Este documento presenta diferentes modelos de distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones discretas como la binomial, de Poisson y hipergeométrica, y distribuciones continuas como la uniforme, exponencial y normal. Describe las características clave de cada modelo, como su función de probabilidad, media, varianza y notación. También incluye ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos modelos a diferentes situaciones.

1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Notas y resúmenes de clase

2. Distribuciones de probabilidad de tipo discreto
.1. Modelo Bernoulli
.2. Modelo Binomial
.3. Modelo Hipergeométrico
.4. Modelo de Poisson
Distribuciones de probabilidad de tipo continuo
.5. Modelo Uniforme
.6. Modelo Exponencial
.7. Modelo Normal
.

3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO
Proceso de Bernoulli
Es un experimento con las siguientes características:
1. Se realiza un experimento con dos resultados posibles:
E (Éxito) y F (Fracaso) tal que: p(E) = p
p(F) = q = 1- p p+q =1
2. La repetición del experimento no altera las probabilidades de E y F
Este modelo se puede aplicar a:
• Poblaciones finitas : se toman elementos al azar con reemplazamiento
[urna con bolas, encuestas]
• Poblaciones infinitas : se observan elementos al azar en un proceso
generador estable ( constante) y sin memoria (observaciones
independientes). [sexo recién nacido, producción de una máquina]

4. Modelo Bernoulli Notación : X~ Be(p)
La v.a. de Bernoulli X viene definida por:
X=0, si el resultado es Fracaso, 1-p = q
X=1, si el resultado es Éxito, p
Función de probabilidad: p(x) = px (1-p)1-x, x = 0,1.
Media: E(X) = p
Varianza: Var(X) = p(1-p)
Función generatriz de momentos: M(t) = p et + (1-p)

5. Modelo Binomial Notación: X ~ B( n,p )
Función de probabilidad:
p(x) = px (1-p)n-x, x = 0,1, ..., n.
n
x
Observación: Be(p) = B ( 1, p )
Media: E(X) = n p
Varianza: Var(X) = n p (1-p)
Función generatriz de momentos: M(t) = [ p et + (1-p) ]n
Una v.a. Binomial representa el número de éxitos que ocurren
en n repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli
cuya probabilidad de éxito es p.

6. Distribución Binomial. Ejercicio
La probabilidad de que una persona que sufre de
migraña tenga alivio con una fármaco específico es
de 0.9. Se seleccionan aleatoriamente a tres
personas con migraña a las que se les administra el
fármaco. Encuentre la probabilidad de que el
número de personas que logran alivio sea:
a) Exactamente 0
b) Exactamente uno
c) Dos o menos
d) Dos o tres

7. Modelo Hipergeométrico Notación: X ~ H(N, k, n)
Un conjunto de N objetos contiene: k objetos
clasificados como éxitos y N-K como fracasos.
Se toma una muestra de tamaño n, al azar y
(sin reemplazo) de entre los N objetos.
k éxitos
N-k fracasos
Población: N
Muestra
n
La v.a. Hipergeométrica X representa el nº de éxitos en la muestra
Función de probabilidad





















n
N
xn
kN
x
k
xp )(
1
)1()(
)(




N
nN
pnpXV
N
k
psiendonpXE
 Si el tamaño muestral n es muy pequeño en relación al número total de
elementos, N, las probabilidades hipergeométricas son muy parecidas a las
binomiales, y puede usarse la distribución binomial en lugar de la
hipergeométrica.

8. Ejemplo de Hipergeométrica
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha
colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que
contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3
tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la
probabilidad de que el viajero sea arrestado por
posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de
que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

9. Modelo de Poisson Notación: X ~ P()
e – x
x!
Función de probabilidad: p(x)= x= 0,1,2, ...
El experimento observado es la aparición de sucesos en un soporte continuo:
*Tiempo (llegada de autobuses a una parada,...)
*Espacio (errores por página, ...)
Características del proceso:
• Es estable: produce a largo plazo un número medio de sucesos constante λ por unidad de
observación (tiempo, espacio, área)
• Los sucesos aparecen aleatoriamente de forma independiente , es decir, el proceso no
tiene memoria, ya que conocer sucesos en un intervalo no ayuda a predecir sucesos en el
siguiente.
Si el número promedio de ocurrencias en un intervalo de tiempo o
en una región específica es λ>0.
La v.a. X que es igual al número de ocurrencias indptes. en el
intervalo o región tiene una distribución de Poisson con tasa λ

10. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO
Modelo de Poisson Notación: X ~ P()
e – x
x!
Función de probabilidad: p(x)= x= 0,1,2, ...
Media: E(X) = 
Varianza: Var(X) = 
Función generatriz de momentos: M(t) = e(e -1)t

11. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO DISCRETO
Aproximación Poisson de la distribución binomial
Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno
con probabilidad de éxito p. La distribución del nº de éxitos es binomial de
media np. Sin embargo, si el nº de ensayos n es grande y np tiene un
tamaño moderado (preferiblemente np≤7), esta distribución puede
aproximarse bien por la distribución de Poisson de media λ=np.
La función de probabilidad de la distribución aproximada es entonces:
!
)(
)(
x
npe
xp
xnp


12. Ejemplo de Distribución de Poisson
 Si la media del número de casos semanales de Dengue en
un hospital es 1.3, ¿Cuál es la probabilidad de que en una
semana se presenten 5 o más casos de Dengue?
λ = 1.3

13. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b)
Una v.a. sigue una distribución uniforme si su masa de probabilidad
está repartida uniformemente a lo largo de su soporte
1
b - a
Función de densidad: f(x)= a x b
a b X
f(x)
1/(b-a)

14. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Uniforme Notación: X ~ U(a,b)
1
b - a
Función de densidad: f(x)= a x b
Media: E(X) =(a+b)/2
Varianza: Var(X) = (b-a)2/12
x - a
b - a
Función de distribución: F(x)= a x b

15. Suponga que un departamento de investigación de
enfermedades cardiovasculares está realizando un estudio
sobre la hipertensión arterial, trabajando para ello con una
muestra aleatoria de personas y donde la presión arterial
diastólica se distribuye uniformemente entre 60 y 160.
Este grupo de investigación desea excluir aquellos
pacientes cuya presión arterial esté por debajo de 90.
Distribución Uniforme Continua
Calcule la media y la desviación
estándar de x, la presión arterial
diastólica de las personas de la muestra.
Grafique la distribución de probabilidad
Calcule la fracción de personas que se
omitirán para el estudio.

16. Suponga que el departamento de investigación de un fabricante
de acero cree que una de las máquinas de la compañía está
produciendo láminas de metal con espesores variables. El espesor
es un variable aleatoria uniforme con valores entre 150 y 200
milímetros. Cualquier lámina que tenga menos de 160 milímetros
de espesor debe desecharse, pues resulta inaceptable para los
compradores.
Distribución Uniforme Continua
Grafique la distribución de probabilidad de
las láminas de acero producidas por esta
máquina
Calcule la fracción de las láminas de acero
producidas por esta máquina que se
desechan

17. Investigadores de la Universidad de los Andes han diseñado,
construido y probado un circuito de condensador conmutado
para generar señales aleatorias. Se demostró que la
trayectoria del circuito estaba distribuida uniformemente en el
intervalo (0,1).
Distribución Uniforme Continua
Indique la media y la varianza de la
trayectoria del circuito
Calcule la probabilidad de que la trayectoria
esté entre 0.2 y 0.4
¿Esperaría usted observar una trayectoria que
excediera 0.995?

18. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Exponencial Notación: X ~ Exp()
La variable aleatoria X representa el tiempo que transcurre
hasta la primera ocurrencia del proceso de Poisson P()
Función de densidad: f(x)= e – x/ , x>0
1
 Siendo  = 1/
Media: E(X) = 
Varianza: Var(X) = 2
Función de distribución: F(x) = 1- e – x/ , x>0
F. generatriz de momentos: M(t) = (1-  t)–1 t< 1/ 
La distribución exponencial tiene la propiedad de carencia o
pérdida de memoria, esto es: P( X< s + t / x> s ) = P( X< t )

19. Ilustración
f(x)= 1/ e– x/ , x>0
Modelo exponencial
f(x)= 1/5 e– x/5, x>0
f(x)= 1/2 e– x/2, x>0
f(x)= 1/10 e– x/10, x>0
Parámetro: 
F(x)= 1 – e– x/ , x>0
= 
2= 2
M(t)= (1 –  t )–1
x
f(x)

20. Ejemplo de Distribución Exponencial
• Si la Esperanza de vida de un ÁRBOL es de 40 años ¿Cuál es la
probabilidad de que viva más de 60 años?

21. Los clientes de un supermercado llegan en
promedio de 1 por minuto. Halle la
probabilidad de que transcurran:
 A lo sumo 2 minutos antes de la llegada del
próximo cliente
 Por lo menos 3 minutos
Distribución Exponencial

22. La duración de un cierto tipo de bombillo es una variable
aleatoria exponencial de media 5000 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 6000
horas?
 Si lleva funcionando 1000 horas ¿cuál es
la probabilidad de que dure:
6000 horas adicionales a las 1000 que
lleva funcionando?
6000 horas en total?
Distribución Exponencial

23. Para una variable aleatoria exponencial X,
P(X < t1 + t2 | X > t1) = P(X < t2)
Propiedad de carencia de memoria
En la duración que se espera que tenga el objeto, no
influye para nada el tiempo que en la actualidad lleva
funcionando El dispositivo no se desgasta.
Distribución Exponencial

24. El tiempo entre arribos de los taxis en un cruce muy
concurrido tiene una distribución exponencial con media de
10 minutos.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que esté en el
cruce tenga que esperar más de una hora para tomar un
taxi?
Suponga que la persona ya esperó una hora, ¿cuál es la
probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10
minutos?
Distribución Exponencial

25. El tiempo de duración de un ensamble mecánico en
una prueba de vibración tiene una distribución
exponencial con media de 400 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble falle
durante la prueba en menos de 100 horas?
¿Cuál es la probabilidad de que el ensamble trabaje
durante más de 500 horas antes de que falle?
Si el ensamble se ha probado durante 400 horas sin
falla alguna, ¿cuál es la probabilidad de que falle en
las siguientes 100 horas?

26. En una red de computadoras grande, el acceso de los
usuarios al sistema puede modelarse como un proceso
de Poisson con una media de 25 accesos por hora.
 ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accesos en un
intervalo de 6 minutos?
 ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo que
transcurre hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3
minutos?
Distribución Exponencial. Ejercicio

27. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal Notación: X ~ N(,2)
f(x)= e , - < x < 
1
2 
1 x-  2
2 
La distribución es
campaniforme,
simétrica, centrada
en  y con puntos
de inflexión en 

28. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2)
f(x)= e , -  < x < 1
2 
1 x-  2
2 
Media: E(X) = 
Varianza: Var(X) = 2
F. generatriz de momentos: M(t)= e
1
2
t+ 2t2

29. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal Estándar Notación: z ~ N(0,1)
f(z)= e , -  < z < 1
2
1 z 2
2
=0 2=1 M(t)= e
t2
2
Función de distribución: está tabulada F(z)= Pr (Zz)=(z)
0 z
f(z)

30. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Modelo Normal
Si a una v.a. normal le
restamos su media y la
dividimos por su desviación
típica, la variable resultante
tiene media cero y desviación
típica 1, y distribución normal
estándar.
Si X ~ N ( µ, 2 )  Z =  N(0,1)
X- µ
σ
En la práctica:
Fx(x)= Pr (Xx) = Pr (  )= Pr(Z  )= ( )X- µ
σ
x- µ
σ
x- µ
σ
x- µ
σ
TABLAS

31. Modelo Normal Notación: X ~ N(, 2)
Si Y = a X ± b, siendo X ~ N (, 2), entonces:
Y ~ N (a  ± b, a2 2 )
En toda distribución Normal se
comprueba que:
Pr( µ- 2 σ  X  µ+ 2 σ ) = 0,955
Pr( µ- 3 σ  X  µ+ 3 σ ) = 0,997
que son intervalos más precisos
que la acotación de Tchebychev
(0,75 y 0, 88, respectivamente).
Otras propiedades:

32. Distribución de Probabilidad
 Con el propósito de calcular probabilidades, se
tabula esta Función de Distribución Acumulada.
Función de
distribución
acumulada
Densidad de
Probabilidad
f
F

33. Estándar
0 1.25
1056.0
0.8944-1
)25.1(1)25.1(


 zpzp
3944.05000.08944.0
)0()25.1()25.10(

 zpzpzp
0 1.25
Normal Estándar

34. Consideremos que el peso de los niños varones en el momento del
nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso
medio en el momento de nacer es 3,25 kgs y la desviación típica es
de 0,82 kgs, ¿cuál es la probabilidad de que el peso de un niño
varón al nacer sea superior a 4 kgs?
Estandarizamos la variable aleatoria X, peso de los niños al
nacer. En el proceso de estandarización, al valor de X=4, le
corresponde el valor, t=0,9146 :

35. Si el nivel de colesterol de los habitantes de Maracaibo
tiene una distribución aproximadamente normal, con una
media de 200 mg/100 ml y una desviación estándar de
20 mg/100 ml, calcule la probabilidad de que una
persona de Maracaibo, elegida al azar, tenga un nivel de
colesterol:
a.- Entre 180 y 200 mg/100 ml
b.- Mayor que 225 mg/100 ml
c.- Menor que 150 mg/100 ml
d.- Entre 190 y 210 mg/100 ml

36. El tiempo de incapacidad por enfermedad de los
empleados de una compañía en un mes tiene una
distribución normal con media de 100 horas y
desviación estándar de 20 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo por
incapacidad del siguiente mes se encuentre entre 50 y
80 horas?
¿Cuánto tiempo de incapacidad deberá planearse
para que la probabilidad de excederlo sea solo del
10%?

37. Se supone que el ancho de una herramienta utilizada en la
fabricación de semiconductores tiene una distribución normal
con media de 0.5 micrómetros y desviación estándar de 0.05
micrómetros.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta
sea mayor que 0.62 micrómetros?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de la herramienta
se encuentre entre 0.47 y 0.63 micrómetros?
c.- ¿Debajo de qué valor está el ancho de la herramienta en el
90% de las muestras?

38. Aproximación Normal a la distribución Binomial
Sea X el nº de éxitos resultantes de n ensayos independientes, cada uno
con probabilidad de éxito p. Si n es grande y p no es ni demasiado
grande ni pequeño, entonces, la distribución binomial puede aproximarse
bien por la distribución Normal de media  =np y varianza σ2= np(1-p).














)1()1(
)(
pnp
npb
Z
pnp
npa
PbXaP
O usando la corrección de continuidad de medio punto (cuando 20≤n≤50).














)1(
5,0
)1(
5,0
)(
pnp
npb
Z
pnp
npa
PbXaP
Siendo Z la distribución normal estándar.

39. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE TIPO CONTINUO
Aproximación Normal a la distribución Poisson
Sea X una v.a. de Poisson con media λ. Si λ es grande, entonces, dicha
distribución puede aproximarse bien por la distribución Normal de media
=λ y varianza σ2= λ.





 






 b
Z
a
PbXaP )(
O usando la corrección de continuidad
Siendo Z la distribución normal estándar.





 






 5,05,0
)(
b
Z
a
PbXaP

40. RESUMEN DE CONVERGENCIAS DE DISTRIBUCIONES
Poisson
P()
Normal
N(, 2)
Binomial
B(n,p)
Hipergeométrica
H(N, k, n)
N>50
n/N0,1
n20 =np 2
=np(1-p)
 10
=  2 = 
=np
np 7

41. MUESTREO Y TECNICAS DE
MUESTREO