estadistica inferencial

1. Pruebas de Hipótesis

8. EJEMPLO 1
La producción diaria en una planta industrial registrada durante
n =30 días tiene una media Muestral de 990 toneladas y una
desviación estándar de 20 toneladas, pruebe la hipótesis de que
el promedio de la producción diaria difiere de 1000 toneladas
por día.
PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS
toneladas
H 1000
:
1 

toneladas
H 1000
:
1 

PASO 2: Nivel de significancia (0.05%)
PASO 3: Valor estadístico de prueba
toneladas
x 990

toneladas
1000
0 

toneladas
20


días
n 30

7
,
2
30
20
1000
990




z
n
X
z





9. PASO 4: FORMULAR LA REGLA DE DECISIÓN
PASO 5: TOMAR UNA DECISIÓN
Se rechaza H0 no es igual a 1000 toneladas

Para un nivel de significancia de 0.05, la región de rechazo
es z >1.96 o z< -1.96
-2,7

10. EJEMPLO 2
El gerente de ventas de una empresa editora de libros, afirma que cada uno de
sus representantes realiza 40 visitas por semana a profesores. Varios
vendedores dicen que esa estimación es muy baja. Para investigar lo anterior,
una muestra aleatoria de 28 representantes de ventas reveló que el número
medio de visitas realizadas la semana pasada fue de 42. Se calculó que la
desviación estándar de la muestra fue de 2.1 visitas. Al nivel de significancia de
0.05, ¿se puede concluir que el número medio de visitas realizadas por
vendedor y por semana es mayor que 40?
40
:
0 

H
40
:
1 

H
PASO 1: ESTABLECER HIPÓTESIS

11. visitas
x 42

PASO 3:ESTADÍSTICO DE PRUEBA
En este caso es T de student
visitas
40


visitas
s 1
.
2

28

n
PASO 2: NIVEL DE SIGNIFICANCIA (0.05)
n
s
X
t




12. PASO 4: REGLA DE DECISIÓN
Rechazo H0 SI t calculado es mayor a 1.703
PASO 5: TOMAR DECISIÓN
T calculado = 5.04 cae en la región de rechazo. Por lo tanto
rechazamos H0. El número medio de visitas realizadas por
vendedor y por semana es mayor que 40

13. Ejemplo 3
La dirección medica de una clínica toma una
muestra aleatoria de 16 mediciones acerca del
tiempo de hospitalización, resultando una media
muestral de 5.4 días y una desviación estándar de
3.1 días. La dirección medica supone que el
promedio de tiempo de hospitalización es mayor de
5 días. Apoya esta información la hipótesis con un
nivel de significancia del 0.05.

14. Establecer la hipótesis Ho y H1
𝐻𝑜: 𝜇 = 5
𝐻1: 𝜇 > 5
Se calcula el estadístico de prueba 𝑡𝑜 de la ecuación, y se rechaza
Ho si
𝑡𝑐 > 𝑡0.05
2,15 =2.131
Calculando el estadístico tenemos
𝑥 = 5.4 𝑠 = 3.1 𝑛 = 16 𝜇 = 5
𝑡𝑐 = = 0.5161
5.4 − 5
3.1/ 16
Conclusión: Dado que𝑡𝑐=0.5161 < 𝑡0.05
2,15 =2.131, la hipótesis no se rechaza, a
lo que se concluye que, con un nivel de significancia de 0.05, no existe
suficiente evidencia de que el promedio de tiempo de hospitalización es mayor
de 5 días.

15. Ejemplo 4
• En su calidad de comprador comercial para un
supermercado, se toma una muestra aleatoria de doce (12)
sobres de cafe de una empacadora. Se encuentra que el
peso promedio del contenido de cafe de cada sobre es
15,97 grs. con una desviacion estandar de 0,15. La compañia
empacadora afirma que el peso promedio minimo del cafe
es de 16 grs. Por sobre. ¿Puede aceptarse esta afirmacion si
se asume un nivel de confianza del 90 por ciento?

16. Establecer la hipótesis Ho y H1
𝐻𝑜: 𝜇 ≥ 16
𝐻1: 𝜇 < 16
Se calcula el estadístico de prueba 𝑡𝑜 de la ecuación, y se
rechaza Ho si
𝑡𝑐 > 𝑡0.05,11 =-1.796
Calculando el estadístico tenemos
𝑥 = 15.97 𝑔𝑟 𝑠 = 0.15 𝑛 = 12 𝜇 = 16
𝑡𝑐 = = −0.6928
15.97 − 16
0.15/ 12
Conclusión: Dado que𝑡𝑐 = −0.6928 < 𝑡0.10
2,11 =-1.796, la hipótesis no
se rechaza, a lo que se concluye que, con un nivel de significancia de 0.10,
existe suficiente evidencia para afirmar que el peso promedio mínimo del
café es de 16 grs. por sobre.

17. Caso II: Varianzas desconocidas pero iguales.
Ahora se considerara la prueba de hipotesis de dos medias de dos
distribuciones normales cuando las varianzas son desconocidas. Se
empleara el estadstico t-Student para probar estas hipotesis. El estadistico
de prueba es el siguiente:
𝑇 =
𝑋 − 𝑌
𝑆𝑝
1 1
𝑛1
+ 𝑛2
~𝑡𝑛1+𝑛
2−2
Donde 𝑺𝒑 =
𝟐
(𝒏𝟏−𝟏)𝑺𝟐+(𝒏 −𝟏)𝑺𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝒏 +𝒏 −𝟐
𝟏 𝟐
Si 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 es verdadera, 𝑇0 tiene una distribución 𝑡𝛼
2,𝑛1+𝑛2−2. Si 𝑡0 es
el valor calculado del estadístico de prueba, entonces si
𝑡0 > 𝑡𝛼
2,𝑛1+𝑛2−2
O si 𝑡0 > 𝑡𝛼
2,𝑛1+𝑛2−2
Debe rechazarse 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2

18. Las alternativas unilaterales se tratan de manera similar. Para probar
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑜: 𝜇1 > 𝜇2
Se calcula el estadístico de prueba 𝑡0 y se rechaza 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 si
𝑡0 > 𝑡𝛼
2,𝑛1+𝑛2−2
Para la otra hipótesis alternativa unilateral
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑜: 𝜇1 < 𝜇2
Se calcula el estadístico de prueba 𝑡0 y se rechaza 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 si
𝑡0 < −𝑡𝛼
2,𝑛1+𝑛2−2
La prueba 𝑡 para dos muestras dado en esta sección a menudo se le conoce
como prueba de t combinada, ya que las varianzas muéstrales se combinan
para estimar la varianza común. Además sus poblaciones normales son
independientes.

19. Ejemplo
• Se analizan dos catalizadores para determinar la forma en que afectan
el rendimiento promedio de un proceso químico. De manera
específica, el catalizador 1 es el que se está empleando en este
momento, pero el catalizador también es aceptable. Debido a que el
catalizador es más económico, este puede adoptarse siempre y
cuando no cambie el rendimiento del proceso. Se hace una
prueba en una planta piloto; los resultados obtenidos aparecen
en la tabla. ¿Existe alguna diferencia entre los rendimientos
promedio? Utilícese α = 0.05.

20. Datos de rendimiento de un catalizador
. (Ejemplo)

21. La solución con el empleo de los pasos para la prueba de la hipótesis es:
Los parámetros de interés son ∶ 𝜇1 y 𝜇2, los cuales representan el
rendimiento promedio del proceso con los catalizadores 1 y 2,
respectivamente.
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑜: 𝜇1 ≠ 𝜇2
α = 0.05
El estadístico de prueba es
𝑡𝑐 =
𝑥 − 𝑦
𝑠𝑝
1 1
𝑛1
+ 𝑛2
Rechazar 𝐻𝑜 si 𝑡𝑐 > 𝑡0.025,14 = 2.145 o si 𝑡𝑐 < −𝑡0.025,14 = −2.145

22. Calcular estadístico. Dela tabla se tiene que 𝑥 = 92.255 𝑠1 = 2.39 𝑛1 = 8,
𝑦 = 92.733 𝑠2 = 2.98 𝑛2 = 8. Por consiguiente,
𝑆𝑝 =
2 𝑛1 − 1 𝑆1 + 𝑛2 − 1 𝑆2
1 2
2 2 2
𝑛 + 𝑛 − 2
=
7 2.39 + 7 2.98
8 + 8 − 2
2
= 7.30
𝑠𝑝 = 7.30 = 2.70
Y
𝑡𝑐 =
𝑥 − 𝑦
𝑠𝑝
1 1
𝑛1
+ 𝑛2
=
92.255 − 92.733
2.70
1 1
8 + 8
= −0.35
Conclusión: dado que −2.145 < 𝑡𝑐 = −0.35 < 2.145, no es posible rechazar
la hipótesis nula. Esto es, con un nivel de significancia de 0.05, no se tiene
evidencia suficiente que permita concluir que el catalizador 2 dará como
resultado un rendimiento promedio diferente del obtenido con el uso del
catalizador 1.

23. Caso 2: Varianzas desconocidas y diferentes.
 Si las varianzas son desconocidas y no se tiene
información para suponer que son iguales, entonces el
estadístico de prueba es el mismo que el utilizado
cuando las varianzas son iguales, pero los grados de
libertad de la distribución t-Student vienen dados por:
𝑔𝑙 =
𝑆1
2
𝑛1
+ 𝑛2
𝑆2
2 2
𝑆1 𝑆2
2 2
𝑛1 𝑛2
2
𝑛1 + 1 + 𝑛2 + 1
2 − 2

24. Ejemplo:
Un fabricante de monitores
determinar
prueba dos
si producen
diseños de
un flujo de
de ingeniería ha
microcircuitos para
corriente equivalente. El departamento
obtenido los datos siguientes:
Con 𝛼 = 0.10 se desea determinar si existe alguna diferencia
significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos
diseño, donde se supone que las dos poblaciones son
normales, pero no es posible suponer que las varianzas
desconocidas 𝜎1
2 2
y 𝜎2 sean iguales.
Diseño 1: 𝑛1 = 15 𝑥1 = 24.2 𝑆2 = 10
1
Diseño 2: 𝑛2 = 10 𝑥2 = 23.9 𝑆2 = 20
2

25. Al aplicar el procedimiento del contraste de hipótesis, se tiene lo siguiente:
Los parámetros de interés son los flujos de corriente promedio de los
circuitos diseños ∶ 𝜇1 y 𝜇2
𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2
𝐻𝑜: 𝜇1 ≠ 𝜇2
α = 0.10
El estadístico de prueba es
𝑡𝑔𝑙
=
𝑥 − 𝑦
𝑆1 𝑆2
2
𝑛1
+ 𝑛2
2
Los grados de libertad de 𝑡𝑔𝑙 se obtienen con la ecuación
𝑔𝑙 =
𝑆1 𝑆2
2 2
𝑛1
+ 𝑛2
2
𝑆1
2
𝑛1 𝑛2
2
𝑛1 + 1 + 𝑛2 + 1
𝑆2
2 2 − 2 =
10 20
15 + 10
2
10
15
2
16
+
20
10
2 − 2 = 16.17 ≈ 16
11

26. Por tanto, puesto que 𝛼 = 0.10, se rechaza 𝐻𝑜: 𝜇1 = 𝜇2 si 𝑡𝑔𝑙 >
𝑡0.05,16 = 1.746 o si 𝑡𝑔𝑙 < −𝑡0.05,16 = −1.746
Cálculos: al utilizar los datos contenidos en la muestra, se tiene que
𝑡𝑔𝑙 =
𝑆1
2 2
𝑛1
+ 𝑛2
𝑆2
𝑥 − 𝑦 24.2 − 23.9
= = 0.18
10 20
15
+
10
Conclusiones:
Puesto que −1.746 < 0.18 < 1.746, no es posible rechazar 𝐻𝑜: 𝜇1 =
𝜇2 con el nivel de significancia 𝛼 = 0.10. Esto quiere decir que no hay
evidencia fuerte que indique que el flujo de corriente promedio de los
dos diseños sea diferente.