Cálculo de áreas e integración númerica

1. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Existen distintos métodos de aproximar el valor de una integral, y en algunos casos es la
única manera de obtener un valor numérico para ciertas integrales a las cuáles no podemos
encontrarles solución.
Regla del rectángulo
Consiste en elegir un sub-intervalo donde es el número de rectángulos que
usaremos para aproximar, entre más rectángulos se utilicen mas exacta es la aproximación.
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ∑ ( )
Llamaremos a la expresión ∑ ( )
Podemos elegir distintos , puede ser un punto a la izquierda, uno a la derecha, o el punto
medio del sub-intervalo .
En caso de que elijamos el punto de la izquierda, queda de la siguiente forma:
( )
En caso de que elijamos el punto de la derecha, queda expresado por:
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca

2. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Por último en caso de que elijamos usar el punto medio, queda expresado por:
( )
En toda aproximación se comenten errores, en este caso al calcular el valor de una integral
por el método de los rectángulos con elección de punto medio el error se expresa de la
siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
a) Calcular por el la regla de los rectángulos la integral ∫ ( ) , con y las tres
maneras distintas de elegir los puntos, además estimar el error.
Primero calculamos , que será el mismo para los tres casos.
Ahora eligiendo los puntos de la izquierda, los puntos son los siguientes:
Lo más conveniente es colocar los en una tabla y calcular ( ), será más ordenado y tenemos
menos posibilidades de equivocarnos.
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
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3. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces podemos aproximar el valor de la integral por
∫ ( ) ∑ ( )
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Ahora eligiendo los puntos de la derecha, los puntos son los siguientes:
La tabla queda de la siguiente manera:
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Ahora eligiendo los el punto medio de cada sub-intervalo, los puntos son los siguientes:
La tabla queda de la siguiente manera:
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
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4. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Para calcular el error primero se debe calcular ( )para expresarlo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Entonces el error esta dado por:
| ( )|( )
| ( )|
( )
| ( )|
Finalmente:
|∫ ( ) |
Regla del trapecio
Al igual que en la regla del rectángulo debemos elegir un donde es el número de
trapecios que usaremos para aproximar, entre más trapecios se utilicen mas exacta es la
aproximación.
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5. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ∑ ( ))
Llamaremos a la expresión ( ( ) ( ) ∑ ( ))
En la regla del trapecio los quedan de la siguiente forma:
=b
El por la regla del trapecio se expresa de la siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
b) Calcular por el la regla del trapecio el valor de la integral ∫ ( ) , con y
además estimar el error.
Primero calculamos :
Entonces los puntos son los siguientes:
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6. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Al igual que en la regla del rectángulo es mejor colocar los en una tabla y calcular ( ):
( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
4 -12
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
( ( ) ( ) ∑ ( )) ( ( ) ∑ ( ))
( ( ) ( ( ) ( )))
Para calcular el error primero se debe calcular ( )para expresarlo:
( ) ( ) ( )
Entonces el error esta dado por:
| ( )|( )
| ( )|
( )
| ( )|
Finalmente:
|∫ ( ) |
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7. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Regla de Simpson
Al igual que en las reglas anteriores debemos elegir un donde debe ser un
número par, entre más grande sea el valor de , mejor es nuestra aproximación.
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Llamamos a ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Los quedan configurados igual que los de la regla del trapecio:
=b
El por la regla del trapecio se expresa de la siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
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8. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
c) Calcular por el la regla de Simpson de la integral ∫ ( ) , con .
Primero calculamos :
Entonces los puntos son los siguientes:
Construimos la tabla con y ( ):
( )
⁄ ( )
⁄ ( )
( )
⁄ ( )
⁄ ( )
1
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Como dato anexo, la integral anterior no se puede calcular por los métodos que conocemos, y
necesitan de un cálculo más avanzado.
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9. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Como hemos visto, la integral nos permite calcular el área que delimita la función que se
esta integrando con el eje de integración, pero también nos permite calcular el área que
encierran dos o más funciones.
Área encerrada por una curva respecto al eje x
En este caso para calcular el área debemos tener presente que el intervalo [a, b],
representa dos rectas, una es x=a y la otra x=b, entonces el área queda cerrada y es finita.
Entonces:
∫ ( )
En caso de que la curva se mueva por el III y IV cuadrante, la integral que obtenemos es
negativa, por lo tanto esa integral debemos multiplicarla por -1, para poder sumarla al área,
recordemos que en área no existen valores negativos.
d) Calcular el área encerrada por ( ) en el intervalo [ ] respecto al eje
de las x.
Primero hacer un análisis de la función para saber si en algún lugar esta toma valores negativos,
porque en esos casos debemos tratar de otra manera la integral en ese intervalo. Para saber buscamos
las raíces de la función en el intervalo de integración.
( ) ( )( ) ⇒
Dividimos el intervalo de integración en tres para este caso (en general se divide en 1+n, donde n es
el número de raíces (mayores a uno) únicas que posee la función), buscamos cualquier punto en esos
intervalos y evaluamos la función en ese punto para saber que signo toma la función en ese intervalo,
para ello usamos una tabla:
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10. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
( )
[ ]
[ ]
[ ]
Gracias a la tabla nos ahorramos realizar el gráfico de la función y sabemos que la integral tendrá
valores positivos en los intervalos[ ] y [ ], y valor negativo en el intervalo [ ], por lo tanto
podemos expresar el área como la suma de tres integrales (porque son 3 intervalos), la cuál nos queda
expresada:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
La segunda integral la sumamos con signo negativo, porque de la tabla se obtuvo que su valor es
negativo, entonces para poder sumarla al área debemos multiplicarla por -1, resolviendo por STFC,
obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) [ ]
Área encerrada por una curva respecto al eje y
Para este primero que todo debemos fijarnos que ya no trabajaremos con ( ), ahora como
es respecto al eje y usamos ( ), también los límites de integración cambiaran. Se realiza el
mismo análisis del signo de la integral, pero en este caso si la función ( ) se mueve por el II y
el III cuadrante, tiene un valor negativo.
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11. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces:
∫ ( )
e) Calcular el área encerrada por ( ) ( ) en [ ] respecto al eje y.
Como la curva a integrar esta en función a x, lo primero que hay que realizar es dejarla en función a
y, además calcular el nuevo intervalo.
( )⇒ ⇒ ⇒ ( )
Ahora calculamos el nuevo intervalo, y buscamos si ( ) posee raíces en el intervalo [0, 3]:
⇒ ( )
⇒ ( )
Entonces la única raíz que tiene en el intervalo pedido es y=ln(5) por lo tanto, sólo tenemos un
intervalo y estudiamos su signo:
( )
[ ( ) ( )] ( )
Por lo tanto el valor de la integral es positivo, entonces finalmente calculamos el área de la función
respecto al eje y:
( )
( ) ( )
∫ ⇒ ( ) ( ( )) ( ) [ ]
( )
Área encerrada dos o más curvas
Para calcular el área encerrada por dos curvas, hay que tener cuidado con curva se
encuentra sobre otra, ya que si tenemos dos funciones y ( ) la expresión que nos permite
obtener el área encerrada por las dos curvas en un intervalo [a, b] es:
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
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12. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
En caso de que ( ) ( ) en un intervalo [a, c], ( ) ( ) en un intervalo [c, d] y
( ) ( ) en un intervalo [d, b], o sea las funciones se cruzan, para obtener el área
encerrada por ambas curvas en el intervalo [a, b] hay que usar la expresión:
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Si no se tiene conocimiento sobre la gráfica de las funciones, lo aconsejable es hacer una
tabla con los sub-intervalos y así obtenemos que función va sobre la otra, también es
importante el estudio del signo, tiene el mismo tratamiento que el cálculo de áreas anteriores,
por último si son más de dos funciones el estudio debe hacerse para las que sean necesarias.
f) Calcular el área determinada por ( ) , ( ) y ( ) .
Primero hay que calcular los límites de integración, para esto debemos ver donde las curvas se
intersectan.
⇒
⇒
⇒
Entonces tenemos dos intervalos de integración [-1,0], [0,1], realizamos una tabla para averiguar
que curva es la superior:
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]
Obtenemos que ( )e esta bajo ( ) en el intervalo [-1,0] y ( ) esta bajo ( ) en el intervalo [0,-1],
la única intersección entre ( ) y ( ) es 0, por lo tanto no encierran área, sólo delimitan el intervalo,
con todo esto el área se expresa por:
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
Resolviendo la integral y aplicando segundo teorema fundamental del cálculo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
[ ]
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