Este documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones suryectivas, inyectivas, biyectivas y exponenciales. Una función es suryectiva si su imagen es igual al codominio, inyectiva si cada elemento del dominio se mapea a un único elemento del codominio, y biyectiva si es tanto inyectiva como suryectiva. Las funciones exponenciales tienen la forma f(x)=ax y son siempre inyectivas, con dominio e imagen igual a los números reales positivos o enteros.

1. Clasificación de funciones

2. Sobreyectividad o Suryectividad
• Una función f:A B es suryectiva
Im f = B
Ejemplos:
f:R R es suryectiva g: R R no es suryectiva

3. Inyectividad
• Una función f:A B es inyectiva
x1,x2 A: si x1 x2 f(x1) f(x2)
Ejemplos: Las funciones f y g son inyectivas
Graficamente, notamos que una función es inyectiva cuando al trazar
rectas horizontales éstas cortan al gráfico de f en, a lo sumo, un punto.

4. Las funciones h(x) y s(x) no son inyectivas

5. • Sea f:IR IR / f(x) = 2x2-1
f no es inyectiva
f no es
suryectiva
pues Im f IR
¿Cuál es la imagen de f?

6. • ¿Si redefinimos el codominio de f ?
f:IR [-1,+ ) / f(x) =2 x2-1
f es suryectiva
pues Imf= [-1,+ )
f no es inyectiva

7. • ¿Si redefinimos dominio de f ?
f: [0,+ ) IR / f(x) = 2x2-1
f es inyectiva

8. • Si redefinimos dominio y codominio de f
f: [0,+ ) [-1,+ ) / f(x) = 2x2-1
f es inyectiva y suryectiva

9. Función biyectiva
Definición:
f:A B es biyectiva
f es inyectiva y suryectiva

10. • Propiedad:
Si f:A B/ y=f(x) es biyectiva, entonces
admite función inversa, que llamaremos f -1
tal que:
f -1:B A / f -1(y)=x

11. • Ejemplo:
f: [0,+ ) [-1,+ ) / f(x) = 2x2-1 es biyectiva
Entonces tiene inversa
Su inversa es f -1: [-1,+ ) [0,+ )/
f -1(y) =
2
1y

12. Función exponencial
Son las de la forma
f:IR IR/ f(x) = ax , a>0 y a 1

13. • Ejemplos
f:IR IR/ f(x) = 2x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
f(x)=2x
x y=2x
0 1
1 2
2 4
-1 ½
-2 1/4

14. f:IR IR/ f(x) = 2x
g:IR IR/ g(x) = 3x
h:IR IR/ h(x) = ex

15. x y=(1/2)x
0 1
1 1/2
2 1/4
-1 2
-2 4
f:IR IR/ f(x) = (1/2)x
h:IR IR/ g(x) = (1/e)x=e-x

16. Observamos que las funciones exponenciales
tienen las siguientes características:
- Son inyectivas - Im f= (0,+ )
x
y
0<a<1 a>1
f(x)=ax

17. • Si definimos
f: IR (0,+ )/ f(x) = ax
son funciones biyectivas
Su inversa es la función logaritmo en base a
f -1
:(0,+ ) IR/ f -1
(y)= logay
logay = x ax
=y

18. -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
f(x)= ln x
• Entre las funciones logarítmicas, la que
más nos interesa es
la función logaritmo natural
(base e)
f:(0,+ ) IR/ f(x)=ln x x y=lnx
1 0
2 ln2
e 1
e-1 -1