El documento trata sobre las raíces de polinomios. Brevemente discute que el estudio de las raíces de polinomios se remonta a los babilonios y que Euclides y los árabes lograron resolver ecuaciones cuadráticas y de segundo grado. Luego, se investigaron más las propiedades de los polinomios y se encontraron soluciones para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro, aunque las de quinto grado resultaron esquivas durante mucho tiempo.

1. 19/04/2014
RAICES DE
POLINOMIOS
P(x)
x
y

2. INTRODUCCIÓN
La determinación de las raíces de los polinomios está entre los problemas más
antiguos de la matemática. Su estudio se remonta a la época de los babilonios
(2000 A.C.), los cuales ya eran capaces de resolver ecuaciones de segundo grado
por medio de radicales. En el año 300 A.C., Euclides da interpretaciones
geométricas a las ecuaciones algebraicas, logrando así resolver ecuaciones
cuadráticas por medio de construcciones geométricas. Luego, los árabes (1000
D.C.) logran reducir las ecuaciones del tipo x2p + axp = b , a ecuaciones
cuadráticas.
A partir del estudio del algebra, la investigación sobre polinomios y sus raíces
cobró auge. Se investigaron más las propiedades de los polinomios como
estructura, encontrándose soluciones por radicales para ecuaciones de grados
dos, tres y cuatro; sin embargo, las fórmulas para polinomios de quinto grado
fueron esquivas para los investigadores durante un tiempo prolongado. En 1824,
Niels Henrik Abel demostró el resultado que no puede haber fórmulas generales
para los polinomios de grado cinco o mayores en términos de sus coeficientes.
Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un
estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.

3. Definiciones Preliminares
1. Anillo
Un anillo A es un conjunto no vacío con dos leyes de composición internas + y •,
llamadas adición y multiplicación.
+ : A × A ⎯⎯→ A • : A × A ⎯⎯→ A
(a, b) ⎯→ a + b (a, b) ⎯→ a b = a•b
Verificando las sgtes propiedades:
Con la Adición (+) :
i) Asociativa
ii) Existencia de elemento neutro (cero)
iii) Conmutativa
iv) Existencia de simétrico (opuesto),
Es decir el par (A, +) es un grupo abeliano
Con la Multiplicación (*):
v) Asociativa
Es decir el par (A, *) es un semigrupo
vi) Distributiva.
2. Cuerpo o Campo
El conjunto ( K, +, * ) con K ≠  es un cuerpo si cumple:
 ( K, + ) es un grupo abeliano.
 ( K – 0, * ) es un grupo abeliano.
 Distributiva
( K, + , * )
. a . - b .b
. a + b . 1/a
-a . 0 . 1
. a*b
Son cuerpos
( Q, +, * ) ; ( R, +, * ) ;
( C, +, * ) ; ( Zn, +, * )

4. 3. Polinomio
Un polinomio de una variable sobre el cuerpo K es un aplicación P : N0 K
Es decir un polinomio P es una sucesión ( a0, a1, a2, …) de elementos de K.
Donde:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 =
4. Grado de un Polinomio
El grado de P(x) denotado por gr(P) se define como el mayor de los naturales “n”
talque an ≠ 0.
5. Conjunto de Polinomios
Al conjunto de todos los polinomios sobre K lo denotaremos por F[ x ], es decir:
F[x] =  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , ai  K y nN0.
Obs. El conjunto ( F[ x ], + , * ) es un anillo
además es un cuerpo.
𝒂𝒊 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
( F[ x ], + , * )
Coeficiente Principal Termino independiente

5. Definición:
Sean: P F[ X ] un polinomio,   K (K cuerpo), entonces:
 es Raíz de P  P() = 0
Propiedad:
 es una raíz de P  ( x -  )  P
Prueba:
) Dq. Si  es una raíz de P  ( x -  )  P
En efecto:
Si  es una raíz de P , entonces P() = 0
Además: P(x) = ( x-  ) Q(x) + r( )
 P() = ( -  ) Q( ) + r( )
= 0.Q( ) + r( ) = r( )
 P() = r( ) y como  es una raíz de P , tenemos r( ) = 0
Luego :
P(x) = (x -  ) Q( ) es decir ( x -  )  P

6. ) Dq. Si ( x -  )  P , entonces  es una raíz de P.
En efecto:
Si ( x -  )  P, entonces  Q(x) talque P(x) = ( x -  ).Q(x)
 P() = ( -  ) Q( ) = 0.Q( ) = 0
 P() = 0 es decir  es una raíz de P.
Teorema del Resto:
El resto de la división de P por ( x -  ) es P( ).
Prueba:
P(x) = ( x -  ).Q(x) + r
 P() = ( -  ) Q( ) + r
 P() = 0.Q( ) + r
 P() = r
Ejemplo:
Sea P(x) = x2 + 4x + 7 y  = -1, entonces por el teorema del resto
P(x) es expresado como:
Donde P( -1 ) = 4 = r
P(x) ( x -  )
Q( x )r
x2 + 4x + 7 = ( x + 1 ) ( x + 3 ) + 4

7. Raíces de Polinomios Reales
Teorema de Gauss:
Si el polinomio real P de grado “n” con coeficientes enteros,
admite una raíz racional (p/q) (p y q primos entre sí), entonces
p es divisor del término independiente (a0) y q es divisor del
coeficiente principal (an), es decir: p  a0 y q  an .
Prueba:
i) Dq. p  a0 es decir  s  Z / a0 = p.s
En efecto:
Como P es un polinomio de grado “n”, entonces:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 =
Además ( p/q) es una raíz, entonces: P(p/q) = 0
𝒂𝒊 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
𝑷
𝒑
𝒒
= 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
.
𝒑
𝒒
𝒊
= 𝟎 𝒒 𝒏
. 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
.
𝒑𝒊
𝒒𝒊
= 𝟎

8. 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
. 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎
𝒂 𝟎 𝒑 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
. 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎
𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒑. 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
. 𝒑𝒊−𝟏 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎
𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 = 𝒑. − 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
. 𝒑𝒊−𝟏 𝒒 𝒏−𝒊
𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 = 𝒑. 𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒔 ∈ 𝒁
p  𝒂 𝟎 𝒒 𝒏
p  𝒂 𝟎. Es decir: p es divisor del término
independiente a0

9. ii) Dq. q  an es decir  t  Z / an = q.t
𝑺𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒒 𝒏
. 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
.
𝒑𝒊
𝒒𝒊
= 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟎
. 𝒑𝒊
𝒒 𝒏−𝒊
= 𝟎 𝒂 𝒏 𝒑 𝒏
+ 𝒂𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
. 𝒑𝒊
𝒒 𝒏−𝒊
= 𝟎
𝒂 𝒏 𝒑 𝒏
= 𝒒. − 𝒂𝒊
𝒏−𝟏
𝒊=𝟎
. 𝒑𝒊
𝒒 𝒏−𝒊−𝟏
= 𝟎
𝒂 𝒏 𝒑 𝒏
= 𝒒. 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ 𝒁
q  𝒂 𝒏 𝒑 𝒏
, es decir q  𝒂 𝒏
Es decir: q es divisor del
coeficiente principal an
Ejemplo:
El polinomio P(x) = 2x2 – 5x – 3 tiene raíces racionales 1 = 3 y
2 = -1/2

10. Raíces Complejas de Polinomios Reales
Si el Polinomio real P de grado “n” admite una raíz compleja,
entonces admite también a su conjugada.
Prueba:
Hipótesis :
Tésis :
𝐏 𝐱 = 𝐚𝐢 𝐱 𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
𝐜𝐨𝐧 𝐚𝐢 ∈ 𝐑, 𝐳 ∈ 𝐂 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏(𝐱)
𝐳 ∈ 𝐂 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏 𝐱 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐝𝐚
Demostremos que P( ) = 0
En efecto:
𝐏 𝐳 = 𝟎 𝐚𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
. 𝐳 𝐢
= 𝟎
𝐚𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
. 𝐳 𝐢 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐳 𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
= 𝟎
𝐚𝐢 𝐳 𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
= 𝟎 𝐚𝐢 𝐳 𝐢
𝐧
𝐢=𝟎
= 𝟎
𝐏 𝐳 = 𝟎 𝐄𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐳 ∈ 𝐂 𝐞𝐬 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏 𝐱
Ejemplo:
El polinomio P(x) = x3 + x2 tiene raíces complejas y reales 1 = 0 , 2 = i y 3 = -i