El documento describe los polinomios de Hermite, que interpolan una función dada en n+1 puntos coincidiendo también con la derivada primera en esos puntos. Se explica que los polinomios de Hermite se pueden expresar en términos de los polinomios de Lagrange y sus derivadas. También se muestra cómo calcular los coeficientes de los polinomios de Hermite usando diferencias finitas.
Este documento describe los métodos de Runge-Kutta para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que estos métodos aproximan la solución mediante el cálculo de pendientes en puntos intermedios dentro de cada paso, lo que los hace más precisos que el método de Euler. Luego describe variaciones específicas de Runge-Kutta de segundo, tercer y cuarto orden, incluidos sus parámetros y ejemplos numéricos. Finalmente, compara la precisión de estos métodos para diferentes tamaños de paso.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
El documento presenta la resolución de un problema que involucra hallar la serie de Maclaurin de la función f(x)=xex e integrar término a término entre 0 y 1. Se obtiene la serie de Maclaurin como una suma de potencias de x. Al integrar término a término se llega a la expresión 2/(1-n2)!.
Este documento describe los métodos de Runge-Kutta para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica que estos métodos aproximan la solución mediante el cálculo de pendientes en puntos intermedios dentro de cada paso, lo que los hace más precisos que el método de Euler. Luego describe variaciones específicas de Runge-Kutta de segundo, tercer y cuarto orden, incluidos sus parámetros y ejemplos numéricos. Finalmente, compara la precisión de estos métodos para diferentes tamaños de paso.
(1) El documento describe conceptos básicos de conjuntos de puntos en el plano complejo, incluyendo conjuntos abiertos, cerrados, interiores y fronteras. (2) También introduce funciones complejas y lugares geométricos descritos por ecuaciones complejas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. (3) Finalmente, discute conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot formado por valores de c que producen conjuntos de Julia conexos.
Este documento presenta nueve problemas resueltos sobre cálculo de integrales múltiples y de línea. En el primer problema se calcula la integral de una función definida en un rectángulo sobre la región donde no es nula. En el segundo problema se calcula el volumen de un sólido limitado por una superficie y dos planos. En el tercer problema se calcula una integral doble sobre una región delimitada por hipérbolas y líneas rectas.
Este documento presenta varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, el método de bisección, el método de la falsa posición y el método de punto fijo. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y discute criterios para estimar errores y parar los cálculos.
(1) La ecuación de Cauchy-Euler permite escribir ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables como ecuaciones con coeficientes constantes mediante un cambio de variable. (2) El método general para resolverla implica probar soluciones de la forma xm y determinar los valores de m. (3) Esto conduce a una ecuación auxiliar cuya resolución proporciona los posibles valores de m y las soluciones asociadas.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento explica las integrales triples, que se usan para calcular volúmenes, masas y otros valores físicos. Define la integral triple y explica cómo calcularla mediante integrales iteradas o para encontrar el volumen de un sólido. Luego, presenta ejemplos resueltos de cálculo de volúmenes usando integrales triples.
El documento presenta la resolución de un problema que involucra hallar la serie de Maclaurin de la función f(x)=xex e integrar término a término entre 0 y 1. Se obtiene la serie de Maclaurin como una suma de potencias de x. Al integrar término a término se llega a la expresión 2/(1-n2)!.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos mediante una parametrización y el cálculo de una integral de superficie.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva dada y se describe la parametrización.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
El documento presenta varios ejercicios de física relacionados con el trabajo y la energía cinética. El primer ejercicio involucra calcular el trabajo realizado por una fuerza horizontal variable sobre un bloque que se desplaza. Otro ejercicio calcula la velocidad adquirida por una piedra sometida a una fuerza variable. Un tercer ejercicio calcula el trabajo realizado por una fuerza sobre un trineo que se mueve sobre un estanque. Finalmente, un ejercicio determina cuánto se comprime un resorte luego de que un c
La distribución binomial negativa describe el número de fracasos necesarios para obtener un número determinado de éxitos. Tiene como características que la probabilidad de no ocurrencia es cero, depende del número de éxitos considerados, y concluye cuando se obtengan dichos éxitos. Existen tres formas típicas de trabajar con ella: valores fijos, función de distribución acumulada fija, y función de distribución acumulada que tiende al infinito. Se provee un ejemplo para ilustrar su aplicación.
Derivada direccional y su vector gradienteNahiely Padron
El documento explica el concepto de derivada direccional y vector gradiente. El vector gradiente en un punto indica la dirección de máxima variación de una función escalar y su módulo representa la tasa de cambio. La derivada direccional es el límite de la variación de la función dividida por la longitud del vector de dirección. Se puede calcular como el producto escalar entre el gradiente y el vector unitario de dirección.
Este documento presenta información sobre los máximos y mínimos de funciones de varias variables. Define los conceptos de máximo y mínimo absoluto y relativo. Explica que los puntos donde una función puede tener extremos son aquellos donde sus derivadas parciales son cero, llamados puntos críticos. Además, introduce conceptos como la matriz hessiana y el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento presenta cuatro problemas de cálculo diferencial y integral. El primer problema pide graficar una función y determinar su dominio y rango. El segundo problema involucra resolver una ecuación diferencial. El tercer problema demuestra identidades de derivadas parciales. El cuarto problema calcula el error máximo posible al calcular el área de un triángulo usando diferencial total.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de factorización de un trinomio cuadrado perfecto tanto de forma manual como utilizando MatLab. En la resolución manual se muestra paso a paso la factorización del trinomio, mientras que en MatLab se utilizan comandos como 'syms' para introducir variables, 'factor' y 'simplify' para factorizar y 'expand' para descomponer el resultado, obteniendo la misma solución de (5x-y)2.
Gráfica derivada e Integral de una función discreta y continua en matlabFabián Garzón
Este documento describe cómo graficar la derivación e integración de señales continuas y discretas en MATLAB. Para señales continuas, explica cómo derivar e integrar funciones definidas por tramos y representar las derivadas de las funciones escalón y delta de Dirac. Para señales discretas, describe cómo la derivación se convierte en diferencia y la integración en sumatorio, y cómo calcular estas operaciones numéricamente en MATLAB. El documento incluye código MATLAB con ejemplos para ilustrar gráficamente cada paso.
Este documento introduce el concepto de error en la interpolación y proporciona una fórmula para estimar dicho error. Explica cómo se puede aproximar una función desconocida f(x) mediante un polinomio de interpolación pn(x) y define el error como la diferencia f(x) - pn(x). Luego deriva una expresión que estima el error En(x) en términos de la derivada (n+1)-ésima de f evaluada en un punto z del intervalo.
Este documento presenta diferentes métodos para la integración numérica, incluyendo las reglas de Simpson 1/3, Simpson 3/8 y una combinación de ambas. Explica cómo dividir el intervalo de integración en segmentos iguales y aplicar estas reglas para aproximar el valor de la integral. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo usar estas reglas para calcular el valor de integrales definidas.
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingenieriaLuis Arita
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería. Explica conceptos clave como derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como las etapas para resolver problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: formulación matemática del problema, solución de las ecuaciones y interpretación de la solución. También describe aplicaciones comunes de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior en mecánica, circuitos eléctricos, flujo de calor y
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de mecánica como trabajo, energía, potencia y conservación de energía. Explica estas ideas a través de definiciones, fórmulas y ejemplos numéricos. El autor es Juan José Reyes Salgado y el tema general es el trabajo y la energía de una partícula.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento describe el problema general de interpolación polinómica de Hermite, donde se busca un polinomio que interpola los valores de una función y sus derivadas en diferentes puntos. Se presenta la fórmula general para el polinomio interpolador de Hermite y un ejemplo de cálculo del polinomio para una función dada en tres puntos con sus derivadas primeras.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos mediante una parametrización y el cálculo de una integral de superficie.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva dada y se describe la parametrización.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
(1) El documento describe las funciones complejas de variable real, sus derivadas e integrales. Las reglas del cálculo son análogas a las funciones reales.
(2) También define curvas y contornos en el plano complejo y establece la integral de contorno como la integral de una función a lo largo de una curva.
(3) Explica que las integrales de contorno son independientes del camino cuando la función tiene una primitiva en el dominio, es decir, cuando la integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es cero.
El documento presenta varios ejercicios de física relacionados con el trabajo y la energía cinética. El primer ejercicio involucra calcular el trabajo realizado por una fuerza horizontal variable sobre un bloque que se desplaza. Otro ejercicio calcula la velocidad adquirida por una piedra sometida a una fuerza variable. Un tercer ejercicio calcula el trabajo realizado por una fuerza sobre un trineo que se mueve sobre un estanque. Finalmente, un ejercicio determina cuánto se comprime un resorte luego de que un c
La distribución binomial negativa describe el número de fracasos necesarios para obtener un número determinado de éxitos. Tiene como características que la probabilidad de no ocurrencia es cero, depende del número de éxitos considerados, y concluye cuando se obtengan dichos éxitos. Existen tres formas típicas de trabajar con ella: valores fijos, función de distribución acumulada fija, y función de distribución acumulada que tiende al infinito. Se provee un ejemplo para ilustrar su aplicación.
Derivada direccional y su vector gradienteNahiely Padron
El documento explica el concepto de derivada direccional y vector gradiente. El vector gradiente en un punto indica la dirección de máxima variación de una función escalar y su módulo representa la tasa de cambio. La derivada direccional es el límite de la variación de la función dividida por la longitud del vector de dirección. Se puede calcular como el producto escalar entre el gradiente y el vector unitario de dirección.
Este documento presenta información sobre los máximos y mínimos de funciones de varias variables. Define los conceptos de máximo y mínimo absoluto y relativo. Explica que los puntos donde una función puede tener extremos son aquellos donde sus derivadas parciales son cero, llamados puntos críticos. Además, introduce conceptos como la matriz hessiana y el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos.
Este documento presenta 5 ejercicios de cálculo de integrales dobles. En cada ejercicio se grafica la región de integración y se determinan los intervalos de integración para las variables. Luego se resuelve la integral interna y se reduce la integral doble a una integral simple que puede evaluarse numéricamente. También incluye recomendaciones para resolver integrales dobles.
Los métodos multipaso utilizan la información de varios puntos previos para calcular el siguiente punto, aproximando la función mediante un polinomio interpolante. Los métodos de Adams son métodos multipaso que usan polinomios de interpolación de diferentes grados. Los métodos predictor-corrector combinan un método explícito como predictor con uno implícito como corrector para mejorar la aproximación.
Este documento presenta cuatro problemas de cálculo diferencial y integral. El primer problema pide graficar una función y determinar su dominio y rango. El segundo problema involucra resolver una ecuación diferencial. El tercer problema demuestra identidades de derivadas parciales. El cuarto problema calcula el error máximo posible al calcular el área de un triángulo usando diferencial total.
Este documento presenta la resolución de un ejercicio de factorización de un trinomio cuadrado perfecto tanto de forma manual como utilizando MatLab. En la resolución manual se muestra paso a paso la factorización del trinomio, mientras que en MatLab se utilizan comandos como 'syms' para introducir variables, 'factor' y 'simplify' para factorizar y 'expand' para descomponer el resultado, obteniendo la misma solución de (5x-y)2.
Gráfica derivada e Integral de una función discreta y continua en matlabFabián Garzón
Este documento describe cómo graficar la derivación e integración de señales continuas y discretas en MATLAB. Para señales continuas, explica cómo derivar e integrar funciones definidas por tramos y representar las derivadas de las funciones escalón y delta de Dirac. Para señales discretas, describe cómo la derivación se convierte en diferencia y la integración en sumatorio, y cómo calcular estas operaciones numéricamente en MATLAB. El documento incluye código MATLAB con ejemplos para ilustrar gráficamente cada paso.
Este documento introduce el concepto de error en la interpolación y proporciona una fórmula para estimar dicho error. Explica cómo se puede aproximar una función desconocida f(x) mediante un polinomio de interpolación pn(x) y define el error como la diferencia f(x) - pn(x). Luego deriva una expresión que estima el error En(x) en términos de la derivada (n+1)-ésima de f evaluada en un punto z del intervalo.
Este documento presenta diferentes métodos para la integración numérica, incluyendo las reglas de Simpson 1/3, Simpson 3/8 y una combinación de ambas. Explica cómo dividir el intervalo de integración en segmentos iguales y aplicar estas reglas para aproximar el valor de la integral. También incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo usar estas reglas para calcular el valor de integrales definidas.
Este documento presenta una introducción a las coordenadas polares, incluyendo su definición, cómo graficar puntos, la relación entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo convertir entre los dos sistemas de coordenadas. También explica cómo expresar ecuaciones dadas en coordenadas rectangulares en forma polar, y viceversa. El documento contiene ejemplos y ejercicios para practicar estas conversiones.
Las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la ingenieriaLuis Arita
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería. Explica conceptos clave como derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, así como las etapas para resolver problemas científicos usando ecuaciones diferenciales: formulación matemática del problema, solución de las ecuaciones y interpretación de la solución. También describe aplicaciones comunes de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior en mecánica, circuitos eléctricos, flujo de calor y
Este documento trata sobre conceptos fundamentales de mecánica como trabajo, energía, potencia y conservación de energía. Explica estas ideas a través de definiciones, fórmulas y ejemplos numéricos. El autor es Juan José Reyes Salgado y el tema general es el trabajo y la energía de una partícula.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
1. Se define el plano tangente a una superficie en un punto como el plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por ese punto. La recta normal es perpendicular al plano tangente.
2. Para calcular el plano tangente y la recta normal, se utilizan las ecuaciones de las derivadas parciales evaluadas en el punto.
3. Los máximos, mínimos y puntos silla de una función de varias variables se determinan igualando sus derivadas parciales a cero y analizando el signo de
El documento describe el problema general de interpolación polinómica de Hermite, donde se busca un polinomio que interpola los valores de una función y sus derivadas en diferentes puntos. Se presenta la fórmula general para el polinomio interpolador de Hermite y un ejemplo de cálculo del polinomio para una función dada en tres puntos con sus derivadas primeras.
Este documento describe el método de diferencias divididas para encontrar un polinomio que interpola un conjunto de puntos de datos. Explica que el polinomio resultante es una función de los puntos de datos, y que el procedimiento implica calcular los coeficientes del polinomio y sustituirlos en la fórmula general dada. También incluye un ejemplo para ilustrar los pasos.
Este documento describe métodos para encontrar las raíces de un polinomio como el método de Horner y Newton-Raphson. Explica que todo polinomio tiene al menos una raíz compleja de acuerdo al teorema fundamental del álgebra. Además, presenta un ejemplo para aplicar el método de Horner para encontrar las raíces de un polinomio de grado cuatro.
El documento explica los conceptos fundamentales de la digitalización de señales analógicas. La digitalización implica dos pasos: muestreo y cuantización. El muestreo convierte el eje temporal de la señal de continuo a discreto tomando muestras a intervalos regulares, mientras que la cuantización convierte el eje de amplitud de continuo a discreto asignando valores digitales discretos a los niveles de amplitud. El teorema de muestreo establece que la frecuencia de muestreo debe ser al menos el doble de la f
1. El documento explica el método de Horner para dividir polinomios. Este método involucra ordenar los polinomios dividendo y divisor de forma descendente y luego llenar un diagrama dividiendo los coeficientes.
2. Se proveen ejemplos resueltos de divisiones de polinomios usando el método de Horner.
3. El documento concluye con una serie de ejercicios de división de polinomios para que los estudiantes apliquen el método.
El documento explica el método de Horner para dividir polinomios. Este método involucra colocar los coeficientes del dividendo y divisor en un esquema especial y realizar operaciones paso a paso para obtener el cociente y el resto. El método garantiza que siempre se cumplan las propiedades algebraicas de que el grado del dividendo debe ser mayor o igual al grado del divisor, y el grado del resto debe ser menor que el grado del divisor.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de tribología y los diferentes elementos de máquinas. Explica los cuatro regímenes de lubricación (hidrodinámica, elastohidrodinámica, marginal y parcial), describiendo las características clave de cada uno. También cubre conceptos como la viscosidad del lubricante, los parámetros de superficie y película, y los valores típicos de rugosidad de superficie para diferentes procesos de fabricación.
Análisis de armadura por método de nodos y método matricialFranz Malqui
Este documento presenta el análisis de una armadura mediante el método de nudos y el método matricial. Se explican los conceptos teóricos de armadura, método de nudos, tipos de apoyos y armaduras estáticamente determinadas. Luego, se realiza el análisis de una armadura de ejemplo usando ambos métodos y se comprueban los resultados. Finalmente, se concluye que ambos métodos proporcionan soluciones consistentes para este tipo de problemas estructurales.
El documento presenta 3 ejercicios de análisis de vigas de concreto armado. En el primer ejercicio, se determina que la sección es subreforzada y la resistencia a flexión es de 17.4 toneladas-metro. En el segundo ejercicio, se calcula que la sección es sobrerreforzada y la resistencia a flexión es de 11.34 toneladas-metro. El tercer ejercicio presenta una viga rectangular con dimensiones dadas y refuerzo con 6 barras.
Este documento presenta el cálculo estructural de una viga de 6 metros de longitud. Incluye el predimensionado de la altura y base de la viga, el análisis de cargas como el peso de la losa, contrapiso y acabados. También realiza el cálculo de momentos y diagrama de cuerpo libre para determinar las reacciones en los apoyos.
Este documento trata sobre los fundamentos del diseño estructural en concreto armado. Se explica el proceso de diseño por estado límite y los factores de carga y reducción de capacidad considerados. También se describen las propiedades del concreto como material, incluyendo su comportamiento a compresión uniaxial y biaxial, y su resistencia a tensión. Finalmente, se mencionan factores que afectan la resistencia del concreto como la edad, relación agua-cemento, velocidad de carga y deformación.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Se describen los tipos de ecuaciones diferenciales como ordinarias, en derivadas parciales, lineales, no lineales y exactas. También se explican conceptos como el orden, grado y linealidad de una ecuación diferencial. Finalmente, se proporcionan ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Las ecuaciones diferenciales lineales son aquellas donde la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado y cada coeficiente depende solo de la variable independiente. Se clasifican como homogéneas si el término r(x) es igual a cero, y no homogéneas si r(x) es distinto de cero. Los métodos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas son el método del factor integrante y el método de variación de parámetros. El método del factor integrante implica encontrar un factor que convierta la ecuación
Relaciones Generales-Relaciones de Recurrencia (Actividad 12. grupo 13)MorelvynGuerreroNova
Las ecuaciones de recurrencia: es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de esta secuencia se encuentra definido como una función de términos anteriores.
Cuando se habla de un problema combinatorio de enumeración también se tiene que hacer referencia a uno o más números naturales que pueden presentar la dimensión del problema.
Las relaciones de recurrencia pueden considerarse como técnicas avanzadas de conteo. Resuelven problemas cuya solución no puede obtenerse usando variaciones, permutaciones, combinaciones o con las técnicas derivadas del principio de inclusión-exclusión.
Hay tres métodos para resolver relaciones recurrentes: iteración, transformada Z y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes. El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia está definido como una función lineal de sus términos anteriores. El orden de una relación de recurrencia lineal es el número de términos anteriores exigidos por la definición.
El documento resume los conceptos fundamentales de las funciones y relaciones matemáticas. Explica qué son las relaciones de equivalencia, inversas y funcionales, y cómo se pueden representar funciones de manera verbal, algebraica, gráfica y algorítmica. También define los conceptos clave de dominio, codominio e imagen de una función.
Las ecuaciones diferenciales involucran derivadas de funciones desconocidas y pueden ser ordinarias o parciales. El orden se refiere a la derivada de mayor orden presente, y una ecuación es de primer o segundo grado si la función incógnita es un polinomio de ese grado en las derivadas. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y grado, y tienen soluciones generales, particulares o singulares.
Las ecuaciones diferenciales involucran derivadas de funciones desconocidas y pueden ser ordinarias o parciales. El orden se refiere a la derivada de mayor orden presente, y una ecuación es de primer o segundo grado si la función o sus derivadas están elevadas a la primera o segunda potencia. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y grado, y tienen soluciones generales, particulares o singulares.
2da evaluacion de matematica, presentacionfabiana733179
El documento define y explica diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones constantes, lineales, cuadráticas, radicales, racionales y de valor absoluto. Describe las características clave de cada tipo de función, como su forma general, dominio, rango y comportamiento gráfico.
El documento habla sobre las funciones implícitas y explícitas. Explica que las funciones implícitas están definidas por una ecuación en lugar de una expresión explícita. Luego, describe el método de derivación de funciones implícitas usando derivadas parciales y la regla de la cadena. Finalmente, analiza casos de funciones continuas pero no derivables en ciertos puntos.
Este documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales, incluyendo qué son, su orden y grado, tipos como lineales y no lineales, métodos de resolución, y aplicaciones geométricas como campos de direcciones y trayectorias ortogonales. Explica conceptos clave como soluciones explícitas e implícitas y proporciona ejemplos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Este documento describe los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, tipos, soluciones y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial contiene derivadas de una función, y puede ser ordinaria o parcial. Además, cubre temas como ecuaciones de primer orden, lineales, homogéneas, y de orden superior.
Materia de investigación de Gran Vill Rafael potes
Este documento presenta un resumen de varios capítulos sobre cálculo diferencial. Introduce conceptos como variables, funciones, límites, derivadas, reglas para derivar funciones algebraicas y funciones implícitas. Explica temas como derivar constantes, variables, sumas, productos y potencias de funciones, así como interpretar geométricamente las derivadas.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Introduce conceptos como operadores lineales y diferenciales que permiten simplificar el estudio de estas ecuaciones. Explica que en el caso de coeficientes constantes, las ecuaciones pueden resolverse algebraicamente mediante el polinomio característico. Finalmente, enuncia el teorema de existencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial cuando los coeficientes son continuos.
Este documento presenta un resumen de los primeros cuatro capítulos de un libro de cálculo. El capítulo 1 introduce conceptos básicos como variables, funciones, límites y continuidad. El capítulo 2 explica la derivación y cómo medir el cambio en una función. El capítulo 3 presenta reglas para derivar funciones algebraicas como sumas, productos y constantes. El capítulo 4 continúa explicando reglas para derivar funciones más complejas.
Este documento presenta una unidad sobre matemáticas para profesores y estudiantes de licenciatura en ciencias naturales. La unidad cubre varios temas matemáticos incluyendo fracciones algebraicas, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades, funciones logarítmicas, el binomio de Newton, pares ordenados y el producto cartesiano, relaciones y funciones, funciones algebraicas e inversas, y funciones trascendentes. El documento es parte de un curso en la Universidad Pedagógica de El Salvador.
Este documento explica conceptos básicos sobre las derivadas. Define las derivadas como un cálculo diferencial que estudia los cambios en las funciones y se refiere al valor de la pendiente de una función en un punto. Explica que las derivadas se usan para calcular aceleraciones, velocidades y optimizar funciones. Luego, describe métodos para calcular derivadas y diferentes tipos de derivadas como derivadas de funciones, productos y cocientes. Finalmente, incluye ejemplos y reglas sobre derivadas.
El documento define los polinomios como expresiones algebraicas compuestas por variables y coeficientes que se pueden combinar usando las operaciones de suma, resta y multiplicación. Explica que los polinomios tienen grado, dependiendo del mayor exponente de sus variables, y que se pueden realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y factorización con ellos. También introduce conceptos como raíces de polinomios y logaritmos.
Este documento describe dos métodos para resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes indeterminados: 1) El método de superposición, el cual propone una solución particular con coeficientes desconocidos y los determina igualando la ecuación. 2) El método del anulador, el cual opera ambos lados con un operador que anula la función para encontrar una solución de orden superior.
Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones racionales, trigonométricas, valor absoluto, exponenciales y logarítmicas. Define cada tipo de función, cómo identificarlas, graficarlas y calcular su dominio y rango. Incluye ejemplos para ilustrar cada tipo de función.
1. Polinomios de Hermite
Los polinomios osculadores son una generalización de los polinomios de Taylor y de
Lagrange. Estos interpolan la función dada, coincidiendo con ella en n+1 puntos y en sus m
derivadas.
Un caso particular son los polinomios de Hermite, que interpola la función dada, y
coincide con ella en n+1, y en n puntos de la derivada primera. El polinomio de Hermite
está dado por
H2n+1(x) = Sumj=0
n f(xj)Hn,j(x) + Sumj=0
n f'(xj)HHn,j(x)
donde
Hn,j(x) = [1 - 2(x-xj)L'n,j(xj)]L2
n,j(x)
y
HHn,j(x) = (x-xj)L2
n,j(x)
y los Ln,j son los polinomios de Lagrange.
Ejercicios:
Dibujar esquemáticamente los polinomios de Hermite (los H y los HH)
Si bien la descripción anterior es completa, el hecho de tener que evaluar los polinomios de
Lagrange y sus derivadas, lo hace un poco tedioso.
Una forma simple de encontrar los coeficientes es utilizando diferencias finitas, pero
definiendo nuevos puntos zi en la forma:
z1 = z2 = x1
z3 = z4 = x2
y en general:
z2i = z2i-1 = xi
Se hace el cálculo de diferencias finitas explicado anteriormente, pero como f[z2i,z2i-
1]=f[xi,xi] y este no está definido, entonces se usa la expresión del límite
f[z2i,z2i-1]=f'(xi)
2. 12.1 Definición
Definimos los polinomios de Hermite por:
dn
Hn(t) = (-l)V2 — e-t2 . (12.1)
(Hn(t)}neN* son polinomios de grado n. Se tiene que:
Hn(-t) = (-1)nHn(t) , (12.2)
es decir, Hn es par si n es par, e impar si n es impar.
Los primeros polinomios de Hermite son:
Ho(t) = 1 Hi(t) =
2t H2(t) = 4t2 - 2
H3(t) = 8t3 - 12t
Há(t) = 16t4 - 48t2
+ 12
12.2 Funcion generatriz
Consideremos la función
Su desarrollo en serie de Taylor sera:
Como:
Se dice que e2tx-x2 es la función generatriz de los polinomios de Hermite, vale decir, es aquella
función de dos variables tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene como coeficientes
precisamente los polinomios de Hermite.
A partir de (12.4) se pueden encontrar relaciones entre los polinomios de Hermite. La estrategia
para hallarlas (para esta o cualquier otra funcion generatriz de otros polinomios) es típica: derivar
parcialmente respecto a alguna de las variables y luego comparar potencias de x en los desarrollos en
Taylor resultantes.
3. Observemos que, si bien solo tiene sentido considerar polinomios de Hermite con índice positivo,
la expresion puede ser extendida a n = 0, aunque ello haga aparecer un factor H-1. En general, las
relaciones de recurrencia que obtendremos pueden considerarse validas para cualquier índice
entero, adoptando la convencion de que los polinomios con subíndices negativos tienen algun
valor adecuado, por ejemplo, cero.
La relación expresa un polinomio de Hermite en terminos de un operador (en este caso la
derivada) aplicado sobre el polinomio de Hermite inmediatamente superior. Un operador que
tiene tal propiedad se denomina operador de bajada. En este caso, el operador de bajada de los
polinomios de Hermite es (2n)-1dt.
2) Derivando respecto a x:
4. Comparando potencias de x:
H1(t) = 2tH0(t) ,
Hn+1 (t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 1 .
O bien
Hn+1(t) = 2tHn(t) - 2nHn-1(t) , n > 0 .
2) Podemos utilizar las dos relaciones de recurrencia (12.5) y (12.6) para obtener una tercera:
Hn+1(t) = 2tHn(t) - Hn(t) .
Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite, a saber, 2t-dt.
Derivando (12.7):
H+1 = 2Hn + 2ÍH; - H
Es decir, los polinomios Hn son una solución de la ecuación de Hermite:
y"(t) - 2ty/(t) + 2ny(t) = 0 .
Observacion
Una gran cantidad de problemas físicos estón descritos por ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano (la ecuacion de Laplace, la ecuacion de onda, la ecuacion de
Schrodinger, etc.). Matematicamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un un operador
diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Solo diremos que los
polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville.
Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta funcion de peso. En el caso
de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recu¬rrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y tópicamente poseen una
función generatriz, asó como operadores de subida y de bajada. En los capótulos siguientes
encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no sera extraño encontrar las mismas caracterósticas
que hemos identificado en los polinomios de Hermite.
5. Podemos ver que la función presenta el
mismo comportamiento ya que:
Por tanto el comportamiento asintótico de la función p en viene dado por la función
anterior (la función e» /2 se comporta también igual que la función p en y ^ ±cxi sin embargo conduce
a soluciones que no son normalizables). Por tanto, podemos escribir la solución de la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo de la siguiente forma:
donde el producto tiene que converger a cero en Vamos a ver la ecuación diferencial
que debe verificar la función u(y). Introduciendo la función p(y) anterior en la ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo, teniendo en cuenta que:
Se obtiene:
Para resolver esta ecuación diferencial vamos a desarrollar la función v en potencias de y.
Introducimos este desarrollo en serie en la ecuación, teniendo en cuenta que
O bien
6. Para que esta función de y sea nula todos los coeficientes del desarrollo deben ser nulos, por lo
que obtenemos la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes an:
Mediante esta relación de recurrencia obtenemos la solución de la ecuación. Como la ecuación
diferencial es de segundo orden en la solución deben aparecer dos constantes de integración, de
modo que podemos tomar como constantes de integración los coeficientes a0 y a1 - A partir de
estos dos coeficientes, mediante la relación de recurrencia, podemos obtener el resto de los
coeficientes del desarrollo de la función u(y). Vamos a analizar ahora el comportamiento de la
función u(y) para valores grandes de y. Dentro del desarrollo de u(y) en serie de potencias de y, los
coeficientes más significativos para valores grandes de y serán los de n grande, de modo que
vamos a analizar cómo se comportan los coeficientes an para valores grandes de n. De acuerdo con
la relación de recurrencia se obtiene que:
Por otro lado vamos a desarrollar la función ey2 en potencias de y:
de modo que los coeficientes del desarrollo de la función ey2 se comportan de la siguiente forma para
valores grandes de n:
En consecuencia, la función u(y) se comporta como la función ey2 para valores grandes de y, por
tanto al multiplicar u(y) por e_y/2 se obtiene una función que diverge para . La única
posibilidad de que el producto u(y)e_y/2 sea convergente para y ^ ±c» consiste en que el desarrollo en
serie de la función «(y) no contenga los infinitos términos, sino que se corte para algún valor de n, de
modo que a partir de ese valor el resto de los coeficientes sean nulos y «(y) sea un polinomio. Para
que esto ocurra se debe verificar que
Para algún valor de n. Esta ecuación nos da los posibles valores de A, de modo que A = 2n + 1 donde
n es un número entero. Los auto valores del hamiltoniano son por tanto de la forma:
7. y forman un espectro discreto no degenerado. Nos queda un pequeño detalle y es que tenemos dos
series de coeficientes números: unos que parten del valor a0 y otros que parten del valor al
(potencias pares e impares del desarrollo). Si una de las dos serie se cortan la otra no tiene por que
cortarse, de modo que tenemos que exigir que el coeficiente a0 l de la serie que no se corta sea nulo.
De este modo sólo nos queda una constante arbitraria que nos permite normalizar las autofunciones
del hamiltoniano. Vamos a ver cómo se generan las autofunciones del Hamiltoniano.
El primer autovalor se obtiene para n = 0 y por tanto A = 1. En la relación de recurrencia vemos
que la serie de potencias pares se corta en el segundo término, es decir que sólo aparece un témino
par, a0. En este caso tenemos que exigir que ai sea nulo. El estado fundamental es por tanto de la
forma:
donde C0 es una constante de normalización. Podemos ver que la energía del estado fundamental se
corresponde con la estimación que hicimos previamente a partir del principio de indeterminación.
El primer estado escitado corresponde a n = 1 y por tanto . En este caso es la serie de
potencias impares la que se corta, por lo que hay que imponer que a0 sea nulo. El primer estado
excitado es por tanto de la forma:
donde de nuevo Ci es una constante de normalización (posteriormente veremos por qué introducimos
las constantes C0, C 1 , - - - en lugar de utilizar las a0, a 1 , … . )
El segundo estado escitado se obtiene para n = 2 y por tanto 5. Ahora es la serie de
coeficientes pares la que se corta de modo que ai = 0. Si partimos de a0 el siguiente coeficiente será
a2 = —2a0, de modo que podemos escribir el segundo estado excitado como:
donde las funciones #n(y) son polinomios de grado n que se denominan los polinomios de Hermite. Se
puede comprobar que las autofunciones del Hamiltoniano forman una base del espacio de funciones
de onda. En el siguiente apartado veremos la forma explícita de los polinomios de Hermite y
algunas de sus propiedades. En la siguiente figura podemos ver las primeras autofunciones del
Hamiltoniano, así como la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula.