El documento describe los orígenes y aplicaciones de la geometría analítica. Introduce a René Descartes y Pierre Fermat como pioneros que establecieron la correspondencia entre ecuaciones y objetos geométricos. La geometría analítica transformó profundamente las matemáticas al permitir expresar la geometría en términos algebraicos y analizar funciones geométricas.

2.  La idea de longitud, área y volumen supone la
aplicación de números a configuraciones
geométricas.
 Este concepto general puede considerarse la
fuente de la cual surge la GeometríaAnalítica

5. Se establece una correspondencia entre pares
ordenados de números reales con puntos en el
plano.

8. Vamos a considerar los siguientes aspectos
para introducirnos en la Geometría Analítica.
• Referencias históricas
• Importancia dentro de la matemática
• Aplicaciones actuales no matemáticas

9.  René Descartes Pierre Fermat

10. Fermat descubrió un poco antes que Descartes y de forma independiente
las bases de la geometría analítica.
¿Cuáles serían estas bases? ¿Qué es lo nuclear en la geometría analítica
que podrían haber encontrado sus descubridores?
Relacionar objetos geométricos con ecuaciones.
S i la reducimos a su mínima expresión la geometría
analítica lo que hace es relacionar objetos geométricos
con ecuaciones.Veamos como logró hacer esto Fermat.

11. Pierre Fermat
“Si en una ecuación se
tienen dos cantidades
desconocidas tenemos
un lugar geométrico.”

12. Fermat escribió que una ecuación podía convertirse en una recta de
esta forma:
Donde “in” quiere decir “multplicar,” y. “aequetur” quiere decir “igual”.
Además Fermat escribía con consonantes las constantes y con vocales
las variables.
Así que si quisiéramos escribir en nuestra notación esto que Fermat
escribió sería:
Y esto no lo graficaba en un plano
“cartesiano” con ejes perpendiculares,
sino que eran segmentos de longitud D,
y B, que los multiplicaba por x e y.

13. René Descartes
Su geometría es una
aplicación conveniente
del Álgebra del sg XVI a
la geometría de los
antiguos utilizando su
método.

14. La primera era no aceptar nunca nada como verdadero que no me hubiese
dado pruebas evidentes de serlo: es decir, evitar cuidadosamente la
precipitación y la prevención; y no incluir en mis juicios nada más que lo que
se presentase tan clara y distintamente a mi inteligencia que excluyese
cualquier posibilidad de duda.
La segunda era dividir cada problema, en tantas pequeñas partes como fuese
posible y necesario para resolverlo mejor.
La tercera, conducir con orden mis pensamientos, empezando por los objetos
más sencillos y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco,
como por peldaños, hasta el conocimiento de los más complejos; y
suponiendo un orden también entre aquellos en que los unos no preceden
naturalmente a los otros.
Por último, hacer en todo momento enumeraciones tan completas y
revisiones tan generales que me permitieran estar seguro de no haber
omitido nada.
René Descartes, 1637

15. Esto sabemos que afecta no sólo a la geometría sino que
cambia radicalmente al cálculo y al estudio de “funciones”.
Para poder definir a las funciones de la forma que las
conocemos actualmente se necesitó mucho desarrollo de
la geometría analítica.
Descartes es quien introdujo los ejes perpendiculares x e y
pero sólo positivos.
Además introdujo la notación para los exponentes x2 , x3

16. La Geometría hasta el momento de aparición de la Geometría
Analítica era esencialmente la matemática y la única Geometría.
La Geometría analítica le permite a la geometría métrica otro
alcance al algebrizarla.
• Su relación con la Geometría no analítica
De hecho existen teoremas que solo han podido ser probados
introduciendo coordenadas, y que no pueden ser probados en
forma sintética.
Tan importante ha sido la algebraización de la geometría que
hoy en día la geometría ha sido absorbida por el álgebra

17. • Su relación con el Análisis Matemático
El análisis matemático necesitó para
lograr todo su desarrollo, que se
estudiaran las funciones en forma
algebraica, y que se estableciera
fuertemente el plano cartesiano.
Esto lo potenció y le permitió incluso
desprenderse de la geometría.

18. La algebrización de la geometría hizo que la
matemática logre mayor abstracción y avanzó
tan fuertemente que restó importancia a la
geometría métrica.
Transformó profundamente a toda la
matemática de forma tal que la geometría, el
análisis matemático y el algebra se vieron
atravesados y modificados por la fusión de
geometría y álgebra.

19. Una grúa necesita mover objetos en un espacio
tridimensional que sólo puede “conocer” gracias a que
este espacio está formalizado algebraicamente.
Para poder realizar movimientos
en el espacio tridimensional en
términos que las computadoras
digitales lo puedan entender es
necesario reducir el espacio
tridimensional a coordenadas.

20. Los robots industriales necesitan tener un mapa vectorial y
algebraico del espacio.
De hecho según la geometría de su estructura
mecánica, un manipulador puede ser:
Cartesiano, cuyo posicionamiento en el espacio
se lleva a cabo mediante articulaciones lineales.
Cilíndrico, con una articulación rotacional sobre
una base y articulaciones lineales para el
movimiento en altura y en radio.
Polar, con dos articulaciones rotacionales y una
lineal.
Esférico (o de brazo articulado), con tres
articulaciones rotacionales.

21. En el diseño gráfico, los diseñadores
hablan de que hay
“imágenes vectorizadas”.
Estas imágenes son muy importantes
porque tienen la propiedad de no perder
calidad al aumentar de tamaño.
Una imagen normal consiste en
puntos de color que son conocidos
como pixeles. Si nosotros hacemos
zoom en esa imagen podemos llegar
a empezar a notar el pixelado.

22. Las imágenes vectoriales están definidas de otra
forma.
Son expresión gráfica de la definición vectorial de
cada objeto de la imagen.
De esta manera uno puede acercarse a los objetos
infinitamente y siempre se seguirán viendo nítidos.

23. PORTODO ESTO: