Este documento presenta la definición formal del límite de una función cuando la variable tiende a un número. Explica que el límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a es un número L si, para cualquier valor epsilon mayor que cero, existe un delta mayor que cero tal que si la distancia absoluta entre x y a es menor que delta, entonces la distancia absoluta entre f(x) y L es menor que epsilon. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar esta definición.

2. 3
x x
Consideremos la función y
x 1
El dominio es Df = R - {1}
Evalúa la función en los números dados y explica el
comportamiento.
X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
y 0 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997
X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001
y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003

3. En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1
por la izquierda, el valor de y tiende a 2.
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?
En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y?
Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la
derecha, el valor de y tiende a 2.
¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor
dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

4. SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN
NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN
NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO
POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x)
CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA
COMO:
lím f ( x ) L
x a

5. Ejemplo:
Sea la función
x 2
f ( x)
x 2 2
Hallar lím f ( x )
x 2
2
X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2
y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493
Por lo tanto
x 2
lím 4
x 2 x 2 2

6. y
y = (x-2)/(sqrt(x+2)-2)
4 o
3
2
1
x
-2 -1 1 2 3 4 5

8. Se quiere fabricar placas de acero de 8cm x
8cm.
8 cm
8 cm
Es decir, de 64 cm2 de superficie.
En la realidad, resulta imposible fabricar
placas con 64 cm2 de superficie, siempre se
elabora con cierta aproximación, o sea, que
cumpla las especificaciones dentro de la
tolerancia.

9. Para cualquier medida de los lados de la placa:
A (L) = L2
Si consideramos las siguientes tolerancias:
1) A (L) = 64 0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.75
2) A (L) = 64 0.50 63.5 < A (L) <64.5
3) A (L) = 64 0.25 63.75< A (L) <64.25
4) A (L) = 64 0.125 63.875< A (L) <64.125
5) A (L) = 64 0.1 63.9< A (L) <64.1
Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera
que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia.
Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más
L L A(L) A(L)
8 64

10. Es decir:
Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple!
Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple!
Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple!
Si se quiere más precisión de A (L), significa
que L debe estar lo más cercano posible a 8.
O sea, existe una pequeña diferencia de A
(L) con 64, análogamente, existe también
una pequeña diferencia de L con 8.
Por la definición intuitiva de límite:
lím A( L) 64
L 8

11. Si esas pequeñas diferencias que existen de L
con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y
ε(épsilon) respectivamente, tendríamos:
8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε
↔ Significa si y sólo si.
También se puede escribir como:
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε
Lo anterior quiere decir que si L se encuentra
en el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se
encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)

12. a L
x f (x)
a –δ a +δ L–ε L+ε
Por propiedades del valor absoluto, las desigualdades:
– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε
Se pueden escribir como:
L 8 A( L) 64
Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8,
entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto
L 8 0

13. De lo anterior:
0 L 8 A( L) 64
Ahora, generalizando para cualquier
función f (x) cuando x → a, tenemos:
0 x a f ( x) L

14. Definición formal de límite.
Consideremos un intervalo abierto que
contenga al número a. Sea f una función
definida en todos los números del intervalo
excepto posiblemente en a y sea L un
número real. Entonces:
lím f ( x ) L
x a
Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal
que:
Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε

15. L+ε
ε
L
ε
L-ε
δ δ
a
a-δ a-δ

16. Ejemplo:
1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que
lím f ( x ) 5
a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal
x 3
que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0
tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Solución:
f (x) =4 x - 7
5.01
5
4.99
3
x1 x2

17. Solución a)
4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01
11.99 12.01
x 2.9975 x 3.0025
1 4 2 4
Como 3 – 2.9975 = 0.0025
Y 3.0025 – 3 = 0.0025
Se elige δ = 0.0025, de tal forma que
0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01
Lo cual es verdadero.

18. Solución b)
Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que:
0 x a f ( x) L
Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01
Entonces:
0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01
Tomando la segunda ecuación:
| (4x – 7) - 5 | < 0.01
| 4x – 7 - 5 | < 0.01
| 4x – 12 | < 0.01
| 4 (x – 3 ) | < 0.01
| 4 | | x – 3 | < 0.01
4 | x – 3 | < 0.01
0.01
x 3
4

19. 0.01
Si tomamos 0.0025
4 4
entonces:
0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε
es verdadero!
Puesto que:
0 < | x - 3 | < 0.0025
4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 )
| 4 (x – 3) | < 0.01
| 4x - 12 | < 0.01
| ( 4x – 7) - 5 | < 0.01
| f (x) - 5 | < 0.01
QUEDA DEMOSTRADO!