Este documento contiene instrucciones para una evaluación de álgebra con 67 preguntas. Las instrucciones indican que no se considerarán las respuestas sin resoluciones, que se anularán las preguntas objetivas con raspaduras y que la evaluación debe resolverse a mano con tinta azul o negra. Además, está prohibido el uso de calculadora y se descontarán errores ortográficos.

1. ALUNO:______________________________________________________________________________
TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br )
AULA DE ÁLGEBRA
Non Multa Sed Multum
Esse material contém 67 questões. Confira!
Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação:
Nota Final: _____________
• Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções.
• Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras.
• A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta.
• É extremamente proibido o uso de calculadora.
• Serão descontados erros ortográficos.
• Realizar o trabalho extremamente organizado.
Lembretes:
POLINÔMIOS
1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:
a) f ( x ) = 5x + 1 b) g ( x ) = x 2 + 10 x − 3 c) h ( x ) = 5 x + 10 x 3 − 8 x 2 + 1
d) q ( x ) = ( k − 2 ) x 4 + 10 x3 − 3x + 1 e) r ( x ) = ( k 2 − 4 ) x3 + ( k + 2 ) x2 − ( k − 2 )
f) s ( x ) = ( a − 1) x5 + ( b + 2 ) x3 + ( c − 3) x
2) Sabendo que p ( x ) = ( a − 4 ) x3 − ( b + 2 ) x 2 + ( 3c − 8 ) x − ( 5d − 125) é o polinômio nulo, determine o valor de
a+b+c+d .
3) Se f ( x ) = 5 x3 + 10 x 2 − 7 e g ( x ) = ax4 + ( b −1) x3 − ( c + 3) x2 + ( 4d +12) x + e são polinômios idênticos,
determine o valor de a + b + c + d + e .
4) Efetue:
a) (2b + 5c − 3a) − (−2a + b − 4c)
2 2 2 2
b) ( a − b ) − (3a − b )
2 2 2 2 2 2
c) (b + 2bc + c ) + (b − 2bc − c ) − (b − c )
2 2 2 3 2 2
d) (4 a b + 3ab − b ) + (2b − 4 a b − 4ab )
2 3 4 4 2 3
e) 1 − x + x − x − (1 − x + x + x )
1 2 1 2 5 3 1 2 1 3 1 2
f) mn + m n + m −  m n − m − mn 
4 3 6 6 4 3 
g) 5 xy + y − 3 xy − ( − y − xy ) 
2 2
 
h) 3a − (4b − c + 2b) − [ a − (2b − 4c + 3d ) ] − 5a

2. 2
5) Sejam os polinômios: A = a + 2ab + b2 ; B = a 2 − 2ab + b2 e C = a 2 − b2 .
Determine : a) A + B + C b) A − ( B + C) c) A − ( B − C)
6) Efetue os produtos abaixo:
2 2
a) ab.( a − b )
2 2
b) 3 xy.( x y − xy )
2 2 2
c) −2 a b.(3a − 7b )
4
d) 10a 2b 2 .(−3a 2b + a 2b 2 )
5
m −1
e) 2 x.(5ax + 3bx − 8)
m
3 3
f) (2 x + 3)(2 x − 3)
2 2
g) (3a + 1)(3a − 2)
6 3 3
h) ( x + 3 x + 9)( x − 3)
6 4 4 2 8 12 2 4
i) (27 a − 9a b + 3a b − b )(3a + b )
4 4 3 3 2 2
j) ( − x − y + x y + xy − x y )( − x − y )
k) (a + b − c)(a − b + c)
2 2 2 2
l) ( x + y + xy )( x + y − xy )
m) (a + b − c)(a + b) + (a − b + c)(a + c) + (b + c − a)(b + c)
2 2 2
n) a (b − c ) + b (c − a ) + c ( a − b) + ( a − b )(b − c )(c − a )
7) Efetue as seguintes divisões :
6 4 3 2 2
a) ( x − x − 2 x + x + 2 x − 1) ÷ ( x − 1)
4 2 2
b) (4 x − 13 x + 12 x − 3) ÷ (2 x − 3 x + 1)
5 4 3 2 2
c) (15a − a − 4 a + 5a − a ) ÷ (5a + 3a − 1)
3 2
d) (2 a − 3a + a + 30) ÷ ( a + 2)
4 3 2 2
e) ( x − 5 x + 8 x − 5 x + 1) ÷ ( x − 2 x + 1)
4 3 2
(
f) x − 5 x + 2 x + 3 x − 1 ÷ ( x − 2) )
3
g) ( 2 x − x 2 − 1) ÷ (x-1)
5
h) ( 4 x − 5 x 4 + 1) ÷ (x-1)
5 4 3 2
i) ( x − 2 x − x + 3 x + x − 4) ÷ (2 x − 4)
3
j) (x + 2 x 2 − 5 ) ÷ (3x+6)
3 2
8) O valor de n para que a divisão do polinômio p ( x ) = 2 x + 5 x + x + 17 por
d ( x ) = 2 x 2 + nx + 4 tenha resto igual a 5 é um número
(a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.
9) Considere o polinômio p( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 5 . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).
10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:
2
a) P ( x ) = 3 x + 9x + 6
2
b) P ( x ) = 2 x + 3 x − 2
c) P ( x ) = x3 − 6 x 2 − x + 30
3 2
d) P ( x ) = 2 x − x − 2 x + 1
4 3 2
e) P ( x ) = x + x − 7 x − x + 6

3. PRODUTOS NOTÁVEIS
1) Se x + y = 3 e xy = 7 , então x 2 + y 2 é igual a :
(a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 9
2) Se 2 x + 2 − x = a , dar o valor de 8 x + 8 − x .
3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de a 7 + b7
4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual :
(a) à diferença dos quadrados dos dois números.
(b) à soma dos quadrados dos dois números.
(c) à diferença dos dois números.
(d) ao dobro do produto dos números.
(e) ao quádruplo do produto dos números.
3
5) Para que o polinômio f ( x ) = x 3 − 6x 2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f ( x ) = ( x + b ) , os
valores de m e n devem ser, respectivamente:
(a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27
a2 b2
6) Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3 , determine + +2.
b2 a 2
7) Se
a + b = 1 e a 2 + b2 = 2 então a 3 + b3 é igual a:
(a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2
FATORAÇÃO
1) Fatore pondo em evidência o fator comum:
a) ax + ay b) 15x2 − 5x
c) 6a2b + 3ab2 3 2
d) 8 x y − 4 x y
2 3
3 2
e) 15a x y − 30 a xy + 45a x y
2 3 4 3 4
f) 18a2b3c4 + 36ab4c5 − 54a3b2c
4 5
g) 33 x y − 22 x y + 11xy
3 6
h) x(a + 1) + y(a + 1) + z(a + 1)
i) x(a + b + c) + y(a + b + c) + z(a + b + c) j) x(a −1) + y(a −1) + z ( a −1)
2) Fatore por agrupamento:
2
a) ax + bx + ay + by b) 2 x − 3 xy − 4 x + 6 y
c) mx + 5 y + xy + 5m d) ab − ac + b2 − bc
e) x3 + x2 − x −1 f) 3x3 − 9ax2 − x + 3a
3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2 + 10x + 25 2
b) 4 x − 20 xy + 25 y
2
4
c) y + 2 y + 1
2
d) a2 x2 − 2ax + 1
2 y2 6 3 2
e) x + xy + f) x + 6 x y + 9 y
4
4 2
g) 4 x − 24 x y + 36 y
2
h) a2 −16a + 64
4 2 4 x 2 2 xy y 2
i) y − 6 y + 9 j) − +
9 3 4

4. 4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:
a) m2 − n2 b) 25 x − 9 y
2 2
4
c) 16 x − 25 y
2
d) 1 − x2
2
e) 4 x y − 9a
6 8
f) a 2 n − b2 n
4n 2 10
g) x − 64 y h) x − 4 y2
6m 2n x2
i) 16 x −y j) 1 −
9
k) a2 − x2 + 2 xy − y 2 l) (a2 − b2 −1)2 − (a2 − b2 + 1)2
5) Fatore os seguintes trinômios da forma x2 + ( b + c ) x + bc :
a) x2 + 10x + 16 b) x2 −10x + 16
2
c) x + 6 x −16 d) x2 − 6 x −16
2
e) x − x − 6
2
f) y − 6 y + 5
2
g) a + a − 30 h) x2 + x − 2
4 2
i) x − 5x − 50
4 2
j) a − 5a + 4
6) Fatore os seguintes cubos de um binômio:
a) x6 + 3x4 + 3x2 + 1 6
b) x − 9 x y + 27 x y − 27 y
4 2 2 3
c) a9 + 3a6 + 3a3 + 1 3
d) 8 x − 12 x y + 6 xy − y
2 2 4 6
e) x3n + 3x2n + 3xn + 1 3
f) 64 x + 48 x y + 12 xy + y
2 2 3
7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:
a) a6 − b6 b) 8x + y
3 3
c) 1 − 8 y
3
d) x3 −1
e) x3 + 1 f) 27 − x3
g) a3 − (1 − a)3
1 1
8) Determine o valor de x6 + 6
sabendo que x + = 1 .
x x
9) Um dos fatores de a 4 + 6a² + 8 é :
(a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) a 4 + 2 (e) a 4 -2
10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se :
(a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a)
(d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a)
2 2
11) Fatorando ( a + b ) - 4c obtém-se :
(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 )
(d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c )
12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a :
(a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 12
13) Fatore as expressões : a) 8x 3 − y 3 b) ac +2bc - ad - 2bd
2 2
14) Qual das expressões abaixo é idêntica a a –b - a+b ?
(a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1)
(d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)

5. 15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é :
(a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 1
16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual
a:
(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 20
17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados
desses dois números é :
(a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 252
18) Fatore a expressão S = x 4 + x 2 + 1.
19) Fatore :
a) ( x 2 + x + 3)( x 2 + x + 4) − 12
b) x 4 + 4 y 4
c) (a + 2b − 3c)3 + (b + 2c − 3a )3 + (c + 2a − 3b)3
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1) Efetue:
4x 2 y 15 x 3 y 2 5 x 2 y 4
a) ⋅ b) ÷
y 8x 4a 2 b 2 2ab3
2( x + 2) x+2 ( m − n ) 2 m( m − n )
c) ÷ d) ÷
x−2 ( x + 1)( x − 2) m+n m+n
x + 2 x +1 x + 1 3x + 1
e) − f) −
2 2 2 4
3x + 5 2 x − 9 x+2
g) − h) − ( x + 1)
2 3 2
x − y 2x + y y − 4x 2x + 3 x − 2
i) + + j) −
12 15 30 4x 8x
2x x −1 x y
k) − l) +
x +1 x +1 x− y y−x
1 1 1 1
m) + n) −
x +1 x −1 x+h x
b a 1 1
o) − p) +
2a 4b a ( a + b) b( a + b)
2 3 4x − 2 1 1 2x
q) + − r) + +
x − 1 x + 1 ( x + 1)( x − 1) 1 + x 1 − x ( x + 1)( x − 1)
1 3 3
s) − +
( x + 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 1)
1+ x 1 1
−
t) 2x u) x a
1 x−a
+1
x

6. a −1
1−
 a −b   a +b  a +1
v) 1 + ÷ − 1 w)
 a +b   a −b  1 1
−
a + 1 a −1
x x 2( x + 5)
− x+5+
x) x −1 x +1 y) x +1
x x 2
+ 1+
x −1 x +1 x +1
Simplifique as seguintes frações algébricas:
2)
x + x2 5a − 5b a 3 + 3a 2
a) b) c)
y + yx 2a 2 − 2b 2 a2 − 9
x2 −1 ( a − b) 2 a 2 − 2a + 1
d) e) f)
x +1 a2 − b2 a2 −1
x 4 − 16 a3 − 1 x2 − 6 x + 9
g) 2 h) 2 i) 2
x −4 a + 2a − 3 x − 4x + 3
x 2 − x − 20 ( x 2 − x − 6)( x 2 + x − 20)
j) 2 k)
x − 7 x + 10 ( x 2 + 2 x − 15)( x 2 + 6 x + 8)
4
(x − a4
)( x + a) a 2 − a − 12 8 − x3
l) m) n)
2
( x − a)( x + a ) 2
16 − a 2 x2 + 2 x + 4
8 − x3 x2 − ( y − z )2 1 − ( x + y)2
o) p) q)
x2 + 2 x − 8 ( x + z )2 − y 2 1+ x + y
(a + x) 2 − 9 2ab + a 2 + b 2 − c 2
r) s)
a+ x+3 2bc − b 2 − c 2 + a 2
3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique:
a −1 a + 1 a2 + 1 n + 1 n2 − n
a) + − b) −
a + 1 a −1 a2 −1 m mn − m
4a − 6b 1 4 xy x+ y
c) 2 2
+ d) 2 2
− +2
a −b a −b x − 2 xy + y x− y
2
x −1 x2 − 6x + 9 x 2 − x ( x − 1) 2
e) 2 − 2 f) − 2
x − 2x + 1 x − 4x + 3 x −1 x −1
a 2 − a ( a − b) 2 1 1
g) − h) +
ab − b a 2 − b 2 a + ab ab + b 2
2
a a 2a 2 4a 2b 2  x 3 − 4 x 3 x − 6   2a + 3 4 x 2 − 6 x 
i) + + + j)  ÷ − ⋅ 
a − b a + b a 2 + b2 a 4 − b4  x+2 2   4 x 12 a + 18 

7.  a − a2   a  2 y  y2 −1 y2 + 4 y + 3 
k)  2  ÷ −a l) + ÷ 
 a −1   a +1  y + 3  y −1 6 
1
4) Se x, y e z são números reais tais que z= , então z é igual a :
( x + y −2 ) −1
−2
1 1 x2 + y2 x2 + y2
(a) (b) (c) x² + y² (d) (e)
x+ y x + y2
2
xy x2 y2
2
5) Simplificando
(x 3
)
− 4 − 16
, x ∈ » , obtém-se :
x 2 + 2x + 4
(a) x³ (b) x + 3
4 (c) x - 3
4 (d) x 4 + 2x³ (e) x 4 - 2x³
 a 2 + ab a 2 − ab 
6) Simplificar a expressão  a 2 − b 2  ÷ 
   ÷  , onde ab ≠ 0.
  b 2 + ab b 2 − ab 
 
x 3 −1
7) Sendo x = 4,8349, então é igual a :
x 2 + x +1
(a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349
1+ a2
8) Simplifique a expressão algébrica .
(1 − ax ) 2 + ( a + x ) 2
a +b
9) Dado que a e b são tais que a 2 + b 2 + 2ab = 10 e a 2 − b 2 = 5 , pode-se concluir que é igual a :
a −b
(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32
2 x 2 − 8x + 8
10) O valor numérico para expressão para x = 98 é :
2x 2 − 8
(a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5
m n m
+ 1+
 n
11) Simplificando a expressão m + n m − n + n
2
× 1 +  , com m ∈ » , n ∈ » , m ≠ ± n e m.n ≠ 0 ,
n m (m − n)  m 
− 1+
m+n m−n 4mn
5(m + n)
obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e)
3mn
1 1
3
− 3
12) Simplificando a expressão ( a 2b + ab 2 ) × a b , obtemos:
1 1
−
a2 b2
(a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a
x4 − y4
13) O valor de , para x = 111 e y = 112 é:
x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3
(a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214

8. 4x + 8 3x − 3
14) O valor da expressão 2
+ 2 , para x ≠ ±1 e x ≠ −2 , é equivalente a :
x + 3x + 2 x − 1
15) A expressão
(a − b )2 + c(a − b ) , a – b +c ≠ 0 é igual a :
a−b+c
(a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c
2 2 2
(a + b2 − c 2 ) − ( a2 − b2 + c2 )
16) Simplifique a fração : .
4ab 2 + 4abc
a +b a −b
+
ab3 − a 3b
17) (EPCAr) Simplificar : a − b a + b × 2 .
a − b a + b a + b2
−
a+b a −b
x y z a b c x2 y 2 z 2
18) Prove que se + + =1 e + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1.
a b c x y z a b c
 x  y
19) Se x 2 + y 2 = 3 xy, calcule 1 + 1 +  .
 y  x
2 2
 ( x + 1) 2 ( x 2 − x + 1) 2   ( x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) 2 
20) Calcule o valor da expressão S =  ⋅  .
 ( x3 − 1) 2   ( x3 + 1)2 
2x y y2
− + 2
x + y y − x y − x2
21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que
x 2 ≠ y 2 e y ≠ 2 x , a expressão −1 −1
( x + y) + x ( x2 − y2 )
sempre poderá ser calculada em » se, e somente se,
(a) x ≥ 0 e y ≥ 0 (b) x > 0 e y é qualquer (c) x é qualquer e y ≥ 0 (d) x ≥ 0 e y é qualquer
−1 −1
a ≠ b , na expressão p=
( a + b )( 2a ) + a (b − a)
.
22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, 2 −1
(a + b 2 )( ab 2 − ba 2 )
Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que p −1 está definida para todo
(a)
a ∈ » e b ∈ »* (b) a ∈ » e b ∈ »*
+ (c) a ∈ »* e b ∈ »* (d) a ∈ »* e b ∈ »*
+
23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que
a+b= x
a − b = x −1
a≠b≠0
2 2 3 3
( a + 2ab + b )( a − b )
2 2 2 2
Y=
( a − b )( a + ab + b ) é
O valor da expressão  a 2 − ab 
 
 2a 
x2
(a) 2 (b) 2x 2 (c) x 2 (d)
2

9. 1 1 1 a b c a b c
24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que ab
+ + = p, + + + + + =q e
bc ac b a a c c b
ab + ac + bc = r . O valor de q 2 + 6q é sempre igual a
p2r 2 + 9 p2r 2 − 9 p p 2 r 2 − 10
(b) (c) p 2 r 2 − 9 (d) (e) p 2 r 2 − 12 p
(a) 4 12 4r
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
1) Racionalize os denominadores:
3 30 7 3 2 2
a) b) c) d) e) f)
5
5+ 3 15 8− 2 5 7+ 3 3
7 2 5 4
g) h) i)
6 3
3 5 2
8+ 6 4− 3
2) Colocando-se a expressão − sob a forma a + b 3 , o valor de a+ b é igual a :
6 3
2 4 8 10
(a) (b) (c) 2 (d) (e)
3 3 3 3
3) Os valores de x e y que satisfazem a
x y 1
+ − =0
5− 2 6+ 2 6− 5
são tais que x+ y é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9
38
4) Racionalizando o denominador da fração obtemos:
3 3 −2 2
(a) 6 3 + 4 2 (b) 6 2 − 4 3 (c) 6 3 − 4 2 (d) 2 (e) 6 2 + 4 3
2+ 3 2− 3 2
5) Efetuando + obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) (e) 1
2− 3 2+ 3 3
2 6
6) A fração é igual a:
2+ 3+ 5
1 1
(a) 2 + 3 − 5 (b)
2
( 2+ 5− 3 ) (c) 4 − 2 − 3 (d)
3
( 3+ 5− 2 ) (e) 2 + 3 + 6 −5
3
1 a+3 b+3 c
7) Racionalizando-se o denominador de 3
obtemos uma expressão da forma . O valor de
15 − 3 7 d
a + b + c + d é igual a:
(a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389
Lembretes: