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TALLER INTRODUCTORIO


  1. En los problemas 1 – 4 determine si la proposición es verdadera o falsa.

         a) Si ( x − 1)( x + 2) = 0 , entonces      x −1= 0      y   x+2=0

         b) Todo número Ζ             es Q

         c) Si 2a + b = 0        y a − b = 0, se sigue que: 2a + b = a − b

         d) − ( 3 x − y ) = y − 3 x

  2. Clasifique cada uno de los números siguientes en el conjunto numérico al
     cual pertenece.

         a) − 2 5

         b)    10

         c) 2.07 15.8


         d) 8 2

                  −
         e) 0.5 8

         f) 0.585885888......

  3. Exprese cada uno de los siguientes números como un decimal periódico.

         a) 13


         b) 7 8


         c) 1 6


  4. Cual es el inverso multiplicativo de − 2 3 .
  5. Escriba en sus propias palabras la propiedad ilustrada por cada uno de las
     siguientes proposiciones.

         a) x = y ⇒ x + 5 = y + 5 .

         b) 2 x + 3 = 10 ⇒ ( 2 x + 3) + ( − 3) = 10 + ( − 3) .
x 3        x 3
       c)    + = 8 ⇒ 2 +  = 2.8 .
            2 2        2 2

       d) 3 x = 12 ⇒ x = 4 .

6. Escriba la definición de número complejo

7. Resuelva para x             e       y:   x + yi = 5 − 3i .

8. Efectué las operaciones sobre números complejos que se indican.

       a)   ( 4 − i ) + ( 7 + 6i ) .

       b)   ( 3 + 2i )(14 − 3i ) .
             i
       c)       .
            i−5

       d)   ( 5 − 8i ) − ( − 3 + 2i )
9. Determine si la proposición es verdadera o falsa.

       a) Ν ⊆ Ζ

       b) Ν ⊆ Q *

       c) Ζ ⊆ R .

       d) Q * ⊆ Q .

       e) Q ⊆ Q * .

       f) Q ⊆ C .

10. Utilice un diagrama de Venn para ilustrar la relación entre los conjuntos de
    los números N, Z, Q, Q*, R.

11. Escriba el número racional en forma de decimal periódico.
       a) 1 6 .


       b) − 3 4 .


       c) 2 7 .
d) − 16 7

12. Diga si el entero positivo dado es primo o compuesto. Si el número es
    compuesto, de su factorización en primos.

       a) 17 .

       b) 147 .

       c) 101 .

       d) 1097 .

       e) 253 .

13. ¿Es siempre racional la suma de dos números racionales? Explique.

14. ¿Es siempre irracional la suma de dos números Q*? explique.

15. Factorice cada uno de los siguientes polinomios en Re :

       a) x 3 + 10 x 2 + 25 x

       b) x 2 − 4 x − 45

       c) x 2 − 3 x − 40

       d) 6 x 2 − 17 x + 10

       e) x 4 − 10 x 2 + 16

       f) 9 x 2 + 24 x + 15

       g) 4 x 2 − 1

       h) 2 x 3 − 3x

       i)   x3 − 3

       j)   x 4 − 16

16. Determine cuáles de las siguientes igualdades se cumplen para todos los
    reales a, b, c

                   ?
       i) a − b − c a − (b − c)
                   =
?
       ii) (a + b) ÷ c a ÷ c + b ÷ c
                      =

                            ?
       iii) a ÷ ( b + c )     ( a ÷ c) + ( a ÷ c)
                            =

                            ?
       iv) a ÷ ( b ÷ c )      ( a ÷ b) ÷ c
                            =


17. Simplificar.

              x −1      x
       a)          − 2
              x − 2 x − 4x + 4

                5 − 2x     x + 8 x + 16 
                              2
          
       b)  2              
                                        
                                          
           2 x + 3x − 20      2x       

                  x         x −1        1
       c)               − 2         − 2
              x + 5x + 4 x + 2 x + 1 x + 4 x
               2




           x 2 + 5 x  x 2 − 2 x − 24 
       d)  2
           x − 16  x 2 − x − 30 
                                      
                                     

                2x      1    1
       e)            +     +
              x −y
               2   2
                       x+ y y−x

           x 3 − 125               7x          
       f)  3
           2 x − 10 x 2        3
                                x + 5 x 2 + 25 x 
                                               

18. Divida.

       a) 3 x 3 + 6 x 2 + x + 5          entre x 2 + 2 x − 1

       b) 3x 4 + 2 x 3 − x 2 − x − 6            entre x 2 + 1

       c) 3x 3 − 4 x − 8           entre x 2 − 2 x + 2

19. Cuales de las siguientes expresiones son polinomios.

                   1 2
       a) x +        x −3
           3

                   7

       b) x 5 + x −2 + 8
c) 3 x 4 − 2 x − 0.6 .

20. Si P( x ) = 4 x 10 − 3 x 9 + 5 x 4 − 3 x 2 + x − 9 y
    Q( x ) = x 5 + 2 x 4 − x 3 + 10 x 2 − 8 x + 2 . efectuar las siguientes operaciones.

        a) P( x ) + Q( x ) .

        b) Q( x ) − P ( x ) .

        c) P( x ) ÷ Q( x ) .

             Q( x )
        d)
             P( x )

        e) P( x ) • Q( x )

        f) 3P ( x ) • [ P( x ) − 2Q( x ) ]

21. En los siguientes ejercicios, indique la propiedad del sistema de los números
    R que justifica cada paso.

                          7                7
        a) − 8 +  2 +       = ( − 8 + 2) +
                          8                8

        b) 5 + [ 3 + ( − 1) ] = 5 + [ − 1 + 3] .

             1 2 1 2                1 1
        c)    • + = +                •
             2 3 6 3                6 2

            7  3  11   7   3  11 
        d)     =     
            9  11  3   9   11  3 

            1  25  1
        e)    =
            4  25  4

        f) 2 x + 1 = −8 x + 21

                 2 x + 1 = −8 x + ( 20 + 1)

                 2 x + 1 = ( − 8 x + 20 ) + 1

                 2 x = −8 x + 20

                 2 x = [ 2 + ( − 10 ) ] x + 20
   2 x = 2 x + ( − 10 x ) + 20

   0 = −10 x + 20

   0 + ( − 20 ) = ( − 10 x + 20) + ( − 20)

   − 20 = −10 x + 20 + ( − 20 )

   − 20 = −10 x + [ 20 + ( − 20) ]

   − 20 = −10 x + 0 .

   − 20 = −10 x

   2( − 10 ) = −10 x

   2=x

   x=2

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Taller numeros reales

  • 1. TALLER INTRODUCTORIO 1. En los problemas 1 – 4 determine si la proposición es verdadera o falsa. a) Si ( x − 1)( x + 2) = 0 , entonces x −1= 0 y x+2=0 b) Todo número Ζ es Q c) Si 2a + b = 0 y a − b = 0, se sigue que: 2a + b = a − b d) − ( 3 x − y ) = y − 3 x 2. Clasifique cada uno de los números siguientes en el conjunto numérico al cual pertenece. a) − 2 5 b) 10 c) 2.07 15.8 d) 8 2 − e) 0.5 8 f) 0.585885888...... 3. Exprese cada uno de los siguientes números como un decimal periódico. a) 13 b) 7 8 c) 1 6 4. Cual es el inverso multiplicativo de − 2 3 . 5. Escriba en sus propias palabras la propiedad ilustrada por cada uno de las siguientes proposiciones. a) x = y ⇒ x + 5 = y + 5 . b) 2 x + 3 = 10 ⇒ ( 2 x + 3) + ( − 3) = 10 + ( − 3) .
  • 2. x 3  x 3 c) + = 8 ⇒ 2 +  = 2.8 . 2 2  2 2 d) 3 x = 12 ⇒ x = 4 . 6. Escriba la definición de número complejo 7. Resuelva para x e y: x + yi = 5 − 3i . 8. Efectué las operaciones sobre números complejos que se indican. a) ( 4 − i ) + ( 7 + 6i ) . b) ( 3 + 2i )(14 − 3i ) . i c) . i−5 d) ( 5 − 8i ) − ( − 3 + 2i ) 9. Determine si la proposición es verdadera o falsa. a) Ν ⊆ Ζ b) Ν ⊆ Q * c) Ζ ⊆ R . d) Q * ⊆ Q . e) Q ⊆ Q * . f) Q ⊆ C . 10. Utilice un diagrama de Venn para ilustrar la relación entre los conjuntos de los números N, Z, Q, Q*, R. 11. Escriba el número racional en forma de decimal periódico. a) 1 6 . b) − 3 4 . c) 2 7 .
  • 3. d) − 16 7 12. Diga si el entero positivo dado es primo o compuesto. Si el número es compuesto, de su factorización en primos. a) 17 . b) 147 . c) 101 . d) 1097 . e) 253 . 13. ¿Es siempre racional la suma de dos números racionales? Explique. 14. ¿Es siempre irracional la suma de dos números Q*? explique. 15. Factorice cada uno de los siguientes polinomios en Re : a) x 3 + 10 x 2 + 25 x b) x 2 − 4 x − 45 c) x 2 − 3 x − 40 d) 6 x 2 − 17 x + 10 e) x 4 − 10 x 2 + 16 f) 9 x 2 + 24 x + 15 g) 4 x 2 − 1 h) 2 x 3 − 3x i) x3 − 3 j) x 4 − 16 16. Determine cuáles de las siguientes igualdades se cumplen para todos los reales a, b, c ? i) a − b − c a − (b − c) =
  • 4. ? ii) (a + b) ÷ c a ÷ c + b ÷ c = ? iii) a ÷ ( b + c ) ( a ÷ c) + ( a ÷ c) = ? iv) a ÷ ( b ÷ c ) ( a ÷ b) ÷ c = 17. Simplificar. x −1 x a) − 2 x − 2 x − 4x + 4 5 − 2x  x + 8 x + 16  2  b)  2      2 x + 3x − 20  2x  x x −1 1 c) − 2 − 2 x + 5x + 4 x + 2 x + 1 x + 4 x 2  x 2 + 5 x  x 2 − 2 x − 24  d)  2  x − 16  x 2 − x − 30       2x 1 1 e) + + x −y 2 2 x+ y y−x  x 3 − 125  7x  f)  3  2 x − 10 x 2  3  x + 5 x 2 + 25 x     18. Divida. a) 3 x 3 + 6 x 2 + x + 5 entre x 2 + 2 x − 1 b) 3x 4 + 2 x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1 c) 3x 3 − 4 x − 8 entre x 2 − 2 x + 2 19. Cuales de las siguientes expresiones son polinomios. 1 2 a) x + x −3 3 7 b) x 5 + x −2 + 8
  • 5. c) 3 x 4 − 2 x − 0.6 . 20. Si P( x ) = 4 x 10 − 3 x 9 + 5 x 4 − 3 x 2 + x − 9 y Q( x ) = x 5 + 2 x 4 − x 3 + 10 x 2 − 8 x + 2 . efectuar las siguientes operaciones. a) P( x ) + Q( x ) . b) Q( x ) − P ( x ) . c) P( x ) ÷ Q( x ) . Q( x ) d) P( x ) e) P( x ) • Q( x ) f) 3P ( x ) • [ P( x ) − 2Q( x ) ] 21. En los siguientes ejercicios, indique la propiedad del sistema de los números R que justifica cada paso.  7 7 a) − 8 +  2 +  = ( − 8 + 2) +  8 8 b) 5 + [ 3 + ( − 1) ] = 5 + [ − 1 + 3] . 1 2 1 2 1 1 c) • + = + • 2 3 6 3 6 2  7  3  11   7   3  11  d)     =       9  11  3   9   11  3   1  25  1 e)    =  4  25  4 f) 2 x + 1 = −8 x + 21  2 x + 1 = −8 x + ( 20 + 1)  2 x + 1 = ( − 8 x + 20 ) + 1  2 x = −8 x + 20  2 x = [ 2 + ( − 10 ) ] x + 20
  • 6. 2 x = 2 x + ( − 10 x ) + 20  0 = −10 x + 20  0 + ( − 20 ) = ( − 10 x + 20) + ( − 20)  − 20 = −10 x + 20 + ( − 20 )  − 20 = −10 x + [ 20 + ( − 20) ]  − 20 = −10 x + 0 .  − 20 = −10 x  2( − 10 ) = −10 x  2=x  x=2