝑖0
= 1 ; 𝑖1
= 𝑖 ; 𝑖2
= −1 ; 𝑖3
= −𝑖
45
4
= (4 ∗ 11) + 1 ;
32
4
= (4 ∗ 8) + 0 ;
41
4
= (4 ∗ 10) + 1 ;
24
4
= (4 ∗ 6) + 0
𝑍 = ((𝑅𝑒(2𝑖45
− 5𝑖32) + √2𝑖41
+ 3𝑖24
)
1/4
Sustituyendo los resto en cada exponente respectivo.
𝑍 = ((𝑅𝑒(2𝑖1
− 5𝑖0) + √2𝑖1
+ 3𝑖0
)
1/4
Operando pos imaginarios.
𝑍 = ((𝑅𝑒(2𝑖 − 5) + √2𝑖 + 3)
1/4
Tomando solo la parte real en el término respectivo.
𝑍 = (−5 + √2𝑖 + 3)
1/4
Agrupando los números reales.
𝑍 = (−2 + √2𝑖)
1/4
Concluyendo la operación.

3. Luis Sánchez
2.- DESCRIBIR Y BOSQUEJAR EL LUGAR GEOMETRICO DEFINIDO POR
  025103
22
 ZZZZ
Para resolver el ejercicio debemos saber que: 𝑖0
= 1 ; 𝑖1
= 𝑖 ; 𝑖2
= −1 ; 𝑖3
= −𝑖
𝑍 = (𝑎 + 𝑏𝑖)
𝑍2
= (𝑎 + 𝑏𝑖)2
= 𝑎2
− 𝑏2
+ 2𝑎𝑏𝑖
𝑍̅2
= (𝑎 + 𝑏𝑖)2
= 𝑎2
− 𝑏2
− 2𝑎𝑏𝑖
𝑍 ∗ 𝑍̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2
+ 𝑏2
𝑍2
+ 𝑍̅2
= 2(𝑎2
− 𝑏2)
Sustituyendo y realizando las operaciones básicas
3(2(𝑎2
− 𝑏2)) − 10(𝑎2
+ 𝑏2) + 25 ≤ 0
6𝑎2
− 6𝑏2
− 10𝑎2
− 10𝑏2
+ 25 ≤ 0
[−4𝑎2
− 16𝑏2
+ 25 ≤ 0 ] ∗ (−1)
4𝑎2
+ 16𝑏2
− 25 ≥ 0
4𝑎2
+ 16𝑏2
≥ 25 Dividiendo entre 25 cada término para obtener la formas general de una elipse
𝑎2
25
4
+
𝑏2
16
4
≥ 1

4. Luis Sánchez
3.) DEMOSTRAR QUE:   212121 coscos senzzzsenzzzsen 
Para solucionar la demostración
Sustituyendo en el segundo miembro por las relaciones de Euler efectuando operaciones básicas en los reales e imaginarios
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
𝑒 𝑖𝑧1
− 𝑒−𝑖𝑧1
2𝑖
∗
𝑒 𝑖𝑧2
+ 𝑒−𝑖𝑧2
𝑖
+
𝑒 𝑖𝑧1
+ 𝑒−𝑖𝑧1
𝑖
∗
𝑒 𝑖𝑧2
− 𝑒−𝑖𝑧2
2𝑖
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
(𝑒 𝑖𝑧1
− 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
+ 𝑒−𝑖𝑧2
)
2𝑖2
+
(𝑒 𝑖𝑧1
+ 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
− 𝑒−𝑖𝑧2
)
2𝑖2
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
(𝑒 𝑖𝑧1
− 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
+ 𝑒−𝑖𝑧2
) + (𝑒 𝑖𝑧1
+ 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
− 𝑒−𝑖𝑧2
)
2𝑖2
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
(𝑒 𝑖𝑧1
− 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
+ 𝑒−𝑖𝑧2
) + (𝑒 𝑖𝑧1
+ 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
− 𝑒−𝑖𝑧2
)
−2
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
(𝑒 𝑖𝑧1
− 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
+ 𝑒−𝑖𝑧2
) + (𝑒 𝑖𝑧1
+ 𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
− 𝑒−𝑖𝑧2
)
−2
[(𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) + (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) − (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) − (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
)] + [(𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) − (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) + (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) − (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
)]
−2
−(𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) − (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) + (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) + (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) − (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) + (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) − (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
) + (𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
)
2
Finalmente simplificando y agrupando nos que:
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
−(𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
)+(𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
) − (𝑒 𝑖𝑧1
)(𝑒 𝑖𝑧2
)+(𝑒−𝑖𝑧1
)(𝑒−𝑖𝑧2
)
2
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
−2(𝑒 𝑖𝑧1)(𝑒 𝑖𝑧2)+2(𝑒−𝑖𝑧1)(𝑒−𝑖𝑧2)
2
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒 𝑖𝑧
= cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧 ⇔ 𝑟𝑒 𝑖𝑧
𝑠𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2) =
−2[cos 𝑧1+𝑖 sin 𝑧1][cos 𝑧2+𝑖 sin 𝑧2] +2[cos 𝑧1+𝑖 sin 𝑧1][cos 𝑧2+𝑖 sin 𝑧2] )
2
𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧 ⇔ 𝑟𝑒 𝑖𝑧
𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑆𝑒𝑛(𝑍1 + 𝑍2)

5. Luis Sánchez
4- EXPRESAR LA FUNCIÒN        27
Re45
Im2 zi
ezzf  EN LA FORMA
     yxiVyxUzfw ,, 
𝑤 = 𝑓(𝑧) = √2[𝑖𝑉(𝑥, 𝑦]5
𝑒−4𝑖(𝑈(𝑥,𝑌))
2
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒−4𝑖(𝑈(𝑥,𝑌))
2
𝑤 = 𝑓(𝑧) = √2[𝑖𝑉(𝑥, 𝑦]5
𝑒−8𝑖(𝑈(𝑥,𝑌)) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐿𝑛 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑦 𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑤 = 𝐿𝑛(𝑓(𝑧)) = 𝐿𝑛√2+5𝐿𝑛[𝑖𝑉(𝑥, 𝑦] − 8𝑖(𝑈(𝑥, 𝑌)) 𝑟𝑒𝑣𝑖𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐿𝑛 𝑎 e
𝑤 = 𝑓(𝑧) = 5√2(𝑖𝑉(𝑥, 𝑦) + 𝑒−8𝑖𝑈(𝑥,𝑦)
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎
𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒆−𝟖𝒊𝑼(𝒙,𝒚)
+ 𝟓√𝟐𝒊𝑽(𝒙, 𝒚)