Tema 2 Metodos de Trabajo y Energia.pdf

Universidad EAFIT
Escuela de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Civil

Introducción
Los métodos geométricos de los Teoremas de Área-
Momento y de la Viga Conjugada son muy efectivos
para encontrar desplazamientos y pendientes en
puntos ubicados en vigas sujetas a cargas más bien
simples. Sin embargo, para estructuras y cargas más
complicadas, es mejor usar los métodos de energía.
A diferencia de los métodos geométricos, no es
necesario conocer la configuración aproximada de la
curva elástica para aplicar métodos de energía.

Trabajo
Se define como la capacidad de transmitir energía de
un sistema a otro. El trabajo hecho por una fuerza F la
cual mueve un cuerpo una distancia X cuyos vectores
forman un ángulo θ viene dado por el producto
escalar:
cos
W F X FX θ
= ⋅ =
 


Trabajo de una fuerza y un momento
Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por
una fuerza y un momento sobre una estructura.

Teorema de Clapeyron. El trabajo desarrollado
durante la carga de un sólido elástico, por un sistema de
cargas en equilibrio, es independiente del orden de
aplicación de las cargas, y su valor es igual a la mitad de
la suma del producto del valor final de las fuerzas por el
valor final de los desplazamientos correspondientes de
su punto de aplicación”
dW Pd
dW Pd W Pd
= ∆
= ∆ →= ∆
∫ ∫ ∫

Teorema de Clapeyron
Si tenemos un sólido elástico, lineal, homogéneo e
isotrópico, la variación de la carga P con el
desplazamiento ∆ es lineal:
( )
( )
( )
2
0
2
2
2
2
0
2
2 2 2
P x kx
x
W kx dx k
k
W
k k P
W
∆
=
= =
= −
∆
∆ ∆
∆
= = ∆
=
∫

Cuando se está en el rango elástico lineal, se tiene:
Rango Elástico Lineal
d∆
P

Es importante distinguir entre cuando una fuerza se
aplica o no en forma gradual
Rango Elástico Lineal
∆
P + F
P
∆’
A G F
D
C
B
P
P + F
∆
∆’
∆

Conservación de la energía
El principio de conservación de la energía para
estructuras se enuncia como sigue:
“El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por
fuerzas aplicadas estáticamente (en forma gradual) es
igual al trabajo realizado por las fuerzas internas, o sea,
la energía de deformación almacenada en la estructura”
Matemáticamente se expresa como:
We=Wi ó Ue=Wi

Energía de deformación elástica
La forma de energía más común en una estructuras es la
potencial elástica.
Consideremos un cuerpo elástico, lineal, isotrópico y
homogéneo, sometido a esfuerzo multiaxial.
2 2
2 2
i
V V
i
V V
dv dv
U
dxdydz dxdydz
U
σε τγ
σε τγ
= +
= +
∫ ∫
∫∫∫ ∫∫∫

Aplicando la ley de Hooke generalizada, lo anterior
puede ser reescrito como
1
2
i x x y y z z xy xy yz yz xz xz
V
dV
U σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε
= + + + + +
 
 
∫
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
y y
i x z x y z y x z x z
V
dV
U
E E G
ν
σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ
 
+ + − + + + + +
 
 
∫
( ) ( )
2 2 2
1
2
y
i x z x y z y x z
V
dV
U
E E
ν
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
 
= + + − + +
 
 
∫

A partir de lo anterior, se obtiene la energía de deformación
para los tipos más comunes de estructuras usadas en la
Ingeniería Civil, según la solicitación más relevante en estas
Armaduras
Vigas
Pórticos

Consideraciones importantes:
• Deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas se
desprecian debido a que son bastante pequeñas a
comparación de las debidas por flexión
• Deformaciones por fuerzas axiales en pórticos son mucho
menores que las debidas a flexión y suelen despreciarse en el
análisis.
• Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no
son continuas en los elementos, entonces este debe dividirse
en segmentos tales donde las anteriores funciones sí lo sean
para que la suma o integral sea continua. Luego, se suma la
contribución de cada elemento para obtener la energía de
deformación total.

Métodos energéticos
A continuación se presentan los métodos que se han
desarrollado teniendo como base el teorema de trabajo-
energía y el principio de conservación de la energía.
Métodos de
energía
Método del
trabajo real
Método del
trabajo virtual
Método basado
en el teorema de
Castigliano

Principio del Trabajo Virtual
Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una poderosa
herramienta analítica en muchos problemas de mecánica
estructural. Este principio puede ser enunciado de dos
maneras:
 Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos
rígidos: El método de Müller-Breslau para el trazado de
líneas de influencia está basado en esta forma de expresar el
principio.
 Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos
deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.

Principio de desplazamientos virtuales para cuerpos
rígidos. Se enuncia así:
“Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un
sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento
virtual de cuerpo rígido, el trabajo virtual realizado por las
fuerzas externas es cero”
En esta definición, término virtual simplemente significa
imaginario, no real
0
ve
W =

Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos
deformables. Se enuncia así:
“Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema
virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquier deformación
real pequeña, coherente con las condiciones de apoyo y
continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo
realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales
que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones)
externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por
las fuerzas internas (y pares internos) que actúan a través de los
desplazamientos (y rotaciones) internos reales”
vi ve
W W
=

En la anterior definición, el término virtual se asocia a las
fuerzas para indicar que el sistema de fuerzas es arbitrario y que
no depende de la acción que causa la verdadera deformación

El Principio del Trabajo Virtual para cuerpos deformables
puede ser resumido como sigue:

Nótese de que en virtud de que las fuerzas virtuales son
independientes de las acciones que causan la deformación
real y permanecen constantes durante esta deformación,
las expresiones del trabajo virtual, externo e interno, no
contienen el factor ½. Al aplicar la fuerza virtual esta
recorrerá la deformación real (ya impuesta antes de aplicar
la fuerza virtual)
v
vi ve P
W W F δ
= → ∆
=
∑ ∑

Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes
• Armaduras: Se considerarán 3 casos generales, según sea el
origen de la deflexión (no se consideran pendientes, los
elementos de una armadura trabajan sólo a fuerza axial): por
fuerzas, errores de fabricación y cambios de temperatura.

• Fuerzas de tracción, errores de fabricación que lleven a miembros
más largos o aumentos en la temperatura son cantidades que se
consideran como positivas en el cálculo de deflexiones en
armaduras. Las contrarias se toman como negativas.
• La misma convención de signos debe ser usada tanto para el
sistema real como para el sistema virtual.
• Para los casos de errores de fabricación y cambios de temperatura
sólo es necesario calcular las fuerzas internas en aquellos
miembros en los que ocurra alguna de las situaciones antes
mencionadas.

• Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales,
cortantes y momentos flectores, sólo se consideran prominentes
el momento flector y la fuerza cortante. Para la gran mayoría de
vigas se desprecia el trabajo interno efectuado por las fuerzas
cortantes virtuales que actúan a través de las deformaciones
causadas por esas cortantes.
En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.

• Vigas: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del
principio del trabajo a vigas se presentan a continuación:
Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en
los cuales la función de momento sea continua.

• Pórticos: Las expresiones derivadas a partir la aplicación del
principio del trabajo a pórticos se presentan a continuación:
Las anteriores expresiones deben ser evaluadas en tramos en
los cuales la función de momento sea continua.

Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:
Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles
situaciones que causen deflexiones. Aunque es poco el aporte de
estas a la energía de deformación, la cual será en forma primaria
debida a flexión, se expondrán de igual forma.
Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza
axial, fuerza cortante, momentos torsores y gradientes de
temperatura

Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:
• Fuerza axial
• Fuerzas cortante
• Momentos torsores
• Temperatura

Procedimiento de trabajo
1) Sistema real Determine la variación de las fuerzas internas en
cada elemento (axial, cortante o momento, según el caso)
2) Sistema virtual Si se busca la deflexión, aplique la carga
unitaria en el punto y en la dirección de la deflexión deseada.
Si se quiere calcular la rotación, entonces utilice un par
unitario en el punto donde se desea conocer la rotación (en el
caso de vigas y pórticos). Hecho lo anterior se determinan las
fuerzas internas en cada elemento.

3) Se reemplazan las ecuaciones de fuerzas internas del sistema
real y del sistema virtual en las expresiones del trabajo virtual,
y se calcula la sumatoria (cercha) o las integrales (vigas y
pórticos)
4) Una vez evaluadas las anteriores integrales se procede a
encontrar la deflexión o pendiente buscada. Si la respuesta es
positiva, quiere decir que la carga del sistema virtual se supuso
con la dirección correcta; si la respuesta es negativa quiere
decir que la carga del sistema real tiene dirección opuesta a la
supuesta.

Alertas
 La convención de signos que rige las fuerzas internas es la de
la resistencia de materiales y no la de la estática.
 Se deben emplear los mismos sistemas de coordenadas tanto
en el sistema real como en el virtual.
 Si en el elemento se presentan variaciones en el área, la inercia
o el módulo de elasticidad, entonces las ecuaciones de fuerzas
internas debe seguir esta misma variación.

Teoremas de Castigliano
En 1876 el Ingeniero de Ferrocarriles Alberto Castigliano, como
parte de su trabajo de grado, presentó dos teoremas, el segundo
de los cuales permite encontrar cualquier componente de
deflexión de una estructura a partir de la energía de
deformación de la misma
Se pueden resumir que su trabajo consta de dos teoremas y un
corolario, los cuales permiten establecer ecuaciones de
equilibrio en estructuras, calcular deflexiones y rotaciones, y
finalmente, resolver estructuras indeterminadas (es decir,
hiperestáticas)
El Primer Teorema de Castigliano ya está en desuso.

 Primer Teorema de Castigliano: Su mayor uso es para
establecer ecuaciones de equilibrio en estructuras. Su uso es casi
nulo hoy en día. Matemáticamente, el enunciado de este
teorema es:

 Segundo Teorema de Castigliano: “Para estructuras
linealmente elásticas, la derivada parcial de la energía de
deformación con respecto a una fuerza aplicada (o par aplicado)
es igual al desplazamiento (o rotación) de la fuerza (o par) a lo
largo de su línea de acción”. Este teorema sólo permite el cálculo
de deflexiones y rotaciones debidas a fuerzas o momentos.

Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano
 Armaduras
• Vigas

Aplicaciones del Segundo Teorema de Castigliano
 Pórticos

1) Si una carga (o par) externa actúa en una estructura dada en el
punto y en la dirección de la deflexión (o rotación) deseada,
entonces designe a esa carga (o par) como la variable P (o M) y
vaya al paso 2. De otra manera, aplique una carga ficticia P (o
par M ) en el punto y dirección de la deflexión deseada (o
rotación).
2) Determine la fuerza axial F y/o la(s) ecuación(es) para el
momento de flexión M(x) en cada elemento de la estructura
en términos de P (o M).

3) Obtenga la derivada parcial de las fuerzas axiales F y/o de los
momentos flexionantes M(x) en los elementos conseguidos en
el paso 2 con respecto a la variable P (o M) para calcular
∂F(x)/∂ P y ∂M(x)/∂ P (o ∂F(x)/∂M y/o ∂M(x)/∂M).
4) Sustituya el valor numérico de P (o M) en las expresiones de
F(x) y/o M(x), y en sus derivadas parciales. Si P (o M)
representa la carga ficticia (o par), su valor numérico es cero.

5) Aplique la expresión adecuada del segundo teorema de
Castigliano para determinar la deflexión o rotación deseada en
la estructura. Una respuesta positiva de la deflexión (o
rotación) deseada indica que la deflexión (o rotación) ocurre
en la misma dirección que P (o M) y viceversa.

Alertas
 La convención de signos que rige las fuerzas internas es la de
la resistencia de materiales, y no la de la estática.
 Si en el elemento se presentan variaciones en el área, la inercia
o el módulo de elasticidad, entonces las ecuaciones de fuerzas
internas debe seguir esta misma variación.

Métodos de trabajo y energía
Ejemplo 1. Determina la deflexión vertical en C, usando el
método del trabajo virtual y el de Castigliano

Ejemplo 2. Determina la deflexión vertical en C, usando el
método del trabajo virtual y el de Castigliano

Ejemplo 3. Determina la deflexión vertical y la pendiente en B,
usando el método del trabajo virtual y el de Castigliano

Ejemplo 4. Determina la deflexión horizontal en C,
usando el método del trabajo virtual y el de Castigliano

Para profundizar en el tema
Se remite a los siguientes textos, disponibles en la Biblioteca,
para encontrar ejercicios adicionales para practicar los
conceptos desarrollados en esta clase:
[Hibbeler] Análisis Estructural → Capítulo 9
[Kassimali] Análisis Estructural → Capítulo 7

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