Este documento proporciona una introducción a las distribuciones de probabilidad. Explica que una distribución de probabilidad lista los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades asociadas. Describe dos tipos principales de distribuciones: discretas, donde la variable toma valores separados, y continuas. Luego, ofrece ejemplos detallados de las distribuciones binomial, de Poisson y hipergeométrica, incluidos cálculos de probabilidades.

1. Distribuciones de
Probabilidad

2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Una variable aleatoria es aquella que toma un conjunto de valores numéricos
asociados a los resultados de nuestra búsqueda que produce un proceso
aleatorio.
Por ejemplo si el experimento es lanzar cuatro veces una moneda al aire y
nuestro búsqueda es el número de caras, la variable aleatoria podrá tomar
valores de 0, 1, 2, 3 y 4 caras.
Una distribución de probabilidad es una lista del total de valores que puede
tomar una variable aleatoria con una probabilidad asociada.
Existen dos tipos de distribuciones de probabilidad, las distribuciones de
probabilidad discretas y las distribuciones de probabilidad continuas.

3. Distribuciones Discretas
Las distribuciones de probabilidad discretas son aquellas en las que la variable
aleatoria solo puede asumir ciertos valores claramente separados, y son resultado
de un conteo.
Por ejemplo, el número de caras en dos lanzamientos de una moneda.
X 0 1 2
P(X) 0.25 0.50 0.25
Hay varios tipos de distribuciones discretas de probabilidad, tales como:
distribución binomial,
distribución Poisson,
distribución hipergeométrica.

4. EL MODELO DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Supongamos que un experimento aleatorio tiene sólo
dos resultados posibles mutuamente excluyentes y
conjuntamente exhaustivos, "éxito" y "fracaso", y que p
es la probabilidad de obtener éxito en cada repetición.
Si se realizan n repeticiones independientes, la
distribución del número de éxitos, X, resultante se
denomina distribución binomial.

5. Su función de probabilidad es
para x= 0,1,2,….,n
Donde: y
x
n
x
x
p
x
n
x
n
x 


 )
1
(
)!
(
!
!
)
(
Prob
n
n 



 ...
3
2
1
! 1
!
0 

6. EJEMPLO 1:
Supongamos ahora que un agente de seguros tiene cinco
contactos, y piensa que para cada uno la probabilidad de
conseguir una venta es 0.4. La distribución del número
de ventas, X es, entonces, binomial, con n = 5 y p = 0,4,
es decir,
para x = 0, 1,..., 5
x
x
x
x
exitos
x 

 5
)
6
.
0
(
)
4
.
0
(
)!
5
(
!
!
5
)
(
Prob

7. Las probabilidades para el número de éxitos (ventas
logradas) son
Prob(0 éxitos) = 5! (0,4)0(0,6)5 = (0,6)5 = 0,078
0! 5!
Prob(1 éxitos) = 5! (0,4)1(0,6)4 = (5)(0,4)(0,6)4 = 0,259
1! 4!
Prob(2 éxitos) = 5! (0,4)2(0,6)3 = (10)(0,4)2(0,6)3 = 0,346
2! 3!

8. Prob(3 éxitos) = 5! (0,4)3(0,6)2 = (10)(0,4)3(0,6)2 = 0,230
3! 2!
Prob(4 éxitos) = 5! (0,4)4(0,6)1 = (5)(0,4)4(0,6) = 0,077
4! 1!
Prob(5 éxitos) = 5! (0,4)5(0,6)0 = (0,4)5 = 0,01
5! 0!

9. EJEMPLO 2:
Una compañía recibe un gran cargamento de artículos, y
decide aceptar el envío si en una muestra aleatoria de
veinte artículos no hay más de uno defectuoso.
Es decir, se acepta el cargamento si el número de
artículos defectuosos es cero o uno, por lo que si Prob(X)
es la función de probabilidad del número X de artículos
defectuosos en la muestra, tenemos
P(aceptar el cargamento) = Prob(0) + Prob(1)

10. Supongamos que la proporción de artículos defectuosos en
el cargamento es p = 0,1.
Para n= 20, en la Tabla 1 del Apéndice, encontramos que
las probabilidades de cero y un artículos defectuosos en la
muestra son, respectivamente, Prob(0) = 0,1216 y
Prob(1) = 0,2702.
Por tanto, con esta regla de decisión, la probabilidad de
que la compañía acepte él envío es

11. Prob(aceptar el cargamento) = 0,1216 + 0,2702 = 0,3918
Análogamente, si el 20% de los artículos del cargamento
son defectuosos, es decir, si p=0,2, entonces,
Prob(aceptar el cargamento) = 0,0115 + 0,0576 = 0,0691
y para p= 0,3
Prob(aceptar el cargamento) = 0,0008 + 0,0068 = 0,0076

12. EL MODELO DE PROBABILIDAD POISSON
Supongamos que puede asumirse lo siguiente:
Para cada intervalo de tiempo muy pequeño de tiempo,
la probabilidad de que ocurra un suceso en ese intervalo
es aproximadamente proporcional a la amplitud del
intervalo y no puede ocurrir dos o más sucesos en un
intervalo.

13. Si lo anterior es cierto, puede probarse que la
probabilidad de X ocurrencias en el intervalo de tiempo
de 0 a T es
donde λ es el número medio de ocurrencias entre 0 y T,
y e = 2,71828 ... es la base de los logaritmos naturales.
Este modelo probabilístico se denomina Distribución
de Poisson.
!
)
(
Prob
x
e
s
ocurrencia
x
x





14. EJEMPLO 3:
Un estudio indica9 que el número de huelgas anuales
en una fábrica británica típica con 2.000 empleados,
se puede representar por una distribución de Poisson
con media λ = 0,4.
La función de probabilidad del número de huelgas
anuales X es, entonces,
para x = 0, 1, 2,…..
!
)
4
.
0
(
)
huelgas
(
Prob
4
.
0
x
e
x
x



15. Podemos calcular ahora probabilidades para números concretos
de huelgas anuales, usando (a partir de la Tabla 2 del Apéndice)
e-λ = 0,6703.
La probabilidad de que no haya huelgas es
Prob(0 huelgas) = e-0.4(0.4)0 = (0.6703)(1) = 0.6703
0! 1

16. Análogamente
Prob(1 huelga) = e-0.4(0.4)1 = (0.6703)(0.4) = 0.2681
1! 1
Prob(2 huelgas) = e-0.4(0.4)2 = (0.6703)(0.16) = 0.0536
2! 21
Prob(3 huelgas) = e-0.4(0.4)3 = (0.6703)(0.064) = 0.0071
3! 6

17. Prob(4 huelgas) = e-0.4(0.4)4 = (0.6703)(0.0256) = 0.0007
4! 24
Estas probabilidades pueden usarse para hallar la probabilidad
de que el número de huelgas esté en un intervalo concreto.
Por ejemplo, la probabilidad de que haya más de una huelga en
un año es
Prob(más de 1 huelga) = 1 – P(0 huelgas) – P(1 huelga)
= 1 – 0.6703 – 0.2681 = 0.0616

18. EJEMPLO 4.
La distribución de Poisson ha resultado ser muy útil en
problemas de líneas de espera o colas.
Los clientes llegan a una maquina fotocopiadora a una tasa
media de dos cada cinco minutos En la práctica, se pueden
representar los procesos de llegada de esta clase mediante
una distribución de Poisson.

19. Asumiendo que éste es el caso, representaremos por X el
número de llegadas de clientes en un periodo de cinco
minutos con lo cual X tiene una distribución de poisson con
media λ = 2.
La función de probabilidad es
Prob(x) = e-22x
x!
para x = 0, 1, 2,...

20. Las probabilidades para el número de llegadas en un período
de cinco minutos son
Prob(0 llegadas) = e-2(2)0 = (0.135335)(1) = 0.1353
0! 1
Prob(1 llegadas) = e-2(2)1 = (0.135335)(2) = 0.2707
1! 1

21. Prob(2 llegadas) = e-2(2)2 = (0.135335)(4) = 0.2707
2! 2
y así sucesivamente. Así, por ejemplo, la probabilidad de que
se produzcan más de dos llegadas en un periodo de cinco
minutos es
Prob(X>2) = 1 – Prob(0) – Prob (1) – Prob (2) = 1 – 0.1353
– 0.2707 – 0.2707 = 0.3233

22. 22
Distribución hipergeométrica
• Se aplica cuando:
• El muestreo se hace sin reemplazo
• P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x
éxitos en una muestra de n elementos tomados de
una población de tamaño N que contiene D éxitos.
La función de densidad de distribución
hipergeométrica:
N
n
D
N
x
n
D
x
C
C
C
x
P



)
(
)!
(
!
!
x
n
x
n
Cn
x



23. 23
Distribución hipergeométrica
• La media y la varianza de la distribución
hipergeométrica son:
N
nD

 





















1
1
2
N
n
N
N
D
N
nD


24. 24
Distribución hipergeométrica
Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan
al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10
productos seleccionados contengan 5 productos
buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.
N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5
P(x=5) = 0.0183 = 1.83%
0183
.
0
!
10
!
10
!
20
!
10
!
5
!
15
!
0
!
5
!
5
)
5
( 













P

25. La distribución Normal estándar
para variables continuas
• Tiene media 0 y desviación estándar de 1.
• El área bajo la curva de infinito a más infinito vale 1.
• Es simétrica, cada mitad de curva tiene un área de 0.5.
• La escala horizontal se mide en desviaciones estándar, Z.
• Para cada valor Z se asigna una probabilidad en Tabla normal

26. CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
Teóricamente, la curva
se extiende a
- infinito
Teóricamente, la curva
se extiende a
+ infinito
Media, mediana, y
moda son iguales
Cola
Cola
La Normal is simétrica -
-

27. 27
z
0 1 2 3
-1
-2
-3
x x+ x+2 x+3
x-
x-2
x-3
X
La desviación estándar
sigma representa la
distancia de la media al
punto de inflexión de la
curva normal
La Distribución Normal Estándar

28. Normales con Medias y
Desviaciones estándar diferentes
 = 5,  = 3
 = 9,  = 6
 = 14,  = 10

29.  +1 +2 +3
1
2
+3
Entre:
1. 68.26%
2. 95.44%
3. 99.97%

30. 0.8
P(0 < z < 0.8) =
0.2881.
z = x - 
