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CAPITULO 3
CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA
3.1. Introducción
El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es uno
de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen permanente. Consiste en determinar los
flujos de potencia activa y reactiva en cada línea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para
ciertas condiciones preestablecidas de operación.
Hasta el año 1950, el Cálculo del Flujo de Potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los
Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de
Corriente Contínua (ARCC) que corresponden a una simulación a escala del Sistema Real. En la actualidad,
el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que éstos
presentan respecto a los analizadores de redes.
El análisis del flujo de potencias (AFP) permite:
− Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operación, teniendo
en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras.
− Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas temporales de
generación o circuitos de transmisión.
− Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo.
3.2. Planteamiento del problema básico
Considérese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1 y su circuito equivalente por fase que se
muestra en la Figura 3.2. La línea L12 se ha representado por su circuito π nominal y donde:
21 SyS && : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de
potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia
Consumida.
2112 SyS && : Flujos de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa.
1 2
G2S
L12
12S S21
C1S C2S
G1 G2
SG1
Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para
plantear el problema básico
1 2
SS1 2
V1 2V
Y/2
R + j XL L
Y/2
Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema
de la Figura 3.1
En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son:
222C2G2C2G2C2G2
111C1G1C1G1C1G1
jQP)QQ(j)PP(SSS
jQP)QQ(j)PP(SSS
+=−+−=−=
+=−+−=−=
&&&
&&&
(3.1)
26
En el circuito de la Figura 3.2 se puede escribir:
LL
12
2*
2
22
*
2
*
2
LL
21
1*
1
11
*
1
*
1
jXR
VV
2
Y
V
V
jQP
V
S
jXR
VV
2
Y
V
V
jQP
V
S
+
−
+=
−
=
+
−
+=
−
=
&&
&
&&
&
(3.2)
Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las
siguientes características.
− Son algebraicas y no lineales.
− La frecuencia no aparece en forma explícita porque se la supone constante.
− El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1,
θ1, V2, θ2, por lo que no es posible obtener una solución para ninguna de ellas a menos que se reduzca
el número de incógnitas, fijando de antemano algunas variables.
En relación a esto último, una forma posible de resolver el problema es la siguiente:
− A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las potencias de las
cargas PCi, QCi, con i = 1,2.
− Fijar a priori dos variables de generación PG2 y QG2 por ejemplo. No se pueden fijar las cuatro
variables de generación debido a que las pérdidas en el sistema no son conocidas inicialmente.
− Fijar el módulo y ángulo de la tensión en barra 1; es decir; suponer conocidos V1, θ1. En particular,
puede tomarse esta tensión como referencia, o sea, θ1=0
En estas condiciones, el sistema de 4 ecuaciones (3.2) queda con sólo 4 variables: PG1, QG1, V2, θ2.
3.3. Modelo de representación del SEP
Teniendo presente el análisis del problema básico y con el objeto de establecer un procedimiento
general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente:
3.3.1. Tipos de Barras
Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, Pp; Qp; Vp; θp. Según las variables
conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientes grupos:
− Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp están especificadas; Vp y θp son las incógnitas
− Barras de tensión controlada (Barra P-V): Pp y Vp están especificadas; Qp y θp son las incógnitas.
En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva.
− Barra flotante (Barra V& ): Vp y θp están especificados; Pp y Qp constituyen las incógnitas. En esta
barra debe existir por lo menos un generador. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que
no es posible especificar a priori, la potencia total que es necesario generar en el sistema debido a que
inicialmente no se conocen las pérdidas en el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia
entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total más las
pérdidas. Esta barra se conoce también con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de
relajación (slack).
27
3.3.2. Representación de los elementos del SEP
a. Líneas: Se representan usualmente por su circuito π nominal. Para una línea conectada entre las
barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.3. En algunos casos,
basta representar la línea por su impedancia serie.
b. Transformadores: Cuando funcionan en su razón nominal, se representan por su impedancia de
cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAP y razón no nominal, se pueden representar por su circuito
equivalente π que se muestra en la Figura 3.4, cuyos parametros se indican en la ecuación (3.3).
Vp qpqY' /2 pqY' /2 V
Spq
Ipq
Zpq Ypq( )
Sqp
qpI
p q
Figura 3.3.- Circuito equivalente π de una línea para
el cálculo de flujos de potencia
A
B
CV1 V2
I1 I2
+
-
+
-
Figura 3.4.- Modelación circuital en tanto por
unidad de un transformador con cambio de TAP
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
α
−
ββ
=
αβ
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
β
−
αα
=
11Y
C
Y
B
11Y
A (3.3)
Con α=1+t1 y β=1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el lado respectivo.
c. Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva.
3.4. Planteamiento matemático del problema para un SEP de “n” barras
3.4.1. Ecuaciones de Barras
Considérese una barra p cualquiera de un sistema
tal como se muestra en la Figura 3.5. La potencia
compleja neta, pS& y la corriente inyectada en la
barra p, pI& están relacionadas por las siguientes
ecuaciones, que constituyen las ecuaciones de
barras.
Vp
p
Resto del
SEP +
-
Ip
Figura 3.5.- Representación de una Barra p en un SEP
*
p
pp
*
p
*
p
p
pp
*
ppp
V
jQP
V
S
I
jQPIVS
−
==
+==
&
&
(3.4)
3.4.2. Ecuaciones del flujo de potencias
A partir de la Figura 3.3 se puede escribir:
)2Y(VY)VV(I '
pqppqqppq
&&&&&& +−= (3.5)
La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q está dada por:
[ ] *
pq
*
qp
2
p
*'
pq
*
pq
*
pqppq YVVV)2Y(YIVS &&& −+== (3.6)
28
Análogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estará dada por:
[ ] *
qpq
*
p
2
q
*'
qp
*
qp
*
qpqqp YVVV)2Y(YIVS &&& −+== (3.7)
Las expresiones (3.6) y (3.7) corresponden a las ecuaciones del flujo de potencia a través de la línea.
Conviene indicar que )2Y()2Y(yYY '
qp
'
pqqppq
&&&& == . Además, pqY& es el inverso de la impedancia entre las
barras p y q, el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuación (3.10).
3.4.3. Potencia perdida en la transmisión
De acuerdo con los sentidos adoptados para qppq SyS && , la potencia compleja perdida en la línea será:
qppqLpq SSS &&& += (3.8)
3.4.4. Cálculo de las tensiones de barras
Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias
se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan. Empleando el método
nodal de resolución de circuitos, en forma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir:
[ ] [ ][ ]BBB VYI = (3.9)
donde [ ]BI es el vector de corrientes inyectadas a las barras; [ ]BY es la matriz admitancia de barras y
[ ]BV es el vector tensiones de barra, definidos como:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
p
2
1
B
I
I
I
I
I
&
M
&
M
&
&
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
p
2
1
B
V
V
V
V
V
&
M
&
M
&
&
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nnnp2n1n
pnpp2p1p
n2p22221
n1p11211
B
YYYY
YYYY
YYYY
YY···YY
Y
&L&L&&
MLMLMM
&L&L&&
MLMLMM
&L&L&&
&L&&&
(3.10)
Teniendo presente que según (3.4), las corrientes inyectadas en las barras dependen de las potencias
complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir:
nnnpnp22n11n*
n
*
n
npnppp22p11p*
p
*
p
nn2pp2222121*
2
*
2
nn1pp1212111*
1
*
1
VY···VY···VYVY
V
S
VY···VY···VYVY
V
S
VY···VY···VYVY
V
S
VY···VY···VYVY
V
S
&&&&&&&&
MMMMM
&&&&&&&&
MMMMM
&&&&&&&&
&&&&&&&&
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
(3.11)
29
Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras; es decir; las
ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto es necesario resolverlo mediante técnicas de
aproximaciones sucesivas.
3.5. Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias
Existen actualmente diversos métodos para resolver el problema de cálculo del flujo de potencias, los
que reciben nombres según sea el procedimiento que se aplique para calcular las tensiones. Entre ellos
podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, los de Newton-Raphson (Completo, Desacoplado,
Desacoplado rápido), el flujo DC, etc.
Estudiaremos a continuación, cada uno de ellos, considerando en primer lugar el procedimiento
general y luego las aplicaciones al cálculo de flujo de potencias
3.5.1. Método de Gauss
Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidad se considerará un sistema
lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), para fundamentarlo. Sin embargo, su aplicación a un
sistema no lineal resulta inmediata.
3333232131
2323222121
1313212111
yxaxaxa
yxaxaxa
yxaxaxa
=++
=++
=++
(3.12)
Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene:
3323213133
2232312122
1131321211
)/axaxa(yx
)/axaxa(yx
)/axaxa(yx
−−=
−−=
−−=
(3.13)
Sean 0
3
0
2
0
1 x,x,x , valores iniciales estimados a priori de la solución del sistema (3.12), entonces,
reemplazando estos valores en (3.13) se tiene:
33
0
232
0
1313
1
3
22
0
323
0
1212
1
2
11
0
313
0
2121
1
1
a/)xaxay(x
a/)xaxay(x
a/)xaxay(x
−−=
−−=
−−=
(3.14)
El procedimiento continua hasta que se satisface algún “criterio de convergencia” tal como, por
ejemplo, el indicado en (3.15), donde ε es una cantidad de valor pequeño y positivo. A cada etapa del proceso
se le denomina “iteración”.
3,2,1iconxx k
i
1k
i =ε≤−+
(3.15)
Aplicando el método a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas; para la incógnita xi, después de k
iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puede escribir:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∑−=
≠
=
+
n
ij
1j
k
jiji
ii
1k
i xay
a
1
x (3.16)
30
Los inconvenientes de este procedimiento son el gran número de pasos que se requiere para llegar al
resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no hay convergencia, por lo que no se
utiliza para resolver el problema de cálculo de los voltajes de la ecuación (3.11). Sin embargo, constituye la
base para la formulación del Método de Gauss-Seidel, lo que justifica su análisis. Al aplicar la ecuación
(3.16) al problema de cálculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
= ∑
≠
=
+
n
pq
1q
k
qpq*k
p
pp
pp
1k
p VY
)V(
jQP
Y
1
V &&
&
& (3.17)
Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack).
La ecuación (3.17) se conoce como método de Gauss YB, porque usa el Método de Gauss y se trabaja
con la matriz admitancia de barras del sistema eléctrico. La expresión es válida sólo para las barras de carga.
En el caso en que el SEP contenga barras de tensión controlada, la ecuación (3.17) debe ser modificada, pues
en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp. Por lo dicho en el párrafo anterior, la
modificaciones requeridas se estudiarán al considerar el Método de Gauss-Seidel YB.
3.5.2 Método de Gauss-Seidel
a. Caso general: Corresponde a una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la
convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas
correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en
la iteración siguiente. En el método de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteración
determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en
la misma iteración.
De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han determinado
;x.....,,x,x 1k
1i
1k
2
1k
1
+
−
++
entonces, los valores que se utilizan para calcular 1k
ix +
serán
k
n
k
2i
k
1i
1k
1i
1k
2
1k
1 x.....,,x,x,x.....,,x,x ++
+
−
++
Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de
la forma dada por (3.12) es:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∑−∑−=
+=
−
=
++
n
1ij
k
jij
1i
1j
1k
jiji
ii
1k
i xaxay
a
1
x (3.18)
b. Aplicación del método de Gauss-Seidel YB al cálculo flujos de potencia: El cálculo de las
tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto según sean los tipos de
barras existentes en el SEP. Por ello se considerarán en primer lugar los sistemas con barras de carga y
flotante solamente, por ser el caso más simple. A continuación se analizará la situación de las barras de
tensión controlada.
b1. Sistemas con barras de carga y flotante solamente: Aplicando la ecuación (3.18) al sistema (3.11)
se tiene:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
= ∑ ∑
−
= +=
++
1p
1q
n
1pq
k
qpq
1k
qpq*k
p
pp
pp
1k
p VYVY
)V(
jQP
Y
1
V &&&&
&
& (3.19)
Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack).
31
La secuencia de solución según este método es como sigue:
1. Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante, cuya tensión
está especificada, o sea es dato del problema, al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los
términos de la matriz admitancia de barras (YB)
2. Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia, por ejemplo:
n.......,,3,2,1pcondoespecifica
n.......,,3,2,1pcondoespecificaVV
2
k
p
1k
p
1
k
p
1k
p
=ε≤θ−θ
=ε≤−
+
+
(3.20)
3. Determinadas las tensiones pV& , se calculan los flujos de potencia qppq SyS && aplicando (3.6) y (3.7).
4. Conocidos los valores de qppq SyS && se determinan las pérdidas en el sistema, empleando (3.8).
b2. Sistemas con barras de carga, tensión controlada y flotante: Normalmente un SEP incluye
además de las barras de carga y flotante, barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir
regular la tensión en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una
fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido.
Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa, es
necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuación (3.19) para determinar el
voltaje complejo en ella.
A partir de la ecuación para la barra p de la expresión (3.11), se puede escribir:
∑
=
=+++++=−=
n
1q
qpq
*
pnpnppp22p11p
*
ppp
*
p VYVVY···VY···VYVY(VjQPS &&&&&&&&&& (3.21)
es decir:
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∑−=
=
n
1q
qpq
*
pp VYVagImQ && (3.22)
Cuando se emplea la ecuación (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe emplearse corresponde al
indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el voltaje, debe tenerse en
cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo.
Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada: En el cálculo del flujo de
potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia
reactiva de las fuentes de potencia.
Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:
CpGpp QQQ −= (3.23)
Además:
(QGp)máx : Valor máximo de generación de potencia reactiva de la fuente.
(Qgp)mín : Valor mínimo de generación de potencia reactiva de la fuente.
QCp : Potencia reactiva de la carga en la barra
32
Los límites de potencia reactiva para la barra p serán:
máxppmínp )Q(Q)Q( ≤≤ (3.24)
donde: CpmáxGpmáxpCpmínGpmínp Q)Q()Q(yQ)Q()Q( −=−=
Si el valor de la potencia reactiva calculado según (3.22) en una iteración cualquiera k, Qp
k
, excede el
límite máximo o mínimo prefijado, significa que es imposible obtener una solución con la tensión
especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa
iteración, en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. En las
iteraciones siguientes, el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra,
siempre que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos
del sistema, que lo permitan.
Para explicar mejor el procedimiento,
considérese el sistema de 3 barras de la
Figura 3.6.
Sean:
Barra 1: Flotante
Barra 2: de carga
Barra 3: de tensión controlada
La secuencia de cálculo aplicando el
Método de Gauss-Seidel YB es:
1 2
3
Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el método de
Gauss-Seidel YB
1. Especificar los datos necesarios: V1, θ1, P2, Q2, P3, V3 y los parámetros para determinar la matriz YB
2. Suponer los valores iniciales: 0
3
0
2
0
2 ,,V θθ . Normalmente se usa 1,0 (pu) para los módulos de voltaje y
0º para los ángulos; V3 está especificado
3. Calcular la tensión en la barra 2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
= 0
323121*0
2
22
22
1
2 VYVY
)V(
jQP
Y
1
V &&&&
&
& (3.25)
4. Calcular la potencia reactiva en la barra 3
{ }0
333
1
232131
*0
3
0
3 VYVYVY()V(ImQ &&&&&& ++−= (3.26)
5. Verificar si 0
3Q está dentro de los límites establecidos
6. Si 0
3Q está dentro de los límites, determinar la tensión en la barra 3 según (3.27), mantener el valor
especificado para V3 y cambiar el ángulo inicial por el determinado con (3.27)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
= 1
232131*0
3
0
33
33
1
3 VYVY
)V(
jQP
Y
1
V &&&&
&
& (3.27)
7. Si 0
3Q no está dentro de los límites, reemplazar 0
3Q en (3.27) por el valor del límite excedido,
tomando el valor de 1
3V& calculado en (3.27) completo (módulo y ángulo).
33
8. Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuación (3.20), por
ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de cálculo de las tensiones finaliza y se
determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas según ecuaciones (3.6) y (3.7) y (3.8).
9. Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso.
Ejemplo 3.1. Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas
Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las
barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas, las pérdidas del
sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la
carga SC1.
Tabla Nº 1: Datos de las líneas
Línea Z (pu) Y’/2 (pu)
1-2 0,04+j0,12 j0,05
1-3 0,02+j0,06 j0,06
2-3 0,06+j0,18 j0,05
Tabla Nº 2: Datos de las barras
Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC
1 PQ - - - 0,6 0,25
2 PV 1,04 0,2 - 0,0 0,0
23
1
SC1
G3 G2 PG2
Figura 3.7
Límites de generación de Q en la barra 2: −1 ≤ QG2 ≤ 1 3 SL 1,06 - - 0,0 0,0
Solución:
a) Determinación de la matriz de admitancia de barras YB
º43,1088114,1515j5
06,0j02,0
1
YY
º43,1082705,55j6667,1
18,0j06,0
1
YY
º43,1089057,75,7j5,2
12,0j04,0
1
YY
º47,719775,2089,19j6667,605,0j06,0j
18,0j06,0
1
06,0j02,0
1
Y
º43,710813,134,12j1667,405,0j05,0j
18,0j06,0
1
12,0j04,0
1
Y
º48,716128,2339,22j5,706,0j05,0j
06,0j02,0
1
12,0j04,0
1
Y
1331
3223
2112
33
22
11
∠=+−=
+
−==
∠=+−=
+
−==
∠=+−=
+
−==
−∠=−=++
+
+
+
=
−∠=−=++
+
+
+
=
−∠=−=++
+
+
+
=
b) Valores iniciales y otros datos
1Q1:2barralaenQdeLímites
2,002,0P;25,0j6,0)25,00(j6,00S
)slackBarra(doespecifica,º006,1V;º004,1V;º01V
2
21
3
0
2
0
1
≤≤−
=−=−−=−+−=
∠=∠=∠=
&
&&&
34
c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuación (3.19)
º23,10401,1V
º006,1*º43,1088114,15º004,1*º43,1089057,7
º01
25,0j6,0
º48,716128,23
1
V
1
1
1
1
−∠=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∠∠−∠∠−
∠
+−
−∠
=
&
&
Antes de determinar 1
2V& se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2, expresión (3.22)
{ }
límites)losentre(está2693,0Q
º004,1*º006,1º*43,1082705,5º004,1*º43,710813,13º23,10401,1*º43,1089057,7ImQ
0
2
0
2
−=
∠∠∠+∠−∠+−∠∠−=
La tensión 1
2V& se determina usando de nuevo la expresión (3.19), es decir:
º23,004,1Vº23,00414,1V
º006,1*º43,1082705,5º23,10401,1*º43,1089057,7
º004,1
2693,0j2,0
º43,710813,13
1
V
1
2
1
2
1
2
∠=⇒∠=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∠∠−−∠∠−
∠
+
−∠
=
&&
&
d) Cálculo de los flujos de potencia en las líneas: Usando las expresiones (3.6) y (3.7) y considerando que:
º57,718114,1515j5
06,0j02,0
1
YY
º57,712705,55j6667,1
18,0j06,0
1
YY
º57,719057,75,7j5,2
12,0j04,0
1
YY
1331
3223
2112
−∠=−=
+
==
−∠=−=
+
==
−∠=−=
+
==
se tiene:
{ }
{ }
º29,302401,01211,0j2073,0S
º57,719057,7*º23,10401,1*º23,004,104,1*º9005,0º57,719057,7S
º94,1742064,00182,0j2056,0S
º57,719057,7*º23,004,1*º23,10401,10401,1*º9005,0º57,719057,7S
21
2
21
12
2
12
−∠=−=
∠∠∠−−∠+∠=
∠=+−=
∠−∠−∠−−∠+∠=
&
&
&
&
{ }
{ }
º0,7705875,00572,0j0132,0S
º57,712705,5*º23,004,1*º006,106,1*º9005,0º57,712705,5S
º33,941659,01654,00125,0S
º57,712705,5*º006,1*º23,004,104,1*º9005,0º57,712705,5S
32
2
32
23
2
23
∠=+=
∠−∠∠−−∠+∠=
−∠=−−=
∠∠∠−−∠+∠=
&
&
&
&
{ }
{ }
º01,1515227,02533,0j4572,0S
º57,718114,15*º006,1*º23,10401,10401,1*º9006,0º57,718114,15S
º24,164809,01345,0j4617,0S
º57,718114,15*º23,10401,1*º006,106,1*º9006,0º57,718114,15S
13
2
13
31
2
31
−∠=−−=
∠∠−∠−−∠+∠=
∠=+=
∠∠∠−−∠+∠=
&
&
&
&
35
e) Pérdidas: Utilizando la ecuación (3.8) se tiene:
1188,0j0045,02533,0j4572,01345,0j4617,0SSS
1082,0j0007,00572,0j0132,01654,0j0125,0SSS
1029,0j0017,01211,0j2073,00182,0j2056,0SSS
133131L
322323L
211212L
−=−−+=+=
−=++−−=+=
−=−++−=+=
&&&
&&&
&&&
f) Potencia entregada por el generador de la barra slack
1917,0j4749,00572,0j0132,01345,0j4617,0SSS 32313G +=+++=+= &&&
g) Verificación de la potencia recibida por la carga SC1
2351,0j6628,0)2533,0j4572,0()0182,0j2056,0(SSS 13121C +=−−−+−−=−−= &&&
Observación: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga. ¿Porqué?
Factores de Aceleración: La experiencia con el método de Gauss-Seidel YB para el cálculo de flujos
de potencia ha mostrado que se puede reducir considerablemente el número de iteraciones requeridas si la
corrección en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje
sea más cercano al valor al que se está aproximando. El multiplicador que realiza esto, se denomina factor de
aceleración. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteración actual 1k
pV +& y el
mejor que se obtuvo en la iteración anterior ac
k
p )V( & se multiplica por un α apropiado para obtener una mejor
corrección que se agrega a este último. Es decir:
[ ]ac
k
p
1k
pac
k
pac
1k
p )V(V)V()V( &&&& −α+= ++
(3.28)
La elección del valor de α depende del sistema en estudio. Hay valores óptimos de los factores de
aceleración para cualquier sistema. Una mala selección de ellos puede dar como resultado una convergencia
menos rápida o hacerla imposible. Normalmente, en los estudios de flujos de potencia, α varía entre 1,3 y 1,8.
Generalmente, un factor de aceleración de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena selección.
Sin embargo, es posible que el factor de aceleración utilizado para la componente real pueda diferir del usado
para la componente imaginaria.
3.5.3. Método de Newton Raphson
a. Formulación general: Este método es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen
de cálculos, pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. El
problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un
sistema de n ecuaciones de la forma:
0)x,.....,x,x(f
...............................
0)x,.....,x,x(f
0)x,.....,x,x(f
n21n
n212
n211
=
=
=
(3.29)
Si se supone una estimación inicial del vector solución:
[ ] [ ]0
n
0
2
0
1
0
x......xxx = (3.30)
36
Al que le falta un residuo [ ] [ ]0
n
0
2
0
1
0
x......xxx ΔΔΔ=Δ , para llegar a la solución correcta; esto es,
tener 0)xx(f 0
i
0
i =Δ+ , aunque 0)x(f 0
i ≠ , se tiene:
0)xx,.....,xx,xx(f
...............................................................
0)xx,.....,xx,xx(f
0)xx,.....,xx,xx(f
0
n
0
n
0
2
0
2
0
1
0
1n
0
n
0
n
0
2
0
2
0
1
0
12
0
n
0
n
0
2
0
2
0
1
0
11
=Δ+Δ+Δ+
=Δ+Δ+Δ+
=Δ+Δ+Δ+
(3.31)
Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores 0
ix se tiene:
n
0
n
n0
n
0
1
n0
1
0
n
0
1n
0
n
0
n
0
1
0
1n
1
0
n
10
n
0
1
10
1
0
n
0
11
0
n
0
n
0
1
0
11
x
f
x.....
x
f
x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f
...............................................................
x
f
x.....
x
f
x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f
φ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ+=Δ+Δ+
φ+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ+=Δ+Δ+
(3.32)
donde iφ es el residuo en la serie de Taylor, que contiene los términos de orden superior
0
i
j
x
f
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
: representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en 0
ix
Como los 0
ixΔ son pequeños, se pueden despreciar los términos de orden superior y se obtiene:
0
x
f
x.....
x
f
x)x,.....,x(f
...............................................................
0
x
f
x.....
x
f
x)x,.....,x(f
0
n
n0
n
0
1
n0
1
0
n
0
1n
0
n
10
n
0
1
10
1
0
n
0
11
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
Δ+
(3.33)
con i, j = 1, 2, …, n
Matricialmente se puede escribir:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
)x(f
)x(f
0
n
0
1
0
n
n
0
1
n
0
n
1
0
1
1
0
in
0
i1
MM
L
MLM
L
M (3.34)
Es decir:
[ ] [ ][ ] [ ]0xJ)x(f 000
=Δ+ (3.35)
Donde cada vector y matriz está definido según las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:
37
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)x(f
)x(f
)x(f
0
in
0
i1
0
M Vector función evaluada en 0
ix
[ ]
x
f
x
f
x
f
x
f
J
0
n
n
0
1
n
0
n
1
0
1
1
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
L
MLM
L
Matriz Jacobiana evaluada en 0
ix
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
=Δ
0
n
0
1
0
x
x
x M Vector residuo evaluado en 0
ix
A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en 0
ix ; [ ]x0
Δ se puede escribir:
[ ] [ ] [ ])x(fJx 0100 −
−=Δ (3.36)
En general entonces, el residuo en una iteración k es:
[ ] [ ] [ ])x(fJx k1kk −
−=Δ (3.37)
Suponiendo que se conoce [ ]k
x (vector de valores aproximados de la variable), entonces puede
obtenerse una aproximación mejor [ ]1k
x +
de la forma:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])x(fJxxxx k1kkkk1k −+
−=Δ+= (3.38)
Como se han despreciado los términos de orden superior, [ ]1k
x +
no será la solución correcta y se
debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfaga algún criterio de convergencia, tal como:
ε≤−+ k1k
xx (3.39)
b. Aplicación al cálculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia, los xi
corresponden a las tensiones de las barras (módulo y ángulo), de manera que la ecuación (3.37) se puede
escribir como:
[ ] ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ −
k
k1k
k
k
Q
P
J
V
(3.40)
en que:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
calcesp
calcesp
QQ
PP
Q
P
(3.41)
38
Donde Pesp
y Qesp
son los valores de P y Q especificados o programados y Pcalc
y Qcalc
son los
respectivos valores que se van calculando en cada iteración. Para mayor comodidad, a los valores calculados,
se les eliminará el superíndice calc, es decir, se designarán simplemente como P y Q.
Según (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de:
*
q
n
1q
*
pqpppp VYVjQPS ∑=+=
=
&& (3.42)
Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de línea en forma rectangular se
tiene que:
pqpqpqqqqppp BjGYyVV;VV +=θ∠=θ∠= &&& (3.43)
Reemplazando (3.43) en (3.42), con qppq θ−θ=θ se obtiene:
∑ θ+θ−=+=
=
n
1q
pqpqpqpqqpppp )sinj(cos)BjG(VVjQPS& (3.44)
de (3.44) se obtiene finalmente:
∑ θθ=
∑ θ+θ=
=
−
=
n
1q
pqpqpqpqqpp
n
1q
pqpqpqpqqpp
)cosBsinG(VVQ
)sinBcosG(VVP
(3.45)
A partir de (3.41) y (3.45), ΔP y ΔQ para la barra p se pueden determinar como:
∑ θθ−=Δ
∑ θ+θ−=Δ
=
−
=
n
1q
pqpqpqpqqp
esp
pp
n
1q
pqpqpqpqqp
esp
pp
)cosBsinG(VVQQ
)sinBcosG(VVPP
(3.46)
Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen:
– Para las barras PQ y PV
∑ θ+θ−=Δ
=
n
1q
pqpqpqpqqp
esp
pp )sinBcosG(VVPP (3.47)
– Para las barras PQ
∑ θθ−=Δ
=
−
n
1q
pqpqpqpqqp
esp
pp )cosBsinG(VVQQ (3.48)
– Para la barra slack no se requiere ecuaciones.
En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el
ángulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el
sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del
problema son V y θ para cada barra PQ y θ para cada barra PV.
39
Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las
barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV).
La Ecuación (3.40) queda entonces:
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ −
Q
P
J
V
1
(3.49)
Con ΔP y ΔQ calculados según (3.46). Luego, los valores actualizados para θ y V son:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡θ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡θ
+
+
k
k
k
k
1k
1k
VVV
(3.50)
Despejando ΔP y ΔQ de (3.49), considerando (3.34) y arreglando adecuadamente, para hacer más
fácil el manejo de las ecuaciones, se tiene:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
Δ∂
∂θ
Δ∂
∂
Δ∂
∂θ
Δ∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
V
V
LM
NH
V
V
V
Q
V
Q
V
P
V
P
Q
P
(3.51)
Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las
submatrices que forman el Jacobiano son:
[H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m
[M] es de m x (n-1) [L] es de m x m
Según lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensión, [(n-1)+m] x [(n-1)+m].
A partir de (3.51), se obtiene que:
q
p
qpq
q
p
pq
q
p
qpq
q
p
pq
V
Q
VL
Q
M
V
P
VN
P
H
∂
Δ∂
=
∂θ
Δ∂
=
∂
Δ∂
=
∂θ
Δ∂
=
(3.52)
Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue:
– para p ≠ q
qpqpqpqpqppq
qpqpqpqpqppq
qpqpqpqpqppq
qpqpqpqpqppq
V)cosBsinG(VL
V)sinBcosG(VM
V)sinBcosG(VN
V)cosBsinG(VH
θ−θ−=
θ+θ=
θ+θ−=
θ−θ−=
(3.53)
Se puede apreciar, que por la forma de la ecuación (3.51):
pqpq
pqpq
MN
LH
−=
=
(3.54)
40
– Para p = q
p
2
ppppp
p
2
ppppp
p
2
ppppp
p
2
ppppp
QVBL
PVGM
PVGN
QVBH
−=
−=
−−=
+=
(3.55)
Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana
tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser
calculado luego que el proceso haya convergido.
El proceso mediante el método de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras, se
muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas.
Elección de Tensiones
Iniciales
Iter=0
Calcular P y QΔ Δ
del sistema
Convergió
la solución?
Iter = Iter máx?
si
no
si
no
Iter = Iter+1
Formación del
Jacobiano
Inversión del
Jacobiano
Cálculo de
Δθ y VΔ
Corrección de Valores de y Vθ
Salida
Ingreso de Datos
Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson
41
En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteración. Sin embargo, en la
práctica se recalcula usualmente sólo un determinado número de veces en un rango de iteraciones, con el fin
de aumentar la velocidad al proceso iterativo.
Ejemplo 3.2. En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el
método de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en la iteración 1
Solución: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
θ∂
Δ∂
=
111211
212221
111211
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
LMM
NHH
NHH
V
Q
V
QQ
V
P
V
PP
V
P
V
PP
J
Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para p≠q y (3.55) para
p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q, utilizando (3.45)
y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3.1, que se resumen a continuación:
[ ] [ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
89,19515
54,125,7
155,739,22
B
6667,66667,15
6667,11667,45,2
55,25,7
G
º23,10401,1V1 −∠=& ; º23,004,1V2 ∠=& º006,1V3 ∠=&
Con (3.45) se obtiene:
P1=−0,6628; P2=0,1948; Q1=−0,235; Q2=−0,2865
Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−
=
9867,2391,27764,8
4967,26983,131790,8
4508,70412,84567,24
J
3.5.4. Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD)
Cuando se resuelven problemas que involucren un número considerable de barras, este método
representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria.
Se hace uso de una versión aproximada del método de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en
las siguientes consideraciones:
− Un cambio en el ángulo del voltaje θ en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P
en las líneas y débilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa que:
QP
∂θ
Δ∂
〉〉
∂θ
Δ∂
− Un cambio en el módulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva
Q en las líneas y débilmente a la potencia activa P. Por lo tanto:
V
P
V
Q
∂
Δ∂
〉〉
∂
Δ∂
42
De acuerdo con esto, en la ecuación (3.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H
respectivamente y se puede escribir:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
θΔ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
Δ∂
∂θ
Δ∂
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
V
V
L0
0H
V
V
V
Q
V0
0
P
Q
P
(3.56)
o bien:
[ ] [ ][ ]θΔ−=Δ HP (3.57)
[ ] [ ][ ]V
VLQ Δ−=Δ (3.58)
Estas ecuaciones están desacopladas, en el sentido que las correcciones de los ángulos de los voltajes
se calculan usando sólo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los
voltajes se determinan sólo con los cambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son
interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se están
resolviendo en la ecuación (3.58), mientras que los elementos de [L] dependen de los ángulos de la ecuación
(3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en
uno, las soluciones más recientes del otro. Esta aproximación significa aumentar el número de iteraciones, lo
que en la práctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteración, debido a la disminución del
tiempo ocupado en la inversión de las matrices [H] y [L] de menor dimensión que la del Jacobiano completo.
Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson
desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene:
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
9867,2300
06983,131790,8
004124,84567,24
J
3.5.5. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR)
El método de Newton Raphson desacoplado, requiere la inversión de dos matrices en cada iteración.
Para evitar estos cálculos, se introducen más simplificaciones que se justifican por las características que
presentan los flujos de potencia en las líneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisión bien
diseñado y operando apropiadamente. Estas características son:
− Las diferencias angulares θpq = θp-θq entre los voltajes de dos barras típicas son, por lo general, tan
pequeños que:
cos θpq = cos (θp-θq) = 1y sin θpq = sin (θp-θq) ≈ 0 (3.59)
− Las susceptancias Bpq de las líneas son mucho más grandes que las conductancias Gpq, por lo que:
Gpq sin (θp-θq) << Bpq cos (θp-θq) (3.60)
− La potencia reactiva Qp que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante su operación normal es
mucho menor que la potencia reactiva que fluiría si todas las líneas de la barra estuvieran en
cortocircuito con la referencia. Esto es:
VBQ 2
pppp << (3.61)
43
Con estas aproximaciones, y usando (3.45) se tiene:
∑ θ+θ=
n
1=q
qpqpqpqpqpp V)sinBcosG(VP (3.62)
Es decir:
∑ θ+θ+=
≠
=
n
pq
1q
qpqpqpqpqp
2
pppp V)sinBcosG(VVGP (3.63)
∑−−=∑−=
≠
n
pq
1=q
qpqp
2
ppp
n
1=q
qpqpp VBVVBVBVQ (3.64)
A partir de (3.63) y (3.64) y considerando (3.46), los elementos de [H] y [L] se obtienen como sigue:
qppq
q
p
qpqqppq
q
p
pq VVB
V
Q
VLVVB
P
H =
∂
Δ∂
==
∂θ
Δ∂
= (3.65)
p
2
pppq
n
1q
pqp
2
ppp
p
p
pp QVBVBVVB
P
H +=∑−=
∂θ
Δ∂
=
=
(3.66)
∑ −=+=
∂
Δ∂
=
≠
=
n
pq
1q
p
2
pppqpqp
2
ppp
p
p
ppp QVBVBVVB2
V
Q
VL (3.67)
según (3.61), las ecuaciones (3.66) y (3.67) quedan:
2
ppppppp VBLH == (3.68)
Considerando (3.57) y (3.58), para el nudo p se puede escribir:
∑ θΔ−θΔ−=Δ
≠
=
n
pq
1q
qpqpppp HHP (3.69)
∑
Δ
−
Δ
−=Δ
≠
=
n
pq
1q q
q
pq
p
p
ppp
V
V
L
V
V
LQ (3.70)
Introduciendo (3.65) y (3.68) en (3.69) y (3.70) se obtiene:
∑ θΔ+θΔ−=Δ
≠
=
n
pq
1q
qqpqpppppp )VBVB(VP (3.71)
∑
Δ
+
Δ
−=Δ
≠
=
n
pq
1q q
q
qpq
p
p
ppppp )
V
V
VB
V
V
VB(VQ (3.72)
Dividiendo ambas ecuaciones por Vp y simplificando los voltajes de la ecuación (3.72), las
ecuaciones anterires quedan:
44
∑ θΔ−θΔ−=
Δ
≠
=
n
pq
1q
qqpqpppp
p
p
VBVB
V
P
(3.73)
∑ Δ−Δ−=
Δ
≠
=
n
pq
1q
qpqppp
p
p
VBVB
V
Q
(3.74)
Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones, lo que debería permitir mejorar el comportamiento
del proceso iterativo. Si fijamos arbitrariamente los Vp y Vq del segundo miembro de la ecuación (3.73) en
1,0 (pu), los coeficientes de ambas ecuaciones quedan iguales, es decir:
∑ θΔ−θΔ−=
Δ
≠
=
n
pq
1q
qpqppp
p
p
BB
V
P
(3.75)
∑ Δ−Δ−=
Δ
≠
=
n
pq
1q
qpqppp
p
p
VBVB
V
Q
(3.76)
Matricialmente se tiene:
[ ][ ]θΔ=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Δ
'B
V
P
(3.77)
[ ][ ]V''B
V
Q
Δ=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Δ
(3.78)
donde B’ es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB, sin la fila y columna correspondiente a
la barra slack y B” es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB sin las filas y columnas
correspondientes a las barras slack y PV
Una estrategia típica de solución es la siguiente:
1. Calcular los errores iniciales ΔP/V
2. Resolver la ecuación (3.77) para determinar Δθ
3. Actualizar los ángulos θ y usarlos para calcular los errores ΔQ/V
4. Resolver (3.78) para calcular ΔV
5. Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores ΔP/V
6. Volver al punto 2. y repetir el proceso hasta que todos los errores estén dentro de la tolerancias
especificadas.
Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 escriba la matriz Jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado
rápido.
Solución: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.2 se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
==⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
39,2200
04,125,7
05,739,22
J:tantolopor;39,22"By
4,125,7
5,739,22
'B
45
3.6. Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia de Corriente Continua
Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corriente continua. El método es
aplicable a los Sistemas Eléctricos de Potencia que operan a corriente alterna haciendo ciertas
simplificaciones que permitan analizar la red como si fuera de corriente continua, teniendo la ventaja de que
se trabaja con números reales, simplificando mucho los cálculos. Sin embargo, sólo se obtienen los flujos de
potencia activa.
El análisis considera la base
fundamental de los flujos de potencia en
corriente alterna ya estudiados.
Consideremos la línea conectada
entre los nudos p y q de la Figura 3.9.
La potencia compleja que va desde
la barra p a la barra q, es:
Vp qpqY' /2 pqY' /2 V
Spq
Ipq
Zpq Ypq( )
p q
Figura 3.9.- Modelo de una línea de transmisión para el
cálculo de flujo de potencia DC
[ ] pqpq
*'
pqppqqpp
*
pqppq jQP)2Y(VY)VV(VIVS +=+−== &&&&&& (3.79)
Sea:
'
pq
'
pqpqpqpqqqq;ppp jBYyBjGY;VVVV =+=θ∠=θ∠= &&& (3.80)
2
pq
2
pq
pq
pq2
pq
2
pq
pq
pq
XR
X
By
XR
R
G
+
−=
+
= (3.81)
Entonces:
)2B(jV)jBG()VV(VS '
pq
2
ppqpqqqpppppq −−θ−∠−θ−∠θ∠=& (3.82)
Es decir:
[ ] )2B(jV)jBG()sinj(cosVVVS '
pq
2
ppqpqpqpqqp
2
ppq −−θ+θ−=& (3.83)
Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es:
pqqppqpqpqqp
2
ppq sinVVBG)cosVVV(P θθ−= − (3.84)
Suposiciones simplificatorias
a) Vp = Vq = 1,0 (pu)
b) Rpq << Xpq
c) θpq = θp - θq es muy pequeño
A partir de b) y considerando (3.81) se tiene que:
0G
XR
X
XR
R
G pq2
pq
2
pq
pq
2
pq
2
pq
pq
pq =⇒
+
<<
+
= (3.85)
pq
2
pq
2
pq
pq
pq
X
1
XR
X
B −=
+
−= (3.86)
46
Según c)
radianes)(sinsin
1)(coscos
qpqppq
qppq
θ−θ≈θ−θ=θ
≈θ−θ=θ
Por lo tanto (3.84) queda:
pq
qp
qppqpq
X
)(BP
θ−θ
=θ−θ= − (3.87)
Para una red eléctrica que tiene n nudos las potencias netas inyectadas en cada nudo se pueden
escribir:
∑
θ−θ
∑ ==
==
n
1q pq
qpn
1q
pqp
X
PP (3.88)
Donde q incluye todos los nodos directamente conectados al nodo p. Luego para los n nudos se tiene
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
θ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
p
1
nnnp1n
pnpp1p
n1p111
n
p
1
BBB
BBB
BBB
P
P
P
M
M
LL
MMMMM
LL
MMMMM
LL
M
M
(3.89)
o sea:
[ ] [ ][ ]θ= BP (3.90)
en que:
[ ]:P Vector de potencias activas netas en las barras
[ ]:B Matriz de susceptancias del sistema
[ ]:θ Vector de ángulos de las tensiones de las barras
Los elementos de la matriz [ ]B se determinan como sigue:
∑=
=
n
1q pq
pp
X
1
B (3.91)
Con p ≠ referencia y donde q incluye todas las líneas conectadas al nudo p
referenciapcon0Bpp == (3.92)
referenciaqypcon
X
1
B
pq
pq ≠−= (3.93)
referenciaqóreferenciapcon0Bpq === (3.94)
47
De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.91) a (3.94), la matriz[ ]B , tal como se planteó en
(3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra de referencia contienen solamente
ceros. Así, para un sistema de n barras sólo hay (n-1) ecuaciones linealmente independientes, por lo que se
debe considerar la submatriz de [ ]B con dimensión (n-1)x(n-1), la que puede invertirse para solucionar el
problema del cálculo de los ángulos de fase de las tensiones de las barras. A partir de (3.90) se obtiene
entonces:
[ ] [ ] [ ]PB
-1
=θ (3.95)
Como se aprecia, el procedimiento es muy sencillo, ya que el sistema es lineal y por lo tanto todos los
ángulos de las tensiones de las barras se pueden determinar utilizando (3.95) para luego mediante (3.87),
determinar los flujos de potencia activa en las líneas.
Ejemplo 3.5. Resuelva el Ejemplo 3.1 utilizando el método de Flujo DC.
Solución: A partir de los parámetros dados en el ejemplo 3.1 se tiene:
3333,8
12,0
1
BB;8889,13
18,0
1
12,0
1
B;25
06,0
1
12,0
1
B 21122211 −=−===+==+=
0BBBBB 3223133133 =====
Por otra parte: P1=-0,6; P2=0,2; luego, la ecuación matricial queda, según (3.90):
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
8889,133333,8
3333,825
P
P
Resolviendo la ecuación se obtiene:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
0
024,0
2,0
6,0
09,003,0
03,005,0
P
P
8889,133333,8
3333,825
2
1
-1
2
1
Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las líneas, utilizando (3.87)
0
18,0
00
X
P
4,0
06,0
0024,0
X
P
2,0
12,0
0024,0
X
P
23
32
23
13
31
13
12
21
12
=
−
=
θ−θ
=
−=
−−
=
θ−θ
=
−=
−−
=
θ−θ
=
La potencia que entrega el generador en la barra slack es:
4,04,00PPP 31323G =+=+=
La potencia recibida por la carga es:
6,04,02,0PPP 31211C =+=+=
48
Problemas propuestos
3.1. En el sistema mostrado en la Figura 3.10, empleando el método de Gauss Seidel-YB, calcular la tensión
en las barras 2 y 3 en la segunda iteración ( 2
3
2
2 VyV && ) y la potencia compleja entregada por el generador en
estas condiciones. La tensión en la barra 1 se mantiene constante en su valor nominal y los datos en % están
dados considerando SB=100 MVA.
3.2. En el sistema de la Figura 3.11 y empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determinar:
a. La tensión en la barra 3 considerando que 01,0VV k
3
1k
3 ≤−+
b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y
reactiva del sistema.
1 32
G
Y/2=j1,5%
X=10%
Z=j50%
S=(8+j4) MVA
.
S=(25+j18) MVA
.
S
.
G
Figura 3.10
1,05 0º
0,4 + j0,5
(20 + j12) MVA
X = 0,11 2
G
X= 0,5
3
Figura 3.11
3.3. Para el sistema de la Figura 3.12, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2.
a. Determinar el voltaje en todas las barras, haciendo dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel YB y
con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas.
b. Determinar los elementos del Jacobiano desacoplado rápido del sistema.
c. Correr un flujo DC y determinar los ángulos de los voltajes, los flujos de potencia activa en las líneas y
la potencia activa entregada por el generador G3
Tabla Nº 1: Datos de las líneas
Línea Z (pu) Y’/2 (pu)
1-2 0,04+j0,10 j0,06
1-3 0,02+j0,08 j0,07
2-3 0,06+j0,20 j0,04
Tabla Nº 2: Datos de las barras
Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC
1 PQ - - - 0,8 0,2
2 PQ - 0,2 0,1 0,0 0,0
23
1
SC1
SC3 G3 G2
Figura 3.12
3 SL 1,06 - - 0,4 0,1
3.4. La Figura 3.13 muestra un sistema de tres barras. La barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,05 (pu), la
barra 3 es de tensión controlada (BTC) y el módulo del voltaje en ella está especificado en 1,05 (pu). La
potencia reactiva del condensador síncrono puede variar entre 0 y 0,6 (pu). Determinar:
a. Las tensiones en las barras, haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB
b. Los flujos de potencia activa y reactiva en las líneas
c. Las pérdidas de potencia activa y reactiva
d. La potencia compleja entregada por el generador G1
e. La potencia reactiva suministrada por el condensador de la barra 3.
49
3.5. En el sistema de la Figura 3.13, suponga que los valores de las tensiones en una iteración cualquiera son:
=1V& 1,05 ∠0º; =2V& 1,04∠-2,5º; =3V& 1,05∠-1,5º. Determinar:
a. El Jacobiano completo en esa iteración
b. El Jacobiano desacoplado
c. La matrices [B’] y [B”]
G1 G2
1 2
3
j 0,08
j 0,05 j0,04
S=2,0+j1,0 S=0,4+j0,4
S=1,0+j1,4
S=1,2+j0,8
C
Figura 3.13
3.6. En el sistema de dos barras de la Figura 3.14, los datos en pu están en base 100 MVA, la barra 1 es la
barra slack y su voltaje es 1,04 (pu). En la barra 2, hay un compensador síncrono (CS) que mantiene
constante el módulo del voltaje en 1,05 (pu).
a. Determinar el voltaje en la barra 2 haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB y con los
valores anteriores, calcular la potencia reactiva que debe entregar (recibir) el compensador síncrono y las
potencias activa y reactiva que debe entregar (recibir) el generador.
b. Determinar los elementos de la matriz Jacobiana completa, considerando que los voltajes en la barra 1 y
2 son de 1,04 ∠0º y 1,05 ∠-4.5º respectivamente.
G
1 2
j0,1
S =(100-j40) MVAS =(40+j20) MVA
CS
-0,4 ≤ QG2 ≤ 0,4 QG2
c1 c2
P + jQG1 G1
Figura 3.14
3.7. En el sistema de la Figura 3.15, la barra 3 es
BTC con una tensión de 1 (pu). Empleando el
método de Gauss-Seidel-YB, determine:
a. La tensión en la barra 3, considerando que
k
3
1k
3 θ−θ +
≤ 0,5
b. Las potencias activa y reactiva
suministradas por el Generador G y las
pérdidas de potencia activa y reactiva del
sistema.
C
1,05 0º
0,4 + j0,5
(20 + j12) MVA
X = 0,11 2
G
X= 0,7
3
0 ≤ QC≤ 0,4
Figura 3.15
c. La potencia reactiva que debe entregar el condensador ubicado en la barra 3. Los datos están en pu base
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  • 1. CAPITULO 3 CALCULO DE FLUJOS DE POTENCIA 3.1. Introducción El cálculo y análisis del flujo de potencias en la red de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) es uno de los aspectos más importantes de su comportamiento en régimen permanente. Consiste en determinar los flujos de potencia activa y reactiva en cada línea del sistema y las tensiones en cada una de las barras, para ciertas condiciones preestablecidas de operación. Hasta el año 1950, el Cálculo del Flujo de Potencias (CFP) se realizaba utilizando principalmente los Analizadores de Redes de Corriente Alterna (ARCA) y en algunos casos, los Analizadores de Redes de Corriente Contínua (ARCC) que corresponden a una simulación a escala del Sistema Real. En la actualidad, el CFP se realiza fundamentalmente, utilizando los computadores digitales por las grandes ventajas que éstos presentan respecto a los analizadores de redes. El análisis del flujo de potencias (AFP) permite: − Programar las ampliaciones necesarias del SEP y determinar su mejor modo de operación, teniendo en cuenta posibles nuevos consumos, nuevas líneas o nuevas centrales generadoras. − Estudiar los efectos sobre la distribución de potencias, cuando se producen pérdidas temporales de generación o circuitos de transmisión. − Ayudar a determinar los programas de despacho de carga para obtener un funcionamiento óptimo. 3.2. Planteamiento del problema básico Considérese el SEP elemental de dos barras de la Figura 3.1 y su circuito equivalente por fase que se muestra en la Figura 3.2. La línea L12 se ha representado por su circuito π nominal y donde: 21 SyS && : Potencias complejas netas de las barra 1 y 2 respectivamente, representadas como fuentes de potencia activa y reactiva, que corresponden a la Potencia Generada menos la Potencia Consumida. 2112 SyS && : Flujos de potencia compleja que van desde la barra 1 a la barra 2 y viceversa. 1 2 G2S L12 12S S21 C1S C2S G1 G2 SG1 Figura 3.1.- Sistema elemental de dos barras para plantear el problema básico 1 2 SS1 2 V1 2V Y/2 R + j XL L Y/2 Figura 3.2.- Circuito equivalente por fase del sistema de la Figura 3.1 En la Figura 3.1, las potencias complejas netas de las barras 1 y 2 son: 222C2G2C2G2C2G2 111C1G1C1G1C1G1 jQP)QQ(j)PP(SSS jQP)QQ(j)PP(SSS +=−+−=−= +=−+−=−= &&& &&& (3.1)
  • 2. 26 En el circuito de la Figura 3.2 se puede escribir: LL 12 2* 2 22 * 2 * 2 LL 21 1* 1 11 * 1 * 1 jXR VV 2 Y V V jQP V S jXR VV 2 Y V V jQP V S + − += − = + − += − = && & && & (3.2) Estas ecuaciones, que relacionan las tensiones con las potencias activas y reactivas, presentan las siguientes características. − Son algebraicas y no lineales. − La frecuencia no aparece en forma explícita porque se la supone constante. − El sistema de cuatro ecuaciones, tiene 12 variables en total: PG1, PG2, QG1, QG2, PC1, PC2, QC1, QC2, V1, θ1, V2, θ2, por lo que no es posible obtener una solución para ninguna de ellas a menos que se reduzca el número de incógnitas, fijando de antemano algunas variables. En relación a esto último, una forma posible de resolver el problema es la siguiente: − A partir de los datos del consumo suponer conocidas e independientes del voltaje, las potencias de las cargas PCi, QCi, con i = 1,2. − Fijar a priori dos variables de generación PG2 y QG2 por ejemplo. No se pueden fijar las cuatro variables de generación debido a que las pérdidas en el sistema no son conocidas inicialmente. − Fijar el módulo y ángulo de la tensión en barra 1; es decir; suponer conocidos V1, θ1. En particular, puede tomarse esta tensión como referencia, o sea, θ1=0 En estas condiciones, el sistema de 4 ecuaciones (3.2) queda con sólo 4 variables: PG1, QG1, V2, θ2. 3.3. Modelo de representación del SEP Teniendo presente el análisis del problema básico y con el objeto de establecer un procedimiento general para el CFP, es necesario considerar lo siguiente: 3.3.1. Tipos de Barras Asociados a cada barra p de un SEP existen cuatro variables, Pp; Qp; Vp; θp. Según las variables conocidas y desconocidas, las barras se clasifican en los siguientes grupos: − Barras de Carga (Barras P-Q): Pp y Qp están especificadas; Vp y θp son las incógnitas − Barras de tensión controlada (Barra P-V): Pp y Vp están especificadas; Qp y θp son las incógnitas. En este tipo de barra debe existir alguna fuente controlable de potencia reactiva. − Barra flotante (Barra V& ): Vp y θp están especificados; Pp y Qp constituyen las incógnitas. En esta barra debe existir por lo menos un generador. La necesidad de definir esta barra nace del hecho que no es posible especificar a priori, la potencia total que es necesario generar en el sistema debido a que inicialmente no se conocen las pérdidas en el mismo. La barra flotante debe suministrar la diferencia entre la potencia compleja inyectada al sistema en el resto de las barras y la carga total más las pérdidas. Esta barra se conoce también con otros nombres tales como: de referencia, oscilante, de relajación (slack).
  • 3. 27 3.3.2. Representación de los elementos del SEP a. Líneas: Se representan usualmente por su circuito π nominal. Para una línea conectada entre las barras p y q de un SEP, el circuito equivalente corresponde al mostrado en la Figura 3.3. En algunos casos, basta representar la línea por su impedancia serie. b. Transformadores: Cuando funcionan en su razón nominal, se representan por su impedancia de cortocircuito. Cuando operan con cambio de TAP y razón no nominal, se pueden representar por su circuito equivalente π que se muestra en la Figura 3.4, cuyos parametros se indican en la ecuación (3.3). Vp qpqY' /2 pqY' /2 V Spq Ipq Zpq Ypq( ) Sqp qpI p q Figura 3.3.- Circuito equivalente π de una línea para el cálculo de flujos de potencia A B CV1 V2 I1 I2 + - + - Figura 3.4.- Modelación circuital en tanto por unidad de un transformador con cambio de TAP ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − ββ = αβ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β − αα = 11Y C Y B 11Y A (3.3) Con α=1+t1 y β=1+t2; y donde t1 y t2, representan el cambio del Tap, en el lado respectivo. c. Generadores: Se consideran normalmente como fuentes de potencia activa y reactiva. 3.4. Planteamiento matemático del problema para un SEP de “n” barras 3.4.1. Ecuaciones de Barras Considérese una barra p cualquiera de un sistema tal como se muestra en la Figura 3.5. La potencia compleja neta, pS& y la corriente inyectada en la barra p, pI& están relacionadas por las siguientes ecuaciones, que constituyen las ecuaciones de barras. Vp p Resto del SEP + - Ip Figura 3.5.- Representación de una Barra p en un SEP * p pp * p * p p pp * ppp V jQP V S I jQPIVS − == +== & & (3.4) 3.4.2. Ecuaciones del flujo de potencias A partir de la Figura 3.3 se puede escribir: )2Y(VY)VV(I ' pqppqqppq &&&&&& +−= (3.5) La potencia compleja que fluye desde la barra p a la q está dada por: [ ] * pq * qp 2 p *' pq * pq * pqppq YVVV)2Y(YIVS &&& −+== (3.6)
  • 4. 28 Análogamente, la potencia compleja que fluye desde la barra q a la barra p estará dada por: [ ] * qpq * p 2 q *' qp * qp * qpqqp YVVV)2Y(YIVS &&& −+== (3.7) Las expresiones (3.6) y (3.7) corresponden a las ecuaciones del flujo de potencia a través de la línea. Conviene indicar que )2Y()2Y(yYY ' qp ' pqqppq &&&& == . Además, pqY& es el inverso de la impedancia entre las barras p y q, el que no debe confundirse con el valor correspondiente en la matriz YB, de la ecuación (3.10). 3.4.3. Potencia perdida en la transmisión De acuerdo con los sentidos adoptados para qppq SyS && , la potencia compleja perdida en la línea será: qppqLpq SSS &&& += (3.8) 3.4.4. Cálculo de las tensiones de barras Las ecuaciones (3.6) y (3.7) indican claramente que para resolver el problema del flujo de potencias se requiere determinar previamente las tensiones en todas las barras que correspondan. Empleando el método nodal de resolución de circuitos, en forma matricial, para la red de un SEP de n barras se puede escribir: [ ] [ ][ ]BBB VYI = (3.9) donde [ ]BI es el vector de corrientes inyectadas a las barras; [ ]BY es la matriz admitancia de barras y [ ]BV es el vector tensiones de barra, definidos como: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n p 2 1 B I I I I I & M & M & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n p 2 1 B V V V V V & M & M & & [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nnnp2n1n pnpp2p1p n2p22221 n1p11211 B YYYY YYYY YYYY YY···YY Y &L&L&& MLMLMM &L&L&& MLMLMM &L&L&& &L&&& (3.10) Teniendo presente que según (3.4), las corrientes inyectadas en las barras dependen de las potencias complejas netas respectivas y considerando (3.9) y (3.10), se puede escribir: nnnpnp22n11n* n * n npnppp22p11p* p * p nn2pp2222121* 2 * 2 nn1pp1212111* 1 * 1 VY···VY···VYVY V S VY···VY···VYVY V S VY···VY···VYVY V S VY···VY···VYVY V S &&&&&&&& MMMMM &&&&&&&& MMMMM &&&&&&&& &&&&&&&& +++++= +++++= +++++= +++++= (3.11)
  • 5. 29 Este sistema de ecuaciones es similar al obtenido en el problema elemental de 2 barras; es decir; las ecuaciones son algebraicas y no lineales, por lo tanto es necesario resolverlo mediante técnicas de aproximaciones sucesivas. 3.5. Técnicas de solución para el problema del flujo de potencias Existen actualmente diversos métodos para resolver el problema de cálculo del flujo de potencias, los que reciben nombres según sea el procedimiento que se aplique para calcular las tensiones. Entre ellos podemos mencionar el de Gauss, el de Gauss-Seidel, los de Newton-Raphson (Completo, Desacoplado, Desacoplado rápido), el flujo DC, etc. Estudiaremos a continuación, cada uno de ellos, considerando en primer lugar el procedimiento general y luego las aplicaciones al cálculo de flujo de potencias 3.5.1. Método de Gauss Se emplea para resolver un problema lineal o no lineal. Por simplicidad se considerará un sistema lineal de ecuaciones, como el indicado en (3.12), para fundamentarlo. Sin embargo, su aplicación a un sistema no lineal resulta inmediata. 3333232131 2323222121 1313212111 yxaxaxa yxaxaxa yxaxaxa =++ =++ =++ (3.12) Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera se obtiene: 3323213133 2232312122 1131321211 )/axaxa(yx )/axaxa(yx )/axaxa(yx −−= −−= −−= (3.13) Sean 0 3 0 2 0 1 x,x,x , valores iniciales estimados a priori de la solución del sistema (3.12), entonces, reemplazando estos valores en (3.13) se tiene: 33 0 232 0 1313 1 3 22 0 323 0 1212 1 2 11 0 313 0 2121 1 1 a/)xaxay(x a/)xaxay(x a/)xaxay(x −−= −−= −−= (3.14) El procedimiento continua hasta que se satisface algún “criterio de convergencia” tal como, por ejemplo, el indicado en (3.15), donde ε es una cantidad de valor pequeño y positivo. A cada etapa del proceso se le denomina “iteración”. 3,2,1iconxx k i 1k i =ε≤−+ (3.15) Aplicando el método a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas; para la incógnita xi, después de k iteraciones, y con i= 1, 2,.....; n; se puede escribir: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∑−= ≠ = + n ij 1j k jiji ii 1k i xay a 1 x (3.16)
  • 6. 30 Los inconvenientes de este procedimiento son el gran número de pasos que se requiere para llegar al resultado y la ocurrencia relativamente alta de situaciones en que no hay convergencia, por lo que no se utiliza para resolver el problema de cálculo de los voltajes de la ecuación (3.11). Sin embargo, constituye la base para la formulación del Método de Gauss-Seidel, lo que justifica su análisis. Al aplicar la ecuación (3.16) al problema de cálculo de los voltajes en las barras del sistema de ecuaciones (3.11) se obtiene: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∑ ≠ = + n pq 1q k qpq*k p pp pp 1k p VY )V( jQP Y 1 V && & & (3.17) Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack). La ecuación (3.17) se conoce como método de Gauss YB, porque usa el Método de Gauss y se trabaja con la matriz admitancia de barras del sistema eléctrico. La expresión es válida sólo para las barras de carga. En el caso en que el SEP contenga barras de tensión controlada, la ecuación (3.17) debe ser modificada, pues en este tipo de barras no se conoce el valor de la potencia reactiva Qp. Por lo dicho en el párrafo anterior, la modificaciones requeridas se estudiarán al considerar el Método de Gauss-Seidel YB. 3.5.2 Método de Gauss-Seidel a. Caso general: Corresponde a una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente. En el método de Gauss-Seidel en cambio, los valores calculados en una iteración determinada, se utilizan inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la misma iteración. De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han determinado ;x.....,,x,x 1k 1i 1k 2 1k 1 + − ++ entonces, los valores que se utilizan para calcular 1k ix + serán k n k 2i k 1i 1k 1i 1k 2 1k 1 x.....,,x,x,x.....,,x,x ++ + − ++ Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n ecuaciones de la forma dada por (3.12) es: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∑−∑−= += − = ++ n 1ij k jij 1i 1j 1k jiji ii 1k i xaxay a 1 x (3.18) b. Aplicación del método de Gauss-Seidel YB al cálculo flujos de potencia: El cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello se considerarán en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso más simple. A continuación se analizará la situación de las barras de tensión controlada. b1. Sistemas con barras de carga y flotante solamente: Aplicando la ecuación (3.18) al sistema (3.11) se tiene: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ∑ ∑ − = += ++ 1p 1q n 1pq k qpq 1k qpq*k p pp pp 1k p VYVY )V( jQP Y 1 V &&&& & & (3.19) Donde: p = 1, 2, 3, ….., n; q= 1, 2, 3, ....., n y p ≠ s (barra slack).
  • 7. 31 La secuencia de solución según este método es como sigue: 1. Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la flotante, cuya tensión está especificada, o sea es dato del problema, al igual que Pp y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras (YB) 2. Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de convergencia, por ejemplo: n.......,,3,2,1pcondoespecifica n.......,,3,2,1pcondoespecificaVV 2 k p 1k p 1 k p 1k p =ε≤θ−θ =ε≤− + + (3.20) 3. Determinadas las tensiones pV& , se calculan los flujos de potencia qppq SyS && aplicando (3.6) y (3.7). 4. Conocidos los valores de qppq SyS && se determinan las pérdidas en el sistema, empleando (3.8). b2. Sistemas con barras de carga, tensión controlada y flotante: Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante, barras de tensión controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de potencia reactiva para poder cumplir su cometido. Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la ecuación (3.19) para determinar el voltaje complejo en ella. A partir de la ecuación para la barra p de la expresión (3.11), se puede escribir: ∑ = =+++++=−= n 1q qpq * pnpnppp22p11p * ppp * p VYVVY···VY···VYVY(VjQPS &&&&&&&&&& (3.21) es decir: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑−= = n 1q qpq * pp VYVagImQ && (3.22) Cuando se emplea la ecuación (3.19) en una BTC, el valor de Qp, que debe emplearse corresponde al indicado por (3.22), el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el voltaje, debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo tanto sólo puede cambiar su ángulo. Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada: En el cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia. Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como: CpGpp QQQ −= (3.23) Además: (QGp)máx : Valor máximo de generación de potencia reactiva de la fuente. (Qgp)mín : Valor mínimo de generación de potencia reactiva de la fuente. QCp : Potencia reactiva de la carga en la barra
  • 8. 32 Los límites de potencia reactiva para la barra p serán: máxppmínp )Q(Q)Q( ≤≤ (3.24) donde: CpmáxGpmáxpCpmínGpmínp Q)Q()Q(yQ)Q()Q( −=−= Si el valor de la potencia reactiva calculado según (3.22) en una iteración cualquiera k, Qp k , excede el límite máximo o mínimo prefijado, significa que es imposible obtener una solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser considerada como una barra de carga en esa iteración, en la cual la potencia reactiva es igual al límite superior e inferior según corresponda. En las iteraciones siguientes, el método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en otros puntos del sistema, que lo permitan. Para explicar mejor el procedimiento, considérese el sistema de 3 barras de la Figura 3.6. Sean: Barra 1: Flotante Barra 2: de carga Barra 3: de tensión controlada La secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es: 1 2 3 Figura 3.6.- Sistema de tres barras para explicar el método de Gauss-Seidel YB 1. Especificar los datos necesarios: V1, θ1, P2, Q2, P3, V3 y los parámetros para determinar la matriz YB 2. Suponer los valores iniciales: 0 3 0 2 0 2 ,,V θθ . Normalmente se usa 1,0 (pu) para los módulos de voltaje y 0º para los ángulos; V3 está especificado 3. Calcular la tensión en la barra 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 0 323121*0 2 22 22 1 2 VYVY )V( jQP Y 1 V &&&& & & (3.25) 4. Calcular la potencia reactiva en la barra 3 { }0 333 1 232131 *0 3 0 3 VYVYVY()V(ImQ &&&&&& ++−= (3.26) 5. Verificar si 0 3Q está dentro de los límites establecidos 6. Si 0 3Q está dentro de los límites, determinar la tensión en la barra 3 según (3.27), mantener el valor especificado para V3 y cambiar el ángulo inicial por el determinado con (3.27) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 1 232131*0 3 0 33 33 1 3 VYVY )V( jQP Y 1 V &&&& & & (3.27) 7. Si 0 3Q no está dentro de los límites, reemplazar 0 3Q en (3.27) por el valor del límite excedido, tomando el valor de 1 3V& calculado en (3.27) completo (módulo y ángulo).
  • 9. 33 8. Verificar que se cumpla el criterio de convergencia tal como se indica en ecuación (3.20), por ejemplo, en todas las barras. Si se cumple, el proceso de cálculo de las tensiones finaliza y se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas según ecuaciones (3.6) y (3.7) y (3.8). 9. Si el criterio de convergencia no se cumple, volver al punto 3 y repetir el proceso. Ejemplo 3.1. Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas, las pérdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1. Tabla Nº 1: Datos de las líneas Línea Z (pu) Y’/2 (pu) 1-2 0,04+j0,12 j0,05 1-3 0,02+j0,06 j0,06 2-3 0,06+j0,18 j0,05 Tabla Nº 2: Datos de las barras Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC 1 PQ - - - 0,6 0,25 2 PV 1,04 0,2 - 0,0 0,0 23 1 SC1 G3 G2 PG2 Figura 3.7 Límites de generación de Q en la barra 2: −1 ≤ QG2 ≤ 1 3 SL 1,06 - - 0,0 0,0 Solución: a) Determinación de la matriz de admitancia de barras YB º43,1088114,1515j5 06,0j02,0 1 YY º43,1082705,55j6667,1 18,0j06,0 1 YY º43,1089057,75,7j5,2 12,0j04,0 1 YY º47,719775,2089,19j6667,605,0j06,0j 18,0j06,0 1 06,0j02,0 1 Y º43,710813,134,12j1667,405,0j05,0j 18,0j06,0 1 12,0j04,0 1 Y º48,716128,2339,22j5,706,0j05,0j 06,0j02,0 1 12,0j04,0 1 Y 1331 3223 2112 33 22 11 ∠=+−= + −== ∠=+−= + −== ∠=+−= + −== −∠=−=++ + + + = −∠=−=++ + + + = −∠=−=++ + + + = b) Valores iniciales y otros datos 1Q1:2barralaenQdeLímites 2,002,0P;25,0j6,0)25,00(j6,00S )slackBarra(doespecifica,º006,1V;º004,1V;º01V 2 21 3 0 2 0 1 ≤≤− =−=−−=−+−= ∠=∠=∠= & &&&
  • 10. 34 c) Proceso iterativo: Utilizando la ecuación (3.19) º23,10401,1V º006,1*º43,1088114,15º004,1*º43,1089057,7 º01 25,0j6,0 º48,716128,23 1 V 1 1 1 1 −∠= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∠∠−∠∠− ∠ +− −∠ = & & Antes de determinar 1 2V& se debe calcular la potencia reactiva neta de la barra 2, expresión (3.22) { } límites)losentre(está2693,0Q º004,1*º006,1º*43,1082705,5º004,1*º43,710813,13º23,10401,1*º43,1089057,7ImQ 0 2 0 2 −= ∠∠∠+∠−∠+−∠∠−= La tensión 1 2V& se determina usando de nuevo la expresión (3.19), es decir: º23,004,1Vº23,00414,1V º006,1*º43,1082705,5º23,10401,1*º43,1089057,7 º004,1 2693,0j2,0 º43,710813,13 1 V 1 2 1 2 1 2 ∠=⇒∠= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∠∠−−∠∠− ∠ + −∠ = && & d) Cálculo de los flujos de potencia en las líneas: Usando las expresiones (3.6) y (3.7) y considerando que: º57,718114,1515j5 06,0j02,0 1 YY º57,712705,55j6667,1 18,0j06,0 1 YY º57,719057,75,7j5,2 12,0j04,0 1 YY 1331 3223 2112 −∠=−= + == −∠=−= + == −∠=−= + == se tiene: { } { } º29,302401,01211,0j2073,0S º57,719057,7*º23,10401,1*º23,004,104,1*º9005,0º57,719057,7S º94,1742064,00182,0j2056,0S º57,719057,7*º23,004,1*º23,10401,10401,1*º9005,0º57,719057,7S 21 2 21 12 2 12 −∠=−= ∠∠∠−−∠+∠= ∠=+−= ∠−∠−∠−−∠+∠= & & & & { } { } º0,7705875,00572,0j0132,0S º57,712705,5*º23,004,1*º006,106,1*º9005,0º57,712705,5S º33,941659,01654,00125,0S º57,712705,5*º006,1*º23,004,104,1*º9005,0º57,712705,5S 32 2 32 23 2 23 ∠=+= ∠−∠∠−−∠+∠= −∠=−−= ∠∠∠−−∠+∠= & & & & { } { } º01,1515227,02533,0j4572,0S º57,718114,15*º006,1*º23,10401,10401,1*º9006,0º57,718114,15S º24,164809,01345,0j4617,0S º57,718114,15*º23,10401,1*º006,106,1*º9006,0º57,718114,15S 13 2 13 31 2 31 −∠=−−= ∠∠−∠−−∠+∠= ∠=+= ∠∠∠−−∠+∠= & & & &
  • 11. 35 e) Pérdidas: Utilizando la ecuación (3.8) se tiene: 1188,0j0045,02533,0j4572,01345,0j4617,0SSS 1082,0j0007,00572,0j0132,01654,0j0125,0SSS 1029,0j0017,01211,0j2073,00182,0j2056,0SSS 133131L 322323L 211212L −=−−+=+= −=++−−=+= −=−++−=+= &&& &&& &&& f) Potencia entregada por el generador de la barra slack 1917,0j4749,00572,0j0132,01345,0j4617,0SSS 32313G +=+++=+= &&& g) Verificación de la potencia recibida por la carga SC1 2351,0j6628,0)2533,0j4572,0()0182,0j2056,0(SSS 13121C +=−−−+−−=−−= &&& Observación: No corresponde exactamente al valor especificado para la carga. ¿Porqué? Factores de Aceleración: La experiencia con el método de Gauss-Seidel YB para el cálculo de flujos de potencia ha mostrado que se puede reducir considerablemente el número de iteraciones requeridas si la corrección en el voltaje de cada barra se multiplica por alguna constante que la incremente, para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando. El multiplicador que realiza esto, se denomina factor de aceleración. La diferencia entre el valor de voltaje de la barra p calculado en la iteración actual 1k pV +& y el mejor que se obtuvo en la iteración anterior ac k p )V( & se multiplica por un α apropiado para obtener una mejor corrección que se agrega a este último. Es decir: [ ]ac k p 1k pac k pac 1k p )V(V)V()V( &&&& −α+= ++ (3.28) La elección del valor de α depende del sistema en estudio. Hay valores óptimos de los factores de aceleración para cualquier sistema. Una mala selección de ellos puede dar como resultado una convergencia menos rápida o hacerla imposible. Normalmente, en los estudios de flujos de potencia, α varía entre 1,3 y 1,8. Generalmente, un factor de aceleración de 1,6 para las componentes real e imaginaria es una buena selección. Sin embargo, es posible que el factor de aceleración utilizado para la componente real pueda diferir del usado para la componente imaginaria. 3.5.3. Método de Newton Raphson a. Formulación general: Este método es mas sofisticado que los anteriores y exige un mayor volumen de cálculos, pero asegura convergencia en un mayor número de veces y además en forma más rápida. El problema matemático a resolver consiste en n relaciones no lineales del tipo f(xi)=0. Es decir, se trata de un sistema de n ecuaciones de la forma: 0)x,.....,x,x(f ............................... 0)x,.....,x,x(f 0)x,.....,x,x(f n21n n212 n211 = = = (3.29) Si se supone una estimación inicial del vector solución: [ ] [ ]0 n 0 2 0 1 0 x......xxx = (3.30)
  • 12. 36 Al que le falta un residuo [ ] [ ]0 n 0 2 0 1 0 x......xxx ΔΔΔ=Δ , para llegar a la solución correcta; esto es, tener 0)xx(f 0 i 0 i =Δ+ , aunque 0)x(f 0 i ≠ , se tiene: 0)xx,.....,xx,xx(f ............................................................... 0)xx,.....,xx,xx(f 0)xx,.....,xx,xx(f 0 n 0 n 0 2 0 2 0 1 0 1n 0 n 0 n 0 2 0 2 0 1 0 12 0 n 0 n 0 2 0 2 0 1 0 11 =Δ+Δ+Δ+ =Δ+Δ+Δ+ =Δ+Δ+Δ+ (3.31) Desarrollando cada ecuación en serie de Taylor en torno a los valores 0 ix se tiene: n 0 n n0 n 0 1 n0 1 0 n 0 1n 0 n 0 n 0 1 0 1n 1 0 n 10 n 0 1 10 1 0 n 0 11 0 n 0 n 0 1 0 11 x f x..... x f x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f ............................................................... x f x..... x f x)x,.....,x(f)xx,.....,xx(f φ+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+=Δ+Δ+ φ+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+=Δ+Δ+ (3.32) donde iφ es el residuo en la serie de Taylor, que contiene los términos de orden superior 0 i j x f ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ : representa las correspondientes derivadas parciales, evaluadas en 0 ix Como los 0 ixΔ son pequeños, se pueden despreciar los términos de orden superior y se obtiene: 0 x f x..... x f x)x,.....,x(f ............................................................... 0 x f x..... x f x)x,.....,x(f 0 n n0 n 0 1 n0 1 0 n 0 1n 0 n 10 n 0 1 10 1 0 n 0 11 =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ++⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Δ+ (3.33) con i, j = 1, 2, …, n Matricialmente se puede escribir: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 x x x f x f x f x f )x(f )x(f 0 n 0 1 0 n n 0 1 n 0 n 1 0 1 1 0 in 0 i1 MM L MLM L M (3.34) Es decir: [ ] [ ][ ] [ ]0xJ)x(f 000 =Δ+ (3.35) Donde cada vector y matriz está definido según las ecuaciones (3.34) y (3.35), o sea:
  • 13. 37 [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = )x(f )x(f )x(f 0 in 0 i1 0 M Vector función evaluada en 0 ix [ ] x f x f x f x f J 0 n n 0 1 n 0 n 1 0 1 1 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = L MLM L Matriz Jacobiana evaluada en 0 ix [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ =Δ 0 n 0 1 0 x x x M Vector residuo evaluado en 0 ix A partir de (3.35), el vector residuo evaluado en 0 ix ; [ ]x0 Δ se puede escribir: [ ] [ ] [ ])x(fJx 0100 − −=Δ (3.36) En general entonces, el residuo en una iteración k es: [ ] [ ] [ ])x(fJx k1kk − −=Δ (3.37) Suponiendo que se conoce [ ]k x (vector de valores aproximados de la variable), entonces puede obtenerse una aproximación mejor [ ]1k x + de la forma: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])x(fJxxxx k1kkkk1k −+ −=Δ+= (3.38) Como se han despreciado los términos de orden superior, [ ]1k x + no será la solución correcta y se debe repetir el proceso en forma iterativa, hasta que se satisfaga algún criterio de convergencia, tal como: ε≤−+ k1k xx (3.39) b. Aplicación al cálculo de flujos de potencia: En el caso de un Sistema de Potencia, los xi corresponden a las tensiones de las barras (módulo y ángulo), de manera que la ecuación (3.37) se puede escribir como: [ ] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ − k k1k k k Q P J V (3.40) en que: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ calcesp calcesp QQ PP Q P (3.41)
  • 14. 38 Donde Pesp y Qesp son los valores de P y Q especificados o programados y Pcalc y Qcalc son los respectivos valores que se van calculando en cada iteración. Para mayor comodidad, a los valores calculados, se les eliminará el superíndice calc, es decir, se designarán simplemente como P y Q. Según (3.21), los valores de P y Q en la barra p se pueden obtener a partir de: * q n 1q * pqpppp VYVjQPS ∑=+= = && (3.42) Expresando los voltajes de barras en forma polar y las admitancias de línea en forma rectangular se tiene que: pqpqpqqqqppp BjGYyVV;VV +=θ∠=θ∠= &&& (3.43) Reemplazando (3.43) en (3.42), con qppq θ−θ=θ se obtiene: ∑ θ+θ−=+= = n 1q pqpqpqpqqpppp )sinj(cos)BjG(VVjQPS& (3.44) de (3.44) se obtiene finalmente: ∑ θθ= ∑ θ+θ= = − = n 1q pqpqpqpqqpp n 1q pqpqpqpqqpp )cosBsinG(VVQ )sinBcosG(VVP (3.45) A partir de (3.41) y (3.45), ΔP y ΔQ para la barra p se pueden determinar como: ∑ θθ−=Δ ∑ θ+θ−=Δ = − = n 1q pqpqpqpqqp esp pp n 1q pqpqpqpqqp esp pp )cosBsinG(VVQQ )sinBcosG(VVPP (3.46) Por lo tanto se puede escribir a manera de resumen: – Para las barras PQ y PV ∑ θ+θ−=Δ = n 1q pqpqpqpqqp esp pp )sinBcosG(VVPP (3.47) – Para las barras PQ ∑ θθ−=Δ = − n 1q pqpqpqpqqp esp pp )cosBsinG(VVQQ (3.48) – Para la barra slack no se requiere ecuaciones. En las ecuaciones anteriores, las magnitudes de las tensiones en las barras PV y slack al igual que el ángulo en la barra slack no son variables, sino que se mantienen en sus valores especificados. Por lo tanto, el sistema formulado incluye dos ecuaciones para cada barra PQ y una para cada barra PV. Las variables del problema son V y θ para cada barra PQ y θ para cada barra PV.
  • 15. 39 Por razones prácticas se da a la barra slack el número n y se colocan los primeros números a las barras PQ. Luego si se tiene m barras PQ, se tendrá (n-m-1) barras con control de voltaje (barras PV). La Ecuación (3.40) queda entonces: [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ −=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ − Q P J V 1 (3.49) Con ΔP y ΔQ calculados según (3.46). Luego, los valores actualizados para θ y V son: ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡θ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡θ + + k k k k 1k 1k VVV (3.50) Despejando ΔP y ΔQ de (3.49), considerando (3.34) y arreglando adecuadamente, para hacer más fácil el manejo de las ecuaciones, se tiene: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Δ∂ ∂θ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂θ Δ∂ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ V V LM NH V V V Q V Q V P V P Q P (3.51) Si se tiene n nodos, m de carga, 1 libre y n-m-1 de voltaje controlado las dimensiones de las submatrices que forman el Jacobiano son: [H] es de (n-1) x (n-1) [N] es de (n-1) x m [M] es de m x (n-1) [L] es de m x m Según lo anterior, la matriz Jacobiana completa es cuadrada y de dimensión, [(n-1)+m] x [(n-1)+m]. A partir de (3.51), se obtiene que: q p qpq q p pq q p qpq q p pq V Q VL Q M V P VN P H ∂ Δ∂ = ∂θ Δ∂ = ∂ Δ∂ = ∂θ Δ∂ = (3.52) Considerando (3.46), se pueden determinar todos los elementos de la matriz Jacobiana como sigue: – para p ≠ q qpqpqpqpqppq qpqpqpqpqppq qpqpqpqpqppq qpqpqpqpqppq V)cosBsinG(VL V)sinBcosG(VM V)sinBcosG(VN V)cosBsinG(VH θ−θ−= θ+θ= θ+θ−= θ−θ−= (3.53) Se puede apreciar, que por la forma de la ecuación (3.51): pqpq pqpq MN LH −= = (3.54)
  • 16. 40 – Para p = q p 2 ppppp p 2 ppppp p 2 ppppp p 2 ppppp QVBL PVGM PVGN QVBH −= −= −−= += (3.55) Las expresiones (3.54) y (3.55) muestran lo importante que fue el haber planteado la matriz Jacobiana tal como se hizo en (3.51). Utilizando este tipo de coordenadas, el valor de Q en las barras PV puede ser calculado luego que el proceso haya convergido. El proceso mediante el método de Newton-Raphson para calcular los voltajes en las barras, se muestra en la Figura 3.8, luego de lo cual se determinan los flujos de potencia y las pérdidas en las líneas. Elección de Tensiones Iniciales Iter=0 Calcular P y QΔ Δ del sistema Convergió la solución? Iter = Iter máx? si no si no Iter = Iter+1 Formación del Jacobiano Inversión del Jacobiano Cálculo de Δθ y VΔ Corrección de Valores de y Vθ Salida Ingreso de Datos Figura 3.8.- Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton-Raphson
  • 17. 41 En estricto rigor, la matriz Jacobiana se calcula e invierte en cada iteración. Sin embargo, en la práctica se recalcula usualmente sólo un determinado número de veces en un rango de iteraciones, con el fin de aumentar la velocidad al proceso iterativo. Ejemplo 3.2. En el sistema del ejemplo 3.1 y, considerando los valores de voltajes obtenidos mediante el método de Gauss-Seidel, determine el Jacobiano completo en la iteración 1 Solución: La matriz Jacobiana queda de la siguiente forma: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ θ∂ Δ∂ = 111211 212221 111211 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 LMM NHH NHH V Q V QQ V P V PP V P V PP J Los elementos de la matriz Jacobiana se obtienen utilizando las expresiones (3.53) para p≠q y (3.55) para p=q; por lo tanto, para los elementos de la diagonal se deben determinar previamente P y Q, utilizando (3.45) y considerando los resultados obtenidos en el ejemplo 3.1, que se resumen a continuación: [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− = 89,19515 54,125,7 155,739,22 B 6667,66667,15 6667,11667,45,2 55,25,7 G º23,10401,1V1 −∠=& ; º23,004,1V2 ∠=& º006,1V3 ∠=& Con (3.45) se obtiene: P1=−0,6628; P2=0,1948; Q1=−0,235; Q2=−0,2865 Con (3.53) y (3.55), la matriz Jacobiana queda: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − −− = 9867,2391,27764,8 4967,26983,131790,8 4508,70412,84567,24 J 3.5.4. Método de Newton-Raphson desacoplado (MNRD) Cuando se resuelven problemas que involucren un número considerable de barras, este método representa una alternativa para mejorar la eficiencia computacional y reducir los requerimientos de memoria. Se hace uso de una versión aproximada del método de Newton-Raphson completo visto en 3.5.3., basada en las siguientes consideraciones: − Un cambio en el ángulo del voltaje θ en una barra afecta principalmente al flujo de potencia activa P en las líneas y débilmente a la potencia reactiva Q, lo que significa que: QP ∂θ Δ∂ 〉〉 ∂θ Δ∂ − Un cambio en el módulo del voltaje V en una barra afecta principalmente al flujo de potencia reactiva Q en las líneas y débilmente a la potencia activa P. Por lo tanto: V P V Q ∂ Δ∂ 〉〉 ∂ Δ∂
  • 18. 42 De acuerdo con esto, en la ecuación (3.51) N y M se pueden despreciar frente a L y H respectivamente y se puede escribir: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ θΔ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Δ∂ ∂θ Δ∂ −= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ V V L0 0H V V V Q V0 0 P Q P (3.56) o bien: [ ] [ ][ ]θΔ−=Δ HP (3.57) [ ] [ ][ ]V VLQ Δ−=Δ (3.58) Estas ecuaciones están desacopladas, en el sentido que las correcciones de los ángulos de los voltajes se calculan usando sólo los cambios en la potencia activa mientras que las correcciones en la magnitud de los voltajes se determinan sólo con los cambios en la potencia reactiva. Sin embargo, las matrices [H] y [L] son interdependientes, porque los elementos de [H] dependen de las magnitudes de los voltajes que se están resolviendo en la ecuación (3.58), mientras que los elementos de [L] dependen de los ángulos de la ecuación (3.57). El procedimiento natural es ir resolviendo alternadamente los dos sistemas de ecuaciones usando en uno, las soluciones más recientes del otro. Esta aproximación significa aumentar el número de iteraciones, lo que en la práctica queda compensado por el menor tiempo en cada iteración, debido a la disminución del tiempo ocupado en la inversión de las matrices [H] y [L] de menor dimensión que la del Jacobiano completo. Ejemplo 3.3. A partir del ejemplo 3.2 escriba la matriz jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado. Eliminando las submatrices N y M se tiene: [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 9867,2300 06983,131790,8 004124,84567,24 J 3.5.5. Método de Newton-Raphson desacoplado rápido (MNRDR) El método de Newton Raphson desacoplado, requiere la inversión de dos matrices en cada iteración. Para evitar estos cálculos, se introducen más simplificaciones que se justifican por las características que presentan los flujos de potencia en las líneas y los voltajes en las barras de un sistemas de transmisión bien diseñado y operando apropiadamente. Estas características son: − Las diferencias angulares θpq = θp-θq entre los voltajes de dos barras típicas son, por lo general, tan pequeños que: cos θpq = cos (θp-θq) = 1y sin θpq = sin (θp-θq) ≈ 0 (3.59) − Las susceptancias Bpq de las líneas son mucho más grandes que las conductancias Gpq, por lo que: Gpq sin (θp-θq) << Bpq cos (θp-θq) (3.60) − La potencia reactiva Qp que se inyecta a cualquier barra p del sistema durante su operación normal es mucho menor que la potencia reactiva que fluiría si todas las líneas de la barra estuvieran en cortocircuito con la referencia. Esto es: VBQ 2 pppp << (3.61)
  • 19. 43 Con estas aproximaciones, y usando (3.45) se tiene: ∑ θ+θ= n 1=q qpqpqpqpqpp V)sinBcosG(VP (3.62) Es decir: ∑ θ+θ+= ≠ = n pq 1q qpqpqpqpqp 2 pppp V)sinBcosG(VVGP (3.63) ∑−−=∑−= ≠ n pq 1=q qpqp 2 ppp n 1=q qpqpp VBVVBVBVQ (3.64) A partir de (3.63) y (3.64) y considerando (3.46), los elementos de [H] y [L] se obtienen como sigue: qppq q p qpqqppq q p pq VVB V Q VLVVB P H = ∂ Δ∂ == ∂θ Δ∂ = (3.65) p 2 pppq n 1q pqp 2 ppp p p pp QVBVBVVB P H +=∑−= ∂θ Δ∂ = = (3.66) ∑ −=+= ∂ Δ∂ = ≠ = n pq 1q p 2 pppqpqp 2 ppp p p ppp QVBVBVVB2 V Q VL (3.67) según (3.61), las ecuaciones (3.66) y (3.67) quedan: 2 ppppppp VBLH == (3.68) Considerando (3.57) y (3.58), para el nudo p se puede escribir: ∑ θΔ−θΔ−=Δ ≠ = n pq 1q qpqpppp HHP (3.69) ∑ Δ − Δ −=Δ ≠ = n pq 1q q q pq p p ppp V V L V V LQ (3.70) Introduciendo (3.65) y (3.68) en (3.69) y (3.70) se obtiene: ∑ θΔ+θΔ−=Δ ≠ = n pq 1q qqpqpppppp )VBVB(VP (3.71) ∑ Δ + Δ −=Δ ≠ = n pq 1q q q qpq p p ppppp ) V V VB V V VB(VQ (3.72) Dividiendo ambas ecuaciones por Vp y simplificando los voltajes de la ecuación (3.72), las ecuaciones anterires quedan:
  • 20. 44 ∑ θΔ−θΔ−= Δ ≠ = n pq 1q qqpqpppp p p VBVB V P (3.73) ∑ Δ−Δ−= Δ ≠ = n pq 1q qpqppp p p VBVB V Q (3.74) Se ha reducido la no linealidad de las ecuaciones, lo que debería permitir mejorar el comportamiento del proceso iterativo. Si fijamos arbitrariamente los Vp y Vq del segundo miembro de la ecuación (3.73) en 1,0 (pu), los coeficientes de ambas ecuaciones quedan iguales, es decir: ∑ θΔ−θΔ−= Δ ≠ = n pq 1q qpqppp p p BB V P (3.75) ∑ Δ−Δ−= Δ ≠ = n pq 1q qpqppp p p VBVB V Q (3.76) Matricialmente se tiene: [ ][ ]θΔ=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡Δ 'B V P (3.77) [ ][ ]V''B V Q Δ=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡Δ (3.78) donde B’ es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB, sin la fila y columna correspondiente a la barra slack y B” es el negativo de la parte imaginaria de la matriz YB sin las filas y columnas correspondientes a las barras slack y PV Una estrategia típica de solución es la siguiente: 1. Calcular los errores iniciales ΔP/V 2. Resolver la ecuación (3.77) para determinar Δθ 3. Actualizar los ángulos θ y usarlos para calcular los errores ΔQ/V 4. Resolver (3.78) para calcular ΔV 5. Actualizar las magnitudes del voltaje V y usarlas para calcular los nuevos errores ΔP/V 6. Volver al punto 2. y repetir el proceso hasta que todos los errores estén dentro de la tolerancias especificadas. Ejemplo 3.4. Para el ejemplo 3.1 escriba la matriz Jacobiana del método de Newton-Raphson desacoplado rápido. Solución: A partir de los valores de la matriz [B] del Ejemplo 3.2 se tiene: [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ==⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 39,2200 04,125,7 05,739,22 J:tantolopor;39,22"By 4,125,7 5,739,22 'B
  • 21. 45 3.6. Flujo de Carga “DC” o Flujo de Potencia de Corriente Continua Recibe este nombre no porque se aplique a sistemas que operan con corriente continua. El método es aplicable a los Sistemas Eléctricos de Potencia que operan a corriente alterna haciendo ciertas simplificaciones que permitan analizar la red como si fuera de corriente continua, teniendo la ventaja de que se trabaja con números reales, simplificando mucho los cálculos. Sin embargo, sólo se obtienen los flujos de potencia activa. El análisis considera la base fundamental de los flujos de potencia en corriente alterna ya estudiados. Consideremos la línea conectada entre los nudos p y q de la Figura 3.9. La potencia compleja que va desde la barra p a la barra q, es: Vp qpqY' /2 pqY' /2 V Spq Ipq Zpq Ypq( ) p q Figura 3.9.- Modelo de una línea de transmisión para el cálculo de flujo de potencia DC [ ] pqpq *' pqppqqpp * pqppq jQP)2Y(VY)VV(VIVS +=+−== &&&&&& (3.79) Sea: ' pq ' pqpqpqpqqqq;ppp jBYyBjGY;VVVV =+=θ∠=θ∠= &&& (3.80) 2 pq 2 pq pq pq2 pq 2 pq pq pq XR X By XR R G + −= + = (3.81) Entonces: )2B(jV)jBG()VV(VS ' pq 2 ppqpqqqpppppq −−θ−∠−θ−∠θ∠=& (3.82) Es decir: [ ] )2B(jV)jBG()sinj(cosVVVS ' pq 2 ppqpqpqpqqp 2 ppq −−θ+θ−=& (3.83) Por lo que la potencia activa entre las barras p y q es: pqqppqpqpqqp 2 ppq sinVVBG)cosVVV(P θθ−= − (3.84) Suposiciones simplificatorias a) Vp = Vq = 1,0 (pu) b) Rpq << Xpq c) θpq = θp - θq es muy pequeño A partir de b) y considerando (3.81) se tiene que: 0G XR X XR R G pq2 pq 2 pq pq 2 pq 2 pq pq pq =⇒ + << + = (3.85) pq 2 pq 2 pq pq pq X 1 XR X B −= + −= (3.86)
  • 22. 46 Según c) radianes)(sinsin 1)(coscos qpqppq qppq θ−θ≈θ−θ=θ ≈θ−θ=θ Por lo tanto (3.84) queda: pq qp qppqpq X )(BP θ−θ =θ−θ= − (3.87) Para una red eléctrica que tiene n nudos las potencias netas inyectadas en cada nudo se pueden escribir: ∑ θ−θ ∑ == == n 1q pq qpn 1q pqp X PP (3.88) Donde q incluye todos los nodos directamente conectados al nodo p. Luego para los n nudos se tiene ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ θ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n p 1 nnnp1n pnpp1p n1p111 n p 1 BBB BBB BBB P P P M M LL MMMMM LL MMMMM LL M M (3.89) o sea: [ ] [ ][ ]θ= BP (3.90) en que: [ ]:P Vector de potencias activas netas en las barras [ ]:B Matriz de susceptancias del sistema [ ]:θ Vector de ángulos de las tensiones de las barras Los elementos de la matriz [ ]B se determinan como sigue: ∑= = n 1q pq pp X 1 B (3.91) Con p ≠ referencia y donde q incluye todas las líneas conectadas al nudo p referenciapcon0Bpp == (3.92) referenciaqypcon X 1 B pq pq ≠−= (3.93) referenciaqóreferenciapcon0Bpq === (3.94)
  • 23. 47 De acuerdo con lo indicado en las expresiones (3.91) a (3.94), la matriz[ ]B , tal como se planteó en (3.89) es singular ya que la fila y columna correspondientes a la barra de referencia contienen solamente ceros. Así, para un sistema de n barras sólo hay (n-1) ecuaciones linealmente independientes, por lo que se debe considerar la submatriz de [ ]B con dimensión (n-1)x(n-1), la que puede invertirse para solucionar el problema del cálculo de los ángulos de fase de las tensiones de las barras. A partir de (3.90) se obtiene entonces: [ ] [ ] [ ]PB -1 =θ (3.95) Como se aprecia, el procedimiento es muy sencillo, ya que el sistema es lineal y por lo tanto todos los ángulos de las tensiones de las barras se pueden determinar utilizando (3.95) para luego mediante (3.87), determinar los flujos de potencia activa en las líneas. Ejemplo 3.5. Resuelva el Ejemplo 3.1 utilizando el método de Flujo DC. Solución: A partir de los parámetros dados en el ejemplo 3.1 se tiene: 3333,8 12,0 1 BB;8889,13 18,0 1 12,0 1 B;25 06,0 1 12,0 1 B 21122211 −=−===+==+= 0BBBBB 3223133133 ===== Por otra parte: P1=-0,6; P2=0,2; luego, la ecuación matricial queda, según (3.90): ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 2 1 8889,133333,8 3333,825 P P Resolviendo la ecuación se obtiene: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ θ θ 0 024,0 2,0 6,0 09,003,0 03,005,0 P P 8889,133333,8 3333,825 2 1 -1 2 1 Con estos valores se determinan los flujos de potencia activa en las líneas, utilizando (3.87) 0 18,0 00 X P 4,0 06,0 0024,0 X P 2,0 12,0 0024,0 X P 23 32 23 13 31 13 12 21 12 = − = θ−θ = −= −− = θ−θ = −= −− = θ−θ = La potencia que entrega el generador en la barra slack es: 4,04,00PPP 31323G =+=+= La potencia recibida por la carga es: 6,04,02,0PPP 31211C =+=+=
  • 24. 48 Problemas propuestos 3.1. En el sistema mostrado en la Figura 3.10, empleando el método de Gauss Seidel-YB, calcular la tensión en las barras 2 y 3 en la segunda iteración ( 2 3 2 2 VyV && ) y la potencia compleja entregada por el generador en estas condiciones. La tensión en la barra 1 se mantiene constante en su valor nominal y los datos en % están dados considerando SB=100 MVA. 3.2. En el sistema de la Figura 3.11 y empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determinar: a. La tensión en la barra 3 considerando que 01,0VV k 3 1k 3 ≤−+ b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema. 1 32 G Y/2=j1,5% X=10% Z=j50% S=(8+j4) MVA . S=(25+j18) MVA . S . G Figura 3.10 1,05 0º 0,4 + j0,5 (20 + j12) MVA X = 0,11 2 G X= 0,5 3 Figura 3.11 3.3. Para el sistema de la Figura 3.12, los datos en pu, base común, se dan en las Tablas Nº 1 y Nº 2. a. Determinar el voltaje en todas las barras, haciendo dos iteraciones con el método de Gauss-Seidel YB y con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia en todas las líneas. b. Determinar los elementos del Jacobiano desacoplado rápido del sistema. c. Correr un flujo DC y determinar los ángulos de los voltajes, los flujos de potencia activa en las líneas y la potencia activa entregada por el generador G3 Tabla Nº 1: Datos de las líneas Línea Z (pu) Y’/2 (pu) 1-2 0,04+j0,10 j0,06 1-3 0,02+j0,08 j0,07 2-3 0,06+j0,20 j0,04 Tabla Nº 2: Datos de las barras Barra Nº Tipo V (pu) PG QG PC QC 1 PQ - - - 0,8 0,2 2 PQ - 0,2 0,1 0,0 0,0 23 1 SC1 SC3 G3 G2 Figura 3.12 3 SL 1,06 - - 0,4 0,1 3.4. La Figura 3.13 muestra un sistema de tres barras. La barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,05 (pu), la barra 3 es de tensión controlada (BTC) y el módulo del voltaje en ella está especificado en 1,05 (pu). La potencia reactiva del condensador síncrono puede variar entre 0 y 0,6 (pu). Determinar: a. Las tensiones en las barras, haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB b. Los flujos de potencia activa y reactiva en las líneas c. Las pérdidas de potencia activa y reactiva d. La potencia compleja entregada por el generador G1 e. La potencia reactiva suministrada por el condensador de la barra 3.
  • 25. 49 3.5. En el sistema de la Figura 3.13, suponga que los valores de las tensiones en una iteración cualquiera son: =1V& 1,05 ∠0º; =2V& 1,04∠-2,5º; =3V& 1,05∠-1,5º. Determinar: a. El Jacobiano completo en esa iteración b. El Jacobiano desacoplado c. La matrices [B’] y [B”] G1 G2 1 2 3 j 0,08 j 0,05 j0,04 S=2,0+j1,0 S=0,4+j0,4 S=1,0+j1,4 S=1,2+j0,8 C Figura 3.13 3.6. En el sistema de dos barras de la Figura 3.14, los datos en pu están en base 100 MVA, la barra 1 es la barra slack y su voltaje es 1,04 (pu). En la barra 2, hay un compensador síncrono (CS) que mantiene constante el módulo del voltaje en 1,05 (pu). a. Determinar el voltaje en la barra 2 haciendo dos iteraciones del método de Gauss-Seidel-YB y con los valores anteriores, calcular la potencia reactiva que debe entregar (recibir) el compensador síncrono y las potencias activa y reactiva que debe entregar (recibir) el generador. b. Determinar los elementos de la matriz Jacobiana completa, considerando que los voltajes en la barra 1 y 2 son de 1,04 ∠0º y 1,05 ∠-4.5º respectivamente. G 1 2 j0,1 S =(100-j40) MVAS =(40+j20) MVA CS -0,4 ≤ QG2 ≤ 0,4 QG2 c1 c2 P + jQG1 G1 Figura 3.14 3.7. En el sistema de la Figura 3.15, la barra 3 es BTC con una tensión de 1 (pu). Empleando el método de Gauss-Seidel-YB, determine: a. La tensión en la barra 3, considerando que k 3 1k 3 θ−θ + ≤ 0,5 b. Las potencias activa y reactiva suministradas por el Generador G y las pérdidas de potencia activa y reactiva del sistema. C 1,05 0º 0,4 + j0,5 (20 + j12) MVA X = 0,11 2 G X= 0,7 3 0 ≤ QC≤ 0,4 Figura 3.15 c. La potencia reactiva que debe entregar el condensador ubicado en la barra 3. Los datos están en pu base 100 MVA.