1. PRODUCTO ESCALAR
r r
1. Hallar el producto escalar de los vectores a = (−6,4) y b = (4,5) .
r r r r r r
2. Halla a o b si a = (2,−4) , b = 2 y el ángulo que forman los vectores a a y b es de 60º.
r r
3. Hallar el producto escalar y el ángulo que forman los vectores v(3,4 ) y w = (−4,3) .
4. Calcular los ángulos y la longitud de los lados del triángulo ABC, sabiendo que las
coordenadas de sus vértices son los puntos A(0, 0), B(1, 3) y C(4, 2).
5. Hallar un punto B de la perpendicular a OX que pasa por A(2, 1) de tal forma que, los
vectores de posición de ambos puntos formen entre si un ángulo de 30º.
r
6. Comprueba que el ángulo formado por los vectores v = ( 3 − 1, ) r
3 +1 y w = ( 3 + 1, )
3 −1
es de 60º.
r
7. Las componentes de a son ( r3, 1) . Sabiendo que forma un ángulo de 60º con b
r
y tienen
igual módulo, calcular las componentes de b .
r r
8. Calcular s de modo que a (1, s ) y b(− 3, s ) sean perpendiculares.
9. Hallar las componentes de un vector unitario y perpendicular al segmento AB , siendo
A(−1,2) y B(−3,−4).
r r
10. Dados los vectores a = (1, 4 ) y b = (6, 2 ) , determina el ángulo que forma la bisectriz de estos
vectores con el eje OX.
11. Deseamos trazar la tangente desde un punto A a una circunferencia. Sabiendo que las
coordenadas de A son (−3, 4) y que la circunferencia está centrada en el origen de ordenadas y es de radio
unidad, calcular las coordenadas del punto de tangencia P(x, y).
r r
12. Dados los vectores u = (1,−1) y v = (− 1,2) hallar:
r r
a) La proyección de u sobre v .
r r
b) El vector proyección de u sobre v .
13. Hallar el área de un triángulo de vértices A(1, 3), B(3, 6) y C(7, 2).
r r r r r r r r
14. Si {u 1 , u 2 } es una base ortonormal y a = −2u 1 + a 2 u 2 ; b = 5u 1 − 3u 2 , hallar a2 para que el
r r
producto escalar de a o b = 6 .
r 3 4 r  4 3
15. Probar que los vectores U 1 =  ,−  y U 2 =  ,  forman una base ortonormal, Hallar
5 5 5 5
r
las coordenadas de vector v = (2,−1) respecto de dicha base.
r r
16. Probar que si v = (cos α,− sin α ) y u = (sin α, cos α ) son perpendiculares y unitarios.
17. Probar que los puntos A(1, 7), B(4, 6), C(4, −2) ,D(6, 2) pertenecen a una circunferencia de
centro O(1,2).
( )
18. Dados los puntos A − 3 , 1 , B(5, − 4), C(− 5, 3) calcular el ángulo que forman AB y AC .
1

2. r r
19. Hallar el valor de a para que los vectores z = (3, 4) y w = (a , − 2) formen un ángulo de 45º.
r r r
20. Hallar un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector z = 4 i − 3 j . Hallar
otro igual pero en sentido opuesto.
r r
21. Hallar un vector de módulo 10 en la dirección de 4 i + 3 j .
r r
22. Dados los vectores u = (4,−3) y v = (1, m ) . Calcula el valor de m para que:
r r
a) Angulo formado entre u y v sea de 60º
r r r r
b) u + 2v sea perpendicular a 2u − v
r r r r r r r r
23. Hallar el producto escalar de los vectores a = 2u − 3v y b = 3u + 2 v sabiendo que u y v
r r
forman 30º y que u = 4  v = 5 .
r r r
24. Calcular a y b para que los vectores v = (−2, a ) y u = (b,1) formen 60º y además u = 5
25. Dados los vectores v = (1,−1) w = (2, x ) . Calcular x para que dichos vectores formen 45º.
r
26. Dados los vectores a = ( 3, 1), rb = (−
r
) r
3 , 1 y c = (1, − 2 ) Calcular:
r
a) El ángulo que forma a y b
r
b) Las coordenadas de un vector perpendicular a c de modulo 2
r r
c) La proyección del vector a sobre c
r r
d) El vector proyección de b sobre a
r r r r
27. Se tienen los vectores v = (4,0), u = (1,5) . Calcular el ángulo que forman los vectores u + v y
r r
u−v .
28. Calcular los valores de m y de n para que los vectores
r 1  r  −1 
u =  , m  , v =  n, 
 3   6 
a) Sean unitarios
b) Sean ortogonales.
r r r r
c) Si m = n = 1, calcular las proyecciones de u en v y de v en u
r r r r r r
29. Dos vectores a y b son tales que: a = 10; b = 10 3 ; a + b = 20 . Hallar su producto escalar
y el ángulo que forman.
r r r r r r r r
30. Si a , b y c son vectores de igual módulo y c = a + b , calcular el ángulo que forman a y b
31. Sea el triángulo de vértices A(2, 3), B(1, 0) y C(3, 4). Calcular:
i. Módulo de AB
ii. Ángulo de AB con AC
iii. Proyección de AB sobre el eje x
iv. Proyección de AB sobre AC
v. Vector unitario en la dirección de AC
vi. Vector proyección de AB sobre AC
vii. Área del triángulo
viii. Determina el valor de a para que el vector (a, −1) sea ortogonal al vector BC
ix. Valor de a para que el punto (a, 2) forme con B y C un triángulo de área 4 unidades
cuadradas.
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