Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica que para que un límite exista, los límites laterales izquierdo y derecho deben coincidir y ser finitos. También presenta algunas reglas y propiedades para calcular límites, incluyendo el uso del teorema del sandwich y cómo lidiar con indeterminaciones como 0/0.

2. NOCIÓN DE LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x
se aproxima a un valor a, podemos
escribir:
lim f(x) L
x a

3. LÍMITES
lim f(x)
x a
L
lim f(x)
x a lim f(x)
x a
L
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y
vale L

4. Consideramos la función f ( x) x2 1
Dando valores a x
por la izquierda, se acercan cada vez más a 5
x 2
f(x) 5
por la derecha, se acercan cada vez más a 5
x 2
f(x) 5
Decimos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 5
Expresado: lim( x 2 1) 5
x 2

5. Tomamos un punto cerca de 2:
Cuanto más nos acercamos
a 2, el valor de la función y f ( x)
se acerca más a 1
Decimos que cuando x tiende 2
a 2, la función tiende a 1
1
lim f ( x) 1
x 2 1 2 3

6. ES MUY IMPORTANTE DESTACAR LO SIGUIENTE:
A la hora de calcular el
límite de una función
en un punto, no
interesa lo que vale la
función en ese punto
sino a su alrededor.
Cuando se acerca a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2
Cuando se acerca a 3 por la derecha, la función se aproxima a 2
Sin embargo, el valor de la función en el punto 3 es 4
lim f ( x) 2 f (3) 4
x 3

7. En general, para calcular límites sustituiremos la
variable por el valor donde queremos calcular el
límite.
5 5
lim x 5
x 2 3 2 3
2
x2 x 1 5 5 1 25 6
lim x 2 50
x 5 5 2 3
NOTA: Aunque el límite de la función en un punto no es el valor
de la función en dicho punto, muchas veces coinciden
La condición para que exista el límite de una función en un
punto es que existan sus límites laterales y que sean iguales

8. PROPIEDADES

9. PROPIEDADES
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x a x a x a
lim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x)
x a x a x a
lim f(x)
x a
lim f(x)/g(x)
x a lim g(x)
x a
lim K.g(x) K lim g(x)
x a x a
n n
lim f(x) lim f(x)
x a x a

10. REGLAS
# 1:
 Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:
 INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos
notables, racionalización, sustitución de alguna
identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

11. REGLAS: Teorema del Sandwich
h(x)
f(x)
L
g(x)
c
En caso de que se cumpla la siguiente relación (para
toda x perteneciente a algún intervalo abierto que
contenga a c):
g(x) f(x) h(x)
y además se cumple:
lim g(x) lim h(x) L
x c x c
Entonces:
lim f(x) L
x c

12. 8
Consideremos la función f ( x)
x2
Valor de la función en las proximidades de 0:
8 8
x 0,3: f (0,3) 2
8,8888....
0,3 0, 09
8 8
x 0,1: f (0,1) 2
800
0,1 0, 01
8 8
x 0, 002 : f (0, 002) 2
2000000
0, 002 0, 000004
Cuando x toma valores cerca de 0, la función toma valores muy grandes
Si esto sucede, decimos que el límite es infinito y se expresa así:
8
lim
x 0 x2

13. LÍMITES DEL TIPO k/0
1 1
lim
x 0 x 0
No se puede dividir por 0, y que tienda a o es tratar de
dividir el numerador entre algo que se hace cada vez más
pequeño por lo que el resultado es cada vez mayor por lo
que se dice tiende a infinito ∞
Para saber si tiende a +∞ o -∞ calculamos los límites laterales
1 1
lim
x 0 x 0 1
no existe lim
x 0 x
1 1
lim
x 0 x 0

14. Es el valor al que se aproxima una función cuando x
toma valores cada vez mayores .
Podríamos decir, cuando x tiende a + o a -
Se expresan : lim f ( x) l
x
x 5
Sea la función f ( x)
x
Al dar a x valores muy grandes, la función se acerca cada
vez más a 1
x
f(x) 1
x 5
DEDUCIMOS ENTONCES QUE: lim 1
x x

15. OPERACIONES CON ∞
k
k k 0
k
0 k
0
k 0
0
0 k 0 0
0
En los productos y los cocientes se ha de tener siempre en
cuenta la regla de los signos.
En las divisiones por cero hay que tener en cuenta el “signo
del cero”.

16. INDETERMINACIONES
En algunos casos , los resultados no están perfectamente definidos y la
misma operación pueden dar lugar a distintos resultados
Ejemplo:
lim x x lim 0 0
x x
lim 2 x x lim x
x x
lim x 2 x lim x
x x
El resultado es distinto cada vez, depende de las expresiones que
nos den el ∞ Estas expresiones se llaman indeterminaciones y son:
0 0 0
0 1 0
0

17. LÍMITE INFINITO
De un POLINOMIO: da el término de mayor grado
2
lim 3x 2
x lim 3x 2 3
x Si el grado del X
x
En denominador es
5 = al numerador las
lim 3x 3 5 x 2 6 x 4 lim 3x 5 3 X tienden a 1
x x
En el denominador
es > al numerador,
De FUNCION RACIONAL : Dividimos a tiende a 0
todos por el literal de mayor grado
5x5 6x2 3
5x5 6 x 2 3 x5 x5 x5 5
lim
x 3x 4 3x 4 0
x5 x5
7 x 4 3x 3 3x 2
7 x 4 3x 3 3x 2 x5 0
lim 0
x 3x 5 4 x 6 5 3x 5 4 x 6 5 3
x5
5x5 6 x 2 3 5x5 6 x 2 3 5
lim
x 3x 5 4 3x 5 4 3

18. LÍMITE 0/0 DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Si en una función racional se obtiene indeterminación 0/0 se simplifica
5 x 5 6 x 2 3x 0 x 5x 4 6x 3
lim lim lim 5 x 4 6 x 3 3
x 0 x 0 x 0 x x 0
Si no se puede extraer factor común habrá que factorizar y simplificar.
x2 x 6 0
lim
x 2 x 2 0
Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado
2 1 12 4 1 6 x 2
x x 6 0 x
21 x 3
La factorización se hace multiplicando x menos una raíz por x menos
la otra
x2 x 6 x 2 x 3
lim lim lim x 3 5
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

19. x2 1
EJEMPLO lim
x 1 2x 2
x2 1 0
lim
x 1 2x 2 0
Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado o
se aplican los productos notables
x2 1 x 1 x 1
Podemos sacar factor común en el denominador
2x 2 2 x 1
x2 1 x 1 x 1 x 1 2
lim lim lim 1
x 1 2x 2 x 1 2 x 1 x 1 2 2

20. El límite de una suma es igual
x 5x 2 a la suma de los límites de los
Calcular lim
x 7x 4 2 x3 1 sumandos.
x 5x 2 x 5x 2
lim lim lim
x 7x 4 2 x3 1 x 7x 4 x 2 x3 1
Calculamos el primer límite
x x 1
lim lim
x 7x 4 x 7x 7 x 5x 2 1
lim
x 7x 4 2 x3 1 7
Calculamos el segundo límite
5x 2 5x 5 5
lim 3 lim lim 0
x 2x 1 x 2 x3 x 2x2

21. La función f (x) = 2 /(x - 2)2 , cuando x 2,
2
Se trata de hallar lim
x 2 (x 2) 2
Si x 2, x 2 0, x 2
2
0 Ya que el cuadrado
siempre es positivo
2 2
Entonces, 2
x 2 0
En este caso, a pesar de ser un límite k/0, no hace falta calcular los límites
laterales ya que el denominador siempre será positivo por el cuadrado
2
lim
x 2 (x 2) 2

22. Si es f (x) = 3/(2x – 1), cuando x 1/2, se cumple:
3
f ( x) 3 / (2 x 1)
2x 1
1 1
Si x por la derecha, 2. 1 0 (con valores positivos)
2 2
3 3
lim
x 1/ 2 2 x 1 0
1 1
Si x por la izquierda, 2. 1 0 (con valores negativos)
2 2
3 3
lim
x 1/ 2 2 x 1 0
No existe , porque los límites obtenidos por izquierda y derecha son diferentes

23. x2 x 1 x2 1
Cuando x 0, la función f ( x) tiene límite:
x x
a) 1
b) 0
c) 1
Calculando límites directamente:
x2 x 1 x2 1
lim -Indeterminación-
x 0 x x
Se debe simplificar la función:
x2 x 1 x2 1 ( x2 x 1) ( x 2 1) x2 x 1 x2 1 x
= 1
x x x x x
Ahora se calcula el límite:
x2 x 1 x2 1 lim( 1) 1
lim x 0
x 0 x x

24. Cuando x 1, f ( x) ( x 1) / ( x 1) tiende a:
a) 1
b) 1
c) 0
Hallar el límite de la función cuando x 1:
x 1
f ( x) ( x 1) / ( x 1)
x 1
x 1 1 1 0
lim 0
x 1 x 1 1 1 2 La función tiende a 0

25. x2 x 1 x3 1
Cuando x 0, la función f ( x) tiende a:
x x
a) 1
b) 0
c) 1
Hallar el límite de la función cuando x 0 pero antes , se hacen las
operaciones indicadas y se simplifica todo lo posible:
x2 x 1 x3 1 ( x2 x 1) ( x3 1) x2 x 1 x3 1
= = =
x x x x
x2 x x3 x( x 1 x 2 ) 2
= = x 1 x
x x
Y ahora si se calcula el límite:
lim( x 1 x 2 )= 0 1 02 1
x 0

26. Una función es continua en un punto a si se verifica:
1. Existe límite de la función en dicho punto, es decir, existe: lim f ( x)
x a
2. Existe valor de la función para x = a, es decir, existe: f (a)
3. Ambas cosas son iguales: lim f ( x) f ( a)
x a
Esta función no es continua en el punto 3.
lim f ( x) 2
x 3
f (3) 4
lim f ( x) f (3)
x 3

27. EJEMPLOS:
f ( x) 2 x 2 3x 1 (es continua en cualquier punto)
g ( x) x3 3x 2 5 (siempre es continua)
h( x) 4 x 7 (también es continua)

28. EJEMPLOS:
5x 1 Es continua en cualquier punto menos en
f ( x) el punto 3 porque si damos a x el valor de 3,
x 3 el denominador se anula.
x 7 Es continua en cualquier punto porque el
g ( x) denominador no se anula nunca.
x2 4

29. x
La función f ( x) El denominador no se anula nunca
x 4 16 porque el exponente de x es par entonces
a ) Es continua en todos los puntos x4 + 16 siempre es mayor que 0
b) Es discontinua en x 0
c) Es discontinua en x 2
La función es continua en todos los puntos.
La función f ( x) ( x3 x) / ( x 2 9) x2 9 0
a) No tiene discontinuidades x2 9
b) Tiene una única discontinuidad x 9
c) Tiene dos discontinuidades x 3
Hay dos puntos que anulan al denominador. La función tiene dos discontinuidades

30. La función definida por
( x 2 3x 9)( x 3)
f ( x) , con f ( 3) 3 y f (3) 9/2
( x 3)( x 3)
a) No tiene discontinuidades Puntos de discontinuidad son
+3, –3, donde el denominador
b) Tiene una única discontinuidad se anula.
c) Tiene dos discontinuidades
Punto x = 3: Hallamos límite de f (x), en dicho punto:
( x 2 3 x 9)( x 3) x 2 3x 9 32 3.3 9 27 9
lim lim
x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 3 3 6 2
Como f (3) = 9/2, la función es continua.
Punto x = - 3: Hallamos límite de la f(x) en dicho punto:
( x 2 3 x 9)( x 3) x 2 3x 9 si x 3 por la izquierda
lim lim
x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 si x 3 por la derecha
No existe límite, luego la función es discontinua.