La desigualdad 4x-7 representa el conjunto de números reales x tales que 4x-7 es menor que 0. Para resolverla: 4x-7 < 0 4x < 7 x < 7/4 Por lo tanto, el intervalo solución es: (-∞, 7/4) 2. -3x ≤ 9

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR VIDA
NUEVA
Asignatura: Ofimática III
Tema: Presentación en dispositivas de cálculo
Carrera: Mecánica Automotriz
Código:1617732
Nivel: Tercero
Jornada: Nocturno
Docente: Elizabeth Pazmiño
Autor: Pastrano Oswaldo
2016 – 2017

3. Nociones preliminares
1.1 Números reales
1.1.1 Conjunto de números reales y la recta
númerica
1.1.2 Intervalos y su clasificación
1.1.3 Desigualdades y su solución
1.2 Funciones
1.2.1 Dominio y rango de una función
1.2.2 Gráficas de funciones
1.2.3 Operaciones con funciones
1.2.4 Composición de funciones

4. 1.3 Límite de funciones
1.3.1 Concepto de límite de una función
1.3.2 Límites laterales
1.3.3 Teoremas de límites
1.3.4 Límites infinitos
1.4 Continuidad de funciones
1.4.1 Continuidad de una función, análisis
gráfico
1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones
1.4.3 Continuidad de una función en un
punto y en
un intervalo

5. Derivada
2.1 Derivada de una función
2.1.1 La derivada como razón de cambio
2.1.2 Interpretación geométrica y física de la
derivada
2.2 Cálculo de derivadas
2.2.1 Regla general de derivación
2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas de
derivación

6. 2.3 Aplicación de la derivada
2.3.1 Concavidad
2.3.2 Métodos para la obtención de máximos y
mínimos
2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y
mínimos
2.4 Teoremas de derivación
2.4.1 Regla de la cadena
2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio

7. Integral
3.1 La integral indefinida
3.1.1 La integral como operación inversa de
la
derivación
3.1.2 Fórmulas básicas de integración
3.2 La integral definida
3.2.1 Sumas de Riemann
3.2.2 Interpretación geométrica de la
integral
(área bajo la curva)
3.2.3 Teorema fundamental del cálculo

8. 3.3 Métodos de integración
3.3.1 Por sustitución
3.3.2 Por sustitución trigonométrica
3.3.3 Por racionalización
3.3.4 Por partes

9.  Sistema de números reales
 Desigualdades

10. El cálculo se basa en el sistema de los
números reales y sus propiedades.
Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)
Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)
Números reales Números racionales: 3
/4
, -5
/7
, m
/n
, ........... (Q)
Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........
Números complejos: a + bi; i= -1
N⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

11.  Ley conmutativa: x+y=y+x; xy=yx
2+3 = 3+2; (2)(3)=(3)(2)
5 = 5 ; 6 = 6
 Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z; (xy)z=x(yz)
2 + (3 + 5) = (2+3)+5; (2*3)5=2(3*5)
2 + 8 = 5 + 5 6 * 5 =2 *15
10 = 10 30 = 30
 Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz
2(3 + 5) = 2*3 + 2*5
2 * 8 = 6 + 10
16 = 16
 Elementos neutros: x+0= x x(1) = x
2 + 0 = 2 2 * 1 = 2
 Inversos: x+(-x)=0 x(x-1
)= 1
2 + (-2)=0 2 (2-1
)= 2(1
/2)= 1

12. Tricotomía:
x < y o x = y o x > y
2 < 5 o 2 = 5 O 2 > 5
Transitividad:
x<y y y<z => x < z
2 < 5 y 5 < 9 => 2 < 9

13.  Aditiva: x<y  x+z < y+z
2 < 5  2 + 3 < 5 + 3
5 < 8
 Multiplicativa:
z > 0 => x < y  xz < yz
8 > 0 => 2 < 5  2*8 < 5*8
16 < 40
z < 0 => x < y  xz > yz
-8 < 0 => 2 < 5  2(-8) > 5(-8)
-16 > -40

14. 1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis
4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica
por -3
4+12-6 = Se suman todos los positivos y
los negativos
16-6 = 10
3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color
verde
-4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis
con
su literal
-4[21+8]= Se resuelve color lila
-4[29]= -116 Se multiplica

15. 5) 5
/6 – (1
/4+2
/3) = Paréntesis ¿?
a/b+c/d=(ad+cb)/bd
5
/6 – (1)(3)+(2)(4)
/(4)(3) = Simplificar
5
/6– 3+8
/12 = 5
/6–11
/12 Igualar denominadores (mcm)
5
/6 – 11
/12= (5
/6)(2
/2) – 11
/12
2
/2=1, x*1=x
10
/12 – 11
/12 = – 1
/12 Mismo denominador (12),
numeradores se suman.

16. 7)1
/3[1
/2(1
/4-1
/3)+1
/6] =
1
/3[1
/2(1(3)-1(4)
/4(3))+1
/6] =
1
/3[1
/2(3-4
/12)+1
/6] =
1
/3[1
/2(-1
/12)+1
/6] =
1
/3[-1
/24+1
/6] =
1
/3[-1
/24+(1
/6)(4
/4)] =
1
/3[-1
/24+4
/24] =
1
/3[3
/24] = 3
/72= 1
/24
9) (5
/7+2
/9)/(1+1
/2) =
(5(9)+2(7)
/7(9))/(2
/2+1
/2) =
(45+14
/63)/(3
/2) =
(59
/63)/(3
/2) = a/b/c/d= ad /
bc
(59)(2)
/(63)(3)= 118
/189
11) 1 - 2
/(2+3/4)=
1 - 2
/(8/4+3/4)=
1 - 2/1
/(11/4)=
1 – 2(4)
/ 1(11) = 11
/11 – 8
/11=
3
/11

17. 13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2
(√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -1
15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =
3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) =
3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) =
3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) =
3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) =
3 √ 2 (√ 2 (-1)) =
3 √ 2 (- √ 2 ) =
-3 √ 2 √ 2 =
-3 √(2*2) =
-3 √ 4 =
-3(2) = -6

18. 1) 4-3(8-12)-6 =
2) 2(3-2(4-8)) =
3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=
4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =
5) 5
/6 – (1
/4+2
/3) =
6) ¾-(7
/12 – 2
/9) =
7) 1
/3[1
/2(1
/4-1
/3)+1
/6] =

19. 8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =
9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =
10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =
11. 1 - 2/2+3/4 =
12. 2 + 3/1+5/2 =
13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =
14. (√ 2 + √ 3)2 =
15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

20. a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2
=
c) (-3t2
-t+1)2
= d) (2t-1)3
=
e) (x2
-4) / (x-2)= f) (x2
-x-6)/ (x-3)=
g) (x3
-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2
) / (x3
-
2x2
+x)=

21. a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-
(3)2
= 4x2
-9
b) (a+b)2
= a2
+2ab+b2
(2x-3)2
= (2x)2
+2(2x)(-3)+(-3)2
=4x2
-12x+9
 (a+b+c)2
= a2
+b2
+c2
+2ab+2ac+2bc
(3t2
-t+1)2
=
(3t2
)2
+(-t)2
+(1)2
+2(3t2
)(-t)+2(3t2
)(1)+2(-t)
(1)
= 9t4
+ t2
+ 1 - 6t3
+ 6t2
- 2t
= 9t4
- 6t3
+ 7t2
- 2t + 1

22. d) (a+b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(2t-1)3
= (2t)3
+ 3(2t)2
(-1) + 3(2t)(-1)2
+ (-1)3
= 8t3
- 3(4t2
) + 3(2t)(1)-1
= 8t3
- 12t2
+ 6t –1
e) (x2
-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que
(a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2
+0x-4)
(x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el
numerador
y en el denominador, se cancela.
x+2
f) (x2
-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1
(x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-3)+(2)=
-1
x+2

23. Una expresión algebraica con cualquiera
de estos símbolos (<, >, >, <) es una
Desigualdad.
Ejemplo: 5x2
-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5
Al resolver una desigualdad se
encuentra un conjunto con aquellos
números reales que la hacen verdadera.
Al conjunto solución se le llama intervalo.

24. Ejemplos de desigualdades

25. Nombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de
intervalos
Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)
Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]
Semiabierto:
Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]
Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)
Infinito:
{x: x < b} x b (- ∞ ,b]
{x: x < b} x b (- ∞ ,b)
{x: x > a} a x [a, ∞ )
{x: x > a} a x (a, ∞ )

26. Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2
Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.
2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y
los términos con constante se pasan al otro.
2x-4x > -2+7
-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando
con x y pasa a dividir con 5.
x < 5
/-2 Como el número (-2) es negativo, la
desigualdad se cambia.
x < -5
/2
-5
/2
(- ∞, -5
/2)

27. -5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a
6 y 2
-5 -6 < 2x < 4 -6
-11 < 2x < -2
-11
/2 < x < -2
/2
-11
/2 < x < -1
-11
/2 -1
[-11
/2, -1)

28. x2
-x < 6 Se pasa todo a un lado.
x2
-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-3)+(2)=-1
(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es
negativo.
(x-3) < 0 (x-3) > 0
x < +3 x > +3
(x+2) > 0 (x+2) < 0
x > -2 x < -2
-2 3 -2 3
(-2,3) No tiene solución, no se
cruzan

29. 1. 4x-7 < 3x+5
2. 7x-1 < 10x+4
3. 2x+16 < x+25
4. 6x-10 > 5x-16
5. 10x+1 > 8x+5
6. 3x+5 > 7x+17
7. -6<2x+3<-1
8. -3<4x-9<11
9. -2<1-5x<3
10. 4<5-3x<7
1. 2+3x<5x+1<16
2. 2x-4<6-7x <3x+6
3. (x+5)/(2x-1)
4. (2x-3)/(x+1)
5. 1
/x < 5
6. 7
/2x < 3
7. 1
/(3x-2)<4
8. 3
/x+5 > 2
9. (x+2)(2x-1)
(3x+7)>0
10. (2x+3)(3x-1)(x-
2)<0

31. Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier
otro punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen
distancias negativas; se designa mediante |x| y se define
como:
Ejemplo:
|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b |-
4x2
|= 4x2
Propiedades del valor absoluto
I.|ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b|
|(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|
II.|a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b||
|-4
/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||

32. Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1
lo que está dentro del valor absoluto, puede
ser
positivo o negativo
+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1
3x > 1+5 3x-5 < 1
/-1
3x > 6 3x < -1+5
x > 6/3 x < 4
/3
x > 2

33. 1. |x+1| < 4
2. |x-2| <5
3. |3x+4| <8
4. |5x
/3 –2| < 6
5. |3x
/5 +1| < 4
6. |2x-7| < 3
7. |2x-7| > 3
8. |5x-6| > 1
9. |4x+2| > 10
10. |x
/2 +7| > 2
11. |2+5
/x| > 1
12. |1
/x -3| > 6
|x+1| < 4
x+1 < 4 x+1 > -4
x < 4-1 x > -4-1
x < 3 x > -5
3 -5
(- ∞,3) ∪ (-5,+ ∞)

34. |5x
/3 –2| < 6
5x
/3 –2< 6 5x
/3 –2 >-6
5x
/3 < 6+2 5x
/3 >-6+2
5x
/3 < 8 5x
/3 > -4
5x < 8*3 5x > -4*3
5x < 24 5x > -12
x < 24
/5 x > -12
/5
24
/5 -12
/5
(- ∞,24
/5] ∪ [-12
/5,+ ∞)

35. |4x+2| > 10
4x+2 > 10 4x+2 < -10
4x > 10-2 4x < -10-2
4x > 8 4x < -12
x > 8
/4 x < -12
/4
x > 2 x < -3
2 -3
(- ∞,-3] ∪ [2,+ ∞)

36. Tarea: Biografía de Cauchy

38. Una función (f) es una regla de correspondencia entre
dos conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto
le corresponde solo un elemento del segundo conjunto.
A B A B
Función Relación
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5

39. Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos
con características en común.
Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable
independiente
Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable
dependiente.
Variable independiente: tiene valor por si misma
Variable dependiente: para existir depende del valor
de la variable independiente.
Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc).
=>
F(x) se lee f de x ó f en x
F(x) designa el valor que f le asigna a x.

40. Si F(x) = x3
- 4 =>
F(2)= (2)3
- 4 = 8-4 = 4
F(-1)= (-1)3
- 4 = -1-4 =-5
F(a)= (a)3
- 4 = a3
- 4
F(a+h)= (a+h)3
-4
= a3
+3a2
h+3ah2
+h3
-4
Si F(x) = x2
- 2x =>
F(4)= (4)2
- 2(4) = 16-8 = 8
F(4+h)= (4+h)2
- 2(4+h)
= 16+8h+h2
-(8+h)
= 16+8h+h2
-8-h
= h2
+7h+8
F(4+h)-F(4) = h2
+7h+8– 8
= h2
+7h
F(4+h)-F(4)
/h = (h2+7h)
/h
= h(h+7)
/ h
= h+7

41. G(x) = 1
/x
G(a) = 1
/a
G(a+h) = 1
/(a+h)
G(a+h)-G(a) = 1
/(a+h) - 1
/a
[G(a+h)-G(a)]/h = [1
/(a+h) - 1
/a]/h
= [1(a)-(1)(a+h)
/(a+h)(a)]/h
= [a-a-h
/(a+h)(a)]/h
= [-h
/(a+h)(a)] / h
/1
= (-h)(1)
/ (a+h)(a)(h)
= -h / (a2
+ah)h
= -1 / (a2
+ah)

42. Para f(x) = x2
-1,
encuentre:
a) f(1) =
b) f(k) =
c) f(-2) =
d) f(-6) =
e) f(0) =
f) f(1
/2) =
g) f(2t) =
h) f(3x) =
i) f(1
/x) =
Para F(x) = 3x3
+x,
encuentre:
a) F(-6) =
b) F(1
/2) =
c) F(3.2) =
d) F(√3) =
e) F(π) =
f) F(1
/x ) =
g) F(x) =
h) F(2x) =
Para G(y) = 1
/ y-1
encuentre:
a) G(0) =
b) G(2y) =
c) G(0.999) =
d) G(1.01) =
e) G(-x) =
f) G(a) =
g) G(2t) =
h) G(-y) =

44. I.(f+g)(x) = f(x) + g(x)
II.(f-g)(x) = f(x)-g(x)
III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)
IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x)
V.(fg)(x) = f(g(x))
Función constante: f(x) = k;
Función identidad: f(x) = x;
Función lineal: f(x) = ax + b
Función cuadrática:
f(x) = ax2
+ bx + c
Función cúbica:
f(x)=ax3
+bx2
+cx+d
Función polinomial:
f(x)=axn
+...+ax+a
Función racional:
f(x)= (axn
+...+a)/(axn
+.
+a)
Función valor absoluto:
f(x)=| axn
+..+ax+a
|
Función exponencial: f(x) = ex
Función logaritmica: f(x) = log x
Ejemplo: Si f(x) = x2
y g(x) = x+1
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2
+ x+1
(f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2
– (x+1)
= x2
– x - 1
III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2
)(x+1)
= x3
+ x2
IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2
)/(x+1)
V.(fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2
Clasificación parcialClasificación parcial
de funcionesde funciones

46. Para f(x)= x
/x-1 y g(x)=
(1+x2
), encuentra cada valor
si es posible:
a)(f+g)(2)=
b)(f*g)(0)
c)(g/f)(3)=
d)(f g)(0)=
e)(g f)(8)=
f)(g f)(0)=
Para f(x)= x2
+x y g(x)=2
/x+3,
encuentra cada valor si es posible:
a)(f-g)(2)=
b)(f/g)(1)
c)g2
(3)=
d)(f g)(1)=
e)(g f)(1)=
f)(g g)(3)=
Para f(x)= x3
+2 y g(x)=2
/x-1,
encuentra cada valor si es posible:
a)(f/g)(x)
b)(f g)(x)=
c)(f+g)(x)=
d)(g f)(x)=
Si f(x)= (x2
-1) y g(x)= 2
/x,
encuentra las fórmulas
a)(f/g)(x)
b)(f g)(x)=
c)(f+g)(x)=
d)(g f)(x)=
e)(f-g)(x)=
f)(f*g)(x)=

48. Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de
límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de
las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un
estudio de los límites.
NociónNoción intuitivaintuitiva
Considere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3
-1)/(x-1).
Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:
x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3
-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 0.75 1 ∞ 7 f(½) = ((-½)3
-1)/((-½)-1)=(-1
/8 –8
/8)/(-½-2
/2)= -9
/8/- 3
/2=+0.75
f(1)= ((1)3
-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Graficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?

49. Tabulemos mas dentro de ese
intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5
1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75
5.59
La grafica tiene una rompimiento en
el punto (1,3); no existe ahí. Pero,
tratando de analizar la gráfica, podemos
pensar que cuando x=1, su imagen
(y)=3.
Podemos concluir que el límite de
f(x)= (x3
-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erroneo.
Necesitamos aplicar el límite, en el punto
donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3
-1)/(x-1)
x -> 1 x -> 1
=lim (x2
+x+1)(x-1)/(x-1)
x -> 1
=lim (x2
+x+1) = 12
+1+1
x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L
significa que cuando x está cerca,
pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que
cuando x está cerca de uno, pero no es uno,
f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.5000
0.7000
0.9000
0.9990
0.9999
1.0000
1.0010
1.5000
1.7000
1.9000

50. Encuentre:
Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7
x3
Lim(x2
-x-6)/(x-3)=[(32
-3-6)]/(3-3)
x3 =[(9-9)]/(3-3)
= 0 / 0 = ∞
Como nos dió infinito el resultado, no
se debe resolver así. Debemos factorizar
el numerador.
Lim(x2
-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/
(x-3)
x3 x3
= lim (x+2) = 3+2 = 5
x3
Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a
5.
Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1))
x1
= 0/0 = 0/0 = ∞
Para resolver esta función, necesitamos
conocer las propiedades de la raíz.
Propiedades de la raíz.
(a*b) = a * b a/b = a / b
(a+b)  a + b a-b  a - b
a* a = (a*a) = a2
= a
  Lim (x-1)/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-
1))=
x1
Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0
x1