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- 1. MÉTODO DE LAENERGÍA DE DEFORMACIÓN (2do TEOREMA DE CASTIGLIANO - VIGA CONJUGADA) CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS ESTRUCTURALES. VINCULACIONES. SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO. MÉTODO DE LA ESTRUCTURA CONJUGADA. TEOREMA PENDIENTES Y ELÁSTICAS DE DEFORMACIÓN. San Carlos, marzo de 2020 UNIDAD I Universidad Nacional Experimental de los Llanos Occidentales “Ezequiel Zamora” Vicerrectorado de Infraestructura Y Procesos Industriales Programa de Ciencias Básicas y Aplicadas Subprograma de Ingeniería Civil MSc. Eulicer Linares Fdez
- 2. Estructuras I UNELLEZ MÉTODODE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN UNIDAD I ENERGÍA DE DEFORMACIÓN El enfoque para la determinación de desplazamientos y la formulación de flexibilidad y rigidez de los elementos estructurales, se fundamentan en los principios generales de trabajo y energía. En efecto, se han de estudiar los enfoques fundamentales de los trabajos virtuales y posteriormente, algunos principios de trabajo y energía, útiles para resolver de forma directa estructuras indeterminadas, de manera de poder generar las relaciones de rigidez en el análisis de pórticos. El principio de la conservación de la energía, en el contexto de estructuras, planeta lo siguiente: ωe = ωi + KE Donde: ωe = Trabajo externo; ωi = Trabajo interno; KE = Energía cinética o de desplazamiento El campo de estudio se enfoca en sistemas estáticos, para los cuales KE = ½ m.v2 = 0; obteniendo la ley básica de ωe = ωi. En este aspecto, la terminología para diferencia el trabajo y la energía, se refiere denominar el trabajo externo, simplemente como trabajo (ω) y al trabajo interno como la energía de deformación (U). P dA F d dA ω = 𝑃𝑡. 𝑑𝛥 El trabajo (ω) viene dado por: 1
- 3. Estructuras I UNELLEZ De lavariación de la carga, según la relación de P=C.Δ, Donde C es una constante. Ahora bien, de la relación de trabajo y la carga, se obtiene que: No obstante; ; lo que de la relación se tiene: ; donde finalmente se deduce que: De lo cual: Ahora bien, si un cuerpo elástico está sometido a un sistema de fuerzas externas, se generan esfuerzos internos, y durante la deformación del cuerpo, dichos esfuerzos realizan un trabajo. Este trabajo generado, es lo que finalmente se conoce como energía de deformación del cuerpo. y τx x 2 UNIDAD I. Energía de Deformación ω = 𝑃𝑑𝛥 = 𝐶𝛥 𝑑𝛥 = 𝐶 𝛥 𝑑𝛥 = 𝐶 𝛥2 2 0 𝛥 ω = 𝐶 𝛥2 2 𝐶 = 𝑃 𝛥 𝑃𝛥2 2𝛥 ω = ½ 𝑷. 𝜟 ω = ½ σ 𝑷𝒊. 𝜟𝒊 τz τy τxy τzy τyx δP2 R3 P1 B C R2 R1 R4 R5 A D δP3 δP4 δP1 B’ C’ P2 P3 z
- 4. Estructuras I UNELLEZ Durante lacarga estática al cual está sometida el cuerpo, los esfuerzos generados, alcanzan valores finales partiendo de un estado inicial (0), hasta ir produciendo gradualmente la deformación final del elemento. Y a ese producto ocurrido por el esfuerzo y el área, representa una fuerza, y la deformación viene representada por la distancia que recorre dicho esfuerzo. Donde δ𝑷𝒊 y δ𝑹𝒊 son desplazamientos de los puntos de aplicación 𝑷𝒊 y 𝑹𝒊 en sus mismas direcciones respectivas. La suma de sus productos, es lo que se conoce como trabajo externo: Donde P equivale al número de fuerzas y R al número de reacciones generadas por los vínculos externos. De esta forma, queda establecido que la energía de deformación en el principio de los trabajos virtuales viene definido como: 3 UNIDAD I. Energía de Deformación 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + 𝑹𝒊. δ𝑹𝒊 ωe = σ𝒊=𝟏 𝑷 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + σ𝒊=𝟏 𝑹 𝑹𝒊. δ𝑹𝒊 «Un conjunto de fuerzas reales sobre un cuerpo rígido estará en equilibrio si el trabajo realizado por estas fuerzas, a través de un conjunto de desplazamientos virtuales compatibles, es igual a cero» δω = σ 𝑷𝒊. δΔ𝒊 = 𝟎
- 5. Estructuras I UNELLEZ Trabajo Virtualo Desplazamientos Virtuales : 4 UNIDAD I. Energía de Deformación Ecuaciones de Equilibrio Calcular Fuerzas Trabajo Virtual Complementario o de la Fuerza Virtual Ecuaciones de Compatibilidad Calcular Desplazamientos Generan Para TRABAJO VIRTUAL LEY DE CLAYPERON (1799-1864) Se dice que una estructura que está constituida por un material homogéneo, elástico e isotrópico, sin estar sometido a tensiones iniciales, ni cambios de temperaturas ni movimientos de apoyo; al aplicar un sistema de fuerzas cualesquiera de forma gradual y genera deformaciones, se producirá un trabajo realizado por dichas fuerzas sobre sus propios desplazamientos, la misma será igual a la mitad de la suma de los productos de cada carga por el desplazamiento de su punto de aplicación en su misma dirección; es decir: τx dz τx dx dy P ε τ Δl ENERGÍA DE DEFORMACIÓN εxdx τ x dy dz T = ½ 𝑷. 𝒅 δ𝟏 + δ𝟐+ …δ𝒏 = Δdx =εxdx La energía de deformación almacenada por el elemento, al sufrir la deformación εx, establece la relación entre la variación de la fuerza axial P generadora del esfuerzo τx y el desplazamiento Δl correspondiente en la misma dirección.
- 6. Estructuras I UNELLEZ La fuerzamultiplicada por la deformación es el trabajo realizado. En un cuerpo elásticamente deformable sucederá que la energía: Fuerza media desplazamiento Trabajo Si se consideran los cambios de longitud en el elemento diferencial (x, y, z), entonces se tiene que: 5 UNIDAD I. Energía de Deformación dU = ½ dy.dz.τx . εxdx = ½ τx εx dV 𝑼 = ½ σ 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 T = ½ τx εx dV dU = ½ (τx εx +τy εy+τz εz)dV La máxima energía de deformación por unidad de volumen que puede ser absorbida por un material dentro de su rango elástico se conoce como «módulo de resistencia». De la Ley de Clayperon, finalmente se deduce que la energía de deformación: 𝑇𝑒 = 0 𝑃𝑖 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊= U 𝑼 = 0 𝑠 𝑁2 2𝐴𝐸 𝑑𝑠 + Cv 0 𝑠 𝑉2 2𝐴𝐺 𝑑𝑠 + 0 𝑠 𝑀2 2𝐸𝐼 𝑑𝑠 + 0 𝑠 𝑀𝑇 2 2𝐺𝐼𝑝 𝑑𝑠 AXIAL CORTANTE FLEXIÓN TORSIÓN
- 7. Estructuras I UNELLEZ LEY DEBETTI O DE LOS TRABAJOS RECÍPROCOS (1872) Para un elemento estructural constituida por un material que sigue las condiciones de la «Ley de Hooke», el trabajo realizado por un sistema cualesquiera de fuerzas Pm sobre los desplazamientos producidos por otro sistema de fuerzas Pn, es igual al trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas Pn sobre los desplazamientos producidos por el otro sistema de fuerzas Pm: a.- Primeramente, se aplica Pm y luego Pn b.- Primeramente, se aplica Pn y luego Pm 6 UNIDAD I. Energía de Deformación Pn Pm δ𝒎𝒏 δ𝒎𝒎 δ𝒏𝒏 δ𝒏𝒎 La energía de deformación 𝑼 = ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎 𝑼 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏 El trabajo total: 𝑼 = ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 I Ahora si se aplica primero 𝑷𝒏, y luego 𝑷𝒎, el trabajo es:: 𝑼 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎 II Según la Ley de Betti, el orden de aplicación de las cargas no debe incidir en el valor del trabajo realizado, por lo que: ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 = ½ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒏+ ½ 𝑷𝒎. δ𝒎𝒎+ 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎 𝑷𝒎. δ𝒎𝒏 = 𝑷𝒏. δ𝒏𝒎 De donde se obtiene simplificando:
- 8. Estructuras I UNELLEZ LEY DEMAXWELL O DE LOS DESPLAZAMIENTOS RECÍPROCOS (1864) Esta ley, particularmente se relaciona con la Ley de Betti, el cual tanto como la carga Pm como Pn, es igual a la unidad; es decir: 7 UNIDAD I. Energía de Deformación 𝟏. δ𝒎𝒏 = 𝟏. δ𝒏𝒎 El desplazamiento de un punto n generado por la acción de una carga unitaria en el punto N en la dirección de N, será igual al desplazamiento en el punto m generado por la acción de una carga unitaria en el punto M y en la dirección de M. TEOREMA DE CASTIGLIANO (1847-1888) Este teorema se basa en el principio de los trabajos virtuales en los cuerpos elásticamente deformables, cuya expresión, se fundamenta en las leyes previamente definidas, del cual se establece que: 𝒊=𝟏 𝑷 𝑷𝒊. δ𝑷𝒊 + 𝒊=𝟏 𝑹 𝑹𝒊. δ𝑹𝒊 = න 0 𝑠 𝑁𝑁′ 𝐴𝐸 𝑑𝑠 + Cv න 0 𝑠 𝑉𝑉′ 𝐴𝐺 𝑑𝑠 + න 0 𝑠 𝑀𝑀′ 𝐸𝐼 𝑑𝑠 + න 0 𝑠 𝑀𝑇𝑀𝑇 ′ 𝐺𝐼𝑝 𝑑𝑠 + න 0 𝑆 𝑁′α𝑡Δ𝑡𝑜𝑑𝑠 න 0 𝑠 𝑀′α𝑡Δ(Δ𝑡) ℎ 𝑑𝑠 + Si no existen cambios de temperatura ni movimientos en los apoyos en el sistema P y se deriva parcialmente respecto a una fuerza cualquiera «Pn» del sistema P, se obtiene: 𝜹𝑷𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑵′ 𝝏𝑷𝒏 . 𝑵 𝑨𝑬 𝒅𝒔 + Cv න 𝟎 𝒔 𝝏𝑽 𝝏𝑷𝒏. 𝑽 𝑨𝑮 𝒅𝒔 + න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 + න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴𝑻 𝝏𝑷𝒏, 𝑴𝑻 𝑮𝑰𝒑 𝒅𝒔
- 9. Estructuras I UNELLEZ 8 UNIDAD I.Energía de Deformación P La energía de deformación (𝜹𝒏)vendrá dada por la derivada parcial de una fuerza cualquiera Pn, es decir: 𝜹𝒏 = 𝝏𝑼 𝝏𝑷𝒏 La aplicación del teorema para la determinación de las componentes de desplazamientos en estructuras, isostáticas e hiperestáticas. P1 P2 P3 A B C D Si se desea determinar la componente vertical υB del desplazamiento del punto B, la fuerza Pn será igual a la carga externa P1 ya conocida, es decir, 𝜹𝒏 = υB Si, por su parte, lo que se desea es calcular la rotación relativa de la junta A del sistema θA se resolverá, colocando en evidencia el Momento Mn sobre el punto A, el cual, será equivalente a la carga externa, después de haber derivado y antes de efectuar la integración 𝜹𝒏 = θA Pn = P1 Mn = 0
- 10. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión. DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm a. Se comprueba que la estructura sea estáticamente determinada (isostática) y además ‘’estable’’. Para determinar el grado isostático del sistema, aplicaremos la fórmula que conocemos como grado de libertad (GL); GL= 3n – (Vint + Vext) Donde: n = número de barras o elementos rígidos Vint= Número de restricciones (vínculos)internas Vext= Número de restricciones (vínculos)externas GL= 3(2) – (2+ 4) GL= 6 – (6) GL= 0 ISOSTÁTICA 9 SOLUCIÓN
- 11. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm SOLUCIÓN b. Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema. b.1, Uno para las cargas reales aplicadas al sistema, y b.2, Uno para la Carga (Pn)generadora de la energía b.1, Cálculo de Reacciones por Cargas Dado que el sistema se divide en dos cuerpos (chapas), determinamos las reacciones haciendo la sumatoria de momentos en B (considerando el elemento AB) y luego generando momentos en B nuevamente (considerando el elemento DCB) 10 Este procedimiento lo realizaremos en dos fases. RA y 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + 12Tm- 3.RA y = 0 12Tm= 3. RA y RA y = 4T 𝐹𝑉 = 0 + 4T - 3T - 12T + RD y = 0 RD y - 11T + RD y = 0 RD y = 11T 𝐹𝐻 = 0 + RD x - 5T + RD x = 0 RD x = 5T 𝑀𝐵 𝐷 𝐵 = 0 + MD 11T (3m) -5T (5m)-12T (1,5m) +-5Tm + MD = 0 MD = 5Tm 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión.
- 12. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm SOLUCIÓN b. Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema. b.1, Uno para las cargas reales aplicadas al sistema, y b.2, Uno para la Carga (Pn)generadora de la energía b.1, Cálculo de Reacciones por Cargas Dado que el sistema se divide en dos cuerpos (chapas), determinamos las reacciones haciendo la sumatoria de momentos en B (considerando el elemento AB) y luego generando momentos en B nuevamente (considerando el elemento DCB) 11 Este procedimiento lo realizaremos en dos fases. 4T 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + 12Tm- 3.RA y = 0 12Tm= 3. RA y RA y = 4T 𝐹𝑉 = 0 + 4T - 3T - 12T + RD y = 0 11T - 11T + RD y = 0 RD y = 11T 𝐹𝐻 = 0 + - 5T + RD x = 0 RD x = 5T 𝑀𝐵 𝐷 𝐵 = 0 + 11T (3m) -5T (5m)-12T (1,5m) +-5Tm + MD = 0 MD = 5Tm 5T 5Tm Evidenciamos las Reacciones 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión.
- 13. 0.6Io 1.4Io 0.8Io Pn 3m 3m 2m 3m A B C D DATOS: EI=8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. SOLUCIÓN b.2, Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema. b.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora 12 Solo poniendo en evidencia la carga generadora de la energía Pn = δA, en sentido asumido 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + -Pn(3m) + 3.RA y = 0 -3Pn= -3.RA y RA y = Pn 𝐹𝑉 = 0 + - Pn + RD y = 0 RD y = Pn RD y = Pn 𝐹𝐻 = 0 + Pn+ RD x = 0 RD x = Pn 𝑀𝐵 𝐷 𝐵 = 0 + Pn (3m) + Pn (5m)+ MD = 0 MD = 8Pn En este aspecto, el valor de carga deformadora será la unidad; es decir, Pn = 1. RA y RD y RD x MD 8Pn + MD = 0 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión.
- 14. 0.6Io 1.4Io 0.8Io Pn 3m 3m 2m 3m A B C D DATOS: EI=8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. SOLUCIÓN b.2, Ahora se procede a calcular las reacciones del sistema. b.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora 13 Solo poniendo en evidencia la carga generadora de la energía Pn = δA, en sentido asumido 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + -Pn(3m) + 3.RA y = 0 -3Pn= -3.RA y RA y = Pn 𝐹𝑉 = 0 + - Pn + RD y = 0 RD y = Pn RD y = Pn 𝐹𝐻 = 0 + Pn+ RD x = 0 RD x = Pn 𝑀𝐵 𝐷 𝐵 = 0 + Pn (3m) + Pn (5m)+ MD = 0 MD = 8Pn En este aspecto, el valor de carga deformadora será la unidad; es decir, Pn = 1. Pn 8Pn + MD = 0 Pn Pn 8Pn Evidenciamos las Reacciones 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión.
- 15. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm SOLUCIÓN c. Una vez determinado externamente el sistema, procederemos a la determinación de sus esfuerzos de flexión a través del método de la sección aplicado a cada elemento. 14 (4T-Pn) (11T+Pn) (5T-Pn) (5Tm-8Pn) Evidenciamos ambos (sistema real + sistema virtual) 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión. Se puede determinar los esfuerzos partiendo de cualquiera de los extremos, o barras. Sin embargo, es importante indicar el origen. Iniciaremos con el tramo AB, partiendo del tramo A, haciendo una sección de corte de dirección x y dirección y para determinar en este caso, la ecuación constante de esfuerzo de flexión de dicho elemento. TRAMO A-B con origen en ‘’A’’ MÉTODO DE SECCIONES Pn Pn (4T -Pn) A 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + -(4T -Pn) . x - Pn .x + M(x) AB = 0 M(x) AB = 4x y x v v y= x Por relación se tiene que: -4x+Pn .x - Pn.x + M(x) AB = 0 -4x+ M(x) AB = 0 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = 0 Derivando M(x) AB en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) AB = 4x (4T -Pn) Pn
- 16. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm SOLUCIÓN 15 (4T-Pn) (11T+Pn) (5T-Pn) (5Tm-8Pn) Evidenciamos ambos (sistema real + sistema virtual) 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión. TRAMO B-C con origen en ‘’B’’ Pn (4T -Pn) B 𝑀𝐶 𝐵 𝐶 = 0 + - (5T -Pn). x + M(x) BC = 0 v v 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = -x Derivando M(x) BC en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) BC = 5x Nodo ‘’B’’ 5T (4T -Pn) Pn B (4T -Pn) (5T -Pn) (5T -Pn) x M(x) BC (4T -Pn) (5T -Pn) - 5x+Pn.x + M(x) BC = 0 M(x) BC = 5x-Pn.x APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟓 −𝒙 .(𝟓𝒙) 𝟎.𝟔𝑬𝑰 𝒅𝒙 = න 𝟎 𝟓 −𝟓𝒙𝟐 𝟎.𝟔𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑩𝑪 = −𝟑𝟏𝟐𝟓 𝟗𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación 𝜹𝒏𝑩𝑪 = −𝟎,𝟎𝟒𝟎𝟔𝒎 solo efectos de flexión Cuando x = 5m MC = (25Tm – 5Pn)
- 17. 0.6Io 1.4Io 0.8Io 5Tm 3T 4T/m 5T 3m 3m 2m 3m A B CD DATOS: EI= 8550Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación Ejercicio 1. 12Tm SOLUCIÓN 16 (4T-Pn) (11T+Pn) (5T-Pn) (5Tm-8Pn) Evidenciamos ambos (sistema real + sistema virtual) 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento horizontal en ‘’A’’. Considerar solo efectos de flexión. TRAMO C-D con origen en ‘’C’’ Pn C 𝑀𝐷 𝐶 𝐷 = 0 + 𝟒𝒙 (𝒙) 𝟐 − (1T -Pn). x - (20Tm–5Pn)+ M(x) CD = 0 v v 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = (-x-5) Derivando M(x) CD en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) BC = -2x2 +x +20 Junta ‘’C’’ 3T (4T -Pn) C (5T -Pn) (1T -Pn) x M(x) CD M(x) CD = -2x2 +x +20- Pn.x -5Pn APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟑 −𝒙−𝟓 .(−𝟐𝒙𝟐 +𝒙+𝟐𝟎) 𝟏.𝟒𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑪𝑫 = −𝟏𝟒𝟓𝟓 𝟕𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación 𝜹𝒏𝑪𝑫 = −𝟎,𝟎𝟐𝟒𝟑𝒎 solo efectos de flexión 5Tm (5T -Pn) Cuando x = 3m MD = (5Tm – 8Pn) (25Tm–5Pn) (20Tm–5Pn) (5T -Pn) (1T -Pn) (20Tm–5Pn) 4T/m 12T 2x2 -x +Pn.x - 20Tm+5Pn + M(x) CD = 0 (11T+Pn) (5T -Pn)
- 18. Io 1.2Io 2,3Io 2,1T/m 3,4T 5T 2m ,5m3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 12Tm 17 SOLUCIÓN a.1, Cálculo de Reacciones por Cargas 𝑀𝐷 𝐴 𝐷 = 0 + 𝐹𝑉 = 0 + - 2,1T/m(3,5m) + RD y = 0 - 7,35T + RD y = 0 RD y = 7,35T 𝐹𝐻 = 0 + - 3,4T + 5T + RD x = 0 RD x = -1,6T 3,4T (5,25m) -5T (2,25m)+12Tm +2,1T/m(3,5m) (1,75m) + MA = 0 MA = -31,463Tm 1,6T + RD x = 0
- 19. Io 1.2Io 2,3Io Pn 2m ,5m 3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1.Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 18 SOLUCIÓN a.2, Cálculo de Reacciones por Cargas Deformadora 𝑀𝐷 𝐴 𝐷 = 0 + 𝐹𝑉 = 0 + - Pn + RD y = 0 RD y = Pn 𝐹𝐻 = 0 + RD x = 0 Pn (5,5m) + MA = 0 MA = -5,5Pn Para la Carga de deformación Pn, se asumirá un sentido arbitrario en la misma dirección del desplazamiento, con el valor de la unidad. Es importante que el sistema permuta la condición de desplazamiento solicitad. 5,5Pn + MA = 0
- 20. Io 1.2Io 2,3Io 2,1T/m 3,4T 5T 2m ,5m3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 12Tm 19 SOLUCIÓN Se evidencian todas las Reacciones determinadas del sistema 𝑀𝐷 𝐴 𝐷 = 0 + 𝐹𝑉 = 0 + - 2,1T/m(3,5m) + RD y = 0 - 7,35T + RD y = 0 RD y = 7,35T 𝐹𝐻 = 0 + - 3,4T + 5T + RD x = 0 RD x = -1,6T 3,4T (5,25m) -5T (2,25m)+12Tm +2,1T/m(3,5m) (1,75m) + MA = 0 MA = -31,463Tm 1,6T + RD x = 0 + + - Pn + RD y = 0 RD y = Pn Pn (5,5m) + MA = 0 MA = -5,5Pn 5,5Pn + MA = 0 𝑀𝐷 𝐴 𝐷 = 0 𝐹𝑉 = 0 (31,463Tm+5,5Pn ) (7,35T+Pn) 1,6T Pn
- 21. Io 1.2Io 2,3Io 2,1T/m 3,4T 5T 2m ,5m3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 12Tm 20 SOLUCIÓN (31,463Tm+5,5Pn ) (7,35T+Pn) 1,6T TRAMO A-B con origen en ‘’A’’ MÉTODO DE SECCIONES Pn A 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + Pn .(x) - (31,463Tm+5,5Pn ) + M(x) AB = 0 M(x) AB = 31,463Tm- Pn.x + 5,5Pn y x 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = (-x+5,5) Derivando M(x) AB en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) AB = 31,463 (M(x) AB (31,463Tm+5,5Pn ) Pn Pn Al corte Pn.x - 31,463Tm- 5,5Pn + M(x) AB = 0 Cuando x = 2,5m MB = (31,463Tm + 3Pn) APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟒,𝟓𝟎𝟕 −𝒙+𝟓,𝟓 .(𝟑𝟏,𝟒𝟔𝟑) 𝟐,𝟑𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑨𝑩 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟏𝟓𝟗 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión
- 22. Io 1.2Io 2,3Io 2,1T/m 3,4T 5T 2m ,5m3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 12Tm 21 SOLUCIÓN (31,463Tm+5,5Pn ) (7,35T+Pn) 1,6T TRAMO B-C con origen en ‘’B’’ Pn B 𝑀𝐶 𝐵 𝐶 = 0 + -Pn .(x) + 3,4T .(6x) - (31,463Tm+3Pn ) + M(x) BC = 0 M(x) BC = 31,463Tm- 20,4x + Pn.x + 3Pn y=6x x 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = (x+3) Derivando M(x) BC en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) AB = 31,463 - 20,4x (M(x) AB Pn Al corte Cuando x = 0,5m MC = (21,263Tm + 3,5Pn) APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟑,𝟎𝟒𝟏 𝒙+𝟑 .(𝟑𝟏,𝟒𝟔𝟑−𝟐𝟎,𝟒𝒙) 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑩𝑪 = −𝟒𝟏, 𝟔𝟗𝟑 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión 3,4T B Pn (31,463Tm + 3Pn) 3,4T Pn (31,463Tm + 3Pn) Junta ‘’B’’ (31,463Tm + 3Pn) Pn 3,4T 3,4T -Pn.x + 20,4x - 31,463Tm-3Pn + M(x) BC = 0
- 23. Io 1.2Io 2,3Io 2,1T/m 3,4T 5T 2m ,5m3m 3m ,75m 1,5m A B C D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Pn en la dirección del desplazamiento vertical en ‘’A’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= ctte Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 2. 12Tm 22 SOLUCIÓN (31,463Tm+5,5Pn ) (7,35T+Pn) 1,6T TRAMO C –D con origen en ‘’C’’ C 𝑀𝐷 𝐶 𝐷 = 0 + Pn .(x) – 1,6T .(0,643x) - (9,263Tm+3,5Pn ) +2,1T/m(x) 𝒙 𝟐 + M(x) CD = 0 M(x) CD = -1,050x2+1,029x +9,263 – Pn.x + 3,5Pn y=0,643x x 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑷𝒏 = (-x+3,5) Derivando M(x) CD en función a la carga deformadora Pn Para Pn = 0 M(x) AB = -1,050x2+1,029x +9,263 (M(x) AB Pn Al corte Cuando x = 3,5m MD = 0 APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑷𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟒,𝟏𝟔𝟏 −𝒙+𝟑,𝟓 .(−𝟏,𝟎𝟓𝟎𝒙𝟐 +𝟏,𝟎𝟐𝟗𝒙 +𝟗,𝟐𝟔𝟑) 𝟏,𝟐𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑩𝑪 = +𝟒𝟑, 𝟎𝟏𝟒 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión 5T C Pn (21,263Tm + 3,5Pn) 1,6T Pn (9,263Tm + 3,5Pn) Junta ‘’C’’ (9,263Tm + 3Pn) Pn 1,6T 1,6T 12Tm 3,4T 2,1T/m Pn.x – 1,029x - 9,263Tm-3,5Pn +1,05x2+ M(x) CD = 0 𝜹𝒏𝑻𝑶𝑻𝑨𝑳 = 𝟐𝟎𝟏,𝟒𝟖𝟎 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑
- 24. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión. DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. 5Tm 23 1,5T/m E F 0,6Io Io
- 25. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 24 SOLUCIÓN a.1, Cálculo de Reacciones por Cargas 𝑀𝐷 𝐹 𝐷 = 0 + 𝐹𝑉 = 0 + 1,5T -1,5T/m (½ . 3m) -1T - 3T/m (3m) + RA y = 0 RF y = 1,5T 𝐹𝐻 = 0 + RE x = 2,885T -1,5T/m (½ . 3m) (2 3 . 3m) + 3RF Y = 0 2,885T + 4T + RC x = 0 1,5T/m E F 0,6Io Io Nótese que en el sistema planteado, la carga deformadora en el tramo DF coincide con una carga concentrada (momento) en la misma dirección. Si aplicamos, el principio del teorema, esta carga Mn tomará el valor de dicha carga para la integración (Mn= 5 tm) y el valor de la unidad para el sistema de deformación RA y = 10,75T 𝑀𝐵 𝐸𝐹𝐷𝐶 𝐵 = 0 + 1,5T (6m) -1,5T/m (½ . 3m) (2 3 . 3m+ 3m) - 1T (3m) - 3T/m (3m) (1,5m) + 6,5RE X = 0 RE x = -6,885T 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + 4T (2m) + MA = 0 MA = -8T m 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.
- 26. Io 1.8Io 0,2Io 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 25 SOLUCIÓN a.2, Cálculo de Reacciones por Carga Deformadora Mn=1 𝑀𝐷 𝐹 𝐷 = 0 + 𝐹𝑉 = 0 + 0,333Mn + RA y = 0 RF y = 0,333Mn 𝐹𝐻 = 0 + RE x = -0,154T -Mn + 3RF Y = 0 -0,154T + RC x = 0 E F 0,6Io Io RA y = -0,333Mn 𝑀𝐵 𝐸𝐹𝐷𝐶 𝐵 = 0 + 0,333Mn (6m) -Mn + 6,5RE X = 0 RE x = 0,154T 𝑀𝐵 𝐴 𝐵 = 0 + MA = 0 3RF Y = 1.Mn 1,998Mn -Mn + 6,5RE X = 0 0,998Mn + 6,5RE X = 0 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.
- 27. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 26 SOLUCIÓN 1,5T/m E F 0,6Io Io Una vez que se ha puesto en evidencia todas las reacciones de las cargas, se aplica el método de secciones para determinar la constante de esfuerzos de flexión de cada elemento. 8Tm (10,75T - 0,333Mn ) (1,5T +0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (6,885T -0,154Mn ) TRAMO D-E con origen en ‘’E’’ MÉTODO DE SECCIONES 𝑀𝐷 𝐸 𝐷 = 0 + (2,885T -0,154Mn ) .(0,667x) + M(x) ED = 0 M(x) ED = -1,924x + 0,103Mn.x x 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑴𝒏 = (0,103x) Derivando M(x) ED en función a la carga deformadora Mn Para Mn = 5 M(x) ED = (-1,409x) (M(x) ED Al corte Cuando x = 3m MD = (-5,772Tm + 0,309Mn) APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑴𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟑,𝟔𝟎𝟔 𝟎,𝟏𝟎𝟑𝒙 .(−𝟏,𝟒𝟎𝟗𝒙) 𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑬𝑫 = −𝟐, 𝟐𝟔𝟖 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión (2,885T -0,154Mn ) E y=0,667x (2,885T -0,154Mn ) 1,924x- 0,103Mn.x + M(x) ED = 0 𝜹𝒏𝑬𝑫 = −𝟑, 𝟒𝟓𝟔𝒙𝟏𝟎 − 𝟓 𝒎 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.
- 28. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 27 SOLUCIÓN 1,5T/m E F 0,6Io Io 8Tm (10,75T - 0,333Mn ) (1,5T +0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (6,885T -0,154Mn ) TRAMO D-F con origen en ‘’D’’ 𝑀𝐹 𝐷 𝐹 = 0 + -(0,75T -0,333Mn ) .(x) –Mn + 1𝑥 2 𝑇𝑚 𝑥 2 𝑥 3 + M(x) DF = 0 M(x) DF = -0,083x3 + 0,75x - 0,333Mn.x + Mn x 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑴𝒏 = (-0,333x+1) Derivando M(x) DF en función a la carga deformadora Mn Para Mn = 5 M(x) DF = -0,083x3 - 0,915x +5 Al corte Cuando x = 3m MF = 0 APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑴𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟑,𝟔𝟎𝟔 −𝟎,𝟑𝟑𝟑𝒙+𝟏 .(−𝟎,𝟎𝟖𝟑𝒙𝟑 −𝟎,𝟗𝟏𝟓𝒙+𝟓) 𝟏,𝟖𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑫𝑭 = +𝟑, 𝟐𝟔𝟕 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión F y=0,667x 𝜹𝒏𝑫𝑭 = 𝟒, 𝟗𝟕𝟖𝒙𝟏𝟎 − 𝟓 𝒎 (1,5T +0,333Mn ) Mn 1,5T/m q(x)= 1𝑥 2 𝑇𝑚 (0,75T - 0,333Mn ) D 2,25T -0,75x+0,333Mn.x –Mn + 𝑥 3 13 + M(x) DF = 0 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.
- 29. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 28 SOLUCIÓN 1,5T/m E F 0,6Io Io 8Tm (10,75T - 0,333Mn ) (1,5T +0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (6,885T -0,154Mn ) TRAMO D-C con origen en ‘’D’’ 𝑀𝐶 𝐷 𝐶 = 0 + (2,885T -0,154Mn ) .(x) + (5,772Tm -0,309Mn ) + M(x) DC = 0 M(x) DC = -2,885x – 5,772 + 0,154Mn.x + 0,309Mn 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑴𝒏 = (0,154x+0,309) Derivando M(x) DC en función a la carga deformadora Mn Para Mn = 5 M(x) DF = (-2,192x-4,382) Al corte Cuando x = 4,5m MC = -18,750Tm+1Mn APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑴𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟒,𝟓 𝟎,𝟏𝟓𝟒𝒙+𝟎,𝟑𝟎𝟗 .(−𝟐,𝟏𝟗𝟐𝒙−𝟒,𝟑𝟖𝟐) 𝟎,𝟔𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑫𝑪 = −𝟓𝟎, 𝟎𝟔𝟐 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión D x 𝜹𝒏𝑫𝑪 = −𝟕, 𝟔𝟐𝟗𝒙𝟏𝟎 − 𝟒 𝒎 (0,75T - 0,333Mn ) D (2,885T -0,154Mn ) (5,772Tm - 0,309Mn) (0,75T - 0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (5,772Tm - 0,309Mn) Junta ‘’D’’ C (0,75T - 0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (5,772Tm - 0,309Mn) (2,885T -0,154Mn ) (0,75T - 0,333Mn ) (M(x) DC 2,885x-0,154Mn .x + 5,772Tm -0,309Mn + M(x) DC = 0 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.
- 30. Io 1.8Io 0,2Io 3T/m 1T 4T 3m 3m 2m 1 m 1,5m 2m A BC D DATOS: EI= 65625Tm2 Estructuras I UNELLEZ UNIDAD I. Energía de Deformación/ Teorema de Castigliano Ejercicio 3. Mn 29 SOLUCIÓN 1,5T/m E F 0,6Io Io 8Tm (10,75T - 0,333Mn ) (1,5T +0,333Mn ) (2,885T -0,154Mn ) (6,885T -0,154Mn ) TRAMO C-B con origen en ‘’C’’ 𝑀𝐵 𝐶 𝐵 = 0 + -(1,75T -0,333Mn ) .(x) – 3x (𝑋 2 ) + (18,750- Mn ) + M(x) CB = 0 M(x) DC = 1,5x2+1,750x-18,750 + 0,333Mn.x - Mn 𝝏𝑴 (𝒙) 𝝏𝑴𝒏 = (0,333x-1) Derivando M(x) CB en función a la carga deformadora Mn Para Mn = 5 M(x) CB = 1,5x2+3,415x-23,750) Al corte Cuando x = 3m MB = 0 APLICANDO TEOREMA DE CASTIGLIANO 𝜹𝒏 = න 𝟎 𝒔 𝝏𝑴 𝝏𝑴𝒏. 𝑴 𝑬𝑰 𝒅𝒔 = න 𝟎 𝟑 𝟎,𝟑𝟑𝟑𝒙−𝟏 .(,𝟏,𝟓𝒙𝟐 +𝟑,𝟒𝟏𝟓𝒙−𝟐𝟑,𝟕𝟓𝟎) 𝟎,𝟐𝑬𝑰 𝒅𝒙 𝜹𝒏𝑪𝑩 = 𝟏𝟑𝟓, 𝟕𝟑𝟗 𝑬𝑰 𝑻𝒎𝟑 Energía de Deformación solo efectos de flexión B x 𝜹𝒏𝑪𝑩 = 𝟐, 𝟎𝟔𝟖𝒙𝟏𝟎 − 𝟑 𝒎 (0,75T - 0,333Mn ) C (2,885T -0,154Mn ) (18,750Tm – 1Mn) (1,75T - 0,333Mn ) (6,885T -0,154Mn ) 4T Junta ‘’C’’ C 4T (10,75T - 0,333Mn ) 1T (18,750Tm – 1Mn) 4T (1,75T - 0,333Mn ) (18,750Tm – 1Mn) 9T 3T/m -1,75x-0,333Mn .x – 1,5x2 + 18,750- Mn + M(x) CB = 0 1. Determinar la Energía de Deformación de la estructura para una carga Mn en dirección de una rotación relativa en el extremo ‘’DF’’. Considérese solo efectos de flexión.