Ecuaciones de rectas matemáticas

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA CICLO: III
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: Línea Recta SEMANA: 10
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II
ECUACIÓN DE UNA RECTA
Es la ecuación de todos los puntos del plano cartesiano
de la forma (𝑥; 𝑦) que pertenecen a una recta del
plano.
Las ecuaciones más usuales son:
Ecuación Punto-Pendiente
Es la ecuación de la recta que se desprende de
conocer un punto de paso y la pendiente de la recta.
Sea L una recta del plano que pasa por el punto 𝑃 0 =
(𝑥0; 𝑦0) y tiene pendiente m.
Todo punto P del plano cartesiano tiene la forma (x; y),
entonces la pendiente de P͞P0 debe ser m.
Luego:
𝑦− 𝑦0
𝑥− 𝑥0
= m
De donde: (𝑦 – 𝑦0) = 𝑚(𝑥 – 𝑥0)
Entonces la ecuación de la recta L del plano cartesiano,
son todos los puntos (x; y) que satisfacen la ecuación:
𝐿: (𝑦 – 𝑦0) = 𝑚(𝑥 – 𝑥0)
Ecuación Canónica de la recta
Es la ecuación que se desprende de conocer la
pendiente de la recta y la intersección de la recta con
el eje de ordenadas (se conoce la ordenada en el
origen).
Sea m la pendiente de la recta y b la ordenada en el
origen, entonces la intersección de la recta L con el eje
de abscisas es el punto P0 = (0; b).
A partir de la ecuación punto - pendiente, su ecuación
es 𝐿: (𝑦 – 𝑏) = 𝑚(𝑥 – 0), de donde la ecuación
canónica lo expresamos como:
𝑳: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
A esta ecuación también se le conoce como la ecuación
pendiente con intersección en la ordenada.
Ecuación Simétrica
Es la ecuación que relaciona, las coordenadas de los
puntos de intersección de la recta, con los ejes
coordenados.

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Sea a la abscisa en el origen y b la ordenada en el
origen, entonces las coordenadas de los puntos de
intersección de la recta con los ejes de abscisas y
ordenadas son, respectivamente, (𝑎; 0) 𝑦 (0; 𝑏).
La pendiente m de la recta L, lo calculamos como
m =
0−𝑏
𝑎−0
= -
𝑏
𝑎
Reemplazando en la ecuación canónica de la recta,
tenemos:
L: y = (-
𝑏
𝑎
)x + b, de donde
L:
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
= 1
Ecuación con intersección a los ejes coordenados.
Ecuación General
Es la ecuación de la recta que tiene la forma Ax + By +
C = 0, donde A, B y C son números reales.
Si la recta L, interseca al eje de abscisas en (a; 0) y al eje
de ordenadas en (0; b), entonces la ecuación de la recta
es
L:
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1
Si multiplicamos toda la expresión por a.b, resulta
L: bx + ay – a.b = 0
Sea b = A, a = B y –a.b = C, entonces la ecuación, puede
expresarse como:
L: Ax + By + C = 0.
Observación: La pendiente de L, es
m = -
𝑏
𝑎
= -
𝐴
𝐵
Distancia de un punto a una recta
Es la longitud del segmento perpendicular, trazado
desde dicho punto a una recta dada.
Sea P0 = (x0; y0) un punto exterior a la recta
L: Ax + By + C = 0, entonces la distancia de P0 a la recta
L es:
d =
| 𝐴.𝑥0+𝐵.𝑦0+𝐶|
√𝐴2+ 𝐵2
Observación:
La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la
longitud del segmento perpendicular a ambas rectas
comprendido entre dichas rectas.
Sean las rectas;
L1: Ax + By + C = 0 y L2: Ax + By + D = 0
Entonces la distancia entre las rectas es:
d =
| 𝐶−𝐷|
√𝐴2+ 𝐵2
Angulo de inclinación de una recta
Es el ángulo que forma una recta y el eje de las abscisas.

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α1 es la medida del ángulo de inclinación de la recta L1
y α2 es la medida del ángulo de inclinación de la recta
L2
 La medida del ángulo de inclinación de una recta, se
realiza a partir del eje de abscisas, en sentido anti
horario, hacia la recta.
Pendiente de una recta (m)
Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.
Sea α la medida del ángulo de inclinación, entonces la
pendiente (m) de la recta L es:
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)
Si la recta pasa por los puntos A(xa; ya) y B(xb; yb),
entonces la pendiente de la recta (m = tan(α)), lo
calculamos como m =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦 𝑏− 𝑦 𝑎
𝑥 𝑏− 𝑥 𝑎
Angulo entre dos rectas
Para medir el ángulo entre dos rectas, es necesario
conocer las pendientes de ambas rectas y a partir de
ello calculamos la medida de su ángulo de inclinación.
Luego la medida del ángulo buscado es igual a la
diferencia de los ángulos de inclinación de las rectas.
Del gráfico α1 = θ + α2, entonces θ = α1 – α2, luego tanθ
= tan(α1 – α2)
tanθ = (tanα1 – tanα2)/(1 + tanα1.tanα2)
tanθ =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1.𝑚2
finalmente
θ = arc. tan (
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1.𝑚2
)
Observación:
Si α1 = α2, entonces las rectas son paralelas.
Si θ = 90°, entonces, tan θ es indeterminado, luego 1 +
m1.m2 = 0, de donde m1.m2 = -1

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 Si las rectas son paralelas las pendientes de dichas
rectas son iguales.
 Si las rectas son perpendiculares, el producto de sus
pendientes es -1
Aplicación:
01. Halle la medida del ángulo que forman dos rectas,
cuyas pendientes son -1/2 y -3, respectivamente.
Solución:
Sea θ la medida del ángulo que nos piden calcular,
entonces tanθ =
𝑚1 − 𝑚2
1 + 𝑚1.𝑚2
, donde m1 y m2 son las
pendientes de las rectas, entonces si m1 = -1/2, luego
m2 = -3 y reemplazando en la ecuación anterior tan θ =
−
1
2
+ 3
1 +
1
2
.3
=
5
2
5
2
= 1, de donde θ = 45°
Si m1 = -3 y m2 = -1/2, entonces tan θ = -1, de donde θ
= 135°.
Este problema tiene dos posibles respuestas, 45° y
135°.
02. Calcular los parámetros m y n para que las rectas
𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0 𝑦 𝑠: 𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑛 = 0 sean
a) Paralelas
b) Perpendiculares
c) Misma recta
Solución
Pondremos la recta r en forma explícita
2 2
: ,
3 3
r y x  donde la pendiente es
2
3
m  
ordenada del origen es
2
3
n  
Ponemos ahora la recta s en forma explícita
1
,
n
s x
m m
   cuya pendiente es
1
m
 y su ordenada
en el origen es
n
m

a) Paralelas, mismas pendientes
2 1
3 m
   
3
,
2
m  Se cumple también que tienen distinta
ordenada en el origen 
2
33
2
n n
m
     1n  
b) Perpendiculares, cuando son perpendiculares se
cumple que las pendientes cumplen
1 2 1
´ :
13
m
m
m
   


2
3
m  
c) Coincidentes cuando tienen misma pendiente y
ordenada en el origen es decir según vimos en a) 
3
1.
2
m y n 
03. Los gastos en la producción de un producto están
representadas por la expresión g=400p+1000,
represente gráficamente los gastos respecto a la
producción y encuentre la cantidad de productos que
se pueden producir con un gasto de $5000.
Solución
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑔 = 5000, 5000 = 400𝑝 + 1000
5000 − 1000 = 400𝑝
4000/400=p
10 = 𝑝
04. En cierto país el porcentaje del producto nacional
bruto (PNB) dedicado a los gastos médicos pasó del
10,3%, en 1984, al 10,9%, en 1987. Suponiendo que el

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nivel de crecimiento continúa a esta misma razón,
escribir una ecuación lineal que permita describir el
porcentaje del producto nacional bruto dedicado a los
gastos médicos, y, en el año x.
Solución
El planteamiento del problema indica que:
𝑦 ∶ Porcentaje del PNB dedicado a gastos médicos
𝑥 ∶ Año
En 1984 (𝑥1) el PNB era 10,3% (𝑦1), es decir 𝑃1 (1984;
10,3)
En 1987 (𝑥2) el PNB era 10,9% (𝑦2), es decir 𝑃2 (1987;
10,9)
Con los puntos 𝑃1 (1984, 10.3) y 𝑃2(1987, 10.9), se
puede determinar la pendiente 2 1
2 1
y y
m
x x



10,9 10,3 0,6
1987 1984 3
m

 

 0,2m
La pendiente representa en este caso la razón a la que
se da el nivel de crecimiento, es decir, la variación del
PNB con respecto a los años. Sustituyendo el valor de
la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en
la forma general de la ecuación, es posible obtener el
valor de b. (forma pendiente-intercepto)
Empleando el punto 𝑃2( 1987; 10,9) y la pendiente
m = 0,2, se tiene que: y = m x + b
10,9 = 0,2(1987) + 𝑏
10,9 = 397,4 + 𝑏
10,9 – 397,4 + 𝑏
𝑏 = −386,5.
La ecuación lineal que describe el porcentaje (y) del
PNB dedicado a los gastos médicos en un año (x) será:
𝑌 = 0,2𝑋 − 386,5
05. Hallar la ecuación de la recta que pasa
por  3,2  y es perpendicular a 𝑦 = −2𝑥 + 1.
Solución:
La recta dada es 12  xy , entonces la
pendiente 21 m , por el criterio de
perpendicular
2
1
2 m
Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la
ecuación
 
    
 
2
2
1
31
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
3
2
2
1
3
11





xy
xy
xxy
xy
xxmyy
EJERCICIOS
01. Encontrar la ecuación cartesiana ordinaria de la
recta cuya ordenada al origen es −5 y cuya abscisa al
origen es 3.
02. Determinar la ordenada y la abscisa al origen de
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0.
03. Encontrar la ecuación de la recta cuya ordenada y
abscisa al origen suman 21 y su pendiente es 2.
04. Para las rectas que se presentan a continuación
indique si son paralelas o son perpendiculares.
Justifique su respuesta.
a) 2x − 3y + 7 = 0
b) 4x + 5y − 9 = 0
c) 4x − 6y − 15 = 0
d) 10x − 8y + 17 = 0
05. Encontrar la ecuación de una recta que pase por (1,
3) y sea paralela a 2x − 5y + 7 = 0.
06. Encontrar la ecuación de una recta que pase por (1,
3) y sea perpendicular a 2x − 5y + 7 = 0.
07. Encontrar la ecuación de una recta paralela a 𝐴𝑥 +
𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 con 𝐴2
+ 𝐵2
≠ 0 que contenga al
punto (ℎ, 𝑘).
08. Si 𝐴(−1, 3), 𝐵(3, 7), 𝐶(7, 3) son los vértices de un
triángulo:
a) Determinar las ecuaciones de las rectas que
contienen a los lados.

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b) Determinar las ecuaciones de las rectas que
contienen a las medianas.
c) Determinar las ecuaciones de las rectas que
contienen a las alturas
09. Encontrar la ecuación vectorial de la recta que pasa
por (3, −4) y su pendiente es 2.
por (5, −3) y su pendiente no está definida.
por (−3, 4) y su pendiente es cero.
a) 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 𝑦 3𝑥 − 𝑦 − 15 = 0
b) 15𝑥 − 5𝑦 − 8 = 0 𝑦 12𝑥 − 4𝑦 + 5 = 0
13. Calcular el valor de 𝑘 tal que (2, 𝑘) sea equidistante
de las rectas 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y 𝑥 − 7𝑦 + 2 = 0.
14. Halla el valor de k para que las rectas
2𝑥  3𝑦 + 4 = 0; 3𝑥 + 𝑘𝑦 1 = 0, sean
perpendiculares.
15. Calcula la distancia del punto 𝑃(3, 5) a la recta
𝑟 ∶ 𝑦 = 2𝑥  3
16. Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
𝑃(1, 1), 𝑄(2, 3) y 𝑟: 3𝑥  𝑦 + 6 = 0.
17. Dados los puntos 𝑃(3, 2) y 𝑄(2, 4), y la recta
𝑟: 2𝑥 + 𝑦  3 = 0; calcula la distancia:
a) Entre P y Q.
b) De P a r.
18. Dado el triángulo de vértices 𝐴(1, 1), 𝐵(1, 4) y
𝐶(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y
calcula el baricentro punto de intersección de las
medianas.
19. se pide:
a Hallar el punto medio del segmento de extremos
P3, 2) y Q1, 5).
b Hallar el simétrico del punto P3, 2) con respecto a
Q1, 5).
20. Considera los puntos 𝐴1, 3), 𝐵2, 6) 𝑦 𝐶  𝑥 , 𝑦).
Halla los valores de x e y para que C sea:
a El punto medio del segmento de extremos A y B.
b El simétrico de A con respecto a B.
21. Hallar la ecuación de la recta que satisface:
a) Pasa por el punto (−3, 1) y es paralela a la recta
determinada por los dos puntos (0, −2) 𝑦 (5, 2).
b) Pasa por el punto 𝐴(1, 5) y tiene pendiente 2.
c) Pasa por los puntos 𝐴(5, −3) 𝑦 𝐵(−7, 5).
d) tiene pendiente −3 e intersección con el eje y igual
−2.
e) tiene pendiente −4 y pasa por la intersección de las
rectas 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 𝑦 3𝑥 − 2𝑦 + 9 = 0.
f) es perpendicular a la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 11 = 0 y
pasa por el punto (−1, −3).
g) Pasa por el punto (3, 1) y tal que la distancia de esta
recta al punto (−1, 1) sea igual a 2 √2.
h) Pasa por el punto 𝐴(−6, 7) y forma con los ejes
coordenados un triángulo de área igual a
21
2
.
i) Es paralela a la recta 5𝑥 + 12𝑦 − 2 = 0 y distanta
4 unidades de ella.
j) Pasa por el punto (2, −1) y que forma un ángulo de
45◦ con la recta 2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0.
BIBLIOGRAFÍA
Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y
principios del análisis. Lima: Lumbreras.
Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes
tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill.
Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra
Universitaria. Mexico D.F: Continental.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE
Learning.
REFERENCIA
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/libros/matema
ticas/geometria/indice.htm
http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/index.php/cont
enido-por-materia/geometria/ejercicios-resueltos

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