1. MATEMÁTICAS 2ºBACH
MATRICES Y DETERMINANTES
, siendo I la matriz identidad de orden 2 y
1. Calcula la matriz
(
)
(
Solución:
)
2. Se consideran las matrices:
a) Hallar (
)
b) Calcular
Solución: a) (
haciendo uso del apartado anterior
)
b)
3. Determina los valores a y b de forma que la matriz
(
) verifique
Solución:
4. Dadas las matrices:
(
)
(
)
a) Determinar α y β tales que
b) Calcular
utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior
Solución: a)
b)
(
5. Sea la matriz A
a) Comprobar que
b) Hallar
)

2. Solución: b)
6. Se consideran dos matrices A y B que verifican:
(
)
(
)
Calcula la matriz
(
Solución:
⁄
⁄
⁄
⁄
)
7. (Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si se verifica:
Si A es una matriz de orden n tal que
)
, siendo I la matriz
y
identidad de orden n, calcula
Solución:
(
8. Dada la matriz
) siendo a y b números reales, calcula
para cada n
natural.
(
Solución:
)
9. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
siendo
(
)
(
) y las incógnitas X e Y matrices de
orden 2x2
Solución:
(
)
(
)
10. Hallar todas las matrices X tales que
Solución:
(
11. Calcula X tal que
, siendo A la matriz
)
, siendo
y
(
)

3. Solución:
12. Determinar dos matrices A y B tales que:
(
)
(
Solución:
(
⁄
⁄
⁄
⁄
13. Dadas las matrices
)
)
(
(
)
⁄
⁄
⁄
⁄
(
)
)
a) Resolver el sistema matricial:
b) Calcular:
Solución: a)
(
)
(
b)
14. Dada la matriz
(
)
)
hallar
Solución:
15. Hallar el rango de la matriz A, siendo
Solución:
( )
16. Calcula el rango de las siguientes matrices aplicando el método de Gauss:
Solución:
( )
( )

4. 17. Calcula el rango de la matriz A, siendo
Solución:
( )
18. Calcula el rango de la matriz A, siendo
Solución:
( )
19. Determina empleando el método de Gauss el rango de la matriz
Solución:
( )
20. Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz M, siendo
Solución:
( )
( )
estudia según los valores de m el rango de A
21. Dada la matriz
Solución:
( )
( )
22. Estudia, según los valores de m, el rango de la matriz M siendo
Solución:
( )
( )
23. Estudia el rango de la matriz M según los valores de a. ¿Existe algún valor de a para el
( )
cuál sea
?
Solución:
( )
( )
24. Estudia según los valores de a el rango de M siendo
Solución:
( )

5. ( )
25. a) Halla los valores de λ para los cuales tiene inversa la matriz
b) Calcular
para
Solución: a) Tiene inversa para todo valor real de λ, excepto
y
b)
26. Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de A siendo
Solución:
27. Calcula por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de A siendo
⁄
Solución:
⁄
⁄
⁄
28. a) Halla los valores de λ para los cuáles tiene inversa la matriz
b) Calcular
para
Solución: a)
y
⁄
⁄
b)
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
29. Resolver la siguiente ecuación matricial
(
)
, siendo

6. Solución:
30. Hallar una matriz X tal que se verifique:
Solución:
31. Resolver la ecuación matricial
(
)
, siendo
Solución: X
32. Dada la matriz
a) Calcula los valores de m para los que A tiene inversa
b) Para
, calcula la matriz X que verifica
Solución: a) Tiene inversa para
y
b)
33. a) Estudia según los valores de m el rango de la matriz
b) Para el valor
y
Solución: a)
b)
, resuelve la ecuación matricial
la matriz traspuesta de A
( )
( )
, siendo

7. 34. Calcula X tal que
, siendo
Solución:
35. Dada la matriz
a) Calcula los valores del parámetro m para los cuales A tiene inversa
b) Para
, calcula la matriz X que verifica
, siendo
36. Dada la matriz
a) Determina para qué valores del parámetro m existe
b) Para
resuelve
(
)
Solución: a) Existe siempre independientemente del valor de m
b)
(
37. Dada la matriz
Siendo
) halla dos matrices X e Y que verifican:
la matriz traspuesta de A
Solución:
(
⁄
⁄
38. Dada la matriz
)
(
⁄
⁄
para
)
calcula la matriz X que verifica
Solución:
39. Dada la matriz
(
) busca los valores de m y n que verifiquen:

8. Solución:
(
40. a) Dada la matriz
), obtén todas las matrices X que conmutan con M
b) Calcula la matriz Y que verifica
, siendo M la matriz dada en el
apartado anterior,
la matriz inversa de M e I la matriz unidad de orden 2.
Solución: a)
(
b)
(
⁄
⁄
(
41. Dada la matriz
Solución:
)
(
)
), calcula una matriz X tal que
)
42. Calcula los siguientes determinantes:
a)
b)
Solución: a) -29
b) -9
43. Calcula el valor de t para que el determinante de la matriz
valga 0
Solución:
44. Calcula el valor de los siguientes determinantes:
a)
Solución: a)
b)
b)
(
(
)(
)(
)(
)(
)
)
45. Calcula por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) el
determinante siguiente:

9. Solución: (
)(
)
46. Sean
, las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una
matriz cuadrada M de orden 3 con
( )
. Calcula, utilizando las propiedades de
los determinantes, el determinante de la matriz cuyas columnas primera, segunda y
tercera son, respectivamente
.
Solución: 7
47. Sean
, las filas de una matriz cuadrada M de orden 3, tal que su
determinante vale -2. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas
.
Solución: -4
48. Calcula los siguientes determinantes sabiendo que
a)
(
b)
(
(
)
)
⁄ )
Solución: a) 15
b)
⁄
49. Si A es una matriz cuadrada de orden 3 y
la respuesta
( )
, ¿cuánto vale
(
)? Justifica
Solución: 40
50. Sean
las cuatro columnas de una matriz cuadrada A cuyo determinante
vale 5. Calcula:
a) El determinante de
b) El determinante de la matriz
c) El determinante de la matriz cuyas columnas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª son, respectivamente
Solución: a) 125
b) 80
c)-30
51. Sea A una matriz tal que
Calcula
, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz nula.
Solución: 1
52. Halla todas las matrices
( ) , cuadradas de orden 3, tales que
y
, siendo I la matriz identidad de orden 3 y
la matriz traspuesta de A, de
las que además, se sabe que su determinante vale 10.

10. Solución: Existen 2 soluciones:
53. Calcula los siguientes determinantes:
a)
Solución: a)
b)
b)
(
)
54. Sean
, las filas de una matriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante
vale 4. Calcula el valor del determinante de la matriz que tiene por filas
Solución: 8