jifu

1. Ampliaci´n de Matem´ticas. Telecomunicaciones.
o
a
Dpto. Matem´ticas
a
EJERCICIOS DE LAS LECCIONES 4,5,6 y 7
´
4. INTEGRACION SOBRE UN CONTORNO
4.1 Halle una representaci´n param´trica de las siguientes curvas:
o
e
(a) La parte de la circunferencia x2 + y 2 = a2 , a ∈ IR, a > 0, situada en el semiplano x ≥ 0.
(b) La elipse
4.2 Halle
x2 y 2
+ 2 = 1 (a > 0, b > 0).
a2
b
f (z) dz siendo:
C
(a) f (z) = Re(z) y C la parte de la circunferencia x2 + y 2 = a2 , a ∈ IR, a > 0 que cumple y > 0
(sentido de (0, −a) a (0, a)).
(b) f (z) = Im(z) y C la poligonal que definida por los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1).
4.3 Calcule :
z(z − 1)dz
(a)
(Soluci´n: (−2/3) − (1/3)i)
o
[0,1+i]
(b)
C(0,1)
1
dz
|z|
4.4 Calcule
φ
(Soluci´n: 0)
o
(logα z)3
dz, siendo α = 5π/2 y φ(t) = eit , t ∈ [0, π]. (Soluci´n: 65π 4 /4)
o
z
4.5 Sea f una funci´n continua sobre los puntos de la circunferencia unidad que verifica f (−z) =
o
f (z). Pruebe que
f (z) dz = 0.
C(0,1)
4.6 Demuestre que si una funci´n entera vale cero sobre la circunferencia unidad entonces la
o
funci´n vale cero en C.
o
l
5. SERIES
∞
z n converge a 1/(1 − z) si |z| < 1 y diverge si |z| ≥ 1.
5.1 Pruebe que la serie geom´trica
e
n=0
5.2 Halle el radio de convergencia de las series:
∞
(a)
n=0
zn
n
(Soluci´n: Radio = 1)
o
1

2. Ampliaci´n de Matem´ticas. Telecomunicaciones.
o
a
∞
n=0
zn
n!
(Soluci´n: Radio = +∞)
o
zn
(b)
Dpto. Matem´ticas
a
(Soluci´n: Radio = 1)
o
∞
(c)
n=0
∞
z 2n
(d)
(Soluci´n: Radio = 1)
o
n=0
6. DESARROLLOS EN SERIE
6.1 Verifique los siguientes desarrollos:
(a) exp(z) = 1 + z +
z2
zn
+ ··· +
+ · · · , ∀z ∈ C
l
2!
n!
(b) senz = z −
z3
z 2n+1
+ · · · + (−1)n
+ · · · , ∀z ∈ C
l
3!
(2n + 1)!
(c) cosz = 1 −
z2
z 2n
+ · · · + (−1)n
+ · · · , ∀z ∈ C
l
2!
(2n)!
(d) log0 (1 + z) = z −
zn
z2
+ · · · + (−1)n+1 + · · · , |z| < 1
2
n
z3
z 2n+1
(e) senhz = z +
+ ··· +
+ · · · , ∀z ∈ C
l
3!
(2n + 1)!
(f) coshz = 1 +
z2
z 2n
+ ··· +
+ · · · , ∀z ∈ C
l
2!
(2n)!
6.2 Calcule la serie de Taylor de f (z) en potencias de z − z0 y su radio de convergencia en los
siguientes casos:
1
(a) f (z) =
, z0 = 0.
(1 − z)2
(b) f (z) =
∞
(n + 1)z n ; Radio = 1)
(Soluci´n:
o
1
, z0 = 0.
2 − 3z + 2
z
z+3
(c) f (z) =
, z0 = 2.
(z − 1)(z − 4)
= 1)
n=0
∞
(Soluci´n:
o
1−
n=0
∞
(Soluci´n:
o
n=0
1
2n+1
z n ; Radio = 1)
4(−1)n+1
7
− n+1
3
32
(z − 2)n ; Radio
6.3 Calcule los cuatro primeros t´rminos de la serie de Taylor de f (z) en potencias de z − z0 y su
e
radio de convergencia, en los siguientes casos:
2

3. Ampliaci´n de Matem´ticas. Telecomunicaciones.
o
a
Dpto. Matem´ticas
a
√
√
(a) f (z) = sen z, z0 = π/4.
(Soluci´n: (1/ 2) + (1/ 2)(z − π/4)−
o
√
√
(1/2 2)(z − π/4)2 − (1/6 2)(z − π/4)3 + ...; Radio = +∞)
sen z
, z0 = 0.
z2 + 4
z
(c) f (z) = z
, z0 = 0.
e +1
(b) f (z) =
(Soluci´n:z/4 − 5z 3 /48 + ...; Radio = 2)
o
(Soluci´n:z/2 − z 2 /4 + ...; Radio = π)
o
1
, D1 = {z ∈ C : |z − 1| < 2} y D2 = {z ∈ C : 2 < |z − 1|}. Calcule los desarl
l
z−3
∞
(−1)
rollos en serie de Laurent de f en potencias de z−1 para D1 y para D2 . (Soluci´n: ( n+1 (z − 1)n
o
2
n=0
6.4 Sean f (z) =
∞
en D1 ;
n=0
2n
en D2 )
(z − 1)n+1
ez
en potencias
z(1 + z 2 )
= 1, a0 = 1 y a1 = −1/2)
6.5 Calcule los coeficientes an para n ≤ 1 de la serie de Laurent de f (z) =
de z que es v´lida en 0 < |z| < 1. (Soluci´n: an = 0 si n < −1, a−1
a
o
sen z
en potencias de (z − 2π) e indique donde es
(z − 2π)2
∞
(−1)n+1
v´lido dicho desarrollo. (Soluci´n:
a
o
(z − 2π)2n+1 ; v´lido si 0 < |z − 2π| < +∞)
a
(2n + 3)!
n=−1
6.6 Halle la serie de Laurent de f (z) =
6.7 Halle la transformada en z de las sucesiones siguientes:
(a) bn = 1 para n ∈ IN ∪ {0}. (Soluci´n: z/(z − 1))
o
(b) bn = 3n para n ∈ IN ∪ {0}. (Soluci´n: z/(z − 3))
o
6.8 Halle la transformada en z inversa de las funciones siguientes:
o
(a) 1/(z − 2). (Soluci´n: b0 = 0 y bn = 2n−1 para n ≥ 1)
(b) e1/z . (Soluci´n: bn = 1/n!)
o
6.9 Halle la soluci´n de la ecuaci´n yk+4 − yk = 2k , k = 0, 1, . . ., con y0 = 0, y1 = 0, y2 = 0,
o
o
y3 = 2 . (Soluci´n: yk = A2k + B + C(−1)k + Dik + E(−i)k con A = 1/15, B = 1/4, C = −5/12,
o
D = (1 + 8i)/20, E = (1 − 8i)/20 )
6.10
(a) Demuestre que Z (k + 1)(−1)k =
z2
.
(z + 1)2
(b) Resuelva la ecuaci´n en diferencias yk+1 − iyk = (k + 1)(−1)k , con y0 = 0. (Soluci´n:
o
o
i k i
1
i
yk = i − (−1)k +
−
k(−1)k−1 )
2
2
2 2
3

4. Ampliaci´n de Matem´ticas. Telecomunicaciones.
o
a
Dpto. Matem´ticas
a
7. RESIDUOS Y POLOS
7.1 Clasifique las singularidades de las funciones siguientes:
(a)
(z 2 − 1)(z − 2)2
.
sen(πz)
(b)
ez − 1
.
z(z − 1)
(Soluci´n: − − {1, −1, 2} son polos simples y {1, −1, 2} evitables)
o Z
Z
(Soluci´n: 0 evitable y 1 polo simple)
o
z(z − π)2
(c)
.
sen2 z
evitable)
(Soluci´n: {kπ : k ∈ − − {0, 1} } polos de orden dos, 0, polo simple y π
o
Z
Z
7.2 Calcule el residuo de f (z) en z = z0 en los siguientes casos:
(a) f (z) =
ez
y z0 = 0.
z(1 + z 2 )
1
y z0 = 0.
z
sen z
(c) f (z) =
y z0 = π.
(z − π)2
(b) f (z) = sen
(Soluci´n: 1)
o
(Soluci´n: 1)
o
(Soluci´n: −1)
o
ez
y z0 = 0.
(Soluci´n: 1/2)
o
z3
1
(e) f (z) =
y z0 = 0.
(Soluci´n: 0)
o
1 − cos z
(d) f (z) =
(f) f (z) =
eiz
y z0 = i.
z + z3
(g) f (z) =
ez
y z0 = 1.
z(1 + z 2 )
(h) f (z) =
1
y z0 = 0.
sen z 3
7.3 Demuestre que
C(0,2)
(Soluci´n: −1/(2e))
o
(Soluci´n: 0)
o
(Soluci´n: 0)
o
eaz
dz = 2πi sen a.
1 + z2
log0 z
dz, siendo C la poligonal que une, en el orden que se indica, los puntos:
z
C 1+e
10 − 2i, 10 + 10i, −5 + 10i, −5 + 5i, 5 + 5i, 5 − 5i, −5 − 5i, −5 − 2i, 10 − 2i.
(Soluci´n:
o
2π 2 − i2πLn3)
7.4 Calcule
7.5 Calcule
C(0,4)
7.6 Calcule
C(0, 1 )
2
2ez
dz. (Soluci´n: 2πi)
o
z(ez − e−z )
log2π (1 + z)
dz. (Soluci´n: 2πi)
o
ez 2 − 1
7.7 Sea a ∈ C con |a| = 1. Pruebe que
l
C(0,1)
1
dz vale 0 si |a| > 1 y 2πi si |a| < 1.
z−a
4