Breve definición y un ejemplo de integral del tipo cíclica.

1. Integral por parte del tipo cíclica
Prof. Antonio Leopardi
Matemática II
Periodo I-2020

2. Integral por parte cíclica:
En ocasiones, luego de haber aplicado dos veces la integral por partes en
un ejercicio, puede ocurrir que en el segundo miembro de nuestra integral
se pueda obtener nuevamente la integral que estamos desarrollando, para
ello se debe proceder igual que en una ecuación, despejando la integral.
Recordemos la formula de la integral por parte:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢

3. 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Ejemplo. Calcular la siguiente integral.

4. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

5. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

6. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑒 𝑥
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

7. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑒 𝑥
Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

8. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

9. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Sustituimos los valores en:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

10. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Sustituimos los valores en:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
cos(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

11. Ejemplo. Calcular la siguiente integral.
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑒 𝑥
cos(𝑥)𝑑𝑥=
Observemos que en el segundo miembro de la integral, obtuvimos una nueva integral por partes la
cual para simplificar los cálculos la llamaremos I, calculemos su valor y luego sustituyámoslo en la
expresión denotada por el *
𝐼 = 𝑒 𝑥
cos(𝑥)𝑑𝑥
I
*𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

12. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
Cálculo de la integral I

13. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
Cálculo de la integral I

14. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑒 𝑥
Cálculo de la integral I

15. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
Determinamos el valor de 𝑢 y 𝑑𝑣
I L A T E
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑒 𝑥
Sea 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(x)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Cálculo de la integral I

16. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(x)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Cálculo de la integral I

17. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(x)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Sustituimos los valores en:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
Cálculo de la integral I

18. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
valores encontrados
Sea 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(x)
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 x 𝑑𝑥
Sea 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥
𝑣 = 𝑒 𝑥
+c
Sustituimos los valores en:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
− −𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=
Cálculo de la integral I

19. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
− −𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=
Cálculo de la integral I
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥I =

20. 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
− −𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥I =
Sustituyamos el valor calculado de I en * :
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥=
I
*
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Sustitución del resultado de la integral I en *

21. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥
Sustitución del resultado de la integral I en *
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
− −𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥I =
Sustituyamos el valor calculado de I en * :
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥=
I
*
𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

22. Simplificamos la expresión
aplicando propiedad distributiva
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Sustitución del resultado de la integral I en *

23. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

24. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Observa que se repite en ambos miembros de la igualdad la expresión 𝑒x
sen(𝑥)𝑑𝑥 por lo cual
se realizará un despeje.

25. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

26. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Se reducen los términos
semejantes

27. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=2 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

28. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=2 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Despejamos el número 2 que esta multiplicando a 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 , el cual pasa a
dividir a todos los términos del otro miembro.

29. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=2 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + c=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
Se simplifica el resultado extrayendo factor común.

30. Continuación del cálculo de la integral
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐=2 𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒 𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑥 + c=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥
1
2
𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐=𝑒x sen(𝑥)𝑑𝑥

31. Realiza los siguientes ejercicios propuestos, y sus resultados los podrás
obtener a través del aula virtual, en el próximo día de clase.
1. 𝑒2x cos(𝑥)𝑑𝑥
Calcular las siguiente integrales.
2. cos 𝑥 ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥 )𝑑𝑥
Observación: Debes determinar tu el método de integración a utilizar.