Este documento presenta una introducción a las ondas electromagnéticas. Contiene siete secciones que cubren: 1) las ecuaciones de Maxwell que describen las ondas electromagnéticas, 2) las condiciones de frontera para dichas ondas, 3) una descripción de las ondas electromagnéticas, 4) la densidad de potencia de las ondas, 5) la reflexión y transmisión de ondas, y 6) una bibliografía. El documento proporciona fórmulas y conceptos fundamentales sobre las ondas electromagnéticas.

1. Ondas
Electromagnéticas
Profe: Miguel Molina Rivera
Profesor del Área de Física de Preparatoria
Agrícola de la UACh.
Las presentes son notas elaboradas con el fin de dar un
acercamiento al estudio de las ondas electromagnéticas

2. CONTENIDO
Pág.
I. INTRODUCCIÓN.
II. ECUACIONES DE MAXWELL.
III. CONDICIONES DE FRONTERA.
IV. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
V. DENSIDAD DE POTENCIA.
VI. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN.
VII. BIBLIOGRAFÍA
1
28
34
43
70
77
79

3. 1
I. INTRODUCCIÓN
1. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS VECTORIAL
1.1 Suma y productos vectoriales.
)1(...ABBA 
)2(...BaC 
)6(...
)6(....
)5(...)()()(
)4(...
)3(...
a
EzDzCzBzAz
EyDyCyByAy
ExDxCxBxAx
EDCBA
ZBzAzYByAyXBxAxBA
BzZByYBxXAzZAyYAxXBA
AzZAyYAxXA













4. 2
 
 
 9...
8...
7...cos
DFTRABAJO
ABBA
BABA


 
 
 
 
)11(...
0
1
)10()...()(
)()(
)()(










yxyzxyxzzyyx
zzyyxx
zzBzAzyzByAzxzBxAz
zyBzAyyyByAyxyBxAy
zxBzAxyxByAxxxBxAxBA
BzZByYBxXB
AzZAyYAxXA
(11) en (10)
 
 
 
  )15()...()(
)()(
)()(
)14(...
)13(...
)12(...
zzBzAzyzByAzxzBxAz
zyBzAyyyByAyxyBxAy
zxBzAxyxByAxxxBxAxBA
ABBA
senABBA
zxBzAzByAyBxAxBA








5. 3
De (13) y (14) y la figura
)16(...











zzyyxx
zxyxz
yzxzy
xyzyx
(16) en (15)
     
´)17(...
)17(...
BzByBx
AzAyAx
zyx
BA
zAyBxAxByyAxBzAzBxxAzByAyBzBA


1.2 OPERADOR NABLA 
 18...z
z
y
y
x
x 








Gradiente
 
 20...
19...
VgradV
z
z
V
y
y
V
x
x
V
V










Diferencia

6. 4
 
 22...
21...
AdivA
z
Az
y
Ay
x
Ax
A










Rotacional
 
 
 24...
´23...
23...
ArotA
AzAyAx
zyx
zyx
A
z
y
Ax
x
Ay
y
x
Az
z
Ax
x
z
Ay
y
Az
A










































Identidades
   
   
   
 ´27...
27...
26...0
25...0
2
2
2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x
V
VVVgraddiv
VVgradrot
AArotdiv












2. FORMA PUNTUAL DE LA LEY DE GAUSS
a) Ley de Coulomb
122
21
12 r
r
QQ
kF 


12F Fuerza de 1 sobre 2
12r Vector de 1 a 2

7. 5
o
kcon
4
1

 Permitividad del medio
o Permitividad del vacio
m
F12
1085.8 

  Faraday / metro
m
F
122
21
4
1
r
r
QQ
F
o




 F Newton = N
 Q Coulomb = C
 r Metro =m
El signo de F es positive si la fuerza es repulsiva.
El signo de F es negativo si la fuerza es atractiva.
b) Campo eléctrico.
C
NE
r
r
Q
E
r
r
Q
E
si
Q
F
E
o
o
o




2
2
1
122
1
1
2
12
1
4
1
4
1




8. 6
c) Potencial eléctrico.
 
 
 
  Vvolt
C
mN
V
r
Q
rV
sidrEdVrV
drEdVV
drEdrVdVV
VE
o
r
o
r
r
r









 



4
1
2
1
12
2
1
d) Densidad de Carga
Densidad de carga lineal
dL
dQ
L
Q


9. 7
Densidad de carga superficial
dA
dQ
A
Q

Densidad de carga volumétrica
dV
dQ
V
Q

e) Desplazamiento eléctrico.
  2
2
4
1
m
CD
r
r
Q
D
ED





f) Flujo
  C
ndada
daD
A


 

10. 8
g) Forma puntual de la ley de Gauss para una esfera.
 
 












ddsenrdaademásdarr
r
Q
nrperodanr
r
Q
daD
A
2
2
2
1
4
4
1
 

 





V
QdV
Q
Q
ddsenr
Q
ddsenr
r
Q







 
4
4
4
1
4
2
0 0
2
2
2
3. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Si S es una superficie cerrada que radia al volumen V, entonces para cualquier
vector A
 46... 
VSC
dVAdaA
En donde danda  , con da un elemento de área sobre S y n, el unitario en la
normal saliente a ds .

11. 9
Por lo tanto (46) en (45)
)47...( 
VVSD
dVdVDdaD 
Como lo anterior es válido para cualquier volumen esto se reduce a:
)48...( D
Para todo punto de un medio de la divergencia de la densidad de desplazamiento
eléctrico es igual a la densidad de carga o bien el flujo neto saliente del
desplazamiento eléctrico por unidad de volumen es igual a la carga por unidad de
volumen.
4. FORMA PUNTUAL DE LA LEY DE OHM.
Electrodinámica RIV 

12. 10
dadconductivi
RA
conE
R
AJ
IEVAJIcomoVGV
R
I




1
1
1
,
1

EJ   Es entonces para un material homogéneo e isotópico.
Observaciones:
G
A

1

 
  mhoG
mU
m



 11

EVdJ
AJAVdI




Vd Velocidad de arrastre o de deriva
aVd
q
m
con
a
q
m
Vd
a
q
m
q
F
EperoEVd
movilidadconEVd















13. 11
5. CONSERVACION DEL CAMPO ELÉCTRICO
Sabemos
 







daJdaJ
ndada
ndardada
daJdaJ
daJ
dt
dq
I
A
2
1
21
  daJI
Pero
 



VV
dV
t
dV
dt
dq
I



14. 12
Por el teorema de la Divergencia
  
VA
dVJdaJ
Sustituyendo
 
t
J
dVJdV
t VV









054321  IIIII
Ley de las corrientes de Kirchchoff
 
nodo
I 0
6. LEY DE BIOT-SAVART

15. 13
Fuerza Motriz
BILF 
Donde:
L Longitud del alambre en el campo magnético (m).
I Corriente en el alambre A
B Densidad de flujo magnético NA-1
m-1
= Tesla
 
S
M daB
M Flujo magnético NA-1
m ó Weber wb.
dIsenIBdF  
 Permeabilidad del medio para el vacio

16. 14
 


 
dl
r
senI
B
m
Ampere
WebermHenry
2
17
4
104




Donde
B Densidad del flujo, NA-1
m-1
I Corriente en el conductor, A
dl Longitud del elemento, m
r Distancia desde el elemento a P, m
 Ángulo medio en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj desde la
dire4ccion positiva de la corriente a lo largo de dl hacia la dirección del vector r
7. LEY CIRCUITAL DE AMPERE
r
I
B




Constante de proporcionalidad
2
1

r
I
B





2
Si tenemos:



r
I
H
2
Campo magnético Am-1

17. 15


B
H
HB


No depende del medio
 
IdlH
r
r
I
dl
r
I
dlH







  

2
22
Donde
dl Longitud infinitesimal de trayectoria, m
I Corriente encerrada
8. FORMA PUNTUAL DE LA LEY CIRCUITAL DE AMPERE
   1....
A
daJIdlH
Teorema de Stokes
 
 
JH
daJdaH
daHdlH
AS
S



 
 
3....
2....

18. 16























































HzHyHx
zyx
zyx
H
JH
zJzyJyxJxH
z
y
Hx
x
Hy
y
x
Hz
z
Hx
x
z
Hy
y
Hz
H

19. 17
EJERCICIOS:
1. Una carga puntual negativa de C1 esta situada en el aire en el origen de un
sistema de coordenadas rectangulares. Una segunda carga puntual negativa de
C100 esta situada en el eje X positivo a una distancia de 500mm del origen
¿Cuál es la fuerza sobre la segunda carga?
Solución:
r
r
QQ
F
o




 2
21
4
1

112
1085.8 
 Fmo
  
  
  
NxF
x
mFm
C
F
mFm
CC
F
6.3
5.01085.84
100
5.01085.84
1010010
2112
212
2112
66














20. 18
2. Una carga puntual negativa de C10 esta situada en el aire en el origen de un
sistema de coordenadas rectangulares. ¿Cuál es la intensidad de un campo
eléctrico en un punto situado sobre el eje X positivo a 3m del origen?
r
r
Q
E
o


 2
1
4
1

229
10
36
1 
 CmNo


 
XCNE
X
mCmN
C
E
1
2229
9
10
310
36
1
4
1010
















21. 19
3. Una carga 1Q de C1 esta situada en el origen y una carga 2Q de C2 se sitúa
sobre el eje Y a 1m del origen. Encuentre la intensidad del campo eléctrico en un
punto sobre el eje X a 2m del origen.
   
 
1
9
2
9
2
2
2
1
22222
229
2
1
21
6.195.0
24.2
1
24.2
2
5
102
4
1
24
10
21424
,
10
36
1
4
1



























CNyxE
yx
m
E
r
m
Q
x
m
Q
E
yxryxr
CmN
r
r
Q
E
EEE
oo
oo
o
o






22. 20
4. Sea la carga Q igual a pC223 encuentre el potencial V a una distancia de
a = 400mm, si el medio es aire. Si b = 100mm encuentre Vb y Vab
 
 
voltsVVV
volts
mFm
C
V
volts
mFm
C
V
VVV
r
Q
V
bab
o
b
o
a
abab
o
15
20
1.04
10233
5
4.04
10233
4
1
1
12
1
12




















5. Dibuje las líneas de campo para una carga positiva y una negativa.

23. 21
6. Un cuadro de 1m por lado y en el aire tiene una carga puntual Q1 = 1pC en el
vértice superior derecho, una carga puntual de Q2 = -10pC en el vértice inferior
derecho y una distribución lineal de carga de densidad uniforme 1
10 
 pCmL a
lo largo de la arista izquierda. Encuentre el potencial en el punto P en el centro del
cuadrado.
 
       
mVVLVQV
VVQ
VQ
V
ym
dYL
VL
dv
r
v
ds
r
s
dl
r
L
r
Q
V
o
o
o
S Vn
n
o
43
115.0
707.0
10
707.0
10
4
1
5.05.0
1010
5.05.0
10
4
1
158.0
5.04
4
1
1112
22
12
22
12
22


































   







24. 22
7. Consideremos una esfera de radio b y otra concéntrica de radio a.
farads
ab
ab
ba
V
Q
C
si
ba
Q
V
r
drQ
drEV
o
o
o
ab
b
ao
ab











  




4
11
4
:
11
4
4 2

25. 23
8. Verifique que dentro de un conductor que lleva una corriente I, el campo
magnético a una distancia r del centro del alambre esta dado por: 2
2 r
Ir
H

 donde
r es el radio del alambre. La densidad de corriente es contante a través de la
sección transversal del conductor.
     
   
   








 
Rn
rI
H
en
nR
I
JInRJIdsJ
rJ
HrJrH
IdsJdlH
2
12
2....,
1....
2
2
2
2
2


26. 24
9. Muestre que la capacitancia de una esfera de radio R es: faradsRo4
V
Q
C  ,   drEV ,   QdsD , ED o
R
R
Q
Q
C
R
Q
r
drQ
drEdrEV
Rrpara
r
Q
E
Rrpara
R
Q
E
QRE
QdsE
o
o
R
oo
R
o
o
o
o







4
4
44
4
4
4
2
2
2
2






 



27. 25
10. Si 22
7 
 CmzzyyyxD encuentre D
Solución:
 
zzD
z
z
z
y
y
y
x
x
y
D
zzyyyxz
z
y
y
x
x
D
z
z
y
y
x
x
27270
7
7
2
2



































28. 26
11. A una esfera de radio R se le descarga, si la densidad de carga que se
mide viene dada por 3
re t
 
 encuentre la densidad de corriente.
 



VS
dV
t
daJ

,  dddrsenrdV  2
 
   
 
 
 
24
2
0
2
00
52
232
32
3
2
22
6
64
64
64
64
4














 



mAReJ
R
eRJ
ddsendrreRJ
dddrsenrreRJ
dVreRJ
dV
dt
re
RJ
t
t
R
t
t
V
V
t
V
t



 










29. 27
12. Encuentre la densidad de flujo magnético B a una distancia R de un
conductor lineal delgado de longitud infinita que lleva una corriente I.
 
 
 
R
II
dsen
I
B
sen
sen
I
B
dR
R
senI
B
dR
sen
R
sen
I
B
dRdlR
RR
sen
R
r
r
R
sen
dl
r
senI
B






























2
cos
44
1
csc,csc
4
csc
4
csc
4
csccot
tan
1
1
tan
4
0
23
2
2
3
2
2
2
2
2






















30. 28
II. ECUACIONES DE MAXWELL
Teorema de la Divergencia:     dVAdsA
Teorema de Stokes:     dsHdlH
Desplazamiento eléctrico: ED o
Densidad de corriente: EJ 
Densidad de flujo magnético: HB 
Primera Ecuación de Maxwell (Ley de Faraday)
 
  

2....
1...
dsB
dt
d
dlEV
dt
d
V M
Por teorema de Stokes
   


 3....ds
t
B
dsE
Por (2) y (3)

31. 29
 4.... 


 ds
t
B
dlEV
Forma integral
Ahora (3) y (4)
 5....
t
B
E



Forma puntual
Segunda Ecuación de Maxwell
 1.....  dsJIdlH
 
 



3´.....0
2.....
AparadlH
AparaIdlH
En este caso por (1)
  dsJI

32. 30
Como
dt
dA
dt
dQ
I

 donde A densidad superficial de carga de polarización.
 4.....´
dt
d
J
dt
d
A


Pero: D ,
dt
dD
dt
d


,  5.....
dt
dD
AI 
Por (4) y (5)

dt
dD
J´ Corriente de desplazamiento
  





 6.....dsJ
dt
dD
dlH
Forma integral
Por teorema de Stokes:
   
 8.....
7.....
J
dt
dD
H
J
dt
dD
dsHdlH





Tercera ecuación de Maxwell (Ley de Gauss)

33. 31
 
 
 3.....
2.....
1.....





dVqdsD
EDcomo
q
dsE
o
o



Forma integral
Por teorema de la Divergencia
 4.....


 
D
dVdVD
Forma puntual
Cuarta Ecuación de Maxwell (Ley de Gauss del magnetismo)

34. 32
 
  

2.....0
1.....0
dsB
M
Forma integral
Por teorema de la Divergencia
 3.....0
0


B
dVB
Forma puntual
Conservación del campo eléctrico:
Forma puntual:
t
J




   

 dV
t
dVJ

Forma integral:   

 dV
t
dsJI

SIGNIFICADO FÍSICO DE LAS LEYES DE MAXWELL
1. La fuerza electromotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la
derivada respecto al tiempo del desplazamiento magnético a través de cualquier
superficie limitada por la trayectoria.

35. 33
2. La fuerza magnétomotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la
densidad de corriente más la derivada respecto al tiempo del desplazamiento
eléctrico a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria.
3. El desplazamiento eléctrico total a través de una superficie que encierra a un
volumen es igual a la carga total del volumen.
4. El flujo magnético total de una superficie cerrada es cero.

36. 34
III. CONDICIONES DE FRONTERA
1. COMPONENTES TANGENCIALES Y NORMALES DE B Ó H Y DE E Ó D
a) La componente tangencial de E es continua en la superficie. esto es justamente
la máxima afuera de la superficie que dentro de la superficie.
b) La componente tangencial de H es continua a través de una superficie excepto
en la superficie de un conductor perfecto. En la superficie de un conductor perfecto
la componente tangencial por unidad de anchura.
c) La componente normal de B es continua en la superficie de discontinuidad.
d) La componente normal de D es continua si no hay densidad de carga
superficial. De otro modo D es discontinuo por una cantidad igual a la densidad de
carga superficial.
Condiciones de frontera para componente tangenciales del campo eléctrico:
yxzByEy
x
Ex
x
ExyEy
x
Ex
x
Ex
ds
t
B
dsE












 
1
2
1
2
22
2
2
2
1

37. 35
Simplificando:
 
12
012
012
12
12
EyEy
EyEy
xperoxzBEyEy
yxzByEyEy
yxzByEyyEy








Esto es la componente tangencial de E es continua.
Similarmente:
 
yxzDyxJzyHy
x
Hx
x
HyyHy
x
Hx
x
Hx
daJDdlH
S









 


1
2
1
2
22
2
2
2
1
Simplificando:
   
 
12
012
012
12
12
HyHy
HyHy
xperoxDzJzHyHy
yxzDJzyHyHy
yxzDyxJzyHyyHy








38. 36
Esto es el componente tangencial de H es continuo (para densidades de
corrientes finitas)
hojadeCorrientemAJsxJLim 
JszHyHy
yJszyHyyHy


21
12
Componentes normales de D:
De la tercera ecuación de Maxwell
0
21
21






 
 
xLim
xDn
da
Dn
dVdsDndsDn
dVdsD




39. 37
En el caso de que no se altere la frontera, o sea que no genere una carga
superficial.
21 DnDn 
En el caso de que si se genere una carga superficial.
 sxLim  Densidad superficial de la carga
sDnDn  21
En el caso de que el segundo medio es un metal.
sDn 1
Componentes normales de B.
21
00
021
BnBn
x
Bn
da
Bn






40. 38
Resumen:
21
21
HTHT
ETET


HB
ED




2
2
1
1

DTDT

21
1
21
21
BnBn
Dn
DnDn
JszHTHT
s
s






2211
11
2211
2211
2
2
1
1
2
2
1
1
HnHn
En
EnEn
EnEn
Jsz
BTBT
BTBT
s
s













41. 39
EJERCICIOS:
1. Muestre que la densidad de corriente de desplazamiento es igual a la corriente
de conducción.
Y ejemplifique para  wtsenVmV 
    wtwVm
ddt
wtsend
Vm
ddt
wtsenVmd
dA
I
dt
dD
entodesplazamideCorriente
A
I
I
dA
d
I
d
d
A
I
Cddt
dQ
Cddt
C
Q
d
ddt
dV
ddt
d
V
d
dt
dE
dt
Ed
dt
dD
A
I
dt
dD
cos





















42. 40
2. Una línea de transmisión consiste de 2 planos conductores perfectos de gran
extensión separados una distancia y guiando entre ellos una onda plana uniforme.
Los planos conductores llevan una densidad de corriente lineal alterna
m
AJs en
la dirección de Y, dada por:







C
Y
twJoJs cos
Obtenga E y V entre las placas.



















































C
Y
senw
C
Y
tsenw
w
Jod
V
EdV
C
Y
senw
C
Y
twsen
w
Jo
E
dtw
C
Y
twJo
w
E
dt
C
Y
twJoE
dtJsE
dt
dD
Js
o
o
t
o
t
o
t
o





0
0
0
cos
1
cos
1
1

43. 41
3. El vector E de una onda electromagnética en el espacio libre está dada por:







C
Z
twAEyEzEx cos,0
Encuentre el vector magnético H.
X
C
Z
tw
C
Z
w
C
A
H
C
Z
tww
C
Z
C
Ax
H
C
Z
tw
C
xA
H
xdtw
C
Z
tsenw
wC
wA
H
x
C
Z
tsenw
C
Aw
x
C
w
CV
Z
tsenwAx
C
Y
twA
z
E
C
Z
twA
zyx
zyx
E
dtEH
dtEB
t
B
E
t
t
t



























































































































coscos
coscoscos
cos
0cos0
1
0
0
0





44. 42
4. Una espira de alambre de 20cm por 20cm tiene un voltímetro (de impedancia infinita)
conectado en serie con uno de sus lados. Determine el voltaje que indica por el medidor
cuando la espira se coloca en un campo magnético alterno. La máxima intensidad es de
2T. El plano de la espira es perpendicular al campo magnético, la frecuencia es 10MHz.
7
102cos12coscos  
m
AmftBmwtBmB
Por la segunda ecuación de Maxwell:
    
tsen
tsenmm
senwtBAw
ds
t
B
t
Vporqueds
t
B
V
S
77
77
10210502.0
10221022.02.0














  

45. 43
IV.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
1. EN EL ESPACIO LIBRE.
En el espacio libre 00  Jy
En general: En el espacio libre:
 
EJ
HB
ED
B
D
BE
JDH


















2.....
0
 
0
1.....0




B
D
BE
DH




Ahora:
   
 4.....
3.....
HE
DHH
t







Sabemos que:    5.....2
AAA


Entonces:   EEE
 2

Por las ecuaciones (2), (3), (4) y (5):   EEE


Por la ecuación (1): 0
1
 DE



46. 44
EE

2
Ecuación de onda para el campo eléctrico en el vacío.
EE

2
Ecuación de onda para el campo magnético en el vacío.
2. PROPAGACIÓN DE UNA ONDA PLANA UNIFORME
planaondaunadeEcuación
t
E
x
E
EE
2
2
2
2
2










seg
mV
ysiV
oo
oo
8
2
103
1
1





Se deduce que la luz es una onda y puede ser polarizable.
3. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA
 mtxsenEy  



2

    
    mtxsen
V
m
mtxm
Vt
Ey
V
mtxsenmtx
x
Ey
t
Ey
Vx
Ey














2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
cos
11
´cos
1

47. 45
Entonces:
   mtxsen
V
m
mtxsen   2
2
2
2
   
  wffBV
f
T
V
mtxsenmtxsenEy
Vmsi
V
m










2
2
12
2
Izquierda: Derecha:
 
 
V
dt
dx
V
dt
dx
ctemtx
ctemtx




0
.
.  
 
V
dt
dx
V
dt
dx
ctemtx
ctemtx




0
.
.
En forma general:
   
   
wtxiwtxi
wtxi
wtxi
eeEyEyET
ewtxsenmtxsenEy
ewtxsenmtxsenEy











ImIm21
Im2
Im1

48. 46
4. RELACION ENTRE HyE

PARA UNA ONDA PLANA UNIFORME
 
 HzHyH
EzEyE
,,0
,,0




DHx
CzByAx


 0  
BE
zyfHE



 ,,
Ahora:
HzHy
zyx
kji
H
0
ˆˆˆ








Pero Hy, Hz = fw

49. 47
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 vtx
vtxf
t
vtx
vtx
vtxf
t
Ey
vtx
vtxf
V
t
vtx
vtx
vtxf
t
Ey
vtxfEy
x
Ey
x
Hz
k
t
Ey
j
t
Ez
k
x
Hy
j
x
Hz
k
x
Ey
j
x
Ez
E
k
x
Hy
j
x
Hz
H





















































1.....
ˆˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ




Entonces:
 2.....
x
Ey
V
t
Ey





Sustituyendo (2) en (1)
  










dx
x
Ey
vdx
x
Hz
x
Ey
v
x
Hz



50. 48
Por lo tanto:






















A
V
m
A
A
V
H
E
H
E
EzEy
EzEy
H
E
EzEy
EzEy
HzHy
EzEy
H
E
EyHy
EyHz
EyEyHz
cEyvHz

















22
22
22
22
22
22
1


  Impedancia intrínseca o característica del medio.
o
o
o


  Impedancia característica del vacío.

51. 49
0

HE
HzHyHyHzHzEzHyEyHE



Entonces: º90
 
   22ˆˆ
ˆ
0
0
ˆˆˆ
HzHyiHyHyHzHziHE
HyEzHzEyi
HzHy
EzEy
kji
HE





2
ˆ HiHE

 
Es un vector que sale del eje X, la onda viaja en la dirección positiva de X
5. ECUACIÓN DE ONDA PARA UN MEDIO CONDUCTOR.
Tenemos que 00  yJ

Escribiendo las ecuaciones de Maxwell para un medio conductor:

52. 50
0
0




B
D
BE
JDH




EJ
HB
ED









Obtenemos una ecuación de onda para un medio conductor:
 
 
 
 
EEE
DE
EEE
HE
HE
EEJDH
HH
t






















2
0
1
02
 EEE

 Ecuación de E para un medio conductor
02
 HHH

 Ecuación de H para un medio conductor
6. VARIACIONES EN EL TIEMPO.
Definimos el fasor del vector H

como:
    tj
erHErH 


Re,
~

53. 51
7. ECUACIONES DE MAXWELL UTILIZANDO LA ROTACIÓN FASORIAL.
J
t
D
H






 En forma tensorial J
t
D
H
~
~
~




       
    
      tjtjtj
tjtjtj
tjtjtj
eJeDjeH
eJeD
t
eH
eJeD
t
eH



 

















ReReRe
ReReRe
ReReRe
Entonces:
     
  
0
Re
ReReRe



JDjH
eJDjH
eJeDjeH
tj
tjtjtj








JjH

 

54. 52
Por lo tanto:
BjE
JDjH






0

B
D



Ecuaciones de Maxwell en términos de j y w
 


 
 




0sdB
dvjsdD
sdBjldE
sdJDjldH







Las ecuaciones de onda en términos de j y ω quedarían así:
 
0
0
22
22
22



EE
EjEE
EE






Ecuación de Helmholtz
8. PROPAGACION DE ONDA PLANA EN ESPACIO LIBRE
EE

  22
Ecuaciones de Maxwell en forma integral en
términos de j y ω

55. 53
Ey
x
Ey



 2
2
2
Si   22
       
 xtixtiti
xixi
ececeEytxyE
ececEy
Ey
x
Ey









21
21
2
2
2
ReRe,
~
Si c1 y c2 pertenecen a los reales.
   
   
 
     txctxctxyE
ecectxyE xtixti



 
coscos,
~
ReRe,
~
21
21
  Número de onda o constante de traslación de fase


 
T
f
2
2 V


Velocidad de fase
9. PROPAGACIÓN DE ONDA EN UN MEDIO CONDUCTOR.
 
 
1
0
0
0
22
2
22








EE
EiiE
EiE



  iiSi 2
Constante de propagación

56. 54
* Solución de la ecuación de onda en un medio conductor en una onda plana.
   
     
 
   
   
 
   
 
 
     
   








iiii
iiii
iytiiAhora
ecetxyE
Entoncescxsi
eceecetxyE
eeceectxyE
eEytxyE
ececEy
Ey
x
Ey
xtix
xtixtxix
xtixtxix
ti
xx
















2222
2
1
21
21
21
2
2
2
2
Im,Re
:
Re,
~
0
ReRe,
~
Re,
~
Re,
~
Entonces:
 222
 ,  2



2

Sustituyendo:

57. 55


 42
222
2
2














































11
2
11
2
2
2
0
4
22
2
22
2
2222242
2222242
2
222
224












10.CONDUCTORES Y DIELÉCTRICOS.
Para buenos conductores 1


Para buenos dieléctricos y aisladores 1




D Factor de disipación del dieléctrico
 senFP .. Dtg 1
  DtgsenFP 1
. 


58. 56
11.PROPAGACIÓN EN BUENOS DIELÉCTRICOS
  nxx
n
 11 1x
1


122
2

















































22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
8
1
8
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
11




















VoV
* Impedancia característica de un medio por conductividad finita.




























 



o
i
i
i
i
i
i
2
1
1

59. 57
12.PROPAGACIÓN DE ONDA DE UN BUEN CONDUCTOR.
  ii 2
1


 1


8
10


010 8
 


2
1
2
1
22
cos
1
4
2
1
2
2
2
ieei
senie
i
iii
ii
i























Multiplicando por γ:
º45/
1
2
2

































i
i
i
i
i
V
V
Fasor 45º

60. 58
13.PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN.
   
 txix
eyEetxyE  


Re,
~








2
2
1
11
2
1
1
1
1
22
2
1













 
e
e
e
14.TIEMPO DE RELAJACIÓN.
Supongamos que se coloca una carga de densidad o sobre un medio conductor
infinito, determine cuanto tiempo le toma a la carga disminuir en un 37% su valor
inicial.

61. 59
 
 















































t
e
e
et
e
tt
DJ
EDEJ
EJ
t
J
o
o
o
t
o
t
%37
0
0





Tr Tiempo de Relajación
 









TrSi
seg
seg
C
C
Vm
mC
m
Vm
C
Tr
0
1
 En los dieléctricos

62. 60
15.POLARIZACIÓN.
Polarización Lineal.
     
    zti
tizizi
eiEirEtzEiEirEoE
eeoEtzEeoEzE








Re,
~
Re,
~
  tsenEitErtoE   cos,
~
Ecuación de la recta en coordenadas polares.
Polarización Circular.
     
 
  tsenEtEtzE
eEiEtzEiEoE zti

 

 
cos,
~
Re,
~
Polarización Elíptica

63. 61
  tsenBtAtoE   cos,
~

64. 62
EJERCICIOS:
1. Muestre que la función
 vtxV
seneF z

  
satisface la ecuación de onda:
2
2
2
2 1
t
F
C
F


 donde la velocidad de onda
2
1
2
22
1









 C
CV
Solución:
  
 
  
 
  vtx
v
sene
ct
F
c
vtx
v
sene
x
F
vtx
v
sene
zzz
F
vtx
v
sen
v
e
x
F
vtx
v
sene
xxx
F
z
F
x
F
F
z
z
z
z
z


























































2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
Entonces:
        
   0
1
2
22
2
2
2
2
2
2




 



cv
vtx
v
sene
vtx
v
sene
c
vtx
v
senevtx
z
sen
z
e
z
zzz





65. 63
2
1
2
22
2
22
222
22
2
2
2
222
2
22
2
2
2
22
2
2
1
1
0
















 











c
cv
c
c
v
c
c
v
v
c
cv
cv

66. 64
2. La tierra se considera buen conductor cuando 1


determine la frecuencia
más alta para la cual la tierra puede ser considerada un buen conductor si mucho
menor que uno significa menor de 0.1, suponga las siguientes constantes:
oy
m
 10105 3
 
Solución:
f
m
o





2
10
105
1.0
3





Sustituyendo:
    
kHzf
m
f
1.899
1.0
105
1085.8102
3
12








67. 65
3. Obtenga la profundidad de penetración de una onda de 1MHz dentro de cobre,
el cual tiene una conductividad de
m
7
108.5  y una permeabilidad aproximada
igual a la del vacío.
Solución:
 
7
7
104
21
108.5
2










MHz
m
Sustituyendo:
  
m
MHz
m
5
77
106.6
21104108.5
2








 





68. 66
4. En el vacio 0 obtenga el valor de  para una frecuencia de 95.5MHz.
Solución:
1
1
12
7
2
2
2
2
0
2
:
1085.8
104
5.95
0
0















mi
mi
doSustituyen
m
F
m
Hy
MHzf
si
i
o
o











69. 67
5. Determine la constante de propagación  para un material con
m
yoo  25.08,  , si la frecuencia de la onda es 3.2MHz.
Observación: Vea que el material es un buen dieléctrico o un buen conductor.
Solución:
MHzf
m
m
F
m
Hy
o
o
2.3
25.0
1008.78
104
11
7









Sabemos que para un buen conductor: 1


Sustituimos:
1107.1 10
 
Es un buen conductor
Entonces:





i


2
Sustituyendo valores:
11
1066.1 
 189.0 189.01066.1 11
i 


70. 68
6. Demuestre que



Hy
Ez
para una onda plana uniforme que viaja en la
dirección de x.
 
 
k
x
Ey
j
x
Hz
H
k
x
Ey
j
z
Ez
EzEy
zyH
kji
E
HzHyH
EzEyE





































ˆˆ
0
ˆˆˆ
,,0
,,0
Por la primera ley de Maxwell:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
Ez
v
t
Ez
vtx
f
t
vtx
vtx
vtxf
x
Ez
v
vtx
f
t
vtx
vtx
vtxf
x
Ez
t
Ez
x
Hy
k
z
Ey
j
x
Hz
t
Ez
j
t
Ey
H
t
E
t
D
H




















































ˆˆˆ




71. 69

































Hy
Ez
EzEz
Hy
vComo
CEzvHy
x
Ez
v
x
Hy
1
1
:
7. Si el campo eléctrico
m
vjiiE 73ˆ 

obtenga la ecuación que satisfacen la
componente x fasorial y la componente y fasorial y diga de que tipo es la
polarización de onda:
     
   
    1
49
~
9
~
7
~
cos3
~
ˆ7ˆcos3
~
cos7ˆ3ˆReRe
~
22





yExE
tsenyE
txE
jtsenitE
tsenitjiieEE ti





Polarización elíptica

72. 70
V. DENSIDAD DE POTENCIA
1. TEOREMA DE POYTING
 
     
     
     HEEHHE
HEEHHE
BAAHHA
EEHEJE
EHJEJH












Por lo tanto:
   
 
    
























V
dvHEdvEH
t
dvJE
t
E
EE
t
H
HH
HEEEHHJE
HE
EEHEEHJE






22
2
2
22
2
1
2
1




Por teorema de la Divergencia:

73. 71
      









V V S
adHEdvEH
t
dvJE
 22
22

Teorema de Poyting
JE
A
I
E 
  
v
dvJE

Potencia disipada en el volumen.
2
2
H

Densidad de energía almacenada en el campo magnético.
2
2
E

Densidad de energía almacenada en el campo eléctrico.
   adHE

Potencia entrante a través de la superficie cerrada.
HEP

 Vector de Poynting (Energía entrante a una superficie cerrada).
2. POTENCIAS.
a) Potencia instantánea.
IVW
~~~

Donde:
     
 I
tiviti
tII
tvVeeVeVV




cos
~
cosReRe
~

74. 72
   
    
  IVt
IV
W
IVSi
IVtIV
IV
W
VtVtIVW








2coscos
2
~
:
2coscos
2
~
coscos
~
b) Potencia promedio.
cos
2
IV
WPROM 
c) Potencia reactiva.
sen
IV
WREAC
2

d) Potencia compleja.
   
   IVWW
IVWW
WWW
sen
IV
i
IV
W
e
IV
WeIeVVIW
REAC
PROM
REACPROM
ivivi




 
Im
2
1Im
Re
2
1Re
2
cos
2
22
1
2
1



75. 73
El flujo de potencia instantánea por metro cuadrado lo definimos como:
HEP
~~~

El vector complejo de Poyting:
*
2
1 HEP


3. TEOREMA DE POYTING EN FORMA COMPLEJA.
     
   
 
     






V V
dVJEEEHHiadHE
JEEEiHHiHE
JEiEHHiHE
HEEHHE
HiE
JEiH
JDiH







**
****
****
***






4. PERDIDA DE POTENCIA EN UN PLANO CONDUCTOR.
   
 


2
2
2
2
12
2
1
º45
2
1*Re
2
1
Etg
HtgrealP
senHtgEtgtgHEtgrealP
Htg
Etg




76. 74
EJERCICIOS:
1. Encuentre el flujo de potencia para una onda plana (en términos del vector
Poyting).
Solución:
 
 













EHHE
H
E
oVHEPoytingdeVector
Vo
HEenergiadeDensidad
22
22
2
1
1
2
1
Sustituyendo en el vector de Poyting:
HEPoytingdeVector
uHE
oVVo
HEoVHEPoytingdeVector




 ˆ
1



77. 75
2. Considere entre dos cables concéntricos la potencia se transfiere por una
resistencia R, el voltaje V entre los conductores se mantiene por una corriente
directa I que fluye por el conductor interno y externo se supone que los
conductores tienen una resistencia despreciable, el radio del conductor interno es
a y el del exterior es b, obtenga el flujo total de potencia a lo largo del cable.
 
 
 
 b
a
b
a
o
r
lr
q
V
r
dr
lr
q
V
rd
lr
q
VdrEV
r
q
V
lr
qE
qlrE
qdaE
lrÁrea
qdaEGaussPor
adHEW
ln
22
24
1
2
2
2
2
























78. 76
 
IV
a
b
b
a
IV
r
dr
b
a
IV
da
r
I
b
a
r
V
r
I
HrHIldHIIldH
b
a
r
V
E
b
aV
r
b
a
V
E
b
a
V
l
q
a
b
lr
q
V
b
a
b
a












































ln
ln
ln
2
ln
2
2
ln
ln2
1
ln
2
ln
2
ln
2


79. 77
VI. REFLEXIÓN Y TRASMISIÓN
1. REFLEXIÓN EN UN CONDUCTOR PERFECTO (INCIDENCIA NORMAL)
La componente tangencial de e debe ser continua a través de la frontera, pero e
es cero dentro del conductor. La suma del campo incidente más el campo
reflejada desde cero.
  tsenxsenEixsenEijE
xsenEijeEreEiE
eErE
eEiE
EtErErEi
total
xjxj
total
xj
reflejada
xj
incidente











22Re
~
2
0
xHieHreHiH
HiHr
xjxj
total 
cos2



80. 78
  txHiexHiH tj
 
coscos2cos2Re
~

2. REFLEXIÓN POR UN CONDUCTOR PERFECTO (INCIDENCIA OBLICUA).
 
 
 




















sen
y
sen
V
By
Vy
BsenByBBz
V
donde
eezsenEijE
EEE
eEiE
CA
kjn
eErE
CBA
reErE
kzjyixr
CkBjAin
ri
yyj
total
reflejadaincidentetotal
zysenj
incidente
zysenj
reflejada
xj
reflejada























cos
2
2
2
cosˆ
2
cosˆˆ
22
ˆˆˆˆ
cosˆcosˆcosˆ´ˆ
cos
cos

81. 79
VII. BIBLIOGRAFIA
Jackson, J.A., Electrodinámica Clásica, Segunda Edición, Editorial Alhambra,
México, 1980.