El documento presenta el método de resolución de ecuaciones de Clairault. Resuelve un ejemplo aplicando el método y representando gráficamente las soluciones. Luego propone como ejercicio resolver otras ecuaciones de Clairault de forma similar.

1. Matem´ticas Avanzadas
a
CURSO 2009-10
Clase Pr´ctica No. 9
a
ECUACIONES DIFERENCIALES
M´todos de soluci´n
e o
de ecuaciones de 1ro y 2do orden

2. ´
ECUACION DE CLAIRAUT (m´todo)
e
Recordemos que la ecuaci´n de Clairaut es de la forma
o
y = xy + f (y ) (1)
El m´todo de resoluci´n es hacer y = p y derivar respecto a x, teniendo
e o
en cuenta que p = p(x).
Nos queda entonces
dp
(x + f (p)) = 0.
dx
dp
Si 0 = dx entonces y = C y por tanto teniendo en cuenta (1) se obtiene
que
y = Cx + f (C), (2)
La familia (2) es un haz de rectas, todas ellas soluci´n de (1).
o
Si 0 = x + f (p), usando (1) se obtiene la soluci´n singular en forma
o
param´trica:
e
x = −f (p), y = −f (p)p + f (p).
En general no es obligatorio eliminar p para obtener una ecuaci´n de la
o
forma G(x, y) = 0.

3. Ejemplo 1
Resolver la ecuaci´n de Clairaut
o
y = xy − 1/4(y )2.
Representar la soluci´n general obtenida, as´ como la soluci´n singular.
o ı o
>>sol=dsolve(’y=x*Dy-1/4*Dy^2’,’x’)
sol =[ x*C1-1/4*C1^2]
[ x^2]
La segunda funci´n es una par´bola que es la envolvente de la familia
o a
integral de la ecuaci´n.
o

4. Ejemplo 1 (obtenci´n de la gr´fica)
o a
Los siguientes comandos producen la figura de la siguiente diapositiva, en
la que aparecen algunas de las rectas soluci´n y la soluci´n singular del
o o
ejemplo 1.
>> x=(-4:0.1:4);
>> y=x.^2; z=0; %envolvente y recta para C1=0
>> w=x.*2-1; %recta para C1=2
>> u=x.*8-16; %recta para C1=8
>> v=x.*4- 4; %recta para C1=4
>> t=x.*3-9/4; %recta para C1=3
>> j=x.*(-2)-1; %recta para C1=-2
>> plot(x,y,x,z,x,w,x,u,x,v,x,t,x,j)
>> legend(’Envolvente’,’C1=0’,’C1=2’,’C1=8’,’C1=4’,’C1=3’,’C1=-2’)

5. Ejemplo 1 (gr´fica)
a
Figura : Algunas soluciones de la ecuaci´n y = xy − 1/4(y )2
o

6. Ejercicios
Con la ayuda de MATLAB y tomando como referencia al ejemplo 1,
resolver las siguientes ecuaciones de Clairaut utilizando el procedimiento
anterior. Intentar el estudio gr´fico trazando la soluci´n singular y algunas
a o
rectas de la soluci´n general.
o
a) y = xy + ln(y )
1
b) y = xy +
y
c) y = xy + sin(y )

7. E.D. LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
Las EEDD lineales de orden superior pueden ser tratadas con el comando
DSOLVE aunque no siempre se obtiene soluci´n, o la soluci´n se presenta
o o
de una forma poco satisfactoria para el consumo.
Se presentan a continuaci´n dos ejemplos y dos ejercicios de problemas
o
relativos a EEDD lineales con y sin condiciones iniciales. El alumno deber´
a
identificar completamente cada problema reconociendo linealidad, orden,
coeficientes constantes o variables, homog´nea o completa, etc, y decidir
e
consecuentemente qu´ m´todo artesanal le aplicar´ para su resoluci´n en
e e ıa o
el caso de no contar con recursos inform´ticos.
a
En todos los ejemplos las respuestas son exactas, con f´rmulas cerradas. El
o
procedimiento que se indica en cada ejemplo debe ser reproducido y
ejecutado en la ventana de comandos del Matlab.

8. Ejemplos
Ejemplo 1) Resolver la E.D.
y + 4y + 4y = 0.
>>S=dsolve(’D2y+4*Dy+4*y=0’)
S =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-2*t)*t %(sol. gral.)
(Obs´rvese que −2 es una ra´ doble del polinomio caracter´
e ız ıstico)
Ejemplo 2) Resolver el P.C.I.
y + 10y + 16y = 0, y(0) = 1, y (0) = 4.
>>S=dsolve(’D2y+10*Dy+16*y=0’,’y(0)=1,Dy(0)=4’)
S =
-exp(-8*t)+2*exp(-2*t)
Notar que se ha obtenido C1 = −1 y C2 = 2.

9. Ejercicios
Tomando los anteriores ejemplos como referencia, resolver los siguientes
problemas.
Ejercicio 1) Resolver la E.D.
y + 100y + 196y = 1.
Ejercicio 2) Resolver el siguiente problema de valores iniciales
y = log(x)/x2, y(1) = 0, y (1) = 1, y (1) = 2.
¿Corresponde el ejercicio 2 con una Euler?