Este documento presenta la definición formal de un límite, analiza un ejemplo de función y calcula su límite cuando x se aproxima a 1, y resume las propiedades básicas de los límites como los límites constantes, las operaciones con límites, límites de funciones polinómicas y racionales, límites de funciones trigonométricas y radicaciones.

1. DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a c y L un número
real:
lim f ( x) L
x c
Significa que para todo ε>0 existe uno
δ>0 tal que si:
0 x c , entonces f ( x) L
1

2. x2 1
Analicemos la función: f x
x 1
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
f x
x2 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 1 x 1
y y
2 2
1 y f x
x2 1 1 y=x+1
x 1
–1 –1
0 0 1 x
1 x

3. Valores de x menores y
x 1 x
x2 1 1
mayores 1ue 1 f x
x 1
0.9 1.9
1.1 2.1
0.99 1.99
1.01 2.01
0.999 1.999
1.001 2.001
0.999999 1.999999
1.000001 2.000001
Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
x2 1
lim f x 2 o lim 2
x 1 x 1 x 1

5. INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES
Dibujar la Gráfica de la función f dada por:
3
x 1
f ( x) ,x 1
x 1
f ( x) x^2 x 1
 Con x <> 1 dibujar la gráfica con la
tabla de valores.
 Con x = 1 no lo podemos hacer.
 Para conseguir una idea del
comportamiento de la gráfica se usará
5

6. x se aproxima a 1 por la x se aproxima a 1 por la
izquierda derecha
x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25
f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97 ? 3.003 3.03 3.31 3.81
f(x) se aproxima a 3 f(x) se aproxima a 3
6

7. lím f ( x ) 3
x 1

8.  Si f(x) se acerca arbitrariamente a un
número L, cuando x se aproxima a c por la
izquierda y por la derecha entonces:
lim f ( x) L
x c
5

9.  Ejemplo: Estimación numérica de un
límite. Evaluar la función
f ( x) x x 1 1
en varios puntos cercanos a x = 0 y usar
el resultado para estimar el límite.
9

10. x se aproxima a 0 por la x se aproxima a 0 por la
izquierda derecha
x -0.01 -0.001 -0.0001 0 0.0001 0.001 0.01
f(x) 1.9949 1.9950 1.9995 ? 2.00005 2.0005 2.00
499
f(x) se aproxima a 2 f(x) se aproxima a 2
10

11. El límite de f(x) cuando x se
aproxima a 2 es 0
f no es
definida
en x = 0
f ( x) x x 1 1
lim f ( x ) 2
x 0
11

12. LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento diferente por
la derecha y por la izquierda.
Demostrar que el límite no existe:
Solución
x
lim x
x 0 x x
1, x 0 1, x 0
x x
12

14. PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c
son números reales y n un entero
positivo.
lim b b lim x c
x c x c
n n
lim x c
x c
14

15. Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:
lim 3 3 lim x 4
x 2 x 4
2 2
lim x 2 4
x 2
15

16. Teorema 1.2:Propiedades de los Límites:
sin b y c son números reales y n un entero
positivo, f y g funciones con los límites
siguientes:
lim f ( x) L lim g ( x) K
x c x c
1. Múltiplo Escalar: x c
lim b f ( x) bL
2. Suma o Diferencia lim f ( x) g ( x) L K
x c
3. Producto: lim f ( x) g ( x) LK
x c
16

17. 4. Cociente:
f ( x) L
lim , siempre que K 0
x c g ( x) K
5. Potencias:
n n
lim f ( x) L
x c
17

18. Ejemplo: Límite de un Polinomio
2 2
lím(4 x 3) lim 4 x lim 3
x 2 x 2 x 2
2
4(lim x ) lim 3
x 2 x 2
2
4(2 ) 3
16 3
19
18

19. Teorema 1.3:Límites de las funciones
polinómicas y racionales: si p es una
función polinómica y c un número real:
lim p ( x) p (c )
x c
Si r es una función racional dada por r(x) =
p(x)/q(x) y c un número real tal que q(c)≠0
tenemos
p (c )
lim r ( x) r (c)
x c q (c )
19

20. Ejemplo: Límite de una Función racional
2
x x 2
lím
x 1 x 1
Como el denominador no es 0 cuando x=1
2
1 1 2
lím
x 1 1 1
4
2
2 20

21. Teorema 1.4:Límite de una Función
radical
Si n es un entero positivo:
n n
lim x c
x c
• Para toda c si n es impar
• c > si n es par
21

22. Teorema 1.5 Límite de una Función
Compuesta
Si f y g son funciones tales que:
lim g ( x ) L y lim f ( x ) f ( L )
x L
x c
Entonces:
lim f ( g ( x)) f (lim g ( x)) f ( L)
x c x c
22

23. Teorema 1.6. Límites de funciones
trigonométricas
Sea c un número real:
lim sen ( x) sen c lim cos( x)
x c
cos c
x c
lim tan( x) tan c lim cot( x)
x c
cot c
x c
lim sec( x) sec c lim csc( x)
x c
csc c
x c
23

24. Ejemplos
lim tan( x) tan 0 0
x 0
lim( x cos x) lim x lim cos x cos( )
x x x
2 2 2
lim sen x lim( sen x) 0 0
x 0 x 0
24

25.  CÁLCULO OCTAVA EDICIÓN: LARSON
HOSTLER EDWARDS.
CAPÍTULO 1 LÍMITES Y SUS
PROPIEDADES
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