Capitulo 6.pptx introduccion al calculo de

CAP 6 INTRODUCCION AL CÁLCULO DE
ESFUERZOS CORTANTES Y
TORSION EN VIGAS
1.- BREVE INTRODUCCION.-
Si bien, tanto el esfuerzo como la resistencia a la flexión son importantes en el diseño
de miembros preesforzados, no es menos importante el esfuerzo cortante.
La falla por cortante a la que más bien debería llamarse falla por tensión diagonal,
resulta mucho más peligrosa que la falla por flexión debido a que ésta podría ocurrir
súbitamente y sin ningún aviso previo.
Las vigas de hormigón preesforzado corrientemente llevan un refuerzo para absorber
esfuerzos de corte que tiene la finalidad de asegurar que la falla se produzca por
flexión. Estrechamente ligados a los esfuerzos de corte por flexión se encuentran los
esfuerzos de torsión que se presentan alrededor de un eje longitudinal
Universidad Mayor Real y Pontificia de San Francisco Xavier de Chuquisaca
Facultad de Ingeniería Civil

De esta manera los esfuerzos de corte por torsión producen también tensión diagonal en
el hormigón.
Cuando se diseñan miembros que soportarán momentos de torsión apreciables, será
necesario que se considere un esfuerzo torsionante, similar al esfuerzo por cortante que
actúa en combinación con el corte.
Por todo lo expuesto se señala que la preocupación principal, es sin duda la ocasionada
por el esfuerzo de tensión diagonal en el hormigón que es originado por el esfuerzo de
corte, ya sea sólo o en combinación con los esfuerzos normales longitudinales.
Por ejemplo para el diseño de ménsulas de columnas que servirán de apoyo a vigas o
trabes, se suele emplear la resistencia a cortante directo agrietado o sin agrietar. En este
caso se suele emplear la tensión de cortante-fricción que es vital para el diseño de estas
piezas.

2.- CORTANTE Y TENSIÓN DIAGONALES EN VIGAS SIN GRIETAS.-
El miembro de hormigón no se agrietará si las cargas que actúan en ella no son grandes,
pudiéndose considerar al miembro como si fuera elástico.
En esta circunstancia los esfuerzos cortantes debidos a flexión y los esfuerzos principales
combinados pueden encontrarse con las ecuaciones corrientes de la mecánica, es decir,
que el esfuerzo cortante en el hormigón para cualquier lugar de él está dado por:
Donde:
v = Esfuerzo cortante
Vn = Fuerza cortante neta en la sección transversal debida a cargas actuantes y
preesfuerzo
Q = Momento estático alrededor del eje neutro de la parte de la sección transversal que
se encuentra hacia fuera del plano de corte considerado.
Ic = Momento de inercia de la sección transversal.
b = Ancho de la sección transversal.

Sabemos que el esfuerzo de flexión en el hormigón se puede encontrar por medio de la
ecuación general.
Donde:
f = Esfuerzo de flexión en el concreto (llevará un subíndice para ubicar el lugar donde
se produce)
P = Fuerza pretensora
Ac = Área de la sección transversal
e = Excentricidad de la fuerza pretensora
y = Distancia desde el eje centroidal de la sección al punto considerado
M = Momento debido a la aplicación de las cargas
Ic = Momento de inercia centroidal de la sección transversal
En el Gráfico 6.1 se pueden observar dos vigas, una reforzada y otra preesforzada.
De la comparación de estas vigas se concluye indicando que en la viga preesforzada la
influencia del preesfuerzo resulta beneficiosa en la reducción de la tensión diagonal.

Gráfico 6.1
VIGA DE HORMIGÓN ARMADO Y CÍRCULO DE MÓHR MOSTRANDO
ESFUERZOS
W
elemento "a"
α=45°
- V α =45°
0.+v cortante
f1 f2
+V +V f2 f1
- V f2
f1
0,-v α=45°
normal

VIGA PREESFORZADA Y CÍRCULO DE MOHR MOSTRANDO ESFUERZOS
Si se toma un elemento muy pequeño "a" ubicado en el eje neutro de la viga de
hormigón reforzado, se ve que este elemento estará sujeto a esfuerzos cortantes
positivos "v" actuando en las caras verticales y cortantes negativos de la misma
magnitud en las caras horizontales.

Si utilizamos el círculo de Mohr para encontrar los esfuerzos principales, hallaremos que
la tensión principal f1 es igual en valor absoluto a la intensidad del esfuerzo cortante
actuando a 45° del eje de la viga. En dirección perpendicular actuará una compresión
principal igual, de modo que si habría algún agrietamiento, éste estaría a 45 ° con el eje
de la viga.
En cambio si en la viga de hormigón preesforzado tomamos un elemento "b" sujeto a
esfuerzos de corte "v" adicionalmente sometido a esfuerzos horizontales de compresión
y si empleamos otra vez el círculo de Mohr, la tensión principal f1 se reduce a un valor
mucho más bajo con el correspondiente mayor con el eje horizontal de la viga. Por lo
tanto la grieta debida a tensión diagonal será mucho más extendida que la del hormigón
corriente.
Si se colocan estribos verticales que sirvan para absorber los esfuerzos de corte, la grieta
diagonal será interceptada por un mayor número de estribos en la viga preesforzada que
lo que ocurriría en la viga reforzada.

Del mismo Gráfico 6.1 se desprende también que el esfuerzo de tensión diagonal, no
puede eliminarse por completo, independientemente del valor de la compresión
longitudinal, salvo que se aplicara al mismo tiempo una precomprensión vertical.
Por otro lado debe añadirse el hecho de que el preesfuerzo introduce una fuerza
cortante que es negativa y que actúa en sentido inverso al cortante inducido por las
cargas resultantes de la inclinación del tendón. Por este motivo los esfuerzos cortantes
en la viga sin grietas son:
Donde:
Vnet = Cortante neto
Vcargas = Cortante producido por las cargas
Vp = Cortante invertido que proviene de los tendones

Para el caso de secciones rectangulares, la variación del esfuerzo cortante dada por
la primera ecuación es parabólica, de modo que el valor de v en las caras superior e
inferior es cero y su máximo se encuentra en el punto medio de la altura.
Para el caso de secciones en I, como es el caso de vigas preesforzadas de puentes,
los esfuerzos cortantes se incrementan bruscamente en el punto de transición del
patín y el alma, esto acontece por la reducción del ancho de la sección. En el Gráfico
6.2 se muestra lo señalado.
En el mismo Gráfico se puede observar que el esfuerzo principal de tensión en una
viga I es posible encontrarla a partir de los esfuerzos cortantes y los esfuerzos
longitudinales de flexión son como los representados en el indicado gráfico cuando
las cargas son de servicio.

Gráfico 6.2
VARIACIÓN DE ESFUERZOS CORTANTES Y DE FLEXIÓN

Podrá notarse también que la ubicación crítica para la tensión diagonal no siempre
se encuentra cerca de los apoyos, aún cuando el cortante exterior es más alto en este
lugar. Por este motivo la distribución de esfuerzos por flexión que se muestra en el
Gráfico 6.2 (línea segmentada) es típica en estos miembros. Por otro lado no se
debe perder de vista que la compresión longitudinal debida al preesfuerzo reduce el
esfuerzo de tensión principal cerca de los apoyos.
Por las razones mencionadas se concluye señalando que las grietas por tensión
diagonal en trabes I preesforzadas, simplemente apoyadas y cargadas
uniformemente ocurren en los alrededores de los puntos ubicados a un cuarto de la
luz. Las fuerzas cortantes son relativamente grandes cerca de la unión del alma con
el patín inferior.
3.- CORTANTE DE AGRIETAMIENTO DIAGONAL.-
La infinidad de ensayos realizados demuestran que las grietas diagonales en
miembros preesforzados pueden presentarse de dos formas:

Grietas por flexión cortante:
Estas grietas se presentan después que han ocurrido las grietas por flexión.
Las grietas por flexión se consideran que se extienden más o menos
verticalmente desde la cara de tensión en el interior del miembro.
Cuando se tiene una combinación de esfuerzos de flexión y cortante en la cabeza
de una grieta por flexión, la grieta se propaga en una dirección más tendida.
En este caso es conveniente reforzar el alma de la viga ya que ella puede producir
una falla por compresión cortante (es decir se deben colocar estribos).
Lo que ocurre es que el área de compresión del concreto en la parte superior de la
viga, reducida por la grieta diagonal, resulta insuficiente para resistir las fuerzas
que provienen de la flexión.

Grietas por cortante en el alma.
Si bien el agrietamiento por cortante a flexión es el más común en las piezas, la grieta
por cortante en el alma puede ocurrir cerca de los apoyos de las vigas preesforzadas
que tienen almas relativamente esbeltas.
Estas grietas se caracterizan por iniciarse en el alma, sin que exista agrietamiento
previo por flexión, esto ocurre cuando la tensión principal del hormigón es igual a la
resistencia de tensión del material.
La apariencia que presenta esta grieta es que ella es de magnitud apreciable e
inclinada.
Por este motivo es necesario reforzar el alma, porque de lo contrario la falla pudiera
suceder ya sea por: una separación del patín en tensión del alma, agrietamiento por
tensión inclinada secundaria próxima a los apoyos o aplastamiento del alma
ocasionada por la compresión.
El Gráfico 6.3 muestra las posibilidades de formación de grietas:
En general se puede señalar que las fallas por cortante en el alma son más violentas
que las fallas debidas a flexión cortante.
En el Gráfico 6.4 se muestra una situación idealizada de las grietas por flexión
cortante en la zona de esfuerzos combinados de un miembro.

Gráfico 6.3
GRIETAS POR FLEXIÓN CORTANTE Y POR CORTANTE EN ELALMA

Gráfico 6.4
GRIETAS POR FLEXIÓN CORTANTE, DIAGRAMAS DE CORTANTE Y
MOMENTO

En el Gráfico 6.4 se muestra por ejemplo que en la sección A la grieta por flexión se
inicia con cierta inclinación, su proyección horizontal es d y concluye en una sección C
En la sección B se tiene una segunda grieta por flexión que puede precipitar una falla. En
la sección C el cortante y el momento debido a cargas sobrepuestas muerta y viva están
dados por V y M respectivamente. Los valores Vcr y Mcr, representan al cortante y al
momento en la sección B. Estos cortantes y momentos actúan en forma adicional a los
producidos por el peso propio del miembro y por el preesfuerzo
Si obtenemos el área debajo del diagrama de corte entre las dos secciones B y C se verá
que es igual al cambio de momento entre las mismas secciones. Es decir:
Sabemos que la distancia d/2 es pequeña y en la mayoría de los casos la diferencia entre
V y Vcr resulta también ser pequeña, por esto:

Si dividimos ambos momentos entre V tendremos:
Si despejamos el valor de V del segundo término del primer miembro obtendremos:
Ecuación que proporciona el cortante V en la sección C, debido a cargas sobrepuestas
muerta y viva cuando el momento en la sección B debido a las mismas cargas es Mcr. Es
importante señalar que si bien aparece el valor de V en ambos miembros de la ecuación
anterior, en realidad solamente es necesario conocer la relación M/V.
El cortante total en la sección C cuando ocurre una grieta por flexión en la sección B
resulta ser la suma del cortante de la ecuación anterior más la fuerza cortante debida a
peso propio V0, y el cortante Vp inducido por la componente vertical de la fuerza en el
tendón curvado.

Las pruebas señalan que es necesario un incremento en el cortante de
después que se ha formado la segunda grieta por flexión, para el desarrollo de la grieta
inclinada, donde bw es el ancho de la sección y d es la profundidad del centroide del
acero de preesfuerzo. Con todo lo dicho el valor de Vci (fuerza cortante total) es:
Debido a que la inclinación del tendón es muy pequeña en el lugar donde es más
probable que se presenten los agrietamientos por flexión cortante, el valor de Vp es
muy pequeño por lo que es posible despreciarlo, si se hace esto la ecuación anterior
se convierte en:
C
f
d
b '
0.60 w

Por definición se sabe que el momento de agrietamiento Mcr es el momento
producido por las cargas muerta y viva sobrepuestas y que actúa
adicionalmente al momento M0 de peso propio. Por este motivo Mcr se puede
calcular tomando el esfuerzo de tensión en el hormigón en la superficie inferior
del miembro igualando al módulo de ruptura, es decir:
Donde:
fo = Esfuerzo de flexión en la cara inferior del hormigón debido a peso propio.
C2 = Valor de la distancia desde el centroide del hormigón a la cara inferior.
Ic = Momento de inercia centroidal de la sección del hormigón
fp2= Esfuerzo de compresión en la cara inferior del hormigón debido al
preesfuerzo efectivo.
 
C
f '
6

De la ecuación anterior se puede despejar Mcr
Con referencia a los signos de los esfuerzos se señala que el Código ACI toma
a estos con valores absolutos sin indicar si son positivos o negativos.
Por varios estudios realizados se señala que es probable la aparición de grietas
por cortante en el alma o debajo del centroide de la sección. En miembros en
los que la máxima tensión principal se halla en la parte inferior de su sección
presentan más probabilidad de agrietamiento por flexión, que conducen a
agrietamientos por flexión cortante en lugar de que se agriete el alma por
cortante.
𝑀𝑐𝑟 =
𝐼𝑐
𝑐2
6 𝑓𝑐
`
+ 𝑓𝑝2
− 𝑓𝑜

De esta manera es posible estimar el cortante producido, por las grietas por
cortante en el alma, para este objeto se toma como base de cálculo a la tensión
principal en el centroide del hormigón. Con estas consideraciones se tiene que
la capacidad de un miembro a cortante se logra cuando la tensión principal es
capaz de igualar a la resistencia a la tensión directa del hormigón.
Donde:
f’t = Esfuerzo o resistencia de tensión directa del hormigón
vcw = Esfuerzo cortante nominal del hormigón ,
fcc= Esfuerzo de compresión en el centroide del hormigón debido al
preesfuerzo efectivo.
𝑓𝑡
`
= 𝑣𝑐𝑤
2
+
𝑓𝑐𝑐
2
2
−
𝑓𝑐𝑐
2

Un valor conservador que puede tomarse para f’t es:
El valor de vcw es posible obtenerlo de la relación: Vcw /bwd cuando actúan todas
las cargas muertas y vivas. .
Despejando de la ecuación anterior el esfuerzo cortante nominal vcw que
corresponde al agrietamiento diagonal y reemplazando el valor de f’t se tiene:
La ecuación anterior puede ser reemplazada por otra más simple como la siguiente:
Esta última expresión es la que se emplea en el diseño. En base a ella e
incrementada por la componente vertical de la fuerza pretensora Vp que actúa en
sentido opuesto al cortante inducido por las cargas, se puede obtener el valor del
cortante exterior Vcw.
C
f '
5
.
3

En general es posible que se formen grietas por flexión cortante o por cortante en el
alma, por este motivo la fuerza cortante Vc bajo la que se presenta agrietamiento
diagonal debe tomarse como el menor valor de los valores Vci y Vcw (A) y (B)
respectivamente.
4.- REFUERZO POR CORTANTE EN ELALMA.-
El principio de utilización de acero de refuerzo del alma de vigas preesforzadas es
similar al del hormigón armado corriente. No garantizaría la seguridad ni tampoco sería
económico diseñar vigas altas en las que solamente el hormigón soporte los esfuerzos
cortantes. La presencia del acero de refuerzo en el alma de las vigas tiene la finalidad
de incrementar la resistencia a cortante y al mismo tiempo permite que la falla sea más
dúctil, es decir, que produzca la alarma correspondiente.

En general todas las piezas requieren una cantidad aunque sea mínima de acero de
refuerzo para cortante en el alma. Las únicas secciones que podrían exceptuarse de
esta regla serían las vigas doble T de luces muy cortas o medianas o losas.
Casi nunca se emplea el preesfuerzo diagonal o vertical en las almas de las vigas para
absorber cortantes, aún sabiendo que mediante esto se podría eliminar por completo la
presencia de grietas. En el siguiente gráfico se muestran algunas formas de refuerzos
para el alma.
Corrientemente el diámetro de las varillas corrugadas oscila entre No 3 a No 5 en
calidades de acero de 40 al 60. No es conveniente el empleo de aceros más resistentes
porque si el hormigón es sometido a esfuerzos más altos bajo cargas de servicio, las
grietas que se tienen resultan ser más anchas. Los ganchos con estos aceros resultan
demasiado frágiles.
Los ganchos que se suelen colocar en las vigas tienen el propósito de incrementar la
adherencia del acero con el hormigón.

Gráfico 6.5
FORMAS TÍPICAS DE REFUERZO DELALMA EN VIGAS PREESFORZADAS

Corrientemente las esquinas de las vigas deben ser reforzadas mediante la colocación
de varillas longitudinales de diámetro pequeño que cruzan con los estribos formando
un armazón rígido que puede ser construido fuera de la viga y el conjunto se coloque
dentro del encofrado como una sola pieza.
El Gráfico 6.6 muestra las fuerzas que actúan en una parte de la viga donde se tiene la
sección agrietada próxima a un apoyo. Se puede observar que la resistencia nominal
al cortante tiene cuatro componentes:
• La resistencia absorbida por los estribos,
• La componente vertical del presfuerzo
• La fricción que ocurre por la rugosidad del material en la grieta y
• La fuerza resistente que ejerce el concreto en la zona de compresión no agrietada.
Cada uno de estos efectos serán seguidamente analizados.

Los estribos están separados a una distancia "s" las cargas que intervienen serán las
factorizadas porque se entiende que la estructura se encuentra en el inicio del
colapso.
Por otro lado la pendiente de la grieta diagonal es muy baja (bastante menor a 45°),
esto se debe a la acción del refuerzo longitudinal en el hormigón.
La proyección horizontal de la grieta tiene una longitud "d" igual al peralte de la
viga medido al centroide del tendón que se analiza.
En el gráfico 6.6 se puede observar la presencia y forma de acción que tienen los
componentes citados anteriormente en una viga parcialmente agrietada.

Gráfico 6.6
BASES PARA EL ESTUDIO DEL CORTANTE EN UNA VIGA
PARCIALMENTE AGRIETADA

Si el espaciamiento entre estribos es s y la distancia de la grieta diagonal es d, el
número de estribos que se tendrá será: d/s. La resistencia de los estribos en el
momento de inicio de la falla que se toma es el de fluencia fy, luego se podrá
escribir la siguiente expresión:
Donde:
Vs = Cortante en los estribos
𝐴𝑣= Área total de un estribo (incluye las dos ramas)
fy, d, s = Son los valores mencionados líneas arriba.
𝑉𝑠 =
𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑
𝑠

En el caso de que el centroide del acero del tendón preesforzado corta a la sección en la
que se efectúa el análisis y se encuentra formando un ángulo α, el tendón transmitirá una
fuerza cortante igual a la componente vertical de la fuerza pretensora. De manera
conservadora se puede señalar que tiene un valor igual al preesfuerzo efectivo Pe de
modo que:
La resistencia friccionante de las superficies rugosas formadas por la grieta constituyen
una tercera contribución a la transferencia del cortante. Esta resistencia debida a la
trabazón del agregado se designa con Va y ella actúa en la cara de la grieta, siendo su
componente vertical Vay.
Finalmente se ha indicado que el hormigón de la zona en compresión que se halla
encima de la grieta diagonal colabora con una fuerza Vcz.
Si igualamos a cero todas las componentes verticales que se han señalado, se tiene que la
resistencia nominal al cortante podrá escribirse como:

Los últimos dos términos de la ecuación anterior (Vay, Vcz), a pesar de las
investigaciones realizadas en este campo son desconocidos hasta ahora. Sin embargo se
señala que un valor conservador que se puede adoptar en el diseño, es suponer que su
acción combinada no es menor que la fuerza cortante diagonal (Vc.).
Vc puede ser calculado por agrietamiento debido a cortante en el alma o por flexión
cortante, debiendo tomarse el menor valor entre Vci y Vcw, encontrados mediante las
expresiones (A) y (B).
Por otro lado se indica que por el pequeño ángulo que tiene el tendón es posible
despreciar la componente vertical de la fuerza pretensora, debido a esto la ecuación
anterior se convierte en:
Nótese que en esta expresión se ha considerado que Vc= Vay + Vcz tal como se indicó
líneas arriba.

Del mismo modo se puede hacer que la diferencia de Vn – Vc en realidad, es el exceso
de cortante que toma el concreto y si definimos que el porcentaje de refuerzo del alma
se puede escribir como:
Despejando Av de esta ecuación y reemplazando en la expresión de Vn se tiene:
Finalmente:

5.- CRITERIOS DE DISEÑO DEBIDO A CORTANTE SEGÚN ELACI.-
El ACI acepta plenamente todo lo analizado en los incisos precedentes y para el diseño
parte de la hipótesis de que el miembro debe ser cargado con cargas muertas y vivas de
servicio multiplicadas por factores de sobrecarga. Las secciones transversales
solicitadas a cortante se basan en que la fuerza de cortante aplicada bajo cargas
factorizadas Vu debe ser igual a un coeficiente de reducción de resistencia ø =0.85
multiplicado por su resistencia nominal a cortante Vn, es decir:
Donde:
Vn= Vc + Vs
Los valores de:
Vc = Resistencia nominal a corte del hormigón
Vs = Resistencia nominal a corte del refuerzo de acero

El cálculo de cada uno de estos aspectos se realiza como sigue:
Vc corresponde al menor valor de los obtenidos para Vci debido a agrietamiento por
flexión cortante y Vcw, por agrietamiento debido a cortante del alma. Cada uno de estos
valores es encontrado mediante las siguientes ecuaciones:
𝑉𝑐𝑖= 0.60 𝑓𝑐
`
𝑏𝑤𝑑 + 𝑉
𝑜 +
𝑉𝑖
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑐𝑟 (D)
Si comparamos esta expresión con la ecuación (A) veremos que el término d/2 ha sido
despreciado, haciendo que el valor de Vci se haga más conservador. V0 es el cortante
debido a peso propio calculado sin factor de carga. Del mismo modo los términos Vi, y
Mmax resultan ser el cortante y momento máximo en la sección que se analiza
provenientes de carga muerta y viva sobrepuestas. El término Mcr es el momento de
agrietamiento debido a flexión, obtenido de la siguiente expresión:

f0 de esta expresión corresponde al esfuerzo de flexión en la cara inferior de la viga
debido a peso propio calculado sin factor de carga.
Cuando se aplica la ecuación (D) el ACI recomienda que Vci no es necesario que sea
menor que:
Por otro lado la resistencia nominal debido a agrietamiento por cortante del alma se
obtiene de:
Donde:
Vp = Pe senα,
Siendo α el ángulo formado por el tendón
Otra alternativa de cálculo de Vcw, puede ser encontrado como la fuerza cortante
correspondiente a la carga muerta más la carga viva que resultan en una tensión
principal
igual a 4√(fc´ aplicado en el centroide de la pieza o en la intersección de alma y
patín, esto último cuando el eje centroidal se encuentra ubicado en el patín.
C
w f
d
b '
7
.
1 



Para el caso de piezas que tengan una fuerza pretensora efectiva superior al 40% de la
resistencia a la tensión del refuerzo debida a flexión es posible emplear la siguiente
ecuación de Vc en reemplazo de las ecuaciones de Vci y Vcw.
Donde:
Vu = Cortante factorizado debido a todas las cargas en la sección considerada
Mu = Momento factorizado debido a todas las cargas en la sección considerada
La relación Vud/Mu no debe ser mayor de 1.0.
En caso de emplearse la ecuación de Vc, el valor que se tome deberá encontrarse entre
los siguientes límites:

Donde:
d = Es la altura hasta el centroide de los tendones de presfuerzo.
Nota.- Debe hacerse notar que el valor límite de 0.80h empleado en otro lado no se
aplica en este caso.
Con los valores obtenidos es posible encontrar el área requerida de refuerzo en el
alma, para este objeto se realizan las siguientes consideraciones:
Cuando el refuerzo por cortante empleado es perpendicular al eje de la pieza su
contribución a la resistencia al corte se obtiene de:
Donde:
Vs = Resistencia por cortante perpendicular, no debe tomarse mayor que:
C
w f
d
b '
8 



La resistencia total nominal al corte Vn se encuentra sumando las contribuciones
del acero y el hormigón, es decir:
Si tomamos la ecuación de partida Vu = ϕVn
Donde:
Av = Área de refuerzo al cortante mínima
Ap = Área de la sección transversal del presfuerzo
fy = Esfuerzo de fluencia del acero del estribo
fpu = Resistencia última de tensión del acero de presfuerzo
d,s,bw = Son términos proporcionados anteriormente
𝑉
𝑛 =
𝐴𝑣𝑓𝑦 𝑑
𝑠
+ 𝑉
𝑐
𝑉𝑢 = ∅ 𝑉𝑠 + 𝑉𝑐
𝑉
𝑢 = ∅
𝐴𝑣𝑓𝑦 𝑑
𝑠
+ 𝑉
𝑐
𝐴𝑣 =
𝑉
𝑢 − ∅𝑉
𝑐
∅𝑓𝑦 𝑑
𝑠 =
∅𝐴𝑣𝑓𝑦 𝑑
𝑉
𝑢 − ∅𝑉
𝑐

Si se efectúa una comparación de las dos ecuaciones dadas, se podrá advertir que la
segunda proporciona algo menos de acero de refuerzo por lo que generalmente rige
el diseño, sin embargo tendrá aplicación en el caso en que la fuerza efectiva
pretensora no sea menor del 40% de la resistencia a tensión del refuerzo.
Los límites de espaciamiento dados por el ACI en miembros presforzados señalan
que no deben ser mayores de: 24 pulgadas ó 0.75 de la altura del miembro. En el
diseño debe tomarse el menor.
Los límites dados deben ser reducidos a la mitad. Las recomendaciones que da el
Código con respecto a la disposición de armaduras indican que:
El refuerzo del alma debe colocarse tan cerca como sea posible de las superficies
de tensión y compresión. Esta disposición quedará definida por los requisitos de
recubrimiento y presencia de algún otro refuerzo.
C
w f
d
b
Vs '
4 




Los estribos de longitud d deben anclarse en ambos extremos del miembro por
medio de ganchos standar más un anclaje efectivo de 0.5 ld. El valor 0.5 ld de un
lado del estribo debe tomarse como la distancia entre el punto medio del peralte del
miembro (d/2) y el inicio del gancho.
Puede también anclarse por arriba o por debajo del punto medio del peralte de la
trabe del lado de compresión desarrollando toda la longitud de ld, pero en ningún
caso menor de 24 veces el diámetro de la varilla o 12 pulgadas (varillas o alambres
corrugados).
Para estribos con esfuerzos de diseño mayores a 40000 Lbrs/pulg2 cuando se
empleen varillas No 5 y alambres D31 y menores, el doblado alrededor del refuerzo
longitudinal tendrá por lo menos 135°.
El anclaje mínimo será de 0.33 ld, debiendo esta distancia tomarse en la misma
forma como la señalada en el caso de ganchos standard.

Si tomamos la ecuación de partida: y reemplazamos en ella los valores
obtenidos, tenemos:
Luego:
Donde:
Av = Es el área de la sección transversal requerida de un estribo, valor que puede
calcularse mediante una transposición de términos a partir de la anterior expresión de
modo que:
Vn
Vu 


En la práctica lo que se hace es seleccionar tentativamente un determinado estribo
encontrándose el espaciamiento requerido, por este motivo resulta más conveniente la
utilización de la siguiente ecuación que proporciona la separación de estribos.
El valor de s obtenido de la expresión anterior debe compararse con lo que señalan las
Normas, si cumple la especificación se empleará lo obtenido, caso contrario se
modificará su sección.
Las Normas señalan que todos los miembros preesforzados deben tener un mínimo de
refuerzo por cortante cuando la fuerza factorizada total por corte Vu es mayor que la
mitad de la resistencia al cortante øVc del hormigón.

Quedan exceptuados de esta regla las losas, zapatas, viguetas de concreto que tiene
influencia en miembros nervados como trabes doble T, piezas con peralte que no
sea mayor a los siguientes valores: 10 pulg., 2,5 veces el espesor del patín y 0.5
veces el espesor del alma.
Efectuadas estas consideraciones resulta que el área mínima de refuerzo por
cortante para los demás casos será igual al menor de los siguientes valores:
En cualquier caso la distancia de desarrollo ld debe ser igual a:
Donde:
Ab = Área de la sección transversal de la varilla en pulgadas cuadradas
El valor de ld obtenido de la expresión anterior no debe ser menor de: 0.0004 dbfy
Donde:
db = Diámetro de la varilla en pulgadas.

En el caso de emplearse agregados ligeros como es la tendencia actual, la longitud de
anclaje debe ser incrementada en 33 %, si solamente es ligero el agregado grueso y la
arena es normal deberá incrementarse en 18 % la longitud de anclaje.
En general el Código ACI señala que cuando se empleen agregados ligeros en la
fabricación de hormigones presforzados es posible el empleo de las ecuaciones de
cortante obtenidas hasta aquí con las siguientes modificaciones:
1. Cuando se especifique resistencia cilíndrica a la cuarteadura fct para concreto
ligero, las disposiciones para Vc deberán modificarse sustituyendo por
, pero el valor de no será mayor de .
2. Cuando no se especifica fct todos los valores de que afectan a Vc y Mcr deben
multiplicarse por 0.75 para concretos con agregados ligeros y por 0.85 cuando el
agregado grueso es ligero y la arena es normal.
En la práctica el diseño de refuerzo por cortante del alma puede tener ciertas
complicaciones, aún en los casos más corrientes; esto ocurre si Vc es obtenido a partir
de Vci y Vcw, respectivamente ya que muchos de los parámetros de aquellas
ecuaciones varían a lo largo de la luz.
7
.
6
ct
f c
f '
7
.
6
ct
f
c
f '
c
f '

El Gráfico 6.7 muestra las bases para el diseño de estribos de una viga
cargada uniformemente. El indicado gráfico contiene una serie de curvas
obtenidas cuando actúan y permite determinar los
requisitos de acero en el alma a lo largo de la luz.
El exceso de cortante queda establecido por medio de las áreas achuradas, en
estos lugares deberán colocarse los estribos correspondientes.
min
;
;
; Vci
Vcw
Vci
Vu


Gráfico 6.7
DIAGRAMA DE ESFUERZOS DE CORTE Y DISTRIBUCIÓN DE ESTRIBOS
EN UNA VIGA CARGADA UNIFORMEMENTE

5.6 EJEMPLO: DISEÑO DEL REFUERZO DEL ALMA POR CORTANTE
La Trabe I asimétrica de la figura 5.15 debe soportar una carga muerta
sobrepuesta de 345 lb/pie, y carga viva de servicio de 1220 lb/pie en forma
adicional, su Peso propio 255 lb/pie• Debe fabricarse con concreto de fc =
5000 lb/pulg2 y se presfuerza usando tendones de alambres múltiples con
𝑓𝑝𝑢 = 275; 000𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2 con una fuerza efectiva 𝑃𝑒 = 288 kilolibras.
hállese el espaciamiento requerido para los estribos verticales en U en un
punto a 10 pies del apoyo izquierdo, si 𝑓𝑦 para el estribo de acero 40,000
lb/pulg2 (wo = 3.72 kN/m,𝑤𝑑 = 5.03 𝐾𝑁/𝑚 , 𝑤1 = 17.8 𝐾𝑁/𝑚 𝑓𝑐 = 35 𝑁/
𝑚𝑚2 , 𝑓𝑝𝑢 = 1896 𝑁/𝑚𝑚2 , 𝑓𝑖 = 276 𝑁/𝑚𝑚 ,𝑃𝑒 = 1281 𝐾𝑁 , y la seccion a
x=3.05 m)
Figura 5.15 Ejemplo de
diseño por cortante.
(a) Sección transversal.
(h) Perfil

Puede establecerse fácilmente que las propiedades de la sección transversal
de concreto sin agrietar son: 𝐼𝑐 = 24,200 pulg4, AC =245 pulg2.' , y r2 = 99
pulg2 (10.1 x 109 mm4, 158 X 103 mm2, y 64 X 103𝑚𝑚2).
La profundidad d del tendón en la parte central del claro es 24.5 pul, y Ia
excentricidad e = 11.4 pulg. Desde una distancia A 15 ',les del apoyo, la
excentricidad comienza a reducirse linealmente hasta cero en los apoyos. Así
Pues. /a excentricidad en la sección de interés es
𝑒 = 11.4 𝑥
10
15
= 7.6 𝑝𝑢𝑙𝑔. 193 𝑚𝑚
La profundidad d correspondiente es 13.1 + 7.6 = 20.7 pulg. De acuerdo
con el código, la profundidad efectiva para los cálculos de cortante se supondrá
igual 0.8 X 29 = 23.2 pulg. (589 mm).
Con la ayuda de la ecuación (5.14) y (5.5) se halla la resistencia nominal al
cortante para agretamiento por flexión-cortante. Para la sección dada, el
esfuerzo en la cara inferior debido solamente al presfuerzo es:

𝑓2𝑝 =
𝑃𝑒
𝐴𝑐
1 +
𝑒𝑐2
𝑟2
=
288.000
245
1 +
7.6 𝑥 15.9
99
= −2600 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔.2
El momento por peso propio y el cortante en x=10 pies son,
respectivamente.
𝑀𝑜 =
𝑤𝑜𝑥
2
1 − 𝑥
=
0.255 𝑥 10
2
45 − 10
=45 ft-kilolibras/pie (61KN-m)
𝑉
𝑜 = 𝑤𝑜
1
2
− 𝑥
= 0.255
45
2
− 10
=3.19 kilolibras (14.19 KN)

El momento 𝑀𝑜 produce un esfuerzo de tensión en la parte inferior de la viga
igual a:
𝑓0 =
𝑀𝑜𝐶2
𝑙𝑐
=
45,000 𝑥 12 𝑥 15.9
24.200
=355 lb/pulg 2
Entonces es la ecuación (5.5)
𝑀𝑐𝑟 =
𝑙𝑐
𝐶2
6 𝑓𝑐 + 𝑓2𝑝 − 𝑓𝑜
=
24.200
15.9
6 5000 + 2600 − 355
1
12.000
=339 kilolibras/pie (460 KN-m)
El cortante y el momento en la sección a 10 pies del apoyo, provenientes de
la carga muerta sobrepuesta de 345 lb/pie y de la carga viva de 1220 lb/pie,
son respectivamente.

𝑣𝑖 = 1.565
45
2
=19.56 kilolibras/pies
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
1.565 𝑥 10
2
45 − 10
= 274 ft-kilolibra/pie
Asi, de la ecuación (5.14) el valor de 𝑣𝑐𝑖 𝑒𝑠:
𝑣𝑐𝑖 = 0.6 𝑓𝑐𝑏𝑤𝑑 + 𝑏𝑜 +
𝑣𝑖
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑐𝑟
= 0.6 5000 𝑥 5 𝑥 + 3190 +
19,560
274,000
𝑥 339,000
=32,310 lb (144 KN)
Nótese que el limite inferior 1.7x, 5000 x 5 x 23.2 = 13,940 lb no es el que
rige el diseño aqui.
La resistencia nominal al cortante para agrietamiento por cortante en alma
se halla en la ecuación (5.15). Con 𝑃𝑒 = 288 kilolibras, 61 esfuerzo centroidal
en el concreto es:

𝑓𝑐𝑐 =
288,000
245
= 1170
𝑙𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2
La componente vertical de la fuerza pretensora efectiva es:
𝑣𝑝 = 288 𝑥
11.4
15 𝑥 12
= 18.24 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠
Entánces. de la ecuación (5.15)
𝑣𝑒𝑤 = 3.5 𝑓𝑐 + 0.3 𝑓𝑐𝑐 𝑏𝑤𝑑 + 𝑉
𝑝
=(35.5 5000+ 0.3 x 1170) x 5 x23.2 + 18.240
=87.660 lb (390 KN)
En el presente caso, el agretamiento por flexion- cortante rige el diseño,
y
𝑉
𝑐 = 𝑉𝑐𝑖 = 32,310𝑙𝑏 = 32.31 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 144 𝐾𝑁

La fuerza cortante total en x= 10 pies bajo cargas factorizadas es
𝑉
𝑢 = 1.4 0.255 + 0.345 + 1.7 𝑥 1.220 12.5
=36.43 kilolibras (162 KN)
luego del exceso del cortante (𝑉
𝑢 − 𝜃 𝑉𝐶 = 𝜃 𝑉𝑆 = 36.43 − 0.85 𝑥32.31 =
8.91 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠, se encuentran bien por debajo del limite superior de 8 x 0.85
x 5000 x 5 x 23.2 =55.8 kilolibras y también se encuentra por debajo de 4 x
0.85 x 5000 x 5 x 23.2 = 27.9 kilolibras de manera que rigen las limitaciones
normales de espaciamiento.
En forma tentativa, se seleccionan estribos en U del No. 3 proporcionando
un área por estribo de 𝐴𝑣 = 2 𝑥 0.11 = 0.22𝑝𝑢𝑙𝑔2
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 5.22

𝑠 =
∅𝐴𝑐𝑓𝑦𝑑
𝑉
𝑢 − ∅𝑉
𝑐
=
0.85 𝑥 0.22 𝑥 40,000 𝑥 23.2
8970
= 19.3 pulg. (490 mm)
Revisando el área mínima de acero en el alma mediante las ecuaciones (5.23) y
(5.24):
𝐴𝑡 = 50
𝑏𝑤𝑆
𝑓𝑦
=
50 𝑥 5
40,000
𝑆
=0.00625s
𝐴𝑡 =
𝐴𝑝𝑓𝑝𝑢𝑆
80𝑓𝑦 𝑑
𝑑
𝑏𝑤
=
1.75
80
𝑥
275
40
𝑆
23.2
23.2
5
=0.01396 s

El menor de los requerimientos es el que rige, y para estribos del No. 3 con
𝐴𝑣 = 0.22𝑝𝑢𝑙𝑔2. El máximo espaciamiento es s=35 pulg. Adicionalmente, el
máximo espaciamiento no debe sobrepasar el menor de los siguientes
valores 24 pulg. Ó 0.75 x 79 = 22 pulg. El requerimiento calculo es s= 10.3
pulg. Rige en cualquier caso. Este se redondeara a s= 18 pulg. Por razones
practicas.
6.- TORSIÓN EN ESTRUCTURAS.-
Los momentos torsionantes son los que provocan rotación de la pieza alrededor de su
eje longitudinal. Casi nunca se presentan en forma aislada y por lo general actúan en
forma conjunta con momentos flexionantes y fuerzas de corte. La torsión ha sido
considerada como una acción secundaria entendiendo que las estructuras son capaces
de redistribuir las fuerzas internas hasta que encuentran un estado alternativo de
equilibrio.

En el Gráfico 6.8 se muestra cómo actúan los momentos torsionantes mt en una losa
en voladizo y en una viga de puente tipo cajón, dichos momentos son aplicados a lo
largo del eje y son equilibrados por medio de pares resistentes Mt, que pueden ser
proporcionados por los apoyos A y B. Claramente se nota que las secciones
transversales de las vigas cerca del centro de la luz tienden a rotar con respecto a las
secciones próximas a los apoyos.
En muchas estructuras la torsión debe ser considerada como condición primaria de
diseño ya que ella debe poseer una resistencia torsionante que soporte la carga, este es
el caso de la viga en voladizo.
La viga de puente de sección cajón experimentará esfuerzos de torsión cuando sufra la
carga de una línea de tráfico como la mostrada en el gráfico.
Es posible encontrar otros ejemplos en los que actúa la torsión como parte dominante
del diseño: escaleras helicoidales, vigas curvas etc.

Gráfico 6.8
MIEMBROS SUJETOS A TORSIÓN

Finalmente se debe señalar que la desatención a los esfuerzos de torsión puede traer
varias consecuencias como agrietamientos excesivos, grandes deflexiones, etc,.
El comportamiento de estructuras que soportan torsión o carga combinada aún no se
conoce completamente, los estudios están basados en observaciones de pruebas de
laboratorio en lugar de la teoría. El ACI introduce requerimientos en el diseño de
hormigón armado a partir del año 1971.
Si bien el código de ese año no incluye torsión en miembros de hormigón preesforzado
se considera que un método similar al del hormigón armado puede ser empleado en
preesforzado.
7.- INTRODUCCIÓN AL DISEÑO POR TORSIÓN.-
Si se toma una sección rectangular de un miembro de hormigón preesforzado como el
mostrado en el Gráfico 6.9a se señala que el miembro podrá ser analizado sin o con la
presencia de refuerzo en el alma.
En el primer caso, es decir sin refuerzo en el alma el análisis que se puede efectuar es el
siguiente:

El gráfico muestra una porción de miembro sin fuerza pretensora con pares iguales
y opuestos T actuando en los extremos. Como el elemento es elástico se cumplirá
la teoría de torsión de St. Venant que indica que los esfuerzos de corte torsionantes
se distribuyen en la sección transversal tal como se muestra en el Gráfico 6.9 b)
con líneas llenas, siendo el más grande de los esfuerzos el que ocurre en el punto
medio de las caras más anchas y cuyo valor puede tomarse cómo:
Donde:
tmax = Esfuerzo de torsión máximo
T = Momento torsionante
η = Coeficiente que depende de la forma de la sección transversal
x e y = Son los lados de la sección transversal
y
x
T
t 2
max



En caso de que el material fuera inelástico la distribución de esfuerzos sería como el
mostrado en el Gráfico 6.9 b) con líneas segmentadas. El máximo esfuerzo cortante por
torsión estará dado por la misma ecuación en la que solamente cambia η.
Gráfico 6.9
ESFUERZOS DE TORSIÓN EN VIGAS RECTANGULARES

Los esfuerzos cortantes torsionantes actúan por pares en un elemento cerca de la
superficie, correspondiendo este esfuerzo a un estado producido por esfuerzos
iguales de tensión y compresión aplicados sobre las caras de un elemento a 45° con
la dirección del cortante.
Cuando los esfuerzos de tensión diagonal sobrepasan la resistencia a tensión del
hormigón se presentarán grietas en alguna sección tal como se muestra en el inciso
a) del Gráfico 6.10. Para el análisis esta superficie puede tomarse como plana e
inclinada a 45° (ver Gráfico 6. l0b), aún cuando realmente es alabeada.
El par T puede descomponerse en dos componentes: Tb que ocasiona una flexión
alrededor del eje a-a del plano de falla y Tt que produce torsión. Muchos
experimentos han concluido señalando que la falla tiene más relación con la flexión
que con la torsión.

Gráfico 6.10
AGRIETAMIENTO DE UNA VIGA SIN REFUERZO EN ELALMA

Si llamamos Z al módulo de sección del plano de falla alrededor de a - a su valor se
podrá expresar como:
El esfuerzo máximo de tensión de la componente de momento Tb será igual a:
Reemplazando los valores de Tb y Z en la ecuación se tiene:
º
45
6
2
sen
y
x
Z 
Z
T
f b
t 
y
x
Tsen
ft 2
º
45
cos
º
45
6


Simplificando
Ecuación que es similar a la de St. Venant con η = 1 / 3
Si solamente actuara ft el agrietamiento se produciría cuando este valor iguale al
módulo de ruptura del hormigón f’r que suele tomarse igual . Sin embargo debido a
que se forman ángulos rectos con la tensión, existe igual compresión, este hecho
ocasiona una reducción en la resistencia a la tensión de por lo menos 15%;
debido a esto la grieta se formará y la pieza sin reforzar fallará cuando .
Por todo lo mencionado se concluye señalando que el par de falla Tcr para una viga sin
preesforzar y sin refuerzo en el alma será igual a:
y
x
T
ft
2
3
1

C
t f
f '
6










3
'
6
2
y
x
f
Tcr C
7.5 𝑓𝑐
´

Para miembros presforzados sin refuerzo en el alma el procedimiento de análisis es
similar. La falla se alcanzará cuando el esfuerzo principal de tensión máximo, debido
a la acción combinada entre torsión y compresión alcance la resistencia directa a
tensión del hormigón, este valor suele tomarse según Hsu. T.T.C. en su libro "Torsión
of Structural Concrete-UniformIy Prestressed Members Without Web
Reinforcement" como 0.10f’c. El par de agrietamiento de la viga preesforzada estará
dado por:
Ecuación que puede escribirse en función de Tcr es decir:
fce = Es el presfuerzo longitudinal promedio Pe / Ac
)
(
'
10
1
'
6
' 2
y
x
c
f
f
f
cr
T cc
C



c
f
f
Tcr
cr
T cc
'
10
1
' 


Para secciones que tienen patines, la resistencia de torsión puede tomarse como la
suma de las resistencias torsionantes del alma y de los patines. Con este análisis
resulta que el término ηx2y debe ser reemplazado por la ∑ ηx2y, x e y son las
dimensiones mayor y menor respectivamente de los componentes rectangulares.
Para secciones cajón las consideraciones que hace el ACI para piezas de hormigón
se considera que también son válidas para secciones cajón de hormigón
preesforzado. Cuando los espesores de las paredes son h no menores que x/4, siendo
x el ancho de la sección cajón, la resistencia torsionante podrá considerarse como si
se tratara de una sección rectangular sólida con las mismas dimensiones totales. Si
en cambio el espesor de la pared h es menor que x/4 pero mayor que x/10 la
resistencia torsionante de la sección cajón se reduce mediante el factor 4h/x del
segundo miembro de la ecuación de Tcr.
En el segundo caso, es decir el análisis de torsión en vigas con refuerzo en el alma
contempla que para incrementar la resistencia a la torsión en vigas de hormigón
armado como en preesforzado, se proporciona refuerzo mediante estribos cerrados
espaciados estrechamente y varillas longitudinales.

El Gráfico 6.11 muestra un refuerzo por torsión en secciones rectangulares y con
patines, sin embargo de esto el concreto se agrietará cuando se alcance un par igual o
mayor al requerido por una pieza sin refuerzo, llegando a ser efectivo el refuerzo
únicamente después del agrietamiento.
Grafico 6.11
REFUERZOS TÍPICOS POR TORSIÓN EN DIFERENTES SECCIONES DE
VIGAS

Después del agrietamiento la resistencia a torsión del miembro sin
preesfuerzo, disminuye a más o menos la mitad de la resistencia del miembro
sin grietas, la resistencia restante es absorbida por el refuerzo, por este motivo
la falla se presenta por flexión asimétrica. En estas condiciones puede que el
acero de los estribos se encuentre esforzado hasta la fluencia, ello dependerá de
la localización de la grieta y su orientación.
En el Gráfico 6.12 se muestra un esquema de la resistencia a la torsión en vigas
agrietadas con refuerzo en el alma. Se muestra la superficie potencial de falla,
así como la zona de compresión del hormigón y las fuerzas tanto horizontales
como verticales en los estribos que cortan a la superficie de falla, sin tomar en
cuenta los estribos de la zona de compresión. Con estos datos G. Winter y A.
Nilson concluyen señalando que la contribución total al par efectuado por el
acero de refuerzo es:
𝑇𝑠 = 𝛼𝑡
𝑥1𝑦1
𝑠
𝐴𝑡𝑓𝑦

Donde:
T8 = Resistencia a la torsión del refuerzo
= Coeficiente que toma en cuenta la geometría de la grieta, el esfuerzo del estribo
durante la falla y otros parámetros. Puede tomarse como valor límite 1.5 o por medio
de la siguiente ecuación empírica:
x1 , y1 = Distancias horizontal y vertical respectivamente en pulg.
s = Separación de estribos a lo largo del miembro en pulg.
At = Área transversal de un lado del estribo en pulg2
fy = Resistencia a la fluencia del acero del estribo en Lbrs/pulg2
En miembros no preesforzados después del agrietamiento el par Tc que resiste el
hormigón se reduce a casi la mitad del par de agrietamiento, es decir que puede
tomarse como:
𝛼𝑡
𝛼𝑡 = 0.66 + 0.33
𝑦1
𝑥1

La resistencia nominal a la torsión en miembros no preesforzados será:
Reemplazando valores se tiene:
Par que solamente podrá desarrollarse cuando los estribos estén muy próximos
entre sí, de este modo cualquier superficie de falla será interceptado por un
adecuado número de estribos.
𝑇𝑛 = 2.4 𝑓𝑐
`
𝑥2
𝑦
3
+ 𝛼𝑡
𝑥1𝑦1
𝑠
𝐴𝑡𝑓𝑦

Las varillas longitudinales de refuerzo desarrollan dos funciones: anclar los estribos
en las esquinas desarrollando toda su resistencia a la fluencia y proporcionar alguna
resistencia a la torsión por medio de sus anclajes en las secciones que cruzan la
superficie de falla. En diseño a torsión se toma:
Donde:
Al = Área total de acero de refuerzo longitudinal.
En miembros preesforzados sometidos a torsión el análisis señala que la
resistencia torsionante última es la suma de las contribuciones de resistencia del
hormigón y del refuerzo del alma igual que en hormigón armado. El efecto del
preesfuerzo es incrementar la contribución del hormigón a la resistencia de
torsión, el refuerzo del alma no sufrirá modificación alguna.
En miembros preesforzados la resistencia del hormigón después del agrietamiento es
solamente una fracción del par que produce el agrietamiento, pudiendo escribirse:

o también:
𝑇𝑛 = 𝑇𝑐
` + 𝛼𝑡
𝑥1𝑦1
𝑠
𝐴𝑡𝑓𝑦
Donde:
T’c = Es la resistencia torsionante del hormigón después del agrietamiento.
El resto de valores son los mismos que los señalados en párrafos anteriores. Para
vigas de hormigón preesforzado según Zia P. McGee. W.D. en "Torsión Design of
Prestressed Concrete" la reducción del par del hormigón después del agrietamiento
debe tomarse igual que en piezas de hormigón armado después del agrietamiento,
es decir:

Donde:
Tc = Es la resistencia torsionante después del agrietamiento en vigas sin preesfuerzo.
Se podrá escribir
o también:
Donde:

Luego el par nominal resistente será:
Reemplazando valores de T’c y Ts se tendrá:
Cuando se trata de secciones con patines debe sustituirse η x2 por ∑ η x2y. En esos
casos k se determinará tomando el rectángulo más grande obtenido entre los
rectángulos componentes de la sección. Para secciones cajón se aplicará la relación
4h/x tal como se señaló anteriormente.

Gráfico 6.12
RESISTENCIA A TORSIÓN EN VIGAS AGRIETADAS CON REFUERZO EN
ELALMA

8.- RELACIÓN ENTRE CORTANTE Y TORSION.-
Como se señaló anteriormente es poco frecuente encontrar estructuras que estén
sometidas solamente a torsión. Es más probable que las piezas estén sujetas a
momentos flexionantes, esfuerzos cortantes y momentos de torsión.
En miembros sin grietas tanto cortantes como pares de torsión ocasionan
esfuerzos de corte en los miembros, por este motivo en el diseño debe
considerarse que la acción simultánea de ambas solicitaciones reduce la
resistencia del miembro, mucho más que si estuviese soportando cortantes y
torsiones en forma independiente.
Debido a que hasta ahora no se disponen de teorías que satisfagan plenamente la
acción combinada de corte y torsión en vigas sin refuerzo en el alma, se ha
recurrido a experimentos de laboratorio que proporcionan recomendaciones sobre
este particular.

5.10. EJEMPLO: DISEÑO DE VIGAS PRESFORZADAS PARA CARGAS
COMBINADAS
La viga rectangular de 30 pies de claro mostrada en la figura 5.24 debe soportar una
carga muerta sobrepuestas 1.85 kilolibras/pie y una carga viva de servicio de 1.20
kilolibras / pie ambas con una excentricidad de 9 pulg. Adicionalmente a su peso
propio de 0.38 kilolibras pie. La viga se presfuerza con una fuerza que después de las
perdidas de 𝑃𝑒 = 300 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠 , con el centroide del acero a una profundidad
efectiva de 24 pulg. La resistencia especificada para el concreto a los 28 días es 𝑓𝑐 =
5000 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔.2 diseñar el esfuerzo requerido por cortante y torsión, para una sección
que diste h/2 de la cara del apoyo, empleando acero de 𝑓𝑐= 40,000 lb/𝑝𝑢𝑙𝑔.2. (claro=
9.14 m, 𝑊
𝑜 = 5.5 𝐾𝑁/𝑚, 𝑊𝑑 = 27.0 𝐾𝑁/𝑚, 𝑊𝑙 = 17.5 𝐾𝑁/𝑚, e = 229 mm, 𝑃𝑒 =
1334 𝐾𝑁, d=618 mm, 𝑓𝑐 = 34 𝑁/𝑚𝑚2
, y 𝑓𝑦 = 276𝑁/𝑚𝑚2
.
Aplicando los factores de cargas usuales del ACI se obtiene las siguientes cargas
factorizadas.
𝑤1 = 1.4 𝑥 0.38 = 0.53 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑖𝑒
𝑤2 = 1.4 𝑥 1.85 + 1.7 𝑥 1.20 = 4.63 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑖𝑒
La fuerza cortante total y el par en la cara de los apoyos, respectivamente son:

𝑉
𝑢 = 5.16
30
2
= 77.4 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑖𝑒
𝑇𝑢 = 4.63
9
12
30
2
= 52.1 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠/𝑝𝑖𝑒
De acuerdo con las disposiciones del código ACI para cortante, la primera
sección critica se supondrá a una distancia h/2=1.25 pies de la carga de apoyo,
los valores del cortante y el par en esa sección son respectivamente, 71.0
kilolibras y 47.8 kilolibras-pie tal como se muestra en la figura 5.24.
Primero de la ecuación (5.30) con (x/y) =12/30 = 0.40
𝑛 =
0.35
0.75 + 0.40
= 0.304
Y 𝑛𝑥2
𝑦 = 0.304 𝑥 144 𝑥 30
= 1310 𝑝𝑢𝑙𝑔3
Mientras que 𝑏𝑤𝑑 = 12 𝑥 24
= 288 𝑝𝑢𝑙𝑔2

Con el esfuerzo en el concreto en el centroide de la sección
𝑓𝑐𝑐 =
𝑃𝑒
𝐴𝑐
=
300.000
12 𝑥 30
= 833 𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙𝑔2
De la ecuación (5.49)
𝑇𝑢.𝑚𝑖𝑛 = 1.5 𝑓𝑐 1 + 10𝑓𝑐𝑐𝑓𝑐 𝑛𝑥2
𝑦
= 1.5 5000 1 + 8330 5000 1310
= 227,000 lb/pulg = 18.9 kilolibras –pie
Con la torsión nominal real de 47.8 kilolibras –pie se encuentran bastante por ensima
de este valor, lo cual confirma que la torsión debe considerarse en el diseño del
miembro.
Los limites superiores de la torsión y el cortante se determinan de las ecuaciones (5.47)
y (5.48) respectivamente, con
C=14-13.33(833/5000)=11.78
C=11.78 1 + 8330/5000 =19.23
𝑇𝑢.𝑚𝑖𝑛 =
𝐶 𝑓𝑐
1 +
𝐶
10
2
𝑉
𝑢
𝑇𝑢
2
𝑏𝑤𝑑
𝑛𝑥2𝑦
2
𝑏𝑤𝑑

=
19.23 5000
1 +
19.23
10
2
71.0
47.8 𝑋 12
2
1310
288
2
1310
12000
=101 Kilolibra-pie>47.8 kilolibras-pie
𝑉
𝑢.𝑚𝑎𝑛 =
𝐶 𝑓𝑐
1 +
𝐶
10
2
𝑇𝑢
𝑉
𝑢
2
𝑏𝑤𝑑
𝑛𝑥2𝑦
2
𝑏𝑤𝑑
=
10 5000
1 +
10
19.23
2
47.8 𝑥 12
71.0
2
288
1310
2
288
1000
=150 kilolibras > 71 kilolibras
Se confirma que los valores máximos de las fuerzas que actúan se encuentran por
debajo de los limites superiores permitidos en cada caso.
En seguida se emplearan las ecuaciones de interacción para determinar la
contribución de la sección del concreto para la resistencia a la torsión y a las fuerzas
cortantes. Con

𝑘 = 1
0.133
𝑛
= 1
0.133
0.304
Entonces de la ecuación (5.35)
𝑇𝑐 = 6 𝑓𝑐 1 + 10𝑓𝑐𝑐𝑓𝑐 − 𝑘 𝑛𝑥2𝑦
= 6 5000 1 + 8330 5000 − 0.563
1310
1000
= 595 kilolibra-pie
Para el valor 𝑉
𝑐 se empleara la ecuación aproximada (5.17)
𝑉
𝑐 = 0.6 𝑓𝑐 + 700
𝑉
𝑢𝑑
𝑀𝑢
𝑏𝑤𝑑
Pero no será menor que 2 𝑓𝑐𝑏𝑤𝑑 y no debera exceder 5 𝑓𝑐𝑏𝑤𝑑 . 5.42
conduce a

𝑇𝑐
∗ =
𝑇𝑐
,
1 +
𝑉
𝑢
𝛽𝑇𝑢
2
=
595
1 +
71.0
0.086 𝑥 47.8 𝑥 12
2
= 339 kilolibras-pulg
En tanto que la ecuación (5.41) indica
𝑉
𝑐
∗ =
𝑉
𝑐
1 +
𝛽𝑇𝑢
𝑉
𝑢
2
=
102
1 +
0.086 𝑥 47.8 𝑥 12
71.0
2
=83.8 kilolibras

El acero en el alma requerido por torsión será de la forma de estribos
cerrados colocados con un recubierto de 1 – ½ pulg. Medido hasta el centro
del acero, tal como se muestra en la figura 5.24 dando 𝑥1 = 9 𝑝𝑢𝑙𝑔, 𝑦 𝑦1 =
27 𝑝𝑢𝑙𝑔. De la ecuación (5.31)
𝑥1 = 0.66 + 𝑜. 33
27
9
= 1.65
Pero no deberá excederse 1.50 lo cual rige el diseño en este caso. El área
requerida para la sección transversal de una pierna de un estribo por torsión
se halla mediante la ecuación (5.45)
𝐴𝑡 =
𝑇𝑢 − ∅𝑇𝑐
∗ 𝑠
𝛼𝑙∅𝑓𝑦𝑥1𝑦1
=
47.8 𝑥 12 − 0.85 𝑥 33.9 𝑠
1.50 𝑥 0.80 𝑥 40 𝑥 9 𝑥 27
= 0.0245𝑠 𝑝𝑢𝑙𝑔.2
El máximo espaciamiento de tales estribos no debe de sobrepasar el menor
de los siguientes valores: 12 pulg. O
𝑆𝑚á𝑥 =
𝑥1𝑦1
4

𝑆𝑚á𝑥 =
9+27
4
= 9 pulg
La cual es la que rige aquí.
En seguida se hallara el esfuerzo requerido por cortante debido a la flexion
puesto que 𝑉
𝑢 = 71.0 kilolibras es menor que 𝑉
𝑐
∗
= 83.8 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑠. Solamente se
requiere el acero mínimo para el cortante debido a la flexión. De la ecuación
(5.23)
𝐴𝑟 =
50𝑏𝑤𝑠
𝑓𝑦
=
50 𝑥 12
40.000
𝑠
= 0.015s
El área minima requerida para la sección transversal de una pierna es por lo
tanto 𝐴𝑝/2 = 0.0075𝑠. Este requerimiento minimo se puede conseguir
fácilmente mediante los estribos para la torsión.
Se seleccionaran varillas del N° 4 para los estribos cerrados, el área de una
pierna vertical es 0.20 𝑝𝑢𝑙𝑔.2 estableciendo que esta área proporcionada es
igual al requerimiento de 0.0245𝑠, se obtiene que el espaciamiento requerido es

=
0.20
0.0245
= 8.16 𝑝𝑢𝑙𝑔.
Se selecciona un espaciamiento practico de 8 pulg.
El refuerzo no presforzado longitudinal requerido se halla de la ecuación (5.34)
𝐴𝑡 = 2𝐴𝑡
𝑥1 + 𝑦1
𝑠
= 2 𝑥 0.0245 9 + 27
= 1.62 𝑝𝑢𝑙𝑔2
Esto se logra mediante seis varillas del N° 5, dispuestas tal como se muestra en
la figura 5.24, lo cual proporciona un área total de 1.84 𝑝𝑢𝑙𝑔.2 . El
espaciamiento máximo de 12 pulg. Resulta apropiado para el arreglo de las 6
varillas permitiendo espacio para el colado.

Se ha demostrado que la interacción entre cortante y torsión en este tipo de
vigas preesforzadas puede representarse mediante curvas circulares, de modo
que si Vcr y Tcr son el cortante y el par de torsión de agrietamiento cuando el
miembro preesforzado es sometido solamente a flexión o torsión de acuerdo a lo
estudiado en anteriores incisos del presente capítulo. Como se recordará la falla
ocurre inmediatamente después del agrietamiento. Los valores de Vcr y Tcr
representan las resistencias últimas a corte y torsión. (En nuestro caso Tcr fue
calculado como T’cr cuando se estudiaba torsión).
Por otro lado sean Vcr y Tcr las capacidades a corte y torsión con cargas
combinadas de cortante y torsión. Las pruebas de laboratorio presentan la
siguiente ecuación de interacción:
Donde:
Vn = Fuerza cortante de falla por acción combinada de corte y torsión
Tn = Momento de torsión a la falla por acción combinada de corte y torsión
Vcr = Menor valor entre Vcr y Tcr, calculados en inciso 3.
Tcr = Ecuación propuesta por Hsu.T.T.C. obtenida como T’cr en la que el término η
x2y debe ser reemplazado por ∑ η x2y Es decir que:

La ecuación de interacción puede ser representada gráficamente mediante una
circunferencia cuyo radio está dado por las relaciones: Tn / Tcr y Vn / Vcr, Es posible
colocar cada una de estas relaciones en ejes perpendiculares y dibujar una cuarta
circunferencia. Luego se pueden dividir los radios en partes iguales, por ejemplo en
cinco. Cada una de las partes será 0.2 del total que es 1.
Del análisis del dibujo se puede concluir que si por ejemplo se tuviese un miembro
soportando un par torsionante de tcr / 2 (mitad de su capacidad a torsión pura) se
observa que simultáneamente es capaz de soportar más o menos 85% de Vcr.
Para tener los valores de Vn y Tn se realizan los arreglos algebraicos correspondientes
obteniendo:

Los numeradores de las ecuaciones anteriores representan a los esfuerzos de
agrietamiento por cortante y torsión cuándo cada uno de ellos actúa en forma
independiente. Los denominadores en cambio toman en cuenta la interacción entre
ambas solicitaciones. Por otro lado las relaciones de Vn y Tn que aparecen en el
denominador del segundo miembro expresan que solamente es preciso conocer la
relación que existe entre ellos en la sección que se está estudiando.
Por otro lado debe señalarse que la información experimental sobre cargas
combinadas en vigas preesforzadas con refuerzo en el alma es muy pobre. Los
estudios realizados conducen a razonamientos parecidos a los empleados en vigas
sin refuerzo en el alma.
Las ecuaciones que se emplean son las siguientes:

Donde:
V’c = Fuerza cortante a cargas combinadas de corte y torsión que resiste el
hormigón
T’c = Fuerza torsionante a cargas combinadas de corte y torsión que resiste el
hormigón
Vc = Menor valor de Vci y Vcw, calculado según inciso 3
T’c = Emplear la siguiente ecuación:

Donde:
Las ecuaciones anteriores provienen de la suposición de que en miembros con
estribos, la parte de torsión total resistida por el hormigón se determina mediante
la ecuación de interacción utilizada para miembros sin estribos.

Por otro lado se puede también suponer que para miembros sujetos a acción
combinada de corte y torsión el exceso de torsión por encima de la que soporta el
concreto, exige la colocación de la misma cantidad de refuerzo que la que se
requiere en, miembros sujetos solamente a torsión. Este esfuerzo de torsión debe
agregarse al que necesita el miembro para resistir esfuerzos cortantes y momentos
por flexión.
De esta suposición se desprende que si el par Tu aplicado realmente al miembro es
mayor que el resistido por el hormigón, debe proporcionarse un refuerzo que
absorba el excedente. La ecuación que se utiliza es:
Donde:
Tn = Resistencia total nominal a la torsión
= Fuerza torsíonante a cargas combinadas de corte y torsión que resiste el
hormigón a1 = Coeficiente de forma.
Nota.- El resto de valores son conocidos
Para el diseño se toma: Tu = Tn con cargas factorizadas. Haciendo operaciones
algebraicas se tiene:
𝑇𝑐
∗

Despejando el valor de At se tiene:
El refuerzo de torsión que tendrá el alma obtenida mediante la ecuación anterior exige
que los estribos sean cerrados siendo este refuerzo adicional al requerido por cortante a
flexión determinada mediante la ecuación:
y sustituyendo V’c de la primera suposición, es decir:
por Vs en aquella ecuación
s
d
fy
Av
Vs



2
1
'








Vn
Tn
Vc
c
V


En el diseño para el cálculo de resistencias nomínales a torsión se introduce un
factor de reducción de capacidad es decir:
Donde Tu = Es el par de diseño con cargas factorizadas.
Por otro lado resulta conveniente tener información sobre el refuerzo máximo y
mínimo en el alma del miembro sujeto a cargas combinadas con la finalidad de
evitar una falla frágil después del agrietamiento. Zia McGee recomienda el empleo
de las siguientes ecuaciones:
Para miembros sujetos solamente a torsión:
 
1
1
1
'
y
x
f
s
c
T
Tu
A
y
t





𝜙 = 0.85

Para miembros sujetos a cargas combinadas:
 


















 y
x
d
bw
y
x
C
c
f
c
T n
2
2
2
max
10
'
1
'
'
' 

𝑇𝑛𝑚𝑎𝑥 = 𝑐 𝑓𝑐
´ 1 +
10𝑓𝑐𝑐
𝑓𝑐
´ 𝜂𝑥2
𝑦 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑐 = 14 − 13.33
𝑓𝑐𝑐
𝑓𝑐
´

La ecuación que gobierna el cortante es:
Donde
Finalmente se debe señalar que con el objeto de asegurar el desarrollo de
la resistencia torsionante última y efectuar al mismo tiempo un control
del agrietamiento y la rigidez con cargas de servicio , el máximo
esfuerzo de fluencia del estribo debe limitarse a 60 Kilolibras/pulg2. Por
otro lado el espaciamiento de estribos debe ser menor a 12 pulgadas ó
𝑉
𝑛𝑚𝑎𝑥
´
=
10 𝑓
𝑐
´
1 +
10
𝑐´
2
𝑇𝑛
𝑉
𝑛
2
𝑏𝑤 𝑑
𝜂𝑥2𝑦
2
𝑏𝑤 𝑑
𝐶´
= 𝐶 1 + 10
𝑓𝑐𝑐
𝑓𝑐
´
𝑥1 + 𝑦1
4

Las varillas longitudinales deberán ser bien distribuidas en el perímetro de
la pieza cuidando que su separación no sea mayor de 12 pulgadas. En
hormigón preesforzado en forma similar a hormigón armado se puede
despreciar el efecto de la torsión cuando los esfuerzos de corte por torsión
son menores a 25% del esfuerzo de agrietamiento. Se desprecia la torsión
cuando es menor de:
EJEMPLOS NUMÉRICOS.-
La viga I asimétrica de puente del gráfico adjunto soportará una carga
muerta sobrepuesta de 300 lbras/pie y una carga viva de servicio de 1200
Lbras/pie fuera de su propio peso. El hormigón de la estructura será f¨c =
4000 Lbrs/pulg2 y se empleará acero de preesfuerzo con fpu = 250000
lbrs/pulg2 mediante alambres múltiples con una fuerza inicial Pi = 335
Klbrs. Las pérdidas debe considerarse en 15%. Hallar el espaciamiento
de los estribos cerrados a un cuarto de la luz. Tomar fy = 30000
lbrs/pulg2 para el acero de los estribos. La ,luz de la viga es de 40 pies.
Tomar la densidad del hormigón igual a 150 lbrs/pie3 . La viga tiene
acero de 1.70 pulg2.
𝑇𝑢
𝑇𝑢𝑚𝑖𝑛 = 1.5 𝑓𝑐
´ 1 + 10
𝑓𝑐𝑐
𝑓𝑐
´ 𝜂𝑥2𝑦

Otro Ejemplo numérico:
La viga rectangular de sección 32" x 10" de 36 píes de largo debe soportar una
carga muerta sobrepuesta de 1500 Lbrs/pie y una carga de servicio de 1400
Lbrs/pie. La excentricidad e = 10 pulg., de ambas cargas se muestra en el gráfico.
Habrá otra carga muerta aplicada en el eje de la viga y que corresponde a su peso
propio (w1). La viga será preesforzada con una fuerza pi =360 Klbrs. El
recubrimiento del centroide del acero a la cara inferior de la viga es de 5 pulg., de
modo que la altura útil d == 32 - 5 = 27 pulg. La resistencia del hormigón será de
f’c = 5000 Lbrs/pulg2. Se solicita diseñar el refuerzo que se requiere para la
acción combinada de torsión y cortante para una sección cuya distancia sea h/2 de
la cara del apoyo (h es el peralte de la viga). fy = 40000 Lbrs/pulg2. Las pérdidas
serán de 15 % y el peso propio del hormigón tomar 150 Lbrs/pie3.

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