Este documento explica el método de coeficientes constantes para resolver ecuaciones diferenciales. Presenta dos ejemplos de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden utilizando este método. Explica los pasos que incluyen determinar la ecuación auxiliar, resolverla para obtener los valores de lambda, y usar la forma general de la solución dependiendo de si los valores de lambda son reales o complejos.

1. Ecuaciones Diferenciales
Método: Coeficientes Constantes
Por: Jorge A. Frías Hernández.
Prof. Martínez Padilla Cesar Octavio.

2. Coeficientes Constantes
DEBES DE SABER
FORMA GENERAL
a n ( x) y n + a n −1 ( x) y n −1 + ... + a 2 ( x) y '' + a1 ( x) y ' + a 0 ( x) y = Q( x)
El ORDEN de una ecuación diferencial es el de la derivada superior que
aparece en ella.
Una ecuación diferencial es LINEAL cuando no existen términos de grado superior
al primero en lo que respecta a la variable dependiente y a sus derivadas.
Se dice que la ecuación es HOMOGÉNEA si Q(x)=0.

3. Coeficientes constantes
• Lo primero que debemos saber es lo
siguiente.
• Caso 1: si x1 es diferente a x2 y son reales entonces yG =C1e + C2 e
x1 x2
• Caso 2: si x1 es igual a x2 y son reales entonces yG = C1e x1 + C2 xe x 2
• Caso 3: si x1 es diferente a x2 y son complejos entonces yG = e α x (C1 cos β x + C 2 senβ x)

4. Coeficientes Constantes
Resolución de un problema de Coeficientes Constantes en una
ecuación de segundo orden
5 '
Sea y − y +y=0
''
Homogénea
2
Segundo Orden
Paso 1: Ecuación Auxiliar
5 Sustituimos las (y) por lambda y su orden lo
λ2 − λ + 1 = 0 Convertimos en potencia
2

5. Coeficientes Constantes
Paso 2: Determinar el método que utilizaremos para resolverlo.
• Formula General (Cuadrática) x = − b − b − 4ac
+ 2
• Factorización 2a
• Completado Cuadrados
En este caso utilizaremos la cuadrática.
Paso 3: Resolver la cuadrática.
4
=2
2
− 5 +− 52
− 4(1)(1) − 5 +− 25
−4 5 +
2 −
9 5 + 3
2 − 2
x= 2 2
x= 2 4
x= 4
x=
2(1) 2 2 2 1
2
1
∴ λ1 = 2 λ2 =
2

6. Coeficientes Constantes
Paso 4: Respuesta. De acuerdo a la tabla escrita al principio de esta presentación
Tenemos que lambda 1 y lambda 2 son diferente y reales.
1
x
∴ y G = C1e 2x
+ C2e 2
Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de tercer
Orden por el método de Coeficientes Constantes.

7. Coeficientes Constantes
Resolución de un problema de Coeficientes Constantes en una
ecuación de tercer orden
Sea y + 6 y + 11 y + 6 y = 0
''' '' '
Homogénea
Tercer Orden
Paso 1: Ecuación Auxiliar
λ3 − 6λ2 + 11λ + 6 = 0 Sustituimos las (y) por lambda y su orden lo
Convertimos en potencia

8. Coeficientes Constantes
Paso 2: Determinar el método que utilizaremos para resolverlo.
En este caso como es de tercer orden primero utilizaremos la
División sintética.
-1 1 6 11 6
-1 -5 -6 λ1 = −1 λ2 + 5λ + 6 = 0
1 5 6 0
Nueva Ecuación
Paso 3: Resolvemos por factorización.
λ2 + 5λ + 6 = 0 (λ + 3)(λ + 2) ∴ λ2 = 3 λ3 = 2

9. Coeficientes Constantes
Paso 4: Respuesta. De acuerdo a la tabla escrita al principio de esta presentación
Tenemos que lambda 1, lambda 2 y lambda 3 son diferente y reales.
−x −2 x −3 x
∴ yG = C1e + C2 e + C3 e
Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de tercer
Orden por el método de Coeficientes Constantes.

10. Coeficientes Constante
Gracias por su atención.