Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones, clasificaciones, operaciones y propiedades. Explica qué es una matriz, tipos de matrices como cuadradas, nulas, columna, fila, diagonal, triangular, simétrica y antisimétrica. También describe operaciones como suma, producto por escalar, transposición, producto de fila por columna y producto de matrices. Finalmente, presenta propiedades como asociatividad, distributividad y relación entre transposición y producto.

1. Docente: Demetrio
CCESA RAYME
Introducción al
Calculo Matricial
Resolución de Problemas
Matemáticos

2. •Introducción.
• Definición de matriz y clasificación.
• Igualdad de matrices.
• Operaciones con matrices y sus propiedades
•Operaciones elementales entre filas.
• Matrices equivalentes por filas.
Matrices

3. Matriz
Una matriz A de orden m×n es un arreglo
rectangular de números colocados en líneas
horizontales (filas) y líneas verticales (columnas).












=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
Notación:
 
j
i
a
A=
j
i
a
Elemento de la matriz

4. Tipos de Matrices
Matriz rectangular: Si m≠n
Matriz cuadrada: Si m=n, en este caso
diremos matriz de orden n.






=
1
0
2
3
2
1
A





 −
=
3
2
1
1
A Matriz de orden 2

5. Tipos de Matrices
Matriz Nula o Cero: todos sus
elementos son nulos. Se denota
por O .






=
0
0
0
0
0
0
O
Matriz columna:
Es una matriz con m filas y
una sola columna.
Matriz fila: Es una matriz con
una sola fila y n
columnas.










−
=
1
6
2
C
 
2
7
4
1 −
=
F

6. Matriz diagonal: Matriz cuadrada D=[di j ]
que verifica: di,j=0 si i≠j
Matriz identidad: Matriz diagonal con di,i=1 








 −
=
5
0
0
0
0
0
0
0
2 x
D
Matriz triangular superior: La matriz
cuadrada S=[si,j ] que verifica: si,j=0
si i>j
Matriz triangular inferior: La matriz
cuadrada T=[ti,j ] que verifica: ti,j=0
si i<j












=
5
0
0
0
8
0
0
5
0
0
1
4
6
2
y
x
S












−
=
7
9
2
4
0
0
8
5
0
0
3
1
0
0
0
2
y
T

7. Tipos de Matrices
Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada A=[ai j ]
donde tenemos:
i , j
a
a i
j
j
i todo
para
=
Ejemplo:












−
−
=
7
1
5
4
2
1
4
0
3
2
3
1
z
x
z
x
A

8. Tipos de Matrices
Matriz antisimétrica: Es aquella matriz cuadrada
B=[bi j ] que verifica:
ji
ij b
b −
=










−
−
−
=
0
4
4
0
1
1
0
a
a
B
Observar el
valor de la
diagonal

9. Igualdad de Matrices
Dos matrices A=[ai j ] y B=[bi j ] del mismo orden
son iguales si tenemos: ai,j=bi,j
Es decir elemento a elemento son iguales.






=
5
2
1
y
x
A 




 −
=
5
4
3
1
B
Si A=B entonces x= -3 e y=2
Ejemplo

10. Operaciones con Matrices
1. Suma de matrices
Sean A=[ai j ] y B=[bi j ] dos matrices del mismo
orden. Se define una nueva matriz, la suma de A
y B , que se denota por A+B , como la matriz
A+B=[ai,j+bi,j ]
)
(
)
(
.
3
0
.
2
.
1
C
B
A
C
B
A
A
A
A
B
B
A
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
Propiedades

11. Operaciones con Matrices
2. Producto de un escalar por una matriz
Sean A=[ai j ] una matriz y α un escalar. Se define una
nueva matriz, el producto de α por A , que se denota
por αA , como la matriz αA=[α ai,j ] .
O
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
B
A
=
=
=
+
=
+
+
=
+
0
.
5
1
.
4
)
(
)
(
.
3
)
(
.
2
)
(
.
1










Propiedades:

12. Operaciones con Matrices
Transposición de una matriz: Dada una matriz
A=[ai j ] de orden m×n, definimos la matriz
Transpuesta de A, a la matriz de orden n×m:
At = [ ai,j ]





 −
=
4
6
5
3
2
1
A










−
=
4
3
6
2
5
1
t
A
Una matriz es simétrica si A=At
Una matriz es antisimétrica si A=-At

13. t
t
t
t
t
t
t
A
A
B
A
B
A
A
A

 =
+
=
+
=
)
(
.
3
)
(
.
2
)
(
.
1
Propiedades de la transposición
Sean A y B dos matrices del mismo orden, α un
escalar, luego tenemos:

14. Operaciones con Matrices
3. Producto de una matriz fila por una matriz
columna






= 
=
n
i
i
ib
a
AB
1
Sean A=[ai ]1×n una matriz fila y
B=[bi ]n×1 . Se define una nueva
matriz , el producto de A por B, de
orden 1 que se denota por AB,
como la matriz
 
5
2
1
1 −
=
A












=
7
0
4
3
B  
34
=
AB
Ejemplo:

15. 15
Operaciones con Matrices
Producto de matrices
Sean A=[ai k ]m×p y B=[bk j ]p×n dos matrices.
Se define una nueva matriz, el producto de A
por B , de orden m×n, que se denota
por AB, como la matriz:
  
=
=
=
=
p
k
j
k
k
i
ij
ij b
a
c
siendo
c
AB
C
1
.

16. Ejemplo:
3
2
2
1
3
0
2
1







−
−
=
A
1
3
2
0
1










−
=
B
1
2
7
1







−
=
AB
Observaciones:
1. Para que el producto AB se pueda realizar, se requiere que el
número de columnas de A sea igual al número de filas de B .
2. La matriz producto AB , tiene el mismo número de filas que la
matriz A y el mismo número de columnas que la matriz B
n
m
n
p
p
m C
B
A 

 =

17. 3. Existen matrices A y B para las cuales el producto
AB existe y, sin embargo, el producto BA no
existe.
3
2
2
1
3
0
2
1







−
−
=
A
1
3
2
0
1










−
=
B
1
3
3
2 
 B
A
Existe
3
2
1
3 
 A
B No existe
4. Existen matrices A y B para las cuales los productos
AB y BA existen, pero no son iguales. Por ello, se
dice que el producto de matrices no es conmutativo.






−
=
4
1
3
1
A





 −
=
0
2
4
3
B 




 −
=
4
5
4
9
AB 




 −
=
6
2
7
7
BA

18. 





−
=
1
2
2
1
A 




 −
=
1
2
2
1
B 





=
5
0
0
5
AB 





=
5
0
0
5
BA
5. Pero hay matrices que conmutan
6. Sea Amxn luego tenemos:
A
A
I
AI m
n =
=
Si A es cuadrada entonces A conmuta con In,
es decir AIn =In A=A

19. 7. Sean A y B dos matrices de modo que AB=O
(matriz nula), esto no significa que A=O ó B=O ó
que ambos sean matrices nula






=
0
1
0
2
A 





−
=
3
1
0
0
B
Ejemplo:
Se verifica: AB=O

20. Propiedades del producto
1. Asociatividad: )
(
)
( BC
A
C
AB =






−
=
1
0
1
5
2
0
A










−
−
=
6
3
7
9
0
6
4
1
1
B










−
=
4
0
1
C )
(
46
95
)
( BC
A
C
AB =






=
2. Distributividad:
AC
AB
C
B
A +
=
+ )
(
BC
AC
C
B
A +
=
+ )
(






−
=
1
0
1
5
2
0
A






−
=
1
9
0
5
1
0
B 









=
1
3
2
C






=
+
27
19
)
( C
B
A 





=
+
27
19
BC
AC

21. t
t
t
A
B
AB =
)
(
3. De la transpuesta y el
producto
Ejemplo:
Sean:  
1
2
=
A 





=
5
2
8
4
B






=
21
10
)
( t
AB 





=
21
10
t
t
A
B
luego: