Este documento explica cómo resolver integrales mediante fracciones parciales e identidades trigonométricas. Presenta ejemplos de integrales que involucran factores cuadráticos, funciones trigonométricas y raíces cuadradas, y muestra los pasos para descomponerlas y encontrar la solución utilizando sustituciones y propiedades de las funciones.

1. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
Fracciones Parciales
Factores cuadráticos:
En caso de enfrentarnos a integrales de la siguiente forma:
∫
Podemos expresar la función de la siguiente manera:
Buscamos el mínimo común múltiplo que en este caso es , y nos queda:
Ahora hay que buscar los factores comunes e igualar los términos semejantes. En caso de que un
factor lineal este repetido, se debe usar ese factor tantas veces como se repita.
Buscamos el mínimo común múltiplo que en este caso es , y nos
queda:
Ahora igual que en el caso anterior se igualan los términos generales y podemos obtener las
fracciones parciales que nos facilitaran la integración. En caso de ser tendremos n
fracciones con .
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
a) Resolver
∫
Ahora usamos fracciones parciales para descomponer la integral:
Multiplicamos todo por y obtenemos:
Igualamos los términos que acompañan a las x correspondientes:
Extraemos que entonces la expresión nos queda de la siguiente
manera:
Por lo tanto la integral nos queda:
∫ ∫( )
∫ ∫
Ambas integrales se resuelven por una sustitución evidente, dando como resultado:
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

3. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
Integrales Trigonométricas
b) Resolver
∫
Para resolver este tipo de integrales, recordamos la identidad:
Entonces la integral nos quedaría expresada cómo:
∫ ∫
Sabemos que , entonces separando la integral, obtenemos:
∫ ∫ ∫
Ambas integrales son de sustituciones básicas, el resultado es:
∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

4. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
c) Resolver
∫ √
Primero expresamos la integral de otra manera para notar la sustitución fácilmente:
∫ √ ∫ √
Ahora usamos la identidad
∫ √ ∫ √
Realizamos la siguiente sustitución , y la integral queda expresada por:
∫ √ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ √
d) Resolver
∫
Primero cambiamos , entonces la integral nos queda:
∫ ∫ ∫
Para ambas integrales usamos la sustitución , entonces la integral
queda expresada de la siguiente forma:
∫ ∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

5. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
e) Resolver
∫
Primero desarrollamos el cuadrado de binomio, obteniendo:
∫
Usamos las siguientes identidades y separamos la integral:
∫( )( ) ∫ ∫( )
∫ ∫ ∫( )
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Las dos integrales se resuelve directamente con una sustitución simple, la primera con , y la
segunda integral haciendo la sustitución , quedando como resultado:
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6. Cálculo II
Ayudantía 05/ Integración por fracciones parciales e identidades trigonométricas
f) Resolver
∫
Primero expresamos la integral haciendo la identidad
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Para resolver la primera integral, hacemos la sustitución
∫ ∫
∫
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca