1. El documento presenta 6 problemas de cálculo integral y vectorial resueltos. Los problemas involucran conceptos como densidad, campo eléctrico, áreas de proyecciones, flujo de campo vectorial, gradiente en coordenadas esféricas y cilíndricas. 2. Se calcula la densidad de masa de una bola homogénea y la potencia irradiada por un campo eléctrico. 3. También se determina el área de una región esférica y el flujo de campos vectoriales a través de super

1. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
1
a
EXAMEN FINAL 2010-I
1-Sea R una bola homogénea de masa M y radio R. Sea Aun punto a una
distancia H del centro de la bola, H>R. Calcule
R
q
 
 
 
 , donde δ es la densidad y
q es la distancia desde el punto P en R hasta A.
Solución:
Para un diferencial de volumen:
2
( ) ( ) ( ) ( )dv sen d d d    
Por teorema de cosenos:
2 2 2
2 cos( )q H H    
2
2 2
2 3
,
( ) ( ) ( ) ( )
2 cos( )
2 ( ) ( ) 4
3
R R
sen d d d
q H H
d d R
H H 
     
  
   
 
 
  

 

3
4
3R
R
q H
  
 
 

2-Un campo eléctrico irradia potencia a razón de
2
2
(sin ( ))k 

unidades por metro
cuadrado en el punto ( , , )p    .Halle la potencia total que irradia a la
superficie esférica a  .
Solución:
Sea: ( cos , , cos )r sen sen sen       
Del dato:
dU
P
dA
 entonces
2
2
(sin ( ))
s
k
U dA


 
dr dr
dA d d
d d
 
 
 
:Si a  2
dA a sen d d  
H
R

2. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
2
H
R
2
2
2
(sin ( ))
s
k
U a sen d d
a

   
8
3
k
U


3-Las áreas de las proyecciones de una pequeña región delgada de superficie
regular sobre cada uno de los tres planos coordenados son 0.01, 0.02, 0.03
¿Esta información es suficiente para hallar el área de la región?.Si es así
determine el área; si no explique ¿por qué?.
Solución: Si se trata de una pequeña región entonces, la
proyecciones en los planos coordenados son 1S , 2S , 3S
1 cosS dA  , 2 cosS dA  , 3 cosS dA 
Por propiedad de ángulo diedro se tiene que:
2 2 2
cos cos cos 1    
Entonces: 2 2 2 2
( cos ) ( cos ) ( cos ) ( )dA dA dA dA    
0.0374dA 
4-Calcule el área de una zona esférica de altura cuya longitud es H , en una
superficie esférica de radio R.
Solución:
Parametrizando :  ,
r =R(cos sen , sen sen , cos )      
El área es ( )s
s
dr dr
A d d
d d
 
 
 
2 2 2
1 2 3
2 2 2
0.01 0.02 0.03 0.0374
S S S dA  
  

3. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
3
2
1
2
( )
2
( ) 2
s
s
s
A R sen d d
A R sen d


  
  




Observando : 1 2(cos cos )H R   
El área ( ) 2sA RH
5-Calcule el flujo del campo vectorial  
3 3 3
( , , )x
F x y z

, a través de la superficie
lateral del cono circular recto de altura H y radio de la base R.
Solución:
Sea un cono orientado como la figura :
2 2 2
2 2
( )x y H z
R H
 

Parametrizando: ( cos , , ( ))
H
r sen R
R
     
 
 
3 3 3
,
.
(( cos ) ,( ) ,( ( )) )
x
s
F dS
H
F sen R
R 
    
 
 



dr dr
dS d d
d d
 
 
 

entonces: ( cos , , )
H H
dS sen d d
R R
      

4 3 3
4 4
2
2 4 2 3 3
2
0 0
3
( )
( (cos ) )
2 ( )
( (1 ) )
2
( )
5 10
s
R
H H R
sen d d
R R
H sen H R
d d
R R
R H
HR

  
   
   
 


   

   
  

 

4. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
4
1 1
ˆ ˆ ˆ
f f f
f e e e
sen
  
     
  
   
  
6-Considere un sistema de coordenadas esféricas ( , , )   .En determinado
punto, sean ˆ ˆ ˆ, ,e e e   vectores unitarios que apuntan en la dirección del
crecimiento de ( , , )   respectivamente. Sea la función definida en el espacio.
Calcule f .
( cos , , cos )r sen sen sen        los vectores son: ˆ ˆ ˆ, ,
dr drdr
d dde e e
drdr dr
dd d
  
 
 
  
1, ,
dr dr dr
h h sen h
d d d
    
  
     
Si la gradiente de una función es
En coordenadas esféricas:
7-Sea R una bola de radio a removida por una barra cilíndrica de diámetro a
cuyo lado pasa por el centro de la esfera a) Bosqueje R b) Observe que R
consta de 4 pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedazos
usando coordenadas cilíndricas.
c) El siguiente cálculo produce un valor para el volumen de R
Solución:
Las ecuaciones son: 2 2 2
z a   , cosa  
   
2 2
cos
cos cos2 2 2 3
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
1
3
a
aa a
V dz d d a d d a d
  
 
        
            
      
     
3 3
4
6 9
a a
V

 
La parte ©:

5. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
5
   
2 2
2 2
cos
cos cos2 2 2 3
2 2 2 2 2
0 0
2 2 2 0
2
2
3
a
aa a
a
V dz d d a d d a d
  
 
  
        

   
            
      
     
El error : si 0
2

   0sen  , 0
2

  , 0sen  lo correcto es
 
32 3
23
2
2
1
3
a
sen d


 

 =
3 3
2 16
3 9
a a
V

 
8-Bosqueje una muestra de vectores para el campo vectorial dado ( ,2 )F x y 

.
9-Si 2
ˆ ˆ10 ( )z
zG e e e
  , determine el flujo de G hacia afuera de la superficie
entera del cilindro 1,0 1z    .Compruebe el resultado con el teorema de la
divergencia.
Solución:
pasando : 2 2 2
(10 cos ,10 ,10z z z
G e e sen e     
 )
Flujo lateral: (cos , ,0)
dr dr
dS d dz sen d dz
d dz
   

  

Este
bloque
Esta bien
operado
x
y

6. MATEMATICA III
CeGo-nLINE
6
2 1
2 2 2
1
0 0
. 10 (cos )z
s
GdS e sen d dz

  
     

= 2
2 (5 5 )e 

Flujo cara abajo: 0, (0,0, 1), (10 cos ,10 ,10)z n G sen      

2 2 2. 10 10
s
G ndA A     

Flujo cara arriba: 2 2 2
1, (0,0,1), (10 cos ,10 ,10 )z n G e e sen e     
  

2 2
3 3 3. 10 10
s
G ndA e A e  
  

El flujo total: 1 2 3 0     
Teorema de la divergencia: . ( )neto
s v
G dS div G dv   


en cilíndricas ˆ (cos , ,0)e sen   ,
ˆ (0,0,1)ze 
2 2
(20 20 ) 0z z
v
e e dv  
 
10-¿Cuál es la integral de la función 2
x z tomada sobre toda la superficie del
cilindro circular recto de altura H y base 2 2 2
x y a  ?¿cual es la integral de la
función dada tomada sobre todo el volumen del cilindro?
Nos piden: 2
v
V x zdv 
En cilíndricas dv d d dz   , cos ,x y sen    
3 2
cos
v
V zd d dz    
24 2
2
00 0
cos
4 2
a h
z
V d


   =
4 2
8
a H