Presentación sobre matrices

1. UD 1: MATRICES
PROF: ALFONSO NAVARRO
MATEMÁTICAS II

2. ÍNDICE
1. MATRICES
1.1. Concepto de matriz
1.2. Clasificación de matrices
2. OPERACIONES CON MATRICES
2.1. Suma
2.2. Producto por un real
2.3. Producto de matrices
3. RANGO DE UNA MATRIZ
3.1. Concepto de rango
3.2. Transformaciones que conservan el rango
3.3. Cálculo del rango por método de Gauss
4. MATRIZ INVERSA
4.1. Definición de matriz inversa
4.2. Propiedades
4.3. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss - Jordan

3. 1. MATRICES
1.1. Concepto de matriz
Se llama matriz de orden m × n a un conjunto de números reales
dispuestos en m filas y en n columnas, de la forma:
1MATRICES
Los elementos de la matriz (los números) se representan en
general por 𝑎𝑖,𝑗, donde los subíndices (i, j) nos dan la posición que
ocupa el término.

4. 1. MATRICES
1MATRICES
El número de filas (m) y el número de columnas (n) nos da la
dimensión de la matriz m × n.
Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los
términos que ocupan la misma posición son iguales:
es una matriz de dimensión 2 × 3
Ejemplo:
Para que A=B, se tiene que
cumplir que:
a = 3, b = –1, x = 1, y = 5 y
z = –9.

5. 1. MATRICES
1MATRICES
Dada una matriz A de dimensiones m x n , se llama matriz
traspuesta de A y se representa por 𝐴𝑡, a la matriz que se
obtiene al cambiar las filas de A por sus columnas, por lo que
la matriz 𝐴𝑡
será de dimensión n x m.
Ejemplo: Calcular la matriz traspuesta de la matriz A.
Ejercicio: Determina la dimensión de las siguientes matrices:
Ejercicio: Determina los valores de a,b,x, y
para que las matrices A y B sean iguales:

6. 1. MATRICES
1.2. Clasificación de matrices
1MATRICES
MATRICES
RECTANGULARES
FILA
COLUMNA
NULA
CUADRADAS
TRIANGULAR
DIAGONAL
ESCALAR (IDENTIDAD)
NULA
SIMÉTRICA

7. 1. MATRICES
1MATRICES
Matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de
columnas (m ≠ n).
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila, de dimensión 1 × n.
Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna, de
dimensión m × 1.
Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos. Se denota por 0.

8. 1. MATRICES
1MATRICES
Matriz cuadrada de orden n es aquella que tiene igual número de filas que de
columnas (m = n).
Matriz triangular es aquella que tiene nulos todos los términos situados por
debajo (triangular superior) o por encima (triangular inferior) de la diagonal
principal.
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos no
situados en la diagonal principal son ceros.
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la
diagonal principal son iguales.
Matriz unidad es la matriz escalar en la que los elementos de la diagonal
principal son unos.
Matriz simétrica cuando permanece invariante al sustituir filas por columnas, es
decir, 𝐴 = 𝐴𝑡

9. 1. MATRICES
1MATRICES

10. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
2.1. Suma
Dadas dos matrices A y B de dimensión m x n , se define la suma de
matrices (A + B) como aquella matriz cuyos elementos son la suma
de los elementos que ocupan la misma posición:
C = A + B  𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
Ejemplo:

11. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
Propiedades
La suma de matrices es una consecuencia de la suma de números
reales, por lo que las propiedades de la suma de matrices serán las
mismas que las de la suma de números reales:
1. Propiedad Asociativa. A + (B + C) = (A + B) + C
2. Elemento neutro (la matriz nula). A + 0 = A
3. Elemento opuesto A + (–A) = 0
4. Propiedad Conmutativa: A + B = B + A

12. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
2.2. Producto por un escalar
El producto de un número real k por una matriz A = (𝑎𝑖𝑗) es otra
matriz de la misma dimensión cuyos elementos son los productos de
los elementos de la matriz A por el número k:
Ejemplo: Dada la matriz A el producto de la matriz A por 5 es:

13. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
Propiedades
El producto de un número por una matriz tiene las siguientes
propiedades:
1. Propiedad Distributiva respecto de la suma de matrices.
k × (A + B) = k × A + k × B
2. Propiedad Distributiva respecto de la suma de números:
(a + b )× A = a × A + b × A (con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ)
3. Propiedad Asociativa mixta:
a × (b × A) = (a × b )× A
4. Producto por la unidad:
1× A = A
El conjunto de matrices 𝑀 𝑚𝑥𝑛 respecto de las operaciones suma
de matrices y producto por un número real (𝑀 𝑚𝑥𝑛, +,·k) tiene
estructura de espacio vectorial.

14. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
2.3. Producto de matrices
Sean las matrices A y B de dimensiones m x n y n x p(es decir, el
número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la
matriz B). Se define el producto A·B , y en ese orden, como una
matriz C de dimensiones m x p cuyos elementos son de la forma:
Es decir, el elemento 𝑐11 se obtiene multiplicando escalarmente los
elementos de la primera fila de la matriz A por los elementos de la
primera columna de la matriz B, y así sucesivamente.

15. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
Ejemplo:
Ejemplo:

16. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
Propiedades
Si las matrices son cuadradas de orden n, el producto de matrices
tiene las siguientes propiedades:
1. Propiedad Asociativa:
A × (B × C) = (A × B)× C
2. Elemento neutro (I):
A × I = I × A = A
3. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices:
A × (B + C ) = A × B + A × C
En general, NO CUMPLE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA

17. 2. OPERACIONES CON MATRICES
1MATRICES
Potencia de una matriz. Matriz n – ésima.
Para determinar la potencia de una matriz, la multiplicaremos por sí
misma el número de veces que sea necesario. Es por ello, que solo
podemos determinar potencias de matrices cuadrados y siempre y
cuando el exponente sea un número natural.
Para potencias n – ésimas aplicaremos el método de inducción.
Ejercicio:
Dada la matriz A, determina:
a) 𝐴2 𝑦 𝐴3
b) 𝐴 𝑛
c) 𝐴350

18. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
3.1. Concepto de rango
Se llama rango de una matriz al número de filas o columnas de la
matriz que son linealmente independientes (no pueden obtenerse a
partir de las demás filas o columnas de la misma matriz).
Ejemplo. Determina el rango de las siguientes matrices:
La tercera fila de A se obtuvo sumando las dos primeras filas
(f1+f2=f3). Estas dos primeras filas son independientes, por lo que el
rango de A es 2.
La tercera fila de B se obtuvo restando la segunda fila al doble de la
primera (f3=2f2-f1). El rango de B es 2.

19. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Cálculo del rango
de una matriz
Transformaciones
que conservar el
rango
Método de Gauss
Mediante
determinantes
(UD-2)

20. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
3.2. Transformaciones que conservan el rango
Sea una matriz A, conserva el rango cuando realizamos cualquiera de
las siguientes transformaciones elementales:
1. Intercambiar dos filas (columnas).
2. Multiplicar todos los elementos de una fila (columna) por un
número real distinto de cero.
3. Sumar a una fila (columna) otra multiplicada por un número real.
4. Suma a una fila (columna) una combinación lineal de sus
paralelas.
5. Trasponer la matriz.
6. Eliminar una fila (columna):
a) Cominación lineal de sus paralelas.
b) Proporcional a otra.
c) De ceros.

21. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
3.3. Cálculo del rango por el método de Gauss
Una matriz es escalonada por filas cuando en cada fila el primer
elemento no nulo está más a la derecha del de la fila anterior y las
filas nulas están situadas en la parte inferior.
Para calcular el rango de una matriz por el
método de Gauss:
1. Se realizan sucesivas transformaciones
elementales por filas de la matriz hasta
lograr una matriz equivalente
escalonada por filas.
2. El rango es el número de filas no nulas
de la matriz equivalente.

22. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Ejemplo. Determina el rango de la siguiente matriz por el método de
Gauss:
En primer lugar, observamos que la matriz A, tiene por dimensiones
4x4ran(A) ≤ 4.
Sol: ran(A) = 3, ya que hemos eliminado la fila 4 al estar formada
únicamente por ceros.

23. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Ejercicio. Determina el rango de la siguientes matrices por el método
de Gauss:
Ejercicio. Determina el rango de la siguiente matriz según los
valores del parámetro m:

24. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Solución:
ran(A) = 2

25. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Solución:
ran(B) = 3

26. 3. RANGO DE UNA MATRIZ
1MATRICES
Solución:
Para que ran (A) = 2,
la última fila tiene que
ser nula, es decir:
m + 1 = 0 ⇒ m = - 1.
En caso de que m sea
distinto de – 1, ran
(A)= 3.

27. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
4.1. Definición de matriz inversa
Si dada una matriz cuadrada A existe otra matriz B, también
cuadrada, que multiplicada por la matriz A nos da la matriz unidad, se
dice que la matriz A es una matriz regular o inversible y a la matriz
B se le llama matriz inversa de A y se representa por 𝐴−1
:
𝐴 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 ↔ ∃𝐴−1
/𝐴 · 𝐴−1
= 𝐴−1
· 𝐴 = 𝐼𝑑

28. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
Ejemplo:

29. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
4.2. Propiedades
1. La inversa de la matriz inversa es la matriz original.
𝐴−1 −1
= 𝐴
2. La inversa del producto de dos matrices es el producto de las
inversas de las matrices cambiando su orden.
𝐴 · 𝐵 −1
= 𝐴−1
· 𝐵−1
3. La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta
de la matriz inversa.
𝐴𝑡 −1 = 𝐴−1 𝑡

30. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
4.3. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss - Jordan
El método de Gauss‐Jordan para hallar la matriz inversa consiste en
convertir la matriz inicial en la matriz identidad, utilizando
transformaciones elementales.
Llamamos transformaciones elementales por filas a:
1. Permutar dos filas i y j. Lo escribimos como Fi ⇔ Fj
2. Sustituir la fila i por el resultado de multiplicar o dividir todos sus
elementos por un número a ≠ 0 . Lo escribimos como Fi = a × Fi
3. Sustituir la fila i por un múltiplo (no nulo) de ella más otra fila j
multiplicada por un número b. Lo escribimos como Fi = a × Fi + b × Fj ,
con a ≠ 0 .
Ampliamos la matriz original, escribiendo junto a ella la matriz identidad,
y aplicamos las transformaciones elementales de modo que la matriz
inicial se transforme en la matriz identidad.

31. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
Ejemplo. Calcular la matriz inversa de la matriz A y B.

32. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES
de manera que
existe 𝐴−1
siendo:

33. 4. MATRIZ INVERSA
1MATRICES