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ALUNO:______________________________________________________________________________

                                              TURMA: CN/EPCAr                                   PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br )

                                                                                       AULA DE ÁLGEBRA

                                                                                      Non Multa Sed Multum


                                                                                                                                      Esse material contém 67 questões. Confira!

Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação:
                                                                                                                                                 Nota Final: _____________
      •           Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções.
      •           Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras.
      •           A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta.
      •           É extremamente proibido o uso de calculadora.
      •           Serão descontados erros ortográficos.
      •           Realizar o trabalho extremamente organizado.




                      Lembretes:


                                                                                            POLINÔMIOS

1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:
a)     f ( x ) = 5x + 1                                                               b)   g ( x ) = x 2 + 10 x − 3            c)   h ( x ) = 5 x + 10 x 3 − 8 x 2 + 1
d)   q ( x ) = ( k − 2 ) x 4 + 10 x3 − 3x + 1                                         e)   r ( x ) = ( k 2 − 4 ) x3 + ( k + 2 ) x2 − ( k − 2 )

f)   s ( x ) = ( a − 1) x5 + ( b + 2 ) x3 + ( c − 3) x


2) Sabendo que                        p ( x ) = ( a − 4 ) x3 − ( b + 2 ) x 2 + ( 3c − 8 ) x − ( 5d − 125) é o polinômio nulo, determine o valor de
a+b+c+d .

3) Se f ( x ) = 5 x3 + 10 x 2 − 7 e g ( x ) = ax4 + ( b −1) x3 − ( c + 3) x2 + ( 4d +12) x + e são polinômios idênticos,
determine o valor de a + b + c + d + e .

4) Efetue:
a) (2b + 5c − 3a) − (−2a + b − 4c)
          2           2                   2       2
b) ( a − b ) − (3a − b )
          2                       2               2               2       2       2
c) (b + 2bc + c ) + (b − 2bc − c ) − (b − c )
              2               2               2           3       2           2
d) (4 a b + 3ab − b ) + (2b − 4 a b − 4ab )
                  2       3           4               4       2       3
e) 1 − x + x − x − (1 − x + x + x )
   1 2 1 2 5 3 1 2 1 3 1 2
f)   mn + m n + m −  m n − m − mn 
   4        3       6        6      4 3 
g) 5 xy + y − 3 xy − ( − y − xy ) 
           2               2
                                  
h)   3a − (4b − c + 2b) − [ a − (2b − 4c + 3d ) ] − 5a
2
5) Sejam os polinômios: A = a                                                 + 2ab + b2 ; B = a 2 − 2ab + b2 e C = a 2 − b2 .
   Determine : a) A + B + C                                                     b) A − ( B + C)    c) A − ( B − C)

6) Efetue os produtos abaixo:
                      2               2
a) ab.( a − b )
                          2                   2
b) 3 xy.( x y − xy )
                  2                   2                   2
c) −2 a b.(3a − 7b )
                            4
d)  10a 2b 2 .(−3a 2b + a 2b 2 )
                            5
                         m −1
e) 2 x.(5ax + 3bx             − 8)
                 m

         3           3
f) (2 x + 3)(2 x − 3)
           2         2
g) (3a + 1)(3a − 2)
        6        3       3
h) ( x + 3 x + 9)( x − 3)
             6     4 4        2 8    12 2    4
i) (27 a − 9a b + 3a b − b )(3a + b )
          4      4     3        3   2 2
j) ( − x − y + x y + xy − x y )( − x − y )
k) (a + b − c)(a − b + c)
      2        2         2       2
l) ( x + y + xy )( x + y − xy )
m) (a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c)
      2                2           2
n) a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) + ( a − b )(b − c )(c − a )

7) Efetue as seguintes divisões :
          6               4                   3               2                   2
a) ( x − x − 2 x + x + 2 x − 1) ÷ ( x − 1)
              4                       2                                       2
b) (4 x − 13 x + 12 x − 3) ÷ (2 x − 3 x + 1)
                  5               4                   3           2               2
c) (15a − a − 4 a + 5a − a ) ÷ (5a + 3a − 1)
              3                   2
d) (2 a − 3a + a + 30) ÷ ( a + 2)
          4                   3                   2                           2
e) ( x − 5 x + 8 x − 5 x + 1) ÷ ( x − 2 x + 1)
      4                   3                   2
  (
f) x − 5 x + 2 x + 3 x − 1 ÷ ( x − 2)                                 )
              3
g) ( 2 x          − x 2 − 1) ÷ (x-1)
              5
h) ( 4 x          − 5 x 4 + 1) ÷ (x-1)
      5                       4           3                   2
i) ( x − 2 x − x + 3 x + x − 4) ÷ (2 x − 4)
          3
j)   (x       + 2 x 2 − 5 ) ÷ (3x+6)

                                                                                                          3      2
8) O valor de n para que a divisão do polinômio p ( x ) = 2 x + 5 x + x + 17                                                 por
d ( x ) = 2 x 2 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número
(a) menor que – 6.                                            (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.

9) Considere o polinômio                                              p( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 5 . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).

10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:
                                  2
a) P ( x ) = 3 x  + 9x + 6
                2
b) P ( x ) = 2 x + 3 x − 2
c) P ( x ) = x3 − 6 x 2 − x + 30
                 3    2
d) P ( x ) = 2 x − x − 2 x + 1
               4    3       2
e) P ( x ) = x + x − 7 x − x + 6
PRODUTOS NOTÁVEIS

1) Se      x + y = 3 e xy = 7 , então x 2 + y 2 é igual a :
(a) 3                (b) -5                (c) -3               (d) 5                       (e) 9

2) Se      2 x + 2 − x = a , dar o valor de 8 x + 8 − x .

3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de                               a 7 + b7
4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual :
(a) à diferença dos quadrados dos dois números.
(b) à soma dos quadrados dos dois números.
(c) à diferença dos dois números.
(d) ao dobro do produto dos números.
(e) ao quádruplo do produto dos números.

                                                                                                                      3
5) Para que o polinômio f ( x ) = x 3 − 6x 2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f ( x ) = ( x + b ) , os
valores de m e n devem ser, respectivamente:
(a) 3 e −1   (b) −6 e 8   (c) −4 e 27    (d) 12 e −8                                      (e) 10 e −27

                                                           a2 b2
6) Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3 , determine                     +    +2.
                                                           b2 a 2


7) Se
           a + b = 1 e a 2 + b2 = 2                     então   a 3 + b3 é igual a:
(a) 4 (b) 3 ½                 (c) 3       (d) 2 ½       (e) 2


                                                                                FATORAÇÃO

1) Fatore pondo em evidência o fator comum:
a) ax + ay                                                             b)      15x2 − 5x
c)   6a2b + 3ab2                                                                  3   2
                                                                        d) 8 x y − 4 x y
                                                                                              2   3

           3 2
e) 15a x y − 30 a xy + 45a x y
                              2       3      4 3    4
                                                                            f)   18a2b3c4 + 36ab4c5 − 54a3b2c
           4   5
g) 33 x y − 22 x y + 11xy
                          3       6
                                                                           h)    x(a + 1) + y(a + 1) + z(a + 1)
i)   x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c)                             j)   x(a −1) + y(a −1) + z ( a −1)


2) Fatore por agrupamento:
                                                                            2
a)   ax + bx + ay + by                                           b) 2 x − 3 xy − 4 x + 6 y
c)   mx + 5 y + xy + 5m                                          d)   ab − ac + b2 − bc
e)   x3 + x2 − x −1                                              f)   3x3 − 9ax2 − x + 3a
3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a)   x2 + 10x + 25                                                         2
                                                                b) 4 x − 20 xy + 25 y
                                                                                                    2

       4
c) y + 2 y + 1
                     2
                                                                d)    a2 x2 − 2ax + 1
       2     y2                                                        6          3           2
e) x + xy +                                                     f) x + 6 x y + 9 y
              4
      4      2
g) 4 x − 24 x y + 36 y
                       2
                                                                 h)   a2 −16a + 64
      4          2                                                 4 x 2 2 xy y 2
i) y − 6 y + 9                                                  j)      −    +
                                                                    9     3    4
4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:
a)   m2 − n2                                                    b) 25 x − 9 y
                                                                                 2                   2

            4
c) 16 x − 25 y
                          2
                                                                   d)   1 − x2
        2
e) 4 x y − 9a
                6         8
                                                                   f)   a 2 n − b2 n
       4n             2                                                   10
g) x        − 64 y                                                 h) x          − 4 y2
          6m         2n                                                   x2
i) 16 x         −y                                                 j) 1 −
                                                                          9
k)   a2 − x2 + 2 xy − y 2                                          l)    (a2 − b2 −1)2 − (a2 − b2 + 1)2

5) Fatore os seguintes trinômios da forma                       x2 + ( b + c ) x + bc :
a)  x2 + 10x + 16                                                  b)    x2 −10x + 16
     2
c) x + 6 x −16                                                     d)    x2 − 6 x −16
     2
e) x − x − 6
                                                                             2
                                                                   f) y − 6 y + 5
     2
g) a + a − 30                                                      h)    x2 + x − 2
    4      2
i) x − 5x − 50
                                                                         4                   2
                                                                   j) a − 5a + 4

6) Fatore os seguintes cubos de um binômio:

a)   x6 + 3x4 + 3x2 + 1                                                          6
                                                                        b) x − 9 x y + 27 x y − 27 y
                                                                                                     4                 2   2           3


c)   a9 + 3a6 + 3a3 + 1                                                              3
                                                                        d) 8 x − 12 x y + 6 xy − y
                                                                                                         2       2         4       6


e)   x3n + 3x2n + 3xn + 1                                                                3
                                                                        f) 64 x + 48 x y + 12 xy + y
                                                                                                             2                 2       3



7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:
a)   a6 − b6                                                       b) 8x + y
                                                                                 3               3


c) 1 − 8 y
                3
                                                                   d)    x3 −1
e)   x3 + 1                                                        f)   27 − x3
g)   a3 − (1 − a)3

                                                  1                  1
8) Determine o valor de                    x6 +     6
                                                      sabendo que x + = 1 .
                                                  x                  x

9) Um dos fatores de a 4 + 6a² + 8 é :
(a) a + 4                     (b) a² - 2           (c) a² + 2            (d) a 4 + 2                                 (e) a 4 -2

10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se :
(a) (x + y)(3 - 2a)       (b) ( x + 2y)( 3 - a)                                      (c) ( x - 2y) (3 - a)
(d) ( x + 2y) (3 + a)    (e) ( x - 2y)(3 + a)
                                      2      2
11) Fatorando ( a + b ) - 4c obtém-se :
(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c)   (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c)                                                (c) ( a + b + c )(a + b - 2 )
(d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c )

12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a :
(a) 2       (b) -2        (c) 35           (d) -35       (e) 12

13) Fatore as expressões :                         a) 8x 3 − y 3                     b) ac +2bc - ad - 2bd

                                                                             2               2
14) Qual das expressões abaixo é idêntica a                              a –b - a+b ?
(a) (a + b )(a - b + 1)   (b) ( a - b)(a - b + 1)                        (c) ( a - b )(a + b - 1)
(d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)
15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é :
(a) a + b –1   (b) a – b + 1  (c) b – a + 1            (d) 1 – b – a     (e) a – b – 1

16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual
a:
(a) 1        (b) 2           (c) 4          (d) 10          (e) 20

17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados
desses dois números é :
(a) 29          (b) 97         (c) 132        (d) 184         (e) 252

18) Fatore a expressão S = x 4 + x 2 + 1.

19) Fatore :
a) ( x 2 + x + 3)( x 2 + x + 4) − 12
b) x 4 + 4 y 4
c) (a + 2b − 3c)3 + (b + 2c − 3a )3 + (c + 2a − 3b)3


                                                  FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1) Efetue:

   4x 2 y                                                  15 x 3 y 2 5 x 2 y 4
a)   ⋅                                                  b)           ÷
    y 8x                                                    4a 2 b 2   2ab3
   2( x + 2)          x+2                                   ( m − n ) 2 m( m − n )
c)             ÷                                       d)               ÷
      x−2        ( x + 1)( x − 2)                              m+n          m+n
    x + 2 x +1                                             x + 1 3x + 1
e)        −                                            f)         −
      2        2                                             2          4
   3x + 5 2 x − 9                                           x+2
g)          −                                          h)          − ( x + 1)
       2          3                                            2
   x − y 2x + y y − 4x                                      2x + 3 x − 2
i)        +           +                                 j)          −
    12         15          30                                  4x        8x
     2x x −1                                                 x          y
k)        −                                           l)          +
    x +1 x +1                                              x− y y−x
       1        1                                            1       1
m)         +                                         n)           −
     x +1 x −1                                             x+h x
     b     a                                                    1            1
o)      −                                            p)                +
    2a 4b                                                  a ( a + b) b( a + b)
      2        3          4x − 2                               1        1       2x
q)        +         −                                   r)         +        +
    x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1)                            1 + x 1 − x ( x + 1)( x − 1)
           1                   3            3
s)                   −              +
   ( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1)

     1+ x                                                 1 1
                                                           −
t)    2x                                               u) x a
     1                                                    x−a
       +1
     x
a −1
                                                                    1−
    a −b   a +b                                                   a +1
v) 1 +   ÷     − 1                                        w)
    a +b   a −b                                                1     1
                                                                      −
                                                                 a + 1 a −1

     x               x                                                  2( x + 5)
        −                                                          x+5+
x) x −1            x +1                                       y)          x +1
     x               x                                                    2
        +                                                            1+
   x −1            x +1                                                 x +1
     Simplifique as seguintes frações algébricas:
2)

   x + x2                          5a − 5b                                     a 3 + 3a 2
a)                             b)                                           c)
   y + yx                         2a 2 − 2b 2                                   a2 − 9

     x2 −1                           ( a − b) 2                                  a 2 − 2a + 1
d)                             e)                                           f)
     x +1                            a2 − b2                                        a2 −1

  x 4 − 16                         a3 − 1                                   x2 − 6 x + 9
g) 2                          h) 2                                       i) 2
   x −4                         a + 2a − 3                                  x − 4x + 3

   x 2 − x − 20                       ( x 2 − x − 6)( x 2 + x − 20)
j) 2                          k)
   x − 7 x + 10                     ( x 2 + 2 x − 15)( x 2 + 6 x + 8)

        4
   (x       − a4
               )( x + a)              a 2 − a − 12                                       8 − x3
l)                             m)                                                n)
                   2
     ( x − a)( x + a )    2
                                        16 − a 2                                      x2 + 2 x + 4

        8 − x3                       x2 − ( y − z )2                                  1 − ( x + y)2
o)                             p)                                            q)
      x2 + 2 x − 8                   ( x + z )2 − y 2                                   1+ x + y

     (a + x) 2 − 9                  2ab + a 2 + b 2 − c 2
r)                            s)
      a+ x+3                        2bc − b 2 − c 2 + a 2

3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique:

     a −1 a + 1 a2 + 1                                 n + 1 n2 − n
a)        +    −                                  b)        −
     a + 1 a −1 a2 −1                                   m     mn − m

  4a − 6b      1                                           4 xy         x+ y
c)  2    2
           +                                  d)          2         2
                                                                      −      +2
   a −b      a −b                                      x − 2 xy + y     x− y
       2
      x −1       x2 − 6x + 9                           x 2 − x ( x − 1) 2
e) 2          − 2                                 f)          − 2
   x − 2x + 1 x − 4x + 3                                x −1     x −1

   a 2 − a ( a − b) 2                                    1       1
g)        −                                       h)         +
   ab − b a 2 − b 2                                    a + ab ab + b 2
                                                          2



     a     a     2a 2    4a 2b 2                        x 3 − 4 x 3 x − 6   2a + 3 4 x 2 − 6 x 
i)      +     +        +                           j)            ÷        −       ⋅            
   a − b a + b a 2 + b2 a 4 − b4                        x+2          2   4 x 12 a + 18 
 a − a2   a                                         2 y  y2 −1 y2 + 4 y + 3 
k)       2     ÷   −a                               l)        +      ÷            
       a −1   a +1                                       y + 3  y −1      6       

                                                                        1
4) Se x, y e z são números reais tais que                     z=                   , então z é igual a :
                                                                   ( x + y −2 ) −1
                                                                      −2


       1               1                                                x2 + y2                x2 + y2
(a)           (b)                       (c) x² + y²             (d)                     (e)
      x+ y          x + y2
                     2
                                                                          xy                    x2 y2

                                  2
5) Simplificando
                    (x   3
                               )
                             − 4 − 16
                                         , x ∈ » , obtém-se :
                     x 2 + 2x + 4
(a) x³           (b) x +      3
                                   4     (c) x -   3
                                                       4        (d) x 4 + 2x³         (e) x 4 - 2x³


                                            a 2 + ab a 2 − ab 
6) Simplificar a expressão  a 2 − b 2  ÷ 
                                                  ÷          , onde ab                ≠ 0.
                                       b 2 + ab b 2 − ab 
                                                              

                                         x 3 −1
7) Sendo x = 4,8349, então                        é igual a :
                                       x 2 + x +1
(a) 3            (b) 5                   (c) 3,8349             (d) 5,8349            (e) 0,8349

                                                             1+ a2
8) Simplifique a expressão algébrica                                              .
                                                 (1 − ax ) 2 + ( a + x ) 2

                                                                                                                    a +b
9) Dado que a e b são tais que           a 2 + b 2 + 2ab = 10 e a 2 − b 2 = 5 , pode-se concluir que                     é igual a :
                                                                                                                    a −b
(a) 2            (b) 4                   (c) 8                  (d) 16                (e) 32

                                    2 x 2 − 8x + 8
10) O valor numérico para expressão                para x = 98 é :
                                       2x 2 − 8
(a) 0,72         (b) 0,96                (c) 1,24               (d) 1,36              (e) 1,5

                               m     n            m
                                   +           1+
                                                             n
11) Simplificando a expressão m + n m − n +       n
                                                      2
                                                        × 1 +  , com m ∈ » , n ∈ » , m ≠ ± n e m.n ≠ 0 ,
                                n    m         (m − n)  m 
                                   −        1+
                              m+n m−n            4mn
                                                                                                               5(m + n)
obtemos :        (a) 0                   (b) 1                  (c) 2                 (d) 3              (e)
                                                                                                                 3mn

                                                1 1
                                                  3
                                                    − 3
12) Simplificando a expressão ( a 2b + ab 2 ) × a     b , obtemos:
                                                1 1
                                                    −
                                                a2 b2
(a) a + b                      (b) a² + b²             (c) ab        (d) a² + ab + b²            (e) b – a


                        x4 − y4
13) O valor de                            , para x = 111 e y = 112 é:
                 x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3
(a) 215          (b) 223                 (c) 1                  (d) –1                (e) 214
4x + 8   3x − 3
14) O valor da expressão              2
                                           + 2     , para x ≠ ±1 e x ≠ −2 , é equivalente a :
                                 x + 3x + 2 x − 1

15) A expressão
                       (a − b )2 + c(a − b ) , a – b +c ≠ 0 é igual a :
                              a−b+c
(a) a – b                (b) b – a            (c) a + b + c              (d) a – b + c                    (e) a + b – c


                                      2                  2                             2
                                (a        + b2 − c 2 ) − ( a2 − b2 + c2 )
16) Simplifique a fração :                                                                 .
                                                     4ab 2 + 4abc

                          a +b a −b
                               +
                                       ab3 − a 3b
17) (EPCAr) Simplificar : a − b a + b × 2         .
                          a − b a + b a + b2
                               −
                          a+b a −b


                       x y z     a b c           x2 y 2 z 2
18) Prove que se        + + =1 e  + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1.
                       a b c     x y z          a   b   c

                                               x    y
19) Se x 2 + y 2 = 3 xy, calcule 1 +             1 +  .
                                               y    x

                                                                                                   2                                      2
                                     ( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1) 2                                       ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 
20) Calcule o valor da expressão S =                                                                 ⋅                              .
                                            ( x3 − 1) 2                                                       ( x3 + 1)2           

                                                                                                                                        2x     y      y2
                                                                                                                                            −     + 2
                                                                                                                                       x + y y − x y − x2
21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que
                                                                            x 2 ≠ y 2 e y ≠ 2 x , a expressão                                    −1                     −1
                                                                                                                                      ( x + y)        + x ( x2 − y2 )
sempre poderá ser calculada em » se, e somente se,
(a) x ≥ 0 e y ≥ 0  (b) x > 0 e y é qualquer (c) x é qualquer e y ≥ 0                                               (d) x ≥ 0 e y é qualquer

                                                                                                                                         −1                    −1

                                                                         a ≠ b , na expressão                    p=
                                                                                                                    ( a + b )( 2a )           + a (b − a)
                                                                                                                                                                    .
22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b,                                                                             2                            −1
                                                                                                                        (a       + b 2 )( ab 2 − ba 2 )

Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que                                           p −1 está definida para todo

(a)
      a ∈ » e b ∈ »*      (b) a ∈ » e b ∈ »*
                                           +                     (c) a ∈ »* e b ∈ »*                    (d) a ∈ »* e b ∈ »*
                                                                                                                          +


23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que
               a+b= x
               a − b = x −1
               a≠b≠0
                                                             2                 2   3           3
                                                       ( a + 2ab + b )( a − b )
                                                             2       2     2                   2

                                                    Y=
                                                        ( a − b )( a + ab + b )                         é
               O valor da expressão                                  a 2 − ab 
                                                                              
                                                                     2a 
                                                    x2
      (a) 2   (b) 2x 2      (c) x 2           (d)
                                                    2
1        1   1     a b c a b c
24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que ab
                                                                                                            +     +   = p, + + + + + =q e
                                                                                                                bc ac     b a a c c b
ab + ac + bc = r . O valor de q 2 + 6q é sempre igual a

    p2r 2 + 9            p2r 2 − 9 p                                               p 2 r 2 − 10
                   (b)                            (c) p 2 r 2 − 9            (d)                           (e) p 2 r 2 − 12 p
(a)    4                    12                                                          4r


                                                       RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES


1) Racionalize os denominadores:

             3                             30                        7                            3                               2                    2
      a)                         b)                       c)                            d)                           e)                          f)
                                                                                                                                                       5
            5+ 3                            15                      8− 2                           5                             7+ 3                   3

           7                           2 5                         4
      g)                         h)                       i)
                                        6                      3
            3                             5                         2

                                                8+ 6          4− 3
2) Colocando-se a expressão                               −                  sob a forma a + b 3 , o valor de a+ b é igual a :
                                                   6               3
      2                  4                                               8                        10
(a)               (b)                           (c) 2              (d)                   (e)
      3                  3                                               3                        3

3) Os valores de x e y que satisfazem a
                                                                    x       y         1
                                                                       +       −        =0
                                                                 5− 2     6+ 2     6− 5
são tais que x+ y é igual a :                  (a) 1          (b) 3   (c) 5     (d) 7      (e) 9

                                                                   38
4) Racionalizando o denominador da fração                               obtemos:
                                                               3 3 −2 2
(a) 6 3 + 4 2           (b) 6 2 − 4 3                     (c) 6 3 − 4 2  (d) 2 (e) 6 2 + 4 3



                 2+ 3             2− 3                                                                                                   2
5) Efetuando                 +                    obtém-se : (a) 4                     (b)     3             (c)     2             (d)           (e) 1
                 2− 3             2+ 3                                                                                                   3

                  2 6
6) A fração             é igual a:
                2+ 3+ 5
                                       1                                                                                 1
(a) 2 + 3 − 5                    (b)
                                       2
                                           (   2+ 5− 3         )         (c) 4 − 2 − 3                             (d)
                                                                                                                         3
                                                                                                                             (   3+ 5− 2     )             (e)   2 + 3 + 6 −5


                                                                                                                                                 3
                                                                         1                                                                            a+3 b+3 c
7) Racionalizando-se o denominador de                          3
                                                                                   obtemos uma expressão da forma                                               . O valor de
                                                                   15 − 3 7                                                                              d
 a + b + c + d é igual a:
(a) 381             (b) 383                     (c) 385                 (d) 387                    (e) 389



                                                                                   Lembretes:

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  • 1. ALUNO:______________________________________________________________________________ TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br ) AULA DE ÁLGEBRA Non Multa Sed Multum Esse material contém 67 questões. Confira! Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação: Nota Final: _____________ • Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções. • Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras. • A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta. • É extremamente proibido o uso de calculadora. • Serão descontados erros ortográficos. • Realizar o trabalho extremamente organizado. Lembretes: POLINÔMIOS 1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo: a) f ( x ) = 5x + 1 b) g ( x ) = x 2 + 10 x − 3 c) h ( x ) = 5 x + 10 x 3 − 8 x 2 + 1 d) q ( x ) = ( k − 2 ) x 4 + 10 x3 − 3x + 1 e) r ( x ) = ( k 2 − 4 ) x3 + ( k + 2 ) x2 − ( k − 2 ) f) s ( x ) = ( a − 1) x5 + ( b + 2 ) x3 + ( c − 3) x 2) Sabendo que p ( x ) = ( a − 4 ) x3 − ( b + 2 ) x 2 + ( 3c − 8 ) x − ( 5d − 125) é o polinômio nulo, determine o valor de a+b+c+d . 3) Se f ( x ) = 5 x3 + 10 x 2 − 7 e g ( x ) = ax4 + ( b −1) x3 − ( c + 3) x2 + ( 4d +12) x + e são polinômios idênticos, determine o valor de a + b + c + d + e . 4) Efetue: a) (2b + 5c − 3a) − (−2a + b − 4c) 2 2 2 2 b) ( a − b ) − (3a − b ) 2 2 2 2 2 2 c) (b + 2bc + c ) + (b − 2bc − c ) − (b − c ) 2 2 2 3 2 2 d) (4 a b + 3ab − b ) + (2b − 4 a b − 4ab ) 2 3 4 4 2 3 e) 1 − x + x − x − (1 − x + x + x ) 1 2 1 2 5 3 1 2 1 3 1 2 f) mn + m n + m −  m n − m − mn  4 3 6 6 4 3  g) 5 xy + y − 3 xy − ( − y − xy )  2 2   h) 3a − (4b − c + 2b) − [ a − (2b − 4c + 3d ) ] − 5a
  • 2. 2 5) Sejam os polinômios: A = a + 2ab + b2 ; B = a 2 − 2ab + b2 e C = a 2 − b2 . Determine : a) A + B + C b) A − ( B + C) c) A − ( B − C) 6) Efetue os produtos abaixo: 2 2 a) ab.( a − b ) 2 2 b) 3 xy.( x y − xy ) 2 2 2 c) −2 a b.(3a − 7b ) 4 d) 10a 2b 2 .(−3a 2b + a 2b 2 ) 5 m −1 e) 2 x.(5ax + 3bx − 8) m 3 3 f) (2 x + 3)(2 x − 3) 2 2 g) (3a + 1)(3a − 2) 6 3 3 h) ( x + 3 x + 9)( x − 3) 6 4 4 2 8 12 2 4 i) (27 a − 9a b + 3a b − b )(3a + b ) 4 4 3 3 2 2 j) ( − x − y + x y + xy − x y )( − x − y ) k) (a + b − c)(a − b + c) 2 2 2 2 l) ( x + y + xy )( x + y − xy ) m) (a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c) 2 2 2 n) a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) + ( a − b )(b − c )(c − a ) 7) Efetue as seguintes divisões : 6 4 3 2 2 a) ( x − x − 2 x + x + 2 x − 1) ÷ ( x − 1) 4 2 2 b) (4 x − 13 x + 12 x − 3) ÷ (2 x − 3 x + 1) 5 4 3 2 2 c) (15a − a − 4 a + 5a − a ) ÷ (5a + 3a − 1) 3 2 d) (2 a − 3a + a + 30) ÷ ( a + 2) 4 3 2 2 e) ( x − 5 x + 8 x − 5 x + 1) ÷ ( x − 2 x + 1) 4 3 2 ( f) x − 5 x + 2 x + 3 x − 1 ÷ ( x − 2) ) 3 g) ( 2 x − x 2 − 1) ÷ (x-1) 5 h) ( 4 x − 5 x 4 + 1) ÷ (x-1) 5 4 3 2 i) ( x − 2 x − x + 3 x + x − 4) ÷ (2 x − 4) 3 j) (x + 2 x 2 − 5 ) ÷ (3x+6) 3 2 8) O valor de n para que a divisão do polinômio p ( x ) = 2 x + 5 x + x + 17 por d ( x ) = 2 x 2 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número (a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11. 9) Considere o polinômio p( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 5 . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x). 10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada: 2 a) P ( x ) = 3 x + 9x + 6 2 b) P ( x ) = 2 x + 3 x − 2 c) P ( x ) = x3 − 6 x 2 − x + 30 3 2 d) P ( x ) = 2 x − x − 2 x + 1 4 3 2 e) P ( x ) = x + x − 7 x − x + 6
  • 3. PRODUTOS NOTÁVEIS 1) Se x + y = 3 e xy = 7 , então x 2 + y 2 é igual a : (a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 9 2) Se 2 x + 2 − x = a , dar o valor de 8 x + 8 − x . 3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de a 7 + b7 4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual : (a) à diferença dos quadrados dos dois números. (b) à soma dos quadrados dos dois números. (c) à diferença dos dois números. (d) ao dobro do produto dos números. (e) ao quádruplo do produto dos números. 3 5) Para que o polinômio f ( x ) = x 3 − 6x 2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f ( x ) = ( x + b ) , os valores de m e n devem ser, respectivamente: (a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27 a2 b2 6) Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3 , determine + +2. b2 a 2 7) Se a + b = 1 e a 2 + b2 = 2 então a 3 + b3 é igual a: (a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2 FATORAÇÃO 1) Fatore pondo em evidência o fator comum: a) ax + ay b) 15x2 − 5x c) 6a2b + 3ab2 3 2 d) 8 x y − 4 x y 2 3 3 2 e) 15a x y − 30 a xy + 45a x y 2 3 4 3 4 f) 18a2b3c4 + 36ab4c5 − 54a3b2c 4 5 g) 33 x y − 22 x y + 11xy 3 6 h) x(a + 1) + y(a + 1) + z(a + 1) i) x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c) j) x(a −1) + y(a −1) + z ( a −1) 2) Fatore por agrupamento: 2 a) ax + bx + ay + by b) 2 x − 3 xy − 4 x + 6 y c) mx + 5 y + xy + 5m d) ab − ac + b2 − bc e) x3 + x2 − x −1 f) 3x3 − 9ax2 − x + 3a 3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos: a) x2 + 10x + 25 2 b) 4 x − 20 xy + 25 y 2 4 c) y + 2 y + 1 2 d) a2 x2 − 2ax + 1 2 y2 6 3 2 e) x + xy + f) x + 6 x y + 9 y 4 4 2 g) 4 x − 24 x y + 36 y 2 h) a2 −16a + 64 4 2 4 x 2 2 xy y 2 i) y − 6 y + 9 j) − + 9 3 4
  • 4. 4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos: a) m2 − n2 b) 25 x − 9 y 2 2 4 c) 16 x − 25 y 2 d) 1 − x2 2 e) 4 x y − 9a 6 8 f) a 2 n − b2 n 4n 2 10 g) x − 64 y h) x − 4 y2 6m 2n x2 i) 16 x −y j) 1 − 9 k) a2 − x2 + 2 xy − y 2 l) (a2 − b2 −1)2 − (a2 − b2 + 1)2 5) Fatore os seguintes trinômios da forma x2 + ( b + c ) x + bc : a) x2 + 10x + 16 b) x2 −10x + 16 2 c) x + 6 x −16 d) x2 − 6 x −16 2 e) x − x − 6 2 f) y − 6 y + 5 2 g) a + a − 30 h) x2 + x − 2 4 2 i) x − 5x − 50 4 2 j) a − 5a + 4 6) Fatore os seguintes cubos de um binômio: a) x6 + 3x4 + 3x2 + 1 6 b) x − 9 x y + 27 x y − 27 y 4 2 2 3 c) a9 + 3a6 + 3a3 + 1 3 d) 8 x − 12 x y + 6 xy − y 2 2 4 6 e) x3n + 3x2n + 3xn + 1 3 f) 64 x + 48 x y + 12 xy + y 2 2 3 7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos: a) a6 − b6 b) 8x + y 3 3 c) 1 − 8 y 3 d) x3 −1 e) x3 + 1 f) 27 − x3 g) a3 − (1 − a)3 1 1 8) Determine o valor de x6 + 6 sabendo que x + = 1 . x x 9) Um dos fatores de a 4 + 6a² + 8 é : (a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) a 4 + 2 (e) a 4 -2 10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : (a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a) (d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a) 2 2 11) Fatorando ( a + b ) - 4c obtém-se : (a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 ) (d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c ) 12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a : (a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 12 13) Fatore as expressões : a) 8x 3 − y 3 b) ac +2bc - ad - 2bd 2 2 14) Qual das expressões abaixo é idêntica a a –b - a+b ? (a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1) (d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)
  • 5. 15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é : (a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 1 16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual a: (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 20 17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : (a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 252 18) Fatore a expressão S = x 4 + x 2 + 1. 19) Fatore : a) ( x 2 + x + 3)( x 2 + x + 4) − 12 b) x 4 + 4 y 4 c) (a + 2b − 3c)3 + (b + 2c − 3a )3 + (c + 2a − 3b)3 FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1) Efetue: 4x 2 y 15 x 3 y 2 5 x 2 y 4 a) ⋅ b) ÷ y 8x 4a 2 b 2 2ab3 2( x + 2) x+2 ( m − n ) 2 m( m − n ) c) ÷ d) ÷ x−2 ( x + 1)( x − 2) m+n m+n x + 2 x +1 x + 1 3x + 1 e) − f) − 2 2 2 4 3x + 5 2 x − 9 x+2 g) − h) − ( x + 1) 2 3 2 x − y 2x + y y − 4x 2x + 3 x − 2 i) + + j) − 12 15 30 4x 8x 2x x −1 x y k) − l) + x +1 x +1 x− y y−x 1 1 1 1 m) + n) − x +1 x −1 x+h x b a 1 1 o) − p) + 2a 4b a ( a + b) b( a + b) 2 3 4x − 2 1 1 2x q) + − r) + + x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) 1 + x 1 − x ( x + 1)( x − 1) 1 3 3 s) − + ( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1) 1+ x 1 1 − t) 2x u) x a 1 x−a +1 x
  • 6. a −1 1−  a −b   a +b  a +1 v) 1 + ÷ − 1 w)  a +b   a −b  1 1 − a + 1 a −1 x x 2( x + 5) − x+5+ x) x −1 x +1 y) x +1 x x 2 + 1+ x −1 x +1 x +1 Simplifique as seguintes frações algébricas: 2) x + x2 5a − 5b a 3 + 3a 2 a) b) c) y + yx 2a 2 − 2b 2 a2 − 9 x2 −1 ( a − b) 2 a 2 − 2a + 1 d) e) f) x +1 a2 − b2 a2 −1 x 4 − 16 a3 − 1 x2 − 6 x + 9 g) 2 h) 2 i) 2 x −4 a + 2a − 3 x − 4x + 3 x 2 − x − 20 ( x 2 − x − 6)( x 2 + x − 20) j) 2 k) x − 7 x + 10 ( x 2 + 2 x − 15)( x 2 + 6 x + 8) 4 (x − a4 )( x + a) a 2 − a − 12 8 − x3 l) m) n) 2 ( x − a)( x + a ) 2 16 − a 2 x2 + 2 x + 4 8 − x3 x2 − ( y − z )2 1 − ( x + y)2 o) p) q) x2 + 2 x − 8 ( x + z )2 − y 2 1+ x + y (a + x) 2 − 9 2ab + a 2 + b 2 − c 2 r) s) a+ x+3 2bc − b 2 − c 2 + a 2 3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique: a −1 a + 1 a2 + 1 n + 1 n2 − n a) + − b) − a + 1 a −1 a2 −1 m mn − m 4a − 6b 1 4 xy x+ y c) 2 2 + d) 2 2 − +2 a −b a −b x − 2 xy + y x− y 2 x −1 x2 − 6x + 9 x 2 − x ( x − 1) 2 e) 2 − 2 f) − 2 x − 2x + 1 x − 4x + 3 x −1 x −1 a 2 − a ( a − b) 2 1 1 g) − h) + ab − b a 2 − b 2 a + ab ab + b 2 2 a a 2a 2 4a 2b 2  x 3 − 4 x 3 x − 6   2a + 3 4 x 2 − 6 x  i) + + + j)  ÷ − ⋅  a − b a + b a 2 + b2 a 4 − b4  x+2 2   4 x 12 a + 18 
  • 7.  a − a2   a  2 y  y2 −1 y2 + 4 y + 3  k)  2  ÷ −a l) + ÷   a −1   a +1  y + 3  y −1 6  1 4) Se x, y e z são números reais tais que z= , então z é igual a : ( x + y −2 ) −1 −2 1 1 x2 + y2 x2 + y2 (a) (b) (c) x² + y² (d) (e) x+ y x + y2 2 xy x2 y2 2 5) Simplificando (x 3 ) − 4 − 16 , x ∈ » , obtém-se : x 2 + 2x + 4 (a) x³ (b) x + 3 4 (c) x - 3 4 (d) x 4 + 2x³ (e) x 4 - 2x³  a 2 + ab a 2 − ab  6) Simplificar a expressão  a 2 − b 2  ÷     ÷  , onde ab ≠ 0.   b 2 + ab b 2 − ab    x 3 −1 7) Sendo x = 4,8349, então é igual a : x 2 + x +1 (a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349 1+ a2 8) Simplifique a expressão algébrica . (1 − ax ) 2 + ( a + x ) 2 a +b 9) Dado que a e b são tais que a 2 + b 2 + 2ab = 10 e a 2 − b 2 = 5 , pode-se concluir que é igual a : a −b (a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32 2 x 2 − 8x + 8 10) O valor numérico para expressão para x = 98 é : 2x 2 − 8 (a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5 m n m + 1+  n 11) Simplificando a expressão m + n m − n + n 2 × 1 +  , com m ∈ » , n ∈ » , m ≠ ± n e m.n ≠ 0 , n m (m − n)  m  − 1+ m+n m−n 4mn 5(m + n) obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 3mn 1 1 3 − 3 12) Simplificando a expressão ( a 2b + ab 2 ) × a b , obtemos: 1 1 − a2 b2 (a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a x4 − y4 13) O valor de , para x = 111 e y = 112 é: x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 (a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214
  • 8. 4x + 8 3x − 3 14) O valor da expressão 2 + 2 , para x ≠ ±1 e x ≠ −2 , é equivalente a : x + 3x + 2 x − 1 15) A expressão (a − b )2 + c(a − b ) , a – b +c ≠ 0 é igual a : a−b+c (a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c 2 2 2 (a + b2 − c 2 ) − ( a2 − b2 + c2 ) 16) Simplifique a fração : . 4ab 2 + 4abc a +b a −b + ab3 − a 3b 17) (EPCAr) Simplificar : a − b a + b × 2 . a − b a + b a + b2 − a+b a −b x y z a b c x2 y 2 z 2 18) Prove que se + + =1 e + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1. a b c x y z a b c  x  y 19) Se x 2 + y 2 = 3 xy, calcule 1 + 1 +  .  y  x 2 2  ( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1) 2   ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2  20) Calcule o valor da expressão S =  ⋅  .  ( x3 − 1) 2   ( x3 + 1)2  2x y y2 − + 2 x + y y − x y − x2 21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que x 2 ≠ y 2 e y ≠ 2 x , a expressão −1 −1 ( x + y) + x ( x2 − y2 ) sempre poderá ser calculada em » se, e somente se, (a) x ≥ 0 e y ≥ 0 (b) x > 0 e y é qualquer (c) x é qualquer e y ≥ 0 (d) x ≥ 0 e y é qualquer −1 −1 a ≠ b , na expressão p= ( a + b )( 2a ) + a (b − a) . 22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, 2 −1 (a + b 2 )( ab 2 − ba 2 ) Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que p −1 está definida para todo (a) a ∈ » e b ∈ »* (b) a ∈ » e b ∈ »* + (c) a ∈ »* e b ∈ »* (d) a ∈ »* e b ∈ »* + 23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que a+b= x a − b = x −1 a≠b≠0 2 2 3 3 ( a + 2ab + b )( a − b ) 2 2 2 2 Y= ( a − b )( a + ab + b ) é O valor da expressão  a 2 − ab     2a  x2 (a) 2 (b) 2x 2 (c) x 2 (d) 2
  • 9. 1 1 1 a b c a b c 24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que ab + + = p, + + + + + =q e bc ac b a a c c b ab + ac + bc = r . O valor de q 2 + 6q é sempre igual a p2r 2 + 9 p2r 2 − 9 p p 2 r 2 − 10 (b) (c) p 2 r 2 − 9 (d) (e) p 2 r 2 − 12 p (a) 4 12 4r RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 1) Racionalize os denominadores: 3 30 7 3 2 2 a) b) c) d) e) f) 5 5+ 3 15 8− 2 5 7+ 3 3 7 2 5 4 g) h) i) 6 3 3 5 2 8+ 6 4− 3 2) Colocando-se a expressão − sob a forma a + b 3 , o valor de a+ b é igual a : 6 3 2 4 8 10 (a) (b) (c) 2 (d) (e) 3 3 3 3 3) Os valores de x e y que satisfazem a x y 1 + − =0 5− 2 6+ 2 6− 5 são tais que x+ y é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9 38 4) Racionalizando o denominador da fração obtemos: 3 3 −2 2 (a) 6 3 + 4 2 (b) 6 2 − 4 3 (c) 6 3 − 4 2 (d) 2 (e) 6 2 + 4 3 2+ 3 2− 3 2 5) Efetuando + obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) (e) 1 2− 3 2+ 3 3 2 6 6) A fração é igual a: 2+ 3+ 5 1 1 (a) 2 + 3 − 5 (b) 2 ( 2+ 5− 3 ) (c) 4 − 2 − 3 (d) 3 ( 3+ 5− 2 ) (e) 2 + 3 + 6 −5 3 1 a+3 b+3 c 7) Racionalizando-se o denominador de 3 obtemos uma expressão da forma . O valor de 15 − 3 7 d a + b + c + d é igual a: (a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389 Lembretes: