Este documento presenta los conceptos de trabajo, energía y deformación elástica. Explica que cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo, este se deforma y almacena energía interna en forma de energía de deformación. Luego detalla cómo la energía de deformación depende de fuerzas axiales, flexión, corte y torsión, y provee fórmulas para calcular la energía de deformación debida a cada uno de estos efectos. Finalmente, resume que la energía de deformación total es la suma de las energías debidas a cada efecto, seg

1. Trabajo y Energía
Presentación del Tema
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Presentación del Tema
Si un sistema de fuerzas externas se aplica a un cuerpo este se deformará hasta que se
presente el equilibrio entre las fuerzas externas aplicadas y las fuerzas internas del cuerpo.
En consecuencia, el sistema de fuerzas externas realiza un trabajo. Este trabajo se almacena
en el cuerpo y es a lo que se llama "energía de deformación del cuerpo"
El trabajo realizado por el sistema de fuerzas externas se puede transformar en energía de
deformación y/o energía cinética del cuerpo. Si las fuerzas se aplican gradual y lentamente,
a un cuerpo elástico, el trabajo exterior se transforma completamente en energía de
deformación.
La energía de deformación o energía interna de un cuerpo elástico es, por lo tanto, la suma
de todo el trabajo transmitido por el sistema para deformarlo con respecto a su estado
natural. La energía de deformación almacenada se transforma en trabajo cuando el sistema
de fuerzas es retirado. Si el cuerpo es perfectamente elástico recuperará exactamente su
forma inicial. En los sistemas elásticos se despreciarán las pérdidas de energía por calor.

3. Presentación del Tema
La energía de deformación depende de las características de la curva carga-deformación del
cuerpo. Así, por. ejemplo, en la Fig. 1 el área sombreada nos representa la energía de
deformación de un cuerpo con comportamiento elástico lineal. El área sombreada en la Fig.
2 nos representa la energía de deformación de un cuerpo con comportamiento elástico no
lineal.
Para el caso de la Fig. 1 la carga P se aplica gradualmente y por lo tanto la deformación
aumenta gradualmente. El trabajo desarrollado por la fuerza P es:
𝑊 = 𝑃 ∙ 𝑑𝛿 =
1
2
∙ 𝑃 ∙ 𝛿
El área no sombreada marcada con C
en las Figs. 1 y 2, se denomina "energía
complementaria de deformación" y se
calcula con la integral:
𝐶 = 𝛿 ∙ 𝑑𝑝
dw = P ∙ dδ

4. Presentación del Tema
La energía de deformación puede aparecer debido a fuerzas axiales, de flexión, de cortante
y de torsión. Estas fuerzas pueden presentarse aisladas o en determinadas combinaciones.
Efecto de la Fuerza Normal (axial)
Considérese la barra mostrada en la Fig. 3, la cual tiene su área transversal constante.
La aplicación gradual de la carga normal (N) produce la
deformación (). En la longitud dx el trabajo interno (dw)
efectuado es:
dw =
1
2
∙ N ∙ dδ =
N
2
∙ ε ∙ dx
pero: ε =
σ
E
=
N
A ∙ E
⟹ dw =
N
2
∙
N
A ∙ E
∙ dx
y el trabajo total (W) en la longitud
(L) será:
W =
0
L
N2
2 ∙ A ∙ E
∙ dx
y debido a que el trabajo efectuado es igual a la energía de deformación interna, entonces:
Un =
0
L
N2
2 ∙ A ∙ E
∙ dx
dδ = ε ∙ dx

5. Presentación del Tema
Efecto del Momento Flexionante
Considérese que en el tramo de viga mostrado en la Fig. 4 actúan fuerzas que producen
flexión en él mismo.
Una fibra situada a una distancia "y" del
eje neutro tendrá como deformación en
la longitud dx:
pero:
dδ = ε ∙ dx
ε =
σ
E
=
M ∙ y
E ∙ J
⟹ dδ =
M ∙ y
E ∙ J
∙ dx
Debido a que las fuerzas que producen flexión
se aplican gradualmente, el valor de la fuerza
promedio que actúa en el área (dA) es:
dF = σ ∙ dA ⟹ dF =
M ∙ y
J
∙ dA
El trabajo efectuado en la fibra analizada es: dw =
1
2
∙ dδ ∙ dF
o sea: dw =
1
2
∙
M2
∙ y2
E ∙ J2 dx ∙ dA
(Esto es para una fibra ubicada a la
distancia “y” del eje neutro)

6. Presentación del Tema
Efecto del Momento Flexionante
…y el trabajo para todas las fibras en la sección resulta ser:
dw =
1
2
∙
M2
E ∙ J2 dx ∙
C2
C1
y2
∙ dA ⟹ dw =
1
2
∙
M2
E ∙ J
dx
El trabajo total en toda la viga será: W =
0
L
dw =
0
L
1
2
∙
M2
E ∙ J
dx
…y por lo tanto la energía de deformación
interna debida al momento flexionante
será:
Ub =
0
L
1
2
∙
M2
E ∙ J
dx

7. Presentación del Tema
Efecto de la Fuerza Cortante
Considérese que en el tramo de viga mostrada en la Fig. 5 actúan fuerzas que producen
esfuerzos de cortante en el mismo.
El trabajo debido a la fuerza
cortante es:
dw =
1
2
∙ τ ∙ dA ∙ γ ∙ dx
…pero τ =
Q ∙ S
J ∙ b
y γ =
τ
G
⟹ γ =
Q ∙ S
G ∙ J ∙ b
donde S es el momento estático con respecto al eje neutro y b es el ancho de la sección,
entonces:
dw =
1
2
∙
Q2 ∙ S2
G ∙ J2 ∙ b2
∙ dx ∙ dA y el trabajo que se efectúa en la longitud dx, es:
dw =
1
2
∙
Q2
∙ dx
G ∙ A
∙
A
J2
∙
h1
h2
S2
b2
∙ dA
(Jouravski) (Hooke)

8. Presentación del Tema
Efecto de la Fuerza Cortante
… y llamando: χ =
A
J2 ∙
h1
h2
S2
b2 ∙ dA … entonces: dw =
1
2
∙
χ ∙ Q2
G ∙ A
∙ dx
El trabajo efectuado en toda la viga será: W =
0
L
dw =
0
L
1
2
∙
χ ∙ Q2
G ∙ A
∙ dx
… y por lo tanto: Us =
0
L
1
2
∙
χ ∙ Q2
G ∙ A
∙ dx
La constante χ es el llamado factor de forma y
depende de la forma de la sección transversal.
Algunos valores de χ : χ ≡ C

9. Presentación del Tema
La viga mostrada en la Fig. 6 está sujeta a un momento torsionante (T) aplicado en un
extremo de la misma.
Efecto del Momento Torsionante
El trabajo efectuado en el segmento
dx es:
dw =
1
2
∙ T ∙ γ
…pero: γ =
T ∙ dx
G ∙ J0
⟹ dw =
1
2
∙
T2
∙ dx
G ∙ J0
… y para todo el elemento el trabajo (W) será: W =
0
L
dw =
0
L
1
2
∙
T2
∙ dx
G ∙ J0
… por lo tanto la energía de deformación interna debida a fuerzas de torsión es:
Ut =
0
L
1
2
∙
T2
∙ dx
G ∙ J0

10. Presentación del Tema
Algunos valores del momento polar de inercia (J0) para diferentes
secciones transversales se dan a continuación:
Efecto del Momento Torsionante

11. Podemos arribar a la
siguiente conclusión…
…en el caso general de un elemento sujeto a los elementos mecánicos citados
anteriormente, se obtiene que la energía de deformación total es:
𝐔 = 𝐔𝐧 + 𝐔𝐛 + 𝐔𝐬 + 𝐔𝐭
o sea:
𝑼 =
𝟎
𝑳
𝟏
𝟐
∙
𝑵𝟐 ∙ 𝒅𝒙
𝑨 ∙ 𝑬
+
𝟎
𝑳
𝟏
𝟐
∙
𝑴𝟐 ∙ 𝒅𝒙
𝑬 ∙ 𝑱
+
𝟎
𝑳
𝟏
𝟐
∙
χ ∙ 𝑸𝟐 ∙ 𝒅𝒙
𝑮 ∙ 𝑨
+
𝟎
𝑳
𝟏
𝟐
∙
𝑻𝟐 ∙ 𝒅𝒙
𝑮 ∙ 𝑱𝟎
NOTA: La expresión anterior puede usarse también para vigas ligeramente curvas. La
limitación para su uso se presenta cuando el radio de curvatura es menor que cinco veces
la dimensión mayor de la sección transversal.
(por el Principio de Superposición de Efectos)

12. Veamos el siguiente ejemplo:
La viga en voladizo de la figura tiene una sección
rectangular transversal y está sometida a una carga P
en su extremo. Determine el desplazamiento de la
carga considerando EI = cte. Estudiar el efecto
relativo del corte si L > 5h.
La fuerza cortante y el esfuerzo flexionante internos
en la viga para una sección genérica ubicada a una
distancia “x” del extremo libre serán:
Resolución
…y la energía interna para la viga será igual al trabajo de las fuerzas exteriores, entonces:
𝑈𝑖 =
1
2
∙ 𝑃 ∙ ∆=
0
𝐿
1
2
∙
𝑁2 ∙ 𝑑𝑥
𝐴 ∙ 𝐸
+
0
𝐿
1
2
∙
𝑀2 ∙ 𝑑𝑥
𝐸 ∙ 𝐽
+
0
𝐿
1
2
∙
𝜒 ∙ 𝑄2 ∙ 𝑑𝑥
𝐺 ∙ 𝐴
+
0
𝐿
1
2
∙
𝑇2 ∙ 𝑑𝑥
𝐺 ∙ 𝐽0
…donde:
∅ ∅
…con: 𝜒 = 1,2 =
6
5

13. …y reemplazando:
Resolución
𝑈𝑖 =
1
2
∙ 𝑃 ∙ ∆=
0
𝐿
1
2
∙
𝑀2
∙ 𝑑𝑥
𝐸 ∙ 𝐽
+
0
𝐿
1
2
∙
𝜒 ∙ 𝑄2
∙ 𝑑𝑥
𝐺 ∙ 𝐴
=
0
𝐿
−𝑃𝑥 2
∙ 𝑑𝑥
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+
0
𝐿
6
5
∙
−𝑃 2
∙ 𝑑𝑥
2 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
→
1
2
∙ 𝑃 ∙ ∆=
𝑃2
∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+
3 ∙ 𝑃2
∙ 𝐿
5 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
El primer término de esta ecuación representa la
energía de deformación debido a la flexión y el
segundo, la energía de deformación debida al
cortante. Comparemos ambos términos para
verificar que podemos despreciar el corte:
𝑃2 ∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
≫
3 ∙ 𝑃2 ∙ 𝐿
5 ∙ 𝐺 ∙ 𝐴
→
𝐸 = 𝐺 ∙ 2 ∙ 1 + 𝜇 ≅ 𝐺 ∙ 2 ∙ 1 + 0,3 ≅ 2,6𝐺
𝐿 ≥ 5ℎ
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ
𝐽 =
𝑏 ∙ ℎ3
12
…y siendo: →
𝐿3
6 ∙ 2,6𝐺 ∙
𝑏 ∙ ℎ3
12
≫
3 ∙ 𝐿
5 ∙ 𝐺 ∙ 𝑏 ∙ ℎ
→ 8 ≫ 1
→
1
2
∙ 𝑃 ∙ ∆≅
𝑃2
∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
→ ∆≅
𝑃 ∙ 𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽

14. Resolución
→
1
2
∙ 𝑃 ∙ ∆≅
𝑃2
∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
→ ∆≅
𝑃 ∙ 𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
Verifica el valor
de tablas

15. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

16. Muchas Gracias