Matrices

1. PROFESORA: BACHILLER:
CORASPE MIERIS, Milagros PINTO, Joselin. 23.818.436
MATURIN; NOVIEMBRE, 2017
MATRICES
UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE CURSOS BASICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCION DE MATEMATICAS

2. Llamamos Matrices a un conjunto de
números o de funciones distribuidas en filas
y en columnas en forma rectangular
colocadas entre paréntesis.
Ejemplo de matrices:
1 -4 3 2x+1 5 1
A = 2 5 2i B = 3 x+2 0

3. A cada número o función que forma la
matriz lo llamamos elemento.
Los números o funciones que están en
una línea horizontal forman una fila y los que
están en una línea vertical forman una
columna
Las filas de la matriz, en determinadas
ocasiones los llamamos vectores fila que
entran en una y las columnas vectores
columnas.
Tanto a las filas como a las columnas se le
denomina líneas.

4. Una matriz se representa por medio de
una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos
con la misma letra en minúscula (a,b...), con
un doble subíndice donde el primero indica la
fila y el segundo la columna a la que
pertenece.

5. Los elementos individuales de una matriz
m × n, a menudo denotados por ai, aj, donde
el máximo valor de sus elementos (i,j) en i es
m, y el máximo valor de j es n.

6. IMÁGENES DE UNA MATRIZ:
Dado, los conjuntos de números naturales:
A = 1,2,3,4,5,…, m y B = 1, 2, 3, 4, 5, …,n
Su producto cartesiano es:
AxB = ( 1,1), !1,2), (1,3), …(2,1), (2,2), (2,3), …,
(5,1), (5,2), (5,3),…(m,1), (m,2), (m,3), …, (m,n)
Ahora, a cada uno de los pares de números
ordenados que forman el conjunto cartesiano le
asignamos un número; por ejemplo, su suma, su
producto, su logaritmo; con lo cual podemos
obtener de esas operaciones núm. reales o núm
complejos.

7. Sean m y n dos números enteros mayores
o iguales que 1 y los conjuntos:
A = 1,2,3,4,…, m y B = 1, 2, 3, 4,…,n
Toda aplicación, M: (AxB) K; que asocia a
cada par ordenado del conjunto AxB con un
número del conjunto K, que puede ser un
número real o un número complejo se
denomina matriz.

8. En forma general: al par ordenado (i,j) en
donde iϵA y jϵB y la imagen pertenece al
conjunto K; se; anota aij ; es decir:
M: (AxB) K; en donde,
M(i,j) = ai iϵA y jϵB
La imágenes las colocamos según
indicamos a continuación:
a11 a12 a13 a14 … a1n
a21 a22 a23 a24 … a2n
a31 a32 a33 a34 … a3n
-
-
-
am1 am2 am3 am4 … amn

9. en donde los subíndices de la a son los pares
ordenados que forman el producto cartesiano
AxB.
Como la parte operacional de la matriz,
M: (AxB) K; se realiza sobre el cuadro de las
imágenes, a este cuadro lo llamamos matriz y
anotamos: M = (aij)mxn; en donde:
aij = es el elemento genérico
m x n= es el orden y se lee (orden eme por ene)
i= representa la fila en que está el número
j= representa la columna
m = representa el número total de filas
n = representa el num. Total de columnas que
forman la matriz.

10. Algunas Matrices teniendo en cuenta las
filas o las columnas, o también los elementos
que la forman tiene nombres especiales:
MATRIZ FILA:
Es la matriz que esta formada solamente
por una fila
Ej: M = ( a11 a12 a13 … a1n)

11. MATRIZ COLUMNA:
Es la matriz que esta formada solamente
por una columna
Ej: M = a11
a21
a31
…
am1

12. Es la matriz de orden mxn ; en donde
todos sus elementos son nulos. La anotamos
así (0)mxn
A = (0 0 0 0)
A2X3 = 0 0 0
0 0 0

13. Es la que tiene el mismo número de filas
que de columnas; es decir; m = n y el orden
mxn se dice que es de orden n.
Al conjunto a11, a22, a33, … ann se le
llama diagonal principal.
Ejemplo:
½ 1 π
B = 0 4 1
-2 5 9

14. Una Matriz Diagonal es aquella matriz
cuadrada en la que todos los elementos que
no estén en la diagonal principal son
iguales a 0:
A = (aij) es diagonal ⇔ aij = 0 cuando i ≠ j
Ejemplo.
A = -1 0
O 3

15. Es la matriz diagonal en donde todos los
elementos de la diagonal principal son la
unidad.
Ejemplo:
A = 1 0 0
0 1 0
0 0 1

16. Es la matriz que tiene todos los elementos
que están a un lado de la diagonal nulos.
Ejemplo:
2 3 4 3 2 0 0 0
A = 0 1 2 2 1 3 0 0
0 0 1 1 0 1 4 0
0 0 0 3 4 2 1 3
matriz triangular inferior matriz triangular superior

17. Se denomina matriz transpuesta de la
matriz A y anotamos At; a la matriz cuyas
columnas son las filas de A.
Ejemplo:
3 3i 2x 3 2 a
A= 2 2 b At= 3i 2 y
a y 4 2x b 4

18. Se denomina matriz opuesta de la matriz
A, y anotamos –A; a la matriz cuyos
elementos son iguales a las de A pero
cambiados de signo.
Ejemplo:
1 3 - 1 -3
A= 5 -7 - A = - 5 7
-6 4 6 -4

19. Dos matrices, A =(ai) y B =(bj); decimos
que son iguales si tienen el mismo orden y
sus elementos correspondientes son iguales.

20. Suma de Matrices:
Para sumar matrices tienen que
ser del mismo orden y para
determinar la matriz suma de
las matrices A y B formamos una
matriz cuyos elementos
correspondientes son iguales a la
suma de los elementos A y B.

21. a b c A B C a+A b+B c+C
d e f + D E F = d+D e+E f+F
g h i G H I g+G h+H i+I
Ejemplo: Dadas las matrices A y B. Calcular:
a) A + B
A = 3 -1 B = -1 2
2 4 0 4
A + B =
3 -1 + -1 2 = 3 - 1 -1 + 2 = 2 1
2 4 0 4 2 +0 4 + 4 2 8

22.  La suma de matrices cumple con las
propiedades Conmutativa, asociativa, el
elemento neutro es la matriz nula y toda
matriz tiene su opuesto

23. Dada una matriz A = (aij) y un número
real k , se define el producto de un número
real por una matriz: a la matriz de la misma
dimensión que A, en la que cada elemento
está multiplicado por k.
 k · A = (k · aij)

24. Dado K = 3 y A= 3 -1 3 Calcular K * A
2 4 3
3 * 3 -1 3 = 3*3 -1*3 0*3
2 4 3 2*3 4*3 3*3
= 9 -3 0
6 12 9

25.  Si A y B son dos matrices y p y q son números
reales o complejos, se cumple que:
a) p (A + B) = p.A + p. B
b) ( p + q ). A = p. A + q. A
c) p ( q . A ) = ( p . q ) . A

26. Para que el producto de dos matrices (A*B)
pueda realizarse es necesario que el número
de columnas de A se igual número de filas de
B y la matriz producto (C ) tiene el número de
filas de (A) y el número de columnas de (B).
(A) m*p + (B) p*n = (C ) m*n

27. a)
(A)2*3 + (B) 3*4 = (C ) 2*4
b) (A) 5*2 + (B)2*6 = (C ) 5*6
c) (A) a*b + (B) b*c = (C ) a*c

28.  Dos matrices A y B se dicen multiplicables si
el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B.
 Am x n x Bn x p = Cm x p
 El elemento cij de la matriz producto se
obtiene multiplicando cada elemento de la
fila i de la matriz A por cada elemento de la
columna j de la matriz B y sumándolos.

29. Ejercicio:
Vamos realizar el producto de la matriz A
por la matriz B para obtener la matriz C
A2x2= 3 -1 y B2*3 = -1 3 2
2 5 4 -2 -5
C2*3 = -7 11 11
18 -4 -21

30. El producto de matrices cumple con:
a) Propiedad Asociativa:
A * ( B * C ) = ( A * B) * C
b) Propiedad distributiva respecto a la
Adición.
A * ( B + C) = A * B + A * C
( B * C ) * A = B * A + C * A

31. NAVARRO, Enrique. ( 1996).Curso
Propedéutico. Caracas Venezuela
BALDOR, A (1984) ÁLGEBRA Caracas
Venezuela
https//www. Vitutor.com/
algebra/matrices/operaciones
http://esfm.egormaximenko.com/linalg/matrix_product_prope
rties.pdf