Este documento presenta el plan de estudios para el curso de Cálculo Diferencial e Integral. Incluye tres unidades principales sobre nociones preliminares, derivada e integral. Cada unidad contiene varios temas como números reales, funciones, límites, derivación, integración y métodos de integración.
La desigualdad 4x-7 representa el conjunto de números reales x tales que 4x-7 es menor que 0. Para resolverla:
4x-7 < 0
4x < 7
x < 7/4
Por lo tanto, el intervalo solución es: (-∞, 7/4)
2. -3x ≤ 9
Este documento presenta un resumen de los temas fundamentales del cálculo. En la unidad I se introducen conceptos preliminares como números reales, funciones, límites y continuidad. La unidad II cubre el tema de la derivada. La unidad III trata sobre la integral indefinida, definida y métodos de integración.
El documento proporciona información sobre el álgebra. Explica que el álgebra es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las operaciones aritméticas. Además, señala que su término proviene del latín y significa reducción. Por último, menciona algunas aplicaciones históricas del álgebra, como la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas por los antiguos babilonios y egipcios.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta el plan de estudios para el curso de Cálculo Diferencial e Integral. Incluye tres unidades principales sobre nociones preliminares, derivada e integral. Cada unidad contiene varios temas como números reales, funciones, límites, derivación, integración y métodos de integración.
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4x-7 < 0
4x < 7
x < 7/4
Por lo tanto, el intervalo solución es: (-∞, 7/4)
2. -3x ≤ 9
Este documento presenta un resumen de los temas fundamentales del cálculo. En la unidad I se introducen conceptos preliminares como números reales, funciones, límites y continuidad. La unidad II cubre el tema de la derivada. La unidad III trata sobre la integral indefinida, definida y métodos de integración.
El documento proporciona información sobre el álgebra. Explica que el álgebra es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las operaciones aritméticas. Además, señala que su término proviene del latín y significa reducción. Por último, menciona algunas aplicaciones históricas del álgebra, como la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas por los antiguos babilonios y egipcios.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes, funciones valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se plantean problemas adicionales sobre dominios de definición y representación gráfica de funciones.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el movimiento de pasajeros que intentan subir a un autobús en movimiento, la velocidad de un autobús, y el intercambio de relevos en una carrera. Calcula derivadas, determina pendientes de tangentes, y analiza gráficas de funciones y sus derivadas.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con funciones lineales, cuadráticas y otras funciones elementales. Contiene 17 ejercicios resueltos que incluyen representaciones gráficas de funciones, hallazgo de vértices de parábolas, dominios de definición y más. El objetivo es practicar conceptos básicos de funciones a través de ejemplos numéricos y gráficos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre la representación y análisis de rectas. En el primer ejercicio, se pide representar rectas de la forma y = mx + b. En ejercicios posteriores, se analizan las pendientes, intersecciones y ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados o tienen pendientes especificadas. El documento concluye calculando pendientes de rectas que pasan por pares de puntos.
Este documento presenta los conceptos básicos de relaciones y funciones matemáticas. Define términos como par ordenado, producto cartesiano, dominio, rango e inversa de una relación. También explica cómo graficar ecuaciones mediante la identificación de intersecciones con los ejes, asíntotas, simetrías y extensión del dominio y rango. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Este documento contiene 36 problemas de matemáticas que involucran álgebra, ecuaciones, desigualdades, funciones, porcentajes y geometría. Los problemas van desde resolver ecuaciones y desigualdades hasta calcular porcentajes de aumento o descuento, determinar coordenadas de vértice de funciones cuadráticas y factorizar polinomios. El documento provee una variedad de ejercicios matemáticos para practicar diferentes temas y conceptos.
1. La factorización divide expresiones en factores. Se ilustran diversos tipos de factorización y se aplica la factorización a varias expresiones algebraicas. 2. Se define la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y se aplica el método a ejemplos. 3. Se pide investigar el uso de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas.
El documento presenta ejemplos de cómo calcular las raíces de polinomios. En el primer ejemplo, se calculan los valores de un polinomio P(x) para diferentes valores de x. En el segundo ejemplo, se resuelven las raíces de un polinomio Q(x) de cuarto grado. El documento concluye con seis ejercicios de calcular las raíces de polinomios de diferentes grados.
Este documento presenta información sobre funciones lineales. Explica cómo calcular el perímetro de un cuadrado en función de su lado, lo que puede representarse como una función lineal f(x)=4x. Proporciona ejemplos de cómo graficar funciones lineales de la forma y=mx+b y realizar tablas de valores. Finalmente, propone actividades para modelar diferentes situaciones de la vida real usando funciones lineales.
Este documento presenta los conceptos básicos de las fracciones algebraicas, incluyendo cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas. Explica que primero se debe factorizar el numerador y denominador, y luego cancelar los factores comunes para simplificar. También proporciona ejemplos detallados de cada operación y enlaces a videos instructivos para una mejor comprensión.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Este documento propone reformas al Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación Intercultural relacionadas con los exámenes supletorios, remediales y de gracia. Se establece que los estudiantes con notas entre 5 y 6.9 podrán rendir un examen supletorio para aprobar asignaturas, y aquellos con nota menor a 5 deberán presentar un examen remedial. También se permite un examen de gracia para quienes reprueben un examen remedial.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con funciones elementales. En la primera sección, se pide hallar el dominio de definición de varias funciones racionales y radicales. Luego, se incluyen ejercicios para representar gráficamente funciones dadas por partes y funciones relacionadas con la función valor absoluto y la función parte entera. Finalmente, se proporcionan más ejercicios para practicar el cálculo del dominio de definición.
Este documento presenta varios ejemplos de aplicaciones del cálculo de derivadas, incluyendo el cálculo de velocidades y pendientes de tangentes. Se analizan casos como tomar un autobús en movimiento, carreras de relevos y funciones derivadas.
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Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
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El documento presenta información sobre funciones lineales, incluyendo cómo graficar ecuaciones lineales, determinar la pendiente y el intercepto en el eje y a partir de la ecuación de una recta, y distinguir entre rectas horizontales y verticales. Se proveen ejemplos y ejercicios prácticos para reforzar los conceptos.
Este documento presenta soluciones a ejercicios y problemas relacionados con funciones lineales, cuadráticas y otras funciones elementales. Contiene 17 ejercicios resueltos que incluyen representaciones gráficas de funciones, hallazgo de vértices de parábolas, dominios de definición y más. El objetivo es practicar conceptos básicos de funciones a través de ejemplos numéricos y gráficos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre la representación y análisis de rectas. En el primer ejercicio, se pide representar rectas de la forma y = mx + b. En ejercicios posteriores, se analizan las pendientes, intersecciones y ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados o tienen pendientes especificadas. El documento concluye calculando pendientes de rectas que pasan por pares de puntos.
Este documento presenta los conceptos básicos de relaciones y funciones matemáticas. Define términos como par ordenado, producto cartesiano, dominio, rango e inversa de una relación. También explica cómo graficar ecuaciones mediante la identificación de intersecciones con los ejes, asíntotas, simetrías y extensión del dominio y rango. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Este documento contiene 36 problemas de matemáticas que involucran álgebra, ecuaciones, desigualdades, funciones, porcentajes y geometría. Los problemas van desde resolver ecuaciones y desigualdades hasta calcular porcentajes de aumento o descuento, determinar coordenadas de vértice de funciones cuadráticas y factorizar polinomios. El documento provee una variedad de ejercicios matemáticos para practicar diferentes temas y conceptos.
1. La factorización divide expresiones en factores. Se ilustran diversos tipos de factorización y se aplica la factorización a varias expresiones algebraicas. 2. Se define la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y se aplica el método a ejemplos. 3. Se pide investigar el uso de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas.
El documento presenta ejemplos de cómo calcular las raíces de polinomios. En el primer ejemplo, se calculan los valores de un polinomio P(x) para diferentes valores de x. En el segundo ejemplo, se resuelven las raíces de un polinomio Q(x) de cuarto grado. El documento concluye con seis ejercicios de calcular las raíces de polinomios de diferentes grados.
Este documento presenta información sobre funciones lineales. Explica cómo calcular el perímetro de un cuadrado en función de su lado, lo que puede representarse como una función lineal f(x)=4x. Proporciona ejemplos de cómo graficar funciones lineales de la forma y=mx+b y realizar tablas de valores. Finalmente, propone actividades para modelar diferentes situaciones de la vida real usando funciones lineales.
Este documento presenta los conceptos básicos de las fracciones algebraicas, incluyendo cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas. Explica que primero se debe factorizar el numerador y denominador, y luego cancelar los factores comunes para simplificar. También proporciona ejemplos detallados de cada operación y enlaces a videos instructivos para una mejor comprensión.
El documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. Se incluyen preguntas tipo test sobre tasas de variación media, rectas tangentes, derivadas de funciones compuestas y derivabilidad. También contiene ejercicios para calcular derivadas, analizar derivabilidad y hallar valores que hagan derivable una función.
Este documento propone reformas al Reglamento General de la Ley Orgánica de Educación Intercultural relacionadas con los exámenes supletorios, remediales y de gracia. Se establece que los estudiantes con notas entre 5 y 6.9 podrán rendir un examen supletorio para aprobar asignaturas, y aquellos con nota menor a 5 deberán presentar un examen remedial. También se permite un examen de gracia para quienes reprueben un examen remedial.
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
2. UNIDAD I
Nociones preliminares
1.1 Números reales
1.1.1 Conjunto de números reales y la recta númerica
1.1.2 Intervalos y su clasificación
1.1.3 Desigualdades y su solución
1.2 Funciones
1.2.1 Dominio y rango de una función
1.2.2 Gráficas de funciones
1.2.3 Operaciones con funciones
1.2.4 Composición de funciones
3. 1.3 Límite de funciones
1.3.1 Concepto de límite de una función
1.3.2 Límites laterales
1.3.3 Teoremas de límites
1.3.4 Límites infinitos
1.4 Continuidad de funciones
1.4.1 Continuidad de una función, análisis gráfico
1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones
1.4.3 Continuidad de una función en un punto y en
un intervalo
4. UNIDAD II
Derivada
2.1 Derivada de una función
2.1.1 La derivada como razón de cambio
2.1.2 Interpretación geométrica y física de la derivada
2.2 Cálculo de derivadas
2.2.1 Regla general de derivación
2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas de derivación
5. 2.3 Aplicación de la derivada
2.3.1 Concavidad
2.3.2 Métodos para la obtención de máximos y mínimos
2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y mínimos
2.4 Teoremas de derivación
2.4.1 Regla de la cadena
2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio
6. UNIDAD III
Integral
3.1 La integral indefinida
3.1.1 La integral como operación inversa de la
derivación
3.1.2 Fórmulas básicas de integración
3.2 La integral definida
3.2.1 Sumas de Riemann
3.2.2 Interpretación geométrica de la integral
(área bajo la curva)
3.2.3 Teorema fundamental del cálculo
7. 3.3 Métodos de integración
3.3.1 Por sustitución
3.3.2 Por sustitución trigonométrica
3.3.3 Por racionalización
3.3.4 Por partes
9. El sistema de los números reales
El cálculo se basa en el sistema de los números
reales y sus propiedades.
Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)
Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)
Números reales Números racionales: 3/4, -5/7, m/n, ........... (Q)
Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........
Números complejos: a + bi; i= -1
N Z Q R
15. Ejercicios resueltos
1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis
4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por -
3
4+12-6 = Se suman todos los positivos y los
negativos
16-6 = 10
3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color verde
-4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis con
su literal
-4[21+8]= Se resuelve color lila
-4[29]= -116 Se multiplica
21. d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3
= 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1
= 8t3 - 12t2 + 6t –1
e) (x2-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que
(a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4)
(x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el numerador
y en el denominador, se cancela.
x+2
f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1
(x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-3)+(2)= -1
x+2
22.
23. Desigualdades
Una expresión algebraica con cualquiera de
estos símbolos (<, >, >, <) es una
Desigualdad.
Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5
Al resolver una desigualdad se encuentra
un conjunto con aquellos números reales
que la hacen verdadera. Al conjunto
solución se le llama intervalo.
24. Tipos de intervalos
Nombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de intervalos
Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)
Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]
Semiabierto:
Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]
Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)
Infinito:
{x: x < b} x b (- ,b]
{x: x < b} x b (- ,b)
{x: x > a} a x [a, )
{x: x > a} a x (a, )
25. Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2
Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.
2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y
los términos con constante se pasan al otro.
2x-4x > -2+7
-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando
con x y pasa a dividir con 5.
x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la
desigualdad se cambia.
x < -5/2
-5/2
(- , -5/2)
26. -5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2
-5 -6 < 2x < 4 -6
-11 < 2x < -2
-11/2 < x < -2/2
-11/2 < x < -1
-11/2 -1
[-11/2, -1)
27. x2-x < 6 Se pasa todo a un lado.
x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-3)+(2)=-1
(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es negativo.
(x-3) < 0 (x-3) > 0
x < +3 x > +3
(x+2) > 0 (x+2) < 0
x > -2 x < -2
-2 3 -2 3
(-2,3) No tiene solución, no se cruzan
30. Valor absoluto
Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro
punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias
negativas; se designa mediante |x| y se define como:
Ejemplo:
|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b |-4x2|= 4x2
Propiedades del valor absoluto
I. |ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b|
|(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|
II. |a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b||
|-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||
31. Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1
lo que está dentro del valor absoluto, puede ser
positivo o negativo
+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1
3x > 1+5 3x-5 < 1/-1
3x > 6 3x < -1+5
x > 6/3 x < 4/3
x > 2
35. Aunque el cálculo fue descubierto a
fines del siglo XVII, sus fundamentos
permanecieron en estado de confusión y
desorden hasta que Cauchy y sus
contemporáneos impusieron normas de
rigor. Debemos a Cauchy la idea de
basar el cálculo en una clara definición
del concepto de límite.
Tarea: Biografía de Cauchy
36.
37. Funciones y límites
Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos
conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le
corresponde solo un elemento del segundo conjunto.
A B A B
Función Relación
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
38. Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con
características en común.
Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable
independiente
Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable
dependiente.
Variable independiente: tiene valor por si misma
Variable dependiente: para existir depende del valor de la
variable independiente.
Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>
F(x) se lee f de x ó f en x
F(x) designa el valor que f le asigna a x.
45. Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2),
encuentra cada valor si es posible:
a) (f+g)(2)=
b) (f*g)(0)
c) (g/f)(3)=
d) (f g)(0)=
e) (g f)(8)=
f) (g f)(0)=
Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3,
encuentra cada valor si es posible:
a) (f-g)(2)=
b) (f/g)(1)
c) g2(3)=
d) (f g)(1)=
e) (g f)(1)=
f) (g g)(3)=
Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1,
encuentra cada valor si es posible:
a) (f/g)(x)
b) (f g)(x)=
c) (f+g)(x)=
d) (g f)(x)=
Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x,
encuentra las fórmulas
a) (f/g)(x)
b) (f g)(x)=
c) (f+g)(x)=
d) (g f)(x)=
e) (f-g)(x)=
f) (f*g)(x)=
46.
47. Introducción a los límites
Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es
ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De
hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.
Noción intuitiva
Considere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).
Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:
x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Graficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?
48. Tabulemos mas dentro de ese
intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59
La grafica tiene una rompimiento en el
punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de
analizar la gráfica, podemos pensar que
cuando x=1, su imagen (y)=3.
Podemos concluir que el límite de
f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erroneo.
Necesitamos aplicar el límite, en el punto
donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)
x -> 1 x -> 1
=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1)
x -> 1
=lim (x2+x+1) = 12+1+1
x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L
significa que cuando x está cerca,
pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que
cuando x está cerca de uno, pero no es uno,
f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
0.7000
0.9000
0.9990
0.9999
1.0000
1.0010
1.5000
1.7000
1.9000
49. Ejemplos:
Encuentre:
Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7
x3
Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3)
x3 =[(9-9)]/(3-3)
= 0 / 0 =
Como nos dió infinito el resultado, no se
debe resolver así. Debemos factorizar el
numerador.
Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3)
x3 x3
= lim (x+2) = 3+2 = 5
x3
Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.
Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1))
x1
= 0/0 = 0/0 =
Para resolver esta función, necesitamos
conocer las propiedades de la raíz.
Propiedades de la raíz.
(a*b) = a * b a/b = a / b
(a+b) a + b a-b a - b
a* a = (a*a) = a2 = a
Lim (x-1)/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0
x1