Este documento describe teoremas energéticos relacionados con la energía elástica almacenada en un sólido deformable. Explica cómo expresar la energía elástica en función de las cargas aplicadas o los desplazamientos producidos, y cómo el trabajo realizado por las cargas externas es igual a la energía elástica almacenada. También resume principios como el de los trabajos virtuales y teoremas de reciprocidad y Castigliano.

1. CAPÍTULO 6
TEOREMAS ENERGÉTICOS

2. LA ENERGÍA ELÁSTICA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE
LAS CARGAS APLICADAS
Hasta ahora, habíamos utilizado la siguiente expresión de la densidad
de energía elástica:
Que, integrada a lo largo de todo el sólido, nos proporcionaba la energía
elástica almacenada por éste.
¿Podríamos expresar dicha energía en función de las cargas
aplicadas al sólido o en función de los desplazamientos que
en él se producen?
( )xzxzyzyzxyxyzzyyxx γτγτγτεσεσεσω +++++=
2
1

3. Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen,
progresivamente, desde cero hasta su valor final de una
manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado
por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría
almacenado como energía elástica de deformación U en
el sólido y, por tanto:
WU =

4. El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la
mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos
de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto).
Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento,
bastaría con tener en cuenta que:
- donde se dijera fuerza se debería decir momento
- donde se dijera desplazamiento se debería decir giro
- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas)
se debería escribir W=Mθ.
∑
=
⋅=
n
1i
ii dF
2
1
W
Fi
di
i
i∆
r
Geometría sin deformar
Geometría deformada

5. 2
F1
F2
1
2
1
F1F2 ∆1
d1
∆2
d2

6. d
P
W=1/2 P.d
M
W=1/2 M.θ
θ
EJEMPLOS:

7. ENERGÍA ELÁSTICA ALMACENADA POR UNA BARRA A TRACCIÓN
F
x
oo xFW
2
1
=
AE
LF
FdUW
AE
FL
L
E
Ld
A
F
22
1 2
===
=⋅=⋅=
=
σ
ε
σ
F
d
A
L

8. COEFICIENTES DE INFLUENCIA
F i
i
∆
ii
∆
ji
j
F j
F iF i
i
∆
ii
∆
ii
∆
ji
∆
ji
j
F j
iF
r
jF
r
ii∆
r
ji∆
r
Consideremos dos puntos i y j del sólido
sobre los que actúan, respectivamente, las
cargas:
Representemos por los vectores
desplazamientos, de manera tal que:
= vector desplazamiento del punto i
cuando sólo actúa la carga:
= vector desplazamiento del punto j
cuando sólo actúa la carga:
∆
r
iF
r
iF
r

9. Si sobre el sólido actúa un sistema de cargas:
en los puntos: 1,2,……n, el vector desplazamiento total en el punto i será:
nFFF
rrr
,......, 21
i∆
r
iniii ∆∆∆∆
rrrr
+++= ........21
F i
i
jd ij
1
F i
i
jd ij
1
ijd = coeficiente de influencia: proyección del
desplazamiento que experimenta el punto
i , sobre la recta de acción de cuando se
aplica una carga unidad en el punto j con la
misma dirección y sentido que
iF
r
jF
r
id = proyección del vector desplazamiento del punto i, según la dirección de
la fuerza cuando actúan todas las cargas
iF
r
niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211

10. FÓRMULAS DE CLAPEYRON Emile
CLAPEYRON
(1799-1864)
∑ ⋅==
=
n
i
ii dFWU
12
1
niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211
Como:
ji
n
i
ij
n
j
FFdWU ∑∑= =
==
1 1
2
1
Cabe otra expresión alternativa a la anterior si consideramos que, del sistema
de n ecuaciones: despejáramos las fuerzas:niniii FdFdFdd ⋅++⋅+⋅= ........2211
njnjjj dkdkdkF ⋅++⋅+⋅= ........2211
∑ ∑ ∑=⋅==
= = =
n
j
n
j
n
m
mjjmjj ddkdFWU
1 1 12
1
2
1

11. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
Jean Baptiste Le Rond
D’ALEMBERT
(1717-1783)
Se denomina desplazamiento virtual de un punto a un
desplazamiento arbitrario, concebido matemáticamente
y que no tiene lugar en la realidad, pero que es geométrica
y físicamente posible.
El sistema al que se aplica este Principio debe encontrarse
en equilibrio
Caso de una partícula puntual
x
y
z
P
F1
F2
F3
P’ F1
F2
F3
δ
x
y
z
P
F1
F2
F3
P’ F1
F2
F3
δ
δ
r
= desplazamiento virtual
kji
kRjRiRFFFR
zyx
zyx
rrrr
rrrrrrr
δδδδ ++=
++=++= 321
1 2 3T F F F R 0
como R 0, T 0
= δ + δ + δ = δ =
= = ∀δ
r r r r r r r r
rr r

12. Caso de un sólido rígido
F1
F i1 Fi2
Fi3
Fin
i
. .
F1
F i1 Fi2
Fi3
Fin
i
. .
iF
r
= fuerza exterior aplicada al sólido en el punto i
ijF
r
= fuerza interior que ejerce el punto j sobre el i
kMjMiMM
kRjRiRR
zyxO
zyx
rrrr
rrrr
++=
++=
kzjyixr
rrrr
δδδδ ++=
kji zyx
rrrr
δθδθδθθδ ++=
θδδδθδθδθδδδθδδ
rrrrrr
,0 rMMMzRyRxRMrRT zzyyxxzyxOext ∀=+++++=⋅+⋅=
00,0 =⇒=====≠ xzyx Rzyx δθδθδθδδδ
0
0
===
===
zyx
zyx
MMM
RRR

13. .
W
A
B
x
y
xA
yBG
¿F?
NB
NA
.
W
A
B
x
y
xA
yBG
¿F?
NB
NA
EJEMPLO
.
A
B
G.δyG
δyB
δxA
.
A
B
G.δyG
δyB
δxA
( ) ( ) 22222
Lyδyxδxyx BBAABA =++−=+
A
B
AB
GA
B
A
B x
y
xy
yx
y
x
y δ
δ
δδδ
2
1
2
==⇒=
B
A
A
B
A
AGAext
y
xW
Fx
y
x
WxFyWxFT
22
1
0 =⇒=⇒=−= δδδδ

14. Caso de un sólido deformable

15. Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un
sistema de fuerzas y unas ligaduras
Q11 u,F
rr
22 u,F
rr
33 u,F
rr
44 u,F
rr
u6
u5
u7
[ ]T
iF
rConsideremos un sólido en equilibrio bajo la acción de un sistema de
cargas , como se muestra en la figura. En cualquier punto genérico
(Q) del sólido, el tensor de tensiones verificará las ecuaciones de
equilibrio interno. Sean los desplazamientos de los puntos del sólido.iu
r
iF
r
iu
rSistema de fuerzas reales:
Sistema de desplazamientos reales:

16. Q11 u,F
rr
δδ
iF
r
δSometamos al sólido anterior a un segundo sistema de fuerzas virtuales
como se muestra en la figura. Sean los desplazamientos virtuales de los
puntos del sólido, los cuales no violan las condiciones de contorno del sólido.
iu
r
δ
2u
r
δ
33 u,F
rr
δδ
4u
r
δF6
δ F5
δ F7
ijij δεδσ
Sólido elástico en equilibrio bajo la acción de un
sistema de fuerzas “virtuales”
ijδσ
ijδε
Sistema de tensiones virtuales:
Sistema de deformaciones virtuales:

17. ∑ ⋅= iiExt uFT
rr
δδ
Trabajo realizado por las fuerzas exteriores reales:
∫=
v
ijij dVU δεσδ
Energía interna virtual almacenada en el sólido:
δδ
UTExt =
Se puede demostrar que, estos dos trabajos virtuales
son iguales:
Lógicamente, si el cuerpo considerado fuese un sólido rígido:
0== δδ
UTExt

18. x
y
z fΩ
fV
[T], [D]
d
x
y
z fΩ
fV
[T], [D]
u
( )dVolU
dfdVolfT
V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V
VExt
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫
+++++=
Ω⋅+⋅=
Ω
Ω
δδδδδδδ
δ
γτγτγτεσεσεσ
δδ
rrrr
kji zyx
rrrr
δδδδ ++=
Campo de desplazamientos virtuales
(físicamente posibles) impuestos al sólido:
De una manera más formalista….
se llega a:
δδ
UTExt =

19. ( )dVol
dfdVolf
V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx
V
V
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫
+++++=
=Ω⋅+⋅
Ω
Ω
δδδδδδ
γτγτγτεσεσεσ
δδ
rrrr
Trabajo virtual realizado por las fuerzas reales (por unidad de volumen
y en el contorno) aplicadas al sólido cuando se le imponen los
desplazamientos virtuales
Trabajo virtual de las tensiones internas caso de que el sólido sufriera
el campo de desplazamientos virtuales supuesto (las componentes de
tensión son las que, realmente, existen dentro del sólido, mientras
que las componentes de deformación que aparecen se deducen
del campo de desplazamientos virtuales)
δδ
γε ,

20. TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI
James Clerk
MAXWELL
(1831-1879)
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Qj
SISTEMA I SISTEMA II
Fi
Pi
Gj
Qj
En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de cargas para los
desplazamientos resultantes de aplicar otro sistema de cargas distinto es
idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas para los desplazamientos
resultantes de aplicar el sistema de cargas .
{ }F
r
{ }G
r
{ }F
r
{ }G
r
qMdF ′=′
F
Q1
P1
q’j=q’
di=d Q1
P1
qj=q
d’i=d’
M
F
Q1
P1
q’j=q’
di=d
F
Q1
P1
q’j=q’
di=d Q1
P1
qj=q
d’i=d’
M
Q1
P1
qj=q
d’i=d’
M
Sistema I Sistema II
jiij dd =

21. Una barra de longitud “L” se encuentra empotrada en su extremo B y sometida, de
forma independiente, a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), tal
como se representa en la figura. Cuando actúa el sistema de cargas 1, las flechas
(desplazamientos verticales, “y”) que experimentan los puntos de la barra vienen dados
por la ecuación (referida al sistema de ejes de la figura): ( ) ( )xLxL
C
F
y +−= 22
, donde C
es una constante conocida. Determinar la flecha del punto A cuando actúa sobre la barra
el sistema de cargas 2.
x
y
F
L
Sistema 1
F
L/2
Sistema 2
A
B A
B
L/2
x
y
F
L
Sistema 1
F
L/2
Sistema 2
A
B A
B
L/2
Sistema 1: flecha en el punto medio:
C
FL
f I
8
5 3
=
Teorema de reciprocidad:
C
FL
f
C
FL
FfFfF II
A
III
A
8
5
8
5 33
=⇒⋅=⋅=⋅
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE RECIPROCIDAD

22. TEOREMAS DE CASTIGLIANO
PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
Carlo Alberto
CASTIGLIANO
(1847-1884)
La derivada de la energía elástica respecto de una de las
cargas aplicadas al sólido es igual a la proyección del
desplazamiento del punto de aplicación de la carga
considerada según la dirección de la misma
nmmnjiij ddkFFdU ΣΣΣΣ
2
1
2
1
==
∑ ==
∂
∂
ijij
i
dFd
F
U

23. ∑ ==
∂
∂
mnmn
m
Fdk
d
U
La derivada de la energía elástica de un sólido respecto del
desplazamiento en uno de los puntos en los que actúa una
fuerza, proporciona la componente de dicha fuerza según la
dirección del desplazamiento considerado
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

24. Sabiendo que la energía elástica almacenada en la viga de la figura toma el valor:
determinar el valor de la carga aplicada en la sección 1.
[ ]2
212
2
1 004760511030
2
dddd
EI
U ,,, +−=
[ ] PFddEI
d
U
==−=
∂
∂
121
1
2555030 ,,
1 2
6 m
3 m
2 m
F1=P F2=2P
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO
(Ver Ec.(2))

25. L. F.
MENABREA
(1799-1864)
TEOREMA DE MENABREA
(O DEL TRABAJO MÍNIMO)
P
RC RD
RE
A
B C
EDP
RC RD
RE
A
B C
ED
Las tres reacciones hiperestáticas RC, RD y RE pueden calcularse liberando todas
las coacciones excepto la de los apoyos en A y en B y, por tanto, resolviendo la
estructura, ya isostática, en función de las tres reacciones mencionadas.
Si calculásemos la energía elástica U almacenada en la pieza (que resultaría ser
función de las tres reacciones incógnitas), podríamos aplicar el primer teorema de
Castigliano teniendo en cuenta que, en la estructura original, los puntos C, D y E no
sufren desplazamientos verticales, por lo que:
0=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
EDC R
U
R
U
R
U
Los valores de las reacciones hiperestáticas que actúan sobre un sólido hacen
mínima su energía elástica