Este documento presenta el teorema de Cayley-Hamilton, el cual establece que el polinomio característico de una matriz A anula a A. Se demuestra aplicando propiedades de polinomios con coeficientes matriciales y la relación entre una matriz y su adjunta. También se presentan corolarios para operadores lineales y división de polinomios.
Transformaciones lineales y espacios vectorialesarturoperez
El documento presenta información sobre vectores, transformaciones lineales y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica las propiedades de los vectores y transformaciones lineales, y provee ejemplos de su aplicación en circuitos eléctricos y resolución de sistemas. También incluye ejercicios resueltos de estos temas y una bibliografía al final.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento describe el sistema de masa resorte amortiguador y las ecuaciones que lo rigen. Explica que la fuerza de un resorte es proporcional al desplazamiento según la ley de Hooke, y que la fuerza de un amortiguador es proporcional a la velocidad. Deriva una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la fuerza aplicada con el desplazamiento de la masa, basada en las leyes de Newton, Hooke y el comportamiento del amortiguador. Resuelve esta ecuación para un caso numérico particular usando transform
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
Ecuaciones diferenciales.[dennis g. zill].[7 ed].solucionarioGabriel Limon Lopez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
Este documento explica el método de coeficientes constantes para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta dos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden utilizando este método. Explica los pasos que incluyen determinar la ecuación auxiliar, resolverla para obtener los valores de lambda, y usar la forma general de la solución dependiendo de si los valores de lambda son reales o complejos.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
La tabla muestra las fórmulas para calcular el momento de inercia de diferentes objetos sólidos rígidos como barras, discos, cilindros, esferas, cascarones esféricos, rectángulos y conos, para diferentes ejes de giro. Proporciona el objeto, el eje de giro y el momento de inercia correspondiente para cada caso.
Transformaciones lineales y espacios vectorialesarturoperez
El documento presenta información sobre vectores, transformaciones lineales y métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como Jacobi y Gauss-Seidel. Explica las propiedades de los vectores y transformaciones lineales, y provee ejemplos de su aplicación en circuitos eléctricos y resolución de sistemas. También incluye ejercicios resueltos de estos temas y una bibliografía al final.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento describe el sistema de masa resorte amortiguador y las ecuaciones que lo rigen. Explica que la fuerza de un resorte es proporcional al desplazamiento según la ley de Hooke, y que la fuerza de un amortiguador es proporcional a la velocidad. Deriva una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la fuerza aplicada con el desplazamiento de la masa, basada en las leyes de Newton, Hooke y el comportamiento del amortiguador. Resuelve esta ecuación para un caso numérico particular usando transform
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
Ecuaciones diferenciales.[dennis g. zill].[7 ed].solucionarioGabriel Limon Lopez
Este documento describe los detalles de un proyecto de construcción de una carretera. Explica los materiales que se usarán, como concreto y asfalto, el trazado de la carretera y los posibles impactos ambientales. También incluye un cronograma tentativo de la construcción y el presupuesto estimado para completar el proyecto.
Este documento explica el método de coeficientes constantes para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta dos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden utilizando este método. Explica los pasos que incluyen determinar la ecuación auxiliar, resolverla para obtener los valores de lambda, y usar la forma general de la solución dependiendo de si los valores de lambda son reales o complejos.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de álgebra lineal. Contiene 8 capítulos que cubren temas como polinomios, espacios vectoriales, sistemas de ecuaciones, aplicaciones lineales, determinantes, diagonalización de endomorfismos, forma reducida de Jordan y análisis matricial. Además incluye 2 apéndices sobre grupos y anillos de clases de resto. El autor es M. Isabel García Planas y presenta soluciones detalladas a problemas comunes que los estudiantes encuent
La tabla muestra las fórmulas para calcular el momento de inercia de diferentes objetos sólidos rígidos como barras, discos, cilindros, esferas, cascarones esféricos, rectángulos y conos, para diferentes ejes de giro. Proporciona el objeto, el eje de giro y el momento de inercia correspondiente para cada caso.
El documento explica cómo calcular una integral por partes cíclica. Muestra un ejemplo de calcular la integral ex sen(x)dx usando la técnica. Se determinan los valores de u y dv, y se aplica la fórmula de la integral por partes. Esto produce una nueva integral en el segundo término, la cual se calcula y sustituye de nuevo en la ecuación original. Tras varios pasos de simplificación, se obtiene la solución final sen x e x − cos x e x + c=2 ex sen(x)dx.
Este documento introduce los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial. Define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con diez propiedades relacionadas con la suma y multiplicación de vectores. Presenta varios ejemplos de conjuntos que son y no son espacios vectoriales. Finalmente, anticipa la discusión de subespacios vectoriales en la próxima sección.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de conjuntos de soluciones, soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Define un conjunto fundamental de soluciones como un conjunto de soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explica que la solución general de una ecuación diferencial homogénea es una combinación lineal de las soluciones del conjunto fundamental, y que la solución general de una ecuación no homogénea es la suma de la solución particular y la solución
Este documento introduce conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una o más variables respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales dependiendo de si la función desconocida depende de una o más variables. También clasifica las ecuaciones diferenciales por orden, grado, linealidad y explica conceptos como soluciones, campos direccionales e interpretación geométrica.
Este documento explica conceptos clave de álgebra lineal como transformaciones lineales, el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y propiedades de las transformaciones lineales como núcleo, rango e imagen. También analiza ejemplos para determinar si ciertas funciones cumplen con las condiciones para ser consideradas transformaciones lineales.
Este documento presenta el método del ion-electrón para balancear ecuaciones redox. Introduce conceptos clave como especies oxidantes, reductoras, semirreacciones de oxidación y reducción. Explica cómo identificar los pares redox e igualar las ecuaciones mediante el uso de protones, agua y electrones. Incluye ejemplos detallados del proceso paso a paso para balancear ecuaciones redox complejas.
El documento explica los errores de truncamiento y la serie de Taylor. La serie de Taylor proporciona una forma de aproximar funciones mediante polinomios. Expresando una función como una serie de potencias de la distancia desde un punto, cada término adicional mejora la aproximación. El error de truncamiento depende del orden del último término y disminuye al agregar más términos, siempre que el incremento entre puntos sea pequeño.
1. La transformada de Laplace transforma funciones definidas en el intervalo (0, ∞) en otras funciones mediante la integral de Laplace. Es una transformación lineal muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
2. Existe la transformada de Laplace para funciones que sean seccionalmente continuas y de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
3. Se presentan ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, tn, cos(at), u(t-a) y se establecen sus propiedades de linealidad y traslación
Los intervalos son herramientas matemáticas que se utilizan para delimitar conjuntos de números reales. Existen diferentes tipos de intervalos como abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos, los cuales se representan utilizando paréntesis, corchetes y signos como >, <, ≥, ≤ para indicar si los extremos están incluidos o no.
Este documento ofrece una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo conceptos clave como orden, grado, linealidad, y tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica qué es una solución general, particular y ofrece una interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales en términos de pendientes de curvas.
Este documento presenta notas de clase sobre electricidad y magnetismo. Resume conceptos clave como el potencial eléctrico, campo eléctrico uniforme y no uniforme, ley de Gauss, flujo eléctrico, producto escalar, circuitos de corriente continua y alterna, resistencia eléctrica, diferencia de potencial, y ejercicios de aplicación de estos conceptos. Incluye definiciones, fórmulas matemáticas, diagramas y ejemplos numéricos para ilustrar los temas.
El documento presenta el método de resolución de ecuaciones de Clairault. Resuelve un ejemplo aplicando el método y representando gráficamente las soluciones. Luego propone como ejercicio resolver otras ecuaciones de Clairault de forma similar.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento describe los polinomios de Hermite, que interpolan una función dada en n+1 puntos coincidiendo también con la derivada primera en esos puntos. Se explica que los polinomios de Hermite se pueden expresar en términos de los polinomios de Lagrange y sus derivadas. También se muestra cómo calcular los coeficientes de los polinomios de Hermite usando diferencias finitas.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
El documento describe el método de capas cilíndricas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Explica que cuando un elemento de área rectangular se gira alrededor de un eje, forma una capa cilíndrica cuyo volumen puede calcularse usando una integral definida. Proporciona fórmulas para el cálculo del volumen dependiendo de si el eje de giro es horizontal o vertical y presenta un ejemplo numérico.
Este documento trata sobre el concepto de antiderivada o primitiva. Explica que una función F es la antiderivada de f si la derivada de F es igual a f. Presenta reglas básicas para calcular antiderivadas de funciones algebraicas. También introduce el método de sustitución, donde si u es una función de x, la integral de una función de u se puede expresar como una integral sobre u en lugar de x.
Matlab integración numérica, método del trapecioTensor
Este documento describe el método numérico del trapecio para aproximar integrales definidas en Matlab. Explica que cuando una función no tiene una primitiva analítica, se debe usar un método numérico como el trapecio. Luego detalla los pasos del algoritmo del trapecio, incluyendo dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de los trapecios formados. Finalmente, muestra código Matlab que implementa este método para aproximar la integral de una función.
Polinomio y ecuación característica centlaVictor Mathew
Este documento define la ecuación y el polinomio característicos de una matriz. La ecuación característica es la determinante de la matriz menos la matriz identidad multiplicada por un escalar, y el polinomio característico es esta determinante. Los valores propios de la matriz son las raíces de este polinomio. Las matrices semejantes tienen los mismos valores propios porque comparten el mismo polinomio característico.
Este documento presenta los métodos para caracterizar reacciones químicas reversibles de primer orden, incluyendo el desarrollo matemático para derivar las ecuaciones que describen la cinética de tales reacciones. También describe los métodos de vida media y Guggenheim para determinar las constantes de velocidad de reacciones de primer orden irreversibles a partir de datos experimentales. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación de estos métodos.
El documento explica cómo calcular una integral por partes cíclica. Muestra un ejemplo de calcular la integral ex sen(x)dx usando la técnica. Se determinan los valores de u y dv, y se aplica la fórmula de la integral por partes. Esto produce una nueva integral en el segundo término, la cual se calcula y sustituye de nuevo en la ecuación original. Tras varios pasos de simplificación, se obtiene la solución final sen x e x − cos x e x + c=2 ex sen(x)dx.
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1. La transformada de Laplace transforma funciones definidas en el intervalo (0, ∞) en otras funciones mediante la integral de Laplace. Es una transformación lineal muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
2. Existe la transformada de Laplace para funciones que sean seccionalmente continuas y de orden exponencial cuando t tiende a infinito.
3. Se presentan ejemplos de transformadas de funciones elementales como 1, eat, tn, cos(at), u(t-a) y se establecen sus propiedades de linealidad y traslación
Los intervalos son herramientas matemáticas que se utilizan para delimitar conjuntos de números reales. Existen diferentes tipos de intervalos como abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos, los cuales se representan utilizando paréntesis, corchetes y signos como >, <, ≥, ≤ para indicar si los extremos están incluidos o no.
Este documento ofrece una introducción a las ecuaciones diferenciales, definiendo conceptos clave como orden, grado, linealidad, y tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. También explica qué es una solución general, particular y ofrece una interpretación geométrica de las ecuaciones diferenciales en términos de pendientes de curvas.
Este documento presenta notas de clase sobre electricidad y magnetismo. Resume conceptos clave como el potencial eléctrico, campo eléctrico uniforme y no uniforme, ley de Gauss, flujo eléctrico, producto escalar, circuitos de corriente continua y alterna, resistencia eléctrica, diferencia de potencial, y ejercicios de aplicación de estos conceptos. Incluye definiciones, fórmulas matemáticas, diagramas y ejemplos numéricos para ilustrar los temas.
El documento presenta el método de resolución de ecuaciones de Clairault. Resuelve un ejemplo aplicando el método y representando gráficamente las soluciones. Luego propone como ejercicio resolver otras ecuaciones de Clairault de forma similar.
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Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento describe los polinomios de Hermite, que interpolan una función dada en n+1 puntos coincidiendo también con la derivada primera en esos puntos. Se explica que los polinomios de Hermite se pueden expresar en términos de los polinomios de Lagrange y sus derivadas. También se muestra cómo calcular los coeficientes de los polinomios de Hermite usando diferencias finitas.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
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Este documento describe el método numérico del trapecio para aproximar integrales definidas en Matlab. Explica que cuando una función no tiene una primitiva analítica, se debe usar un método numérico como el trapecio. Luego detalla los pasos del algoritmo del trapecio, incluyendo dividir el intervalo en subintervalos y sumar las áreas de los trapecios formados. Finalmente, muestra código Matlab que implementa este método para aproximar la integral de una función.
Polinomio y ecuación característica centlaVictor Mathew
Este documento define la ecuación y el polinomio característicos de una matriz. La ecuación característica es la determinante de la matriz menos la matriz identidad multiplicada por un escalar, y el polinomio característico es esta determinante. Los valores propios de la matriz son las raíces de este polinomio. Las matrices semejantes tienen los mismos valores propios porque comparten el mismo polinomio característico.
Este documento presenta los métodos para caracterizar reacciones químicas reversibles de primer orden, incluyendo el desarrollo matemático para derivar las ecuaciones que describen la cinética de tales reacciones. También describe los métodos de vida media y Guggenheim para determinar las constantes de velocidad de reacciones de primer orden irreversibles a partir de datos experimentales. Finalmente, proporciona un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación de estos métodos.
El documento trata sobre las raíces de polinomios. Brevemente discute que el estudio de las raíces de polinomios se remonta a los babilonios y que Euclides y los árabes lograron resolver ecuaciones cuadráticas y de segundo grado. Más adelante, se investigaron las propiedades de los polinomios y se encontraron soluciones para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro, aunque las de quinto grado resultaron esquivas durante mucho tiempo.
El documento trata sobre las raíces de polinomios. Brevemente discute que el estudio de las raíces de polinomios se remonta a los babilonios y que Euclides y los árabes lograron resolver ecuaciones cuadráticas y de segundo grado. Luego, se investigaron más las propiedades de los polinomios y se encontraron soluciones para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro, aunque las de quinto grado resultaron esquivas durante mucho tiempo.
Este documento presenta la solución a una evaluación de álgebra lineal. Incluye cuatro proposiciones sobre transformaciones lineales y sus propiedades que deben ser calificadas como verdaderas o falsas con justificación. También describe una transformación lineal L entre matrices 2x2 y escalares reales, solicitando determinar su núcleo, imagen e identificar la matriz asociada respecto a las bases canónicas.
Este documento introduce los números reales de forma axiomática. Define las propiedades algebraicas como la adición, multiplicación, división y potencias que cumplen los números reales. También introduce las propiedades de orden, definiendo los números positivos y negativos. Finalmente, demuestra algunos teoremas como que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional y que la suma de raíces cuadradas es irracional.
1. El documento trata sobre métodos aditivos y combinatorios en teoría de números, en particular el método de criba. 2. El método de criba consiste en contar el número de términos de una sucesión que no son divisibles por ningún primo perteneciente a un conjunto determinado. 3. Se presentan ejemplos de aplicación del método de criba a problemas como contar primos gemelos menores que x.
Este documento introduce los conceptos básicos de los polinomios. Define formalmente un polinomio como una expresión formada por la suma de términos que consisten en un coeficiente multiplicado por una potencia de una indeterminada. Explica que los polinomios forman un anillo y que pueden evaluarse sustituyendo valores por la indeterminada. Finalmente, describe cómo se realizan las operaciones de suma y resta de polinomios agregando o restando los términos de igual potencia.
El documento describe los arcos planos, que son estructuras curvas con una sección transversal despreciable. Explica que tienen una curvatura pequeña con un radio mucho mayor que el canto. Presenta ejemplos de arcos planos como puentes y velódromos. Luego analiza la teoría básica de los arcos planos, incluidas las hipótesis, ecuaciones de equilibrio y energía elástica. Finalmente, estudia casos específicos como arcos triarticulados y biarticulados, analizando su comportamiento bajo cargas un
Resumen procesos de nacimiento y muerteRicardoAV1990
Este documento describe modelos estocásticos de procesos de nacimiento y muerte (PNM) donde las tasas de llegada y servicio siguen procesos de Poisson. Explica cómo calcular la probabilidad de tener n entidades en el sistema y medidas de eficiencia como el número promedio de entidades, tiempo de espera promedio usando fórmulas como Lq = (λ/μ)c/(c-1)!. También resume el modelo M/M/1 con fórmulas para Pn, Lq y Wq.
1. Teorema de Cayley-Hamilton
Objetivos. Demostrar el teorema de Cayley-Hamilton. Conocer el concepto de matrices
con entradas polinomiales.
Requisitos. Polinomio de un operador lineal, polinomio de una matriz, matriz adjunta,
definici´n formal del producto de polinomios.
o
El enunciado del teorema de Cayley-Hamilton
1. Ejemplo. Sea
3 −1
A= .
2 1
El polinomio caracter´
ıstico de A es
CA (λ) = λ2 − 4λ + 5.
Calculemos CA (A).
3 −1 3 −1 9 − 2 −3 − 1 7 −4
A2 = = = ,
2 1 2 1 6 + 2 −2 + 1 8 −1
7 −4 −12 4 5 0 0 0
CA (A) = A2 − 4A + 5I = + + = .
8 −1 −8 −4 0 5 0 0
El teorema de Cayley-Hamilton dice que para toda matriz A ∈ Mn (F),
CA (A) = 0n,n .
La demostraci´n del teorema no es trivial. Necesitamos unas herramientas avanzadas.
o
Polinomios con coeficientes matriciales
2. Polinomios con coeficientes matriciales. Sean P0 , . . . , Pm ∈ Mn (F). Entonces la
expresi´n
o
P (λ) := P0 + P1 λ + P2 λ2 + . . . + Pm λm
se llama polinomio con coeficientes matriciales. Si A ∈ Mn (F), entonces se pone
P der (A) = P0 + P1 A + P2 A2 + . . . + Pm Am ,
P izq (A) = P0 + AP1 + A2 P2 + . . . + Am Pm .
En vez de P der (A) escribimos simplemente P (A).
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a
2. 3. Ejemplo cuando (P Q)(A) = P (A)Q(A). Polinomios con coeficientes matriciales
no cumplen algunas de las propiedades de los polinomios con coeficientes num´ricos.
e
Mostremos un ejemplo de polinomios P , Q con coeficientes matriciales tales que
(P Q)(A) = P (A)Q(A).
Sean
1 0 0 1 0 0
P (λ) = λ, Q(λ) = , A= .
0 1 0 0 1 0
Entonces
0 1 1 0 0 0
(P Q)(λ) = λ, (P Q)(A) = , P (A)Q(A) = .
0 0 0 0 0 1
4. Lema para el teorema de Cayley-Hamilton: condici´n suficiente para la
o
igualdad (P Q)(A) = P (A)Q(A). Sean P y Q polinomios con coeficientes matriciales:
m s
i
P (λ) = Pi λ , Q(λ) = Qj λj ,
i=0 j=0
donde Pi , Qj ∈ Mn (F), y sea A ∈ Mn (F) una matriz que conmuta con todos los coefi-
cientes del polinomio Q:
Qj A = AQj ∀j ∈ {0, . . . , s}.
Entonces
(P Q)(A) = P (A)Q(A).
Demostraci´n. Recordamos la definici´n del producto de polinomios:
o o
m+s
(P Q)(λ) =
Pi Q j λ k .
k=0 i,j :
i+j=k
De all´
ı
m+s
(P Q)(A) =
Pi Q j A k .
k=0 i,j :
i+j=k
Por otro lado,
m s
i
P (A)Q(A) = Pi A Qj Aj = Pi Ai Qj Aj .
i=0 j=0 0≤i≤m
0≤j≤n
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a
3. Juntando los sumandos en grupos con i + j = k podemos escribir el resultado de la
siguiente manera:
m+s
P (A)Q(A) =
Pi Ai Qj Aj .
k=0 i,j :
i+j=k
Ahora usamos la condici´n que A conmuta con Qj :
o
Pi Ai Qj Aj = Pi Qj Ai+j .
De all´ obtenemos que
ı
m+s
P (A)Q(A) = Pi Qj Ak = (P Q)(A).
k=0 i,j :
i+j=k
5. Ejemplo que muestra la idea de la demostraci´n del teorema de Cayley-
o
Hamilton. Sea
3 −1 2
A= 1 4 −2 .
3 2 3
Definimos
P (λ) := adj(λI − A)Q(λ) := λI − A.
Escriba P (λ) y Q(λ) en forma expl´
ıcita como matrices con coeficientes polinomiales, luego
escriba P (λ) y Q(λ) como polinomios con coeficientes matriciales y calcule el producto
P (λ)Q(λ).
6. Teorema (Cayley-Hamilton). Sea A ∈ Mn (F). Entonces
CA (A) = 0,
donde CA (λ) = det(λI − A) es el polinomio caracter´
ıstico de A.
Demostraci´n. Sabemos que para toda matriz cuadrada B se tiene
o
adj(B)B = det(B)I,
donde adj(B) es la matriz adjunta cl´sica de B o sea la matriz de cofactores conjugada.
a
Apliquemos este resultado a la matriz λI − A:
adj(λI − A)(λI − A) = det(λI − A) · I = CA (λ)I.
Pongamos
P (λ) = adj(λI − A), Q(λ) = λI − A.
Estas expresiones son matrices con entradas polinomiales, las vamos a tratar como poli-
nomiales con coeficientes matriciales. Notemos que los coeficientes de Q son I y A, y estas
matrices conmutan con A. Por el lema,
CA (A) = P (A)Q(A) = P (A) · (IA − A) = 0n,n .
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a
4. 7. Corolario (teorema de Cayley-Hamilton para operadores lineales). Sea V un
EV/F, dim(V ) = n < +∞ y sea T ∈ L(V ). Entonces CT (T ) = 0.
8. Nota. Despu´s de estudiar la forma can´nica de Jordan de una matriz veremos otra
e o
demostraci´n del teorema de Cayley-Hamilton (para el caso F = C).
o
9. Corolario. Sean A ∈ Mn (F), f ∈ P(()F). Entonces existe un polinomio g ∈ P(()F)
tal que deg(g) < n y g(A) = f (A).
Demostraci´n. Dividamos f entre CA con residuo:
o
f (λ) = CA (λ)q(λ) + g(λ).
Aqu´ q, g ∈ P(()F) y deg(g) < n. Sustituyendo λ por A se obtiene que f (A) = g(A).
ı
10. Ejemplo. Calculemos f (A), donde f (x) = x3 − 6x2 + x − 3 y la matriz A es la misma
que en el ejemplo anterior:
3 −1
A= .
2 1
Dividamos f entre CA :
f (x) = (x3 − 4x2 + 5x − 1) = (x2 − 4x + 5)(x − 2) + (−12x + 7).
Pongamos g(x) = −12x + 7. Entonces
−29 12
f (A) = g(A) = −12A + 7I = .
−24 −5
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a