Este documento explica el método de integración por partes, el cual permite calcular integrales de funciones que sean el producto de funciones trascendentes y polinomios. Presenta la fórmula de integración por partes y resuelve varios ejemplos aplicando este método.

1. Integración por partes
Calculo
Gustavo Adolfo Hernández Castillo

2. Descripción
El método de integración por partes es uno de los tantos métodos que se utilizan
para la resolución de integrales. A diferencia de otros métodos como sustitución o
fracciones parciales en donde casi todo el procedimiento es analítico, en
integración por partes usaremos una formula (que más adelante diremos)
¿Cuándo usar Integración por Partes?
No hay una regla específica para cualquier método (incluyendo el de partes), mas
sin embargo, la guía para poder identificar las funciones que se pueden integrar
por este método es la siguiente
1. Funciones que tengan un producto de funciones trascendentes (logaritmos,
senos, cosenos, exponenciales) con polinomios o monomios.
2. Funciones logarítmicas
3. Funciones trigonométricas inversas (arco seno, arco tangente etc.)
Formula de Integración por partes
Como hemos dicho anteriormente, la Integración por partes requiere el uso de una
formula, la cual es esta.
“Si tenemos el producto de funciones y , la integral resultante será igual al
producto de la función por la integral de la función menos la integral
resultante del producto de la integral de la función por la derivada de la función
Pasando esto a un lenguaje algebraico seria
∫ ∫
La fórmula parece “imposible” de recordar, mas sin embargo, existe una regla
mnemotécnica que hace la memorización de la fórmula más sencilla mediante un
verso el cual dice
“Un día vi una vaca menos la integral vestida de uniforme”
Además en el siguiente cuadro se dará una breve explicación de lo que significa
cada parte de la función:
Resolución de Ejercicios por el Método de Integración por
Partes.
En este apartado empezaremos a resolver algunos ejercicios por este método.
Significado de cada componente de la formula.
Es una función cualquiera
Es otra función cualquiera
Es la derivada de la función
Es la integral de la función

3. Ejemplo 1.
∫
Esta integral la resolveremos por partes y recordando la formula descrita
anteriormente que es esta
∫ ∫
Y el primer paso de la función será ver que expresión trabajara como y cual
como y para eso elegimos aquella que sea derivablemente mas sencilla como
y aquella que quede más sencilla al integrarla como (en este caso será y
será ) y con estos datos sacamos los demás componentes de la formula.
Y reemplazamos en la formula.
∫ ∫
Vemos que en el lado derecho nos queda una integral que tampoco es inmediata,
por lo que volvemos a aplicar integración por partes, haciendo la siguiente
elección.
Reemplazando en la formula nos queda
∫ ∫
La integral del lado derecho conmutamos factores y sacando el negativo de la
integral queda
∫ ∫
Y recordemos que la integral del lado izquierdo estaba al final del resultado de la
integral original y sustituyendo el equivalente que hemos obtenido nos queda.
[ ∫ ]

4. Haciendo propiedad distributiva nos queda.
∫ ∫
Hemos dejado sin integrar la integral de ∫ ya que vemos que es
idéntica a la del lado derecho (con la diferencia del signo negativo) y
aprovechando esto podemos pasar esa integral para el otro miembro sumando y
nos queda
∫ ∫
[∫ ]
Y pasando el 2 para el otro lado dividiendo nos queda finalmente.
∫
Y sumando la constante de integración y queda
∫
Y esa sería la solución de la integral.
Ejemplo 2.
∫ ( )
Esta integral se puede resolver tanto por el método de Integración por Partes
como por Sustitución. En este caso la desarrollaremos la integral por Partes (ya
que es el método estudiado)
Haremos la siguiente elección
( )
( )
Y reemplazamos en la formula todos los datos
∫ ( )
( )
∫
( )

5. Resolvemos la integral del lado derecho sacando el 5 de la integral y resolviendo
lo de adentro de la integral queda
∫ ( )
( )
[
( )
]
Haciendo las operaciones y sumando la constante de integración nos queda.
∫ ( )
( ) ( )
Y este es el resultado de nuestra integral.
Ejemplo 3.
∫
Antes de aplicar Integración por partes, aplicaremos una identidad trigonométrica
la cual dice que
( )
Y sustituyendo en la expresión nos queda
∫ ( ( ))
Como el multiplica a toda la integral, lo podemos sacar fuera y nos queda
∫ ( )
Hacemos propiedad distributiva en el integrando y nos queda.
∫
Separamos en 2 integrales y queda
∫ ∫
La segunda integral ya es inmediata, sin embargo la primera la haremos por
integración por partes.

6. ∫
Hacemos la siguiente elección
Reemplazando en la formula nos queda
∫ [ ∫ ]
Resolviendo la integral del lado derecho nos queda
∫ [ ]
Recordemos que esta era la 1° integral, resolveremos la 2° muy fácilmente (ya que
es inmediata.
∫ ( )
Sumamos los resultados obtenidos (reducimos el de la 2° integral haciendo
propiedad distributiva) y queda
Sumamos la constante de integración y nos queda finalmente
∫
Ejemplo 4.
∫
Hacemos la siguiente elección.
Reemplazamos en la formula y nos queda.

7. ∫ ∫ ( )
Simplificando la integral del denominador y resolviéndola queda
∫
Sumamos la constante de integración y nos queda el resultado de la integral
∫
Ejemplo 5.
∫
Antes de integrar por partes haremos el siguiente arreglo al integrando
∫ ∫ ( ) ∫
Hacemos la siguiente elección
Sustituyendo en la formula nos queda
∫ ∫
Haciendo la integral del lado derecho nos queda
∫ ( )
∫
Sumamos la constante de integración, nos queda finalmente la respuesta
∫