Integración por partes y cambio de variable

1. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
a) Resolver
∫
Cómo el grado del denominador es el mismo que el numerador, realizamos algoritmo de
división de polinomios:
⁄
( )
Entonces podemos expresar la integral de la siguiente manera:
∫( ) ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
√ √
∫ ( )
( ( ) )
√
En caso que el numerador tenga mayor grado que el denominador, también debemos
recurrir al algoritmo de división de polinomios.
b) Resolver
∫
Realizamos el algoritmo de división:
⁄
Entonces podemos expresar la integral de la siguiente forma:
∫( ) ∫ ∫ ∫
Usamos la sustitución y , y obtenemos:
∫ ( ) ( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
Cuándo nos encontremos con una integral del tipo:
∫
La sustitución por excelencia es y ( ) ⇒ ( )
obteniendo lo siguiente:
| | | |
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
c) Resolver
∫
Usamos la sustitución y ⇒ obteniendo lo siguiente:
( )
∫ ∫
d) Resolver
( )
∫
( ( ))
Usamos la sustitución ( )y ( ( )) obteniendo lo siguiente:
∫ ∫ ( ( ))
Hay veces que la sustitución que usamos cambio de variable, para hacer aparecer términos
que nos permitan resolver la integral.
e) Resolver
∫
√
Usamos la sustitución ⇒ √ y obteniendo lo siguiente:
∫ ∫
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

3. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
Ahora usamos la sustitución y obteniendo lo siguiente:
∫ | | | | |√ |
Integración por partes
Al encontrarse con una integral que su desarrollo no sea inmediato ni que con una
sustitución podamos resolverla, el método de integración por partes nos podría servir para
resolver el problema, el método consta del siguiente teorema:
∫ ∫
Hay que tener en cuenta que ∫ tiene que ser más simple de integrar que ∫ (lo que
no significa que la expresión se más “bo i ” que ).
Recordar que para obtener se debe integrar , por eso antes de empezar a integrar por
partes es recomendable tener un buen manejo tanto en derivadas como en el método de
integración por cambio de variable.
Para obtener podemos usar un método conocido cómo ILATE, esto nos permite saber
cuál es más probable que sea nuestra , pero el método no siempre funciona:
Inversas trigonométricas
Logarítmicas
Algebraicas o polinomínales
Trigonométricas
Exponencial
f) Resolver
∫
Usamos los siguientes cambios de variable:
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4. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
y obtenemos:
∫ ∫ ( ∫ )
Ahora realizamos la sustitución y ⇒ y obtenemos:
( ∫ ) ( )
( ) ( )
g) Resolver
( )
∫
Usamos los siguientes cambios de variable:
( )
Obtenemos lo siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫
Existen ciertos casos donde el filtro ILATE no nos sirve directamente, por lo cuál hay que
realizar otros pasos antes de aplicarlo.
h) Resolver
∫ os( )
Si nos guiamos por ILATE, la función trigonométrica tiene prioridad sobre la exponencial,
por lo tanto el cambio de variable a realizar sería:
os( ) os( )
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5. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
Obteniendo lo siguiente:
os( ) os( )
∫ os( ) ∫
Claramente la integral obtenida es más complicada que la inicial (la función exponencial
esta elevada en un grado más), por lo tanto el camino que tomamos no es el ideal. Por lo
cuál hay que tener cuidado al usar ILATE, en este caso lo que nos molesta es porque no
tiene el mismo grado que el argumento del coseno, por lo tanto realizamos una sustitución.
∫ os( ) ∫ os( )
Usamos la sustitución y , y obtenemos:
∫ os( )
Ahora que el argumento de coseno y la función que la acompaña tienen el mismo grado,
podemos guiarnos por ILATE, siendo el cambio de variable el siguiente:
si ( ) os( )
∫ os( ) si ( ) ∫ si ( ) si ( ) os( ) si ( ) os( )
i) Resolver
∫ si √
Usamos la sustitución ⇒ √ y obteniendo lo siguiente:
∫ si ( ) ∫ si ( )
Usamos los siguientes cambios de variable:
os( ) si ( )
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6. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
Obteniendo lo siguiente:
∫ si ( ) ( os( ) ∫ os( ) ) os( ) si ( )
√ os(√ ) si (√ )
j) Resolver
( ( ))
∫
Primero separamos la integral usando las propiedades básicas:
( )
∫ ∫
Podríamos tentarnos en integrar por partes la primera integral, pero si recordamos que la
derivada de ( ) es , entonces podríamos obtener algo que nos permita facilitar el
cálculo de la integral. Usamos los siguientes cambios de variable en la segunda integral
obtenida:
( )
y obtenemos los siguiente:
∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫
y encontramos que tenemos la misma integral pero con signos opuestos, como la integral
es indefinida la podemos restar sin problemas:
∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
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7. Cálculo II
Ayudantía 03/ Integración por cambio de variable y por partes
k) Resolver
∫( )
Primero separamos la integral usando las propiedades básicas:
∫ ∫
Siempre que tengamos una integral de la forma ∫ , debemos realizar n
veces integración por partes para poder resolverla. Entonces no nos desgastamos
resolviendo las integrales por separado porque la primera alguna vez generara a la
segunda, y así nos ahorramos una integración. Realizamos el siguiente cambio de variable:
y obtenemos:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Realizamos el siguiente cambio de variable:
y obtenemos:
∫ ( ∫ )
( )
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca