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Cálculo de
               Primitivas
                ¿Qué método elegir?




IES Pirámide        Fernando Salamero
f (x) dx
La resolución de una integral indefinida
 requiere un ejercicio de pensamiento
               creativo.


               f (x) dx
La intuición, una vez desarrollada, cobra
         un papel fundamental.


               f (x) dx
f (x) dx

En el entreacto, debemos ir reflexionando,
      siguiendo un proceso metódico.
f (x) dx

Así que vamos a ir haciéndonos
preguntas para llegar al método
          correcto...
f (x) dx
Cálculo De Primitivas
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?



 Primero nos hemos de preguntar si aparece
     directamente en nuestras tablas...
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
x
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                   2x
                        dx
                  1+x 2
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                    2x
                         dx = ln |1 + x2 | + k
                  1 + x2
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                    2x
                         dx = ln |1 + x2 | + k
                  1 + x2
  dx
1 + x2
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                         2x
                              dx = ln |1 + x2 | + k
                       1 + x2
 dx
      = arctan x + k
1+x 2
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                         2x
                              dx = ln |1 + x2 | + k
                       1 + x2
 dx
      = arctan x + k
1+x 2


                    cos x
                             dx
                  1 + sin2 x
1. ¿Se trata de una integral
        inmediata?
dx
   = ln |x| + k
x
                         2x
                              dx = ln |1 + x2 | + k
                       1 + x2
 dx
      = arctan x + k
1+x 2


                    cos x
                             dx = arctan(sin x) + k
                  1 + sin2 x
Cálculo De Primitivas
... o si lo hace con una pequeña modificación.
... o si lo hace con una pequeña modificación.

  x           1     2x         1
       dx   =            dx   = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2        2   1 + x2       2
... o si lo hace con una pequeña modificación.

  x           1     2x         1
       dx   =            dx   = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2        2   1 + x2       2

   sin 3x
            dx
1 + cos2 3x
... o si lo hace con una pequeña modificación.

  x            1     2x         1
       dx    =            dx   = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2         2   1 + x2       2

   sin 3x
            dx
1 + cos2 3x
               1   −(3 sin 3x)
            =−                 dx
               3   1 + cos2 3x
... o si lo hace con una pequeña modificación.

  x            1     2x         1
       dx    =            dx   = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2         2   1 + x2       2

   sin 3x
            dx
1 + cos2 3x
               1   −(3 sin 3x)
            =−                 dx
               3   1 + cos2 3x

                             1
                          = − arctan(cos 3x) + k
                             3
... o si lo hace con una pequeña modificación.

  x            1     2x         1
       dx    =            dx   = ln(1 + x2 ) + k
1 + x2         2   1 + x2       2

   sin 3x
            dx
1 + cos2 3x
               1   −(3 sin 3x)
            =−                 dx
               3   1 + cos2 3x

                             1
                          = − arctan(cos 3x) + k
                             3

¿Te sabes las derivadas?
Cálculo De Primitivas
2. ¿Se trata de una integral
        por partes?
2. ¿Se trata de una integral
        por partes?


Ésta es la siguiente pregunta que nos podemos
 hacer, ya que reconocer este tipo de integral
           es relativamente sencillo.
2. ¿Se trata de una integral
         por partes?




¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
2. ¿Se trata de una integral
         por partes?

                                    Alpes
   Arcosenos, ...                                    Senos, ...
    (f. trigonométricas inversas)                     (f. trigonométricas)




                                             Exponenciales
            Logaritmos
                                     Polinomios

¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
Arcosenos, ...
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos




Polinomios


Exponenciales


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                     arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos




Polinomios


Exponenciales


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                     arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                         ln(x − 3) dx




Polinomios


Exponenciales


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                       arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                          ln(x − 3) dx




Polinomios                             (x − 1) ln x dx
                                              2




Exponenciales


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                       arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                          ln(x − 3) dx




Polinomios                             (x − 1) ln x dx
                                              2




Exponenciales                          ex ln x dx


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                       arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                          ln(x − 3) dx




Polinomios                             (x − 1) ln x dx
                                              2




Exponenciales                          ex ln x dx        ex−1 x dx


Senos, ...
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                       arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                           ln(x − 3) dx




Polinomios                             (x − 1) ln x dx
                                               2




Exponenciales                          ex ln x dx        ex−1 x dx


Senos, ...                             ex sin x dx
(f. trigonométricas)
Arcosenos, ...                       arctan x dx
       (f. trigonométricas inversas)




    Logaritmos                           ln(x − 3) dx




Polinomios                             (x − 1) ln x dx
                                               2




Exponenciales                          ex ln x dx        ex−1 x dx


Senos, ...                             ex sin x dx       cos x ln x dx
(f. trigonométricas)
arctan x dx
                                    ln(x − 3) dx

                  ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
       2




                  x−1
                  e     x dx
    ex sin x dx

                         cos x ln x dx
arctan x dx
                                    ln(x − 3) dx

                  ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
       2




                  x−1
                  e     x dx
    ex sin x dx

                         cos x ln x dx
arctan x dx
                                        ln(x − 3) dx
       u = arctan x

                      ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
       2




                      x−1
                      e     x dx
    ex sin x dx

                             cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
arctan x dx
                                            ln(x − 3) dx
       u = arctan x

                         ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
       2




                          x−1
                         e      x dx
    ex sin x dx

                                 cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
arctan x dx
                                            ln(x − 3) dx
       u = arctan x

                         ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
       2                                     u = ln x




                          x−1
                         e      x dx
    ex sin x dx

                                 cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
 arctan x dx
                                                ln(x − 3) dx
           u = arctan x

                             ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
        2                                        u = ln x


u = ln x

                              x−1
                             e      x dx
     ex sin x dx

                                     cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
 arctan x dx
                                                  ln(x − 3) dx
           u = arctan x

                                ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
        2                                          u = ln x

                          u=x
u = ln x

                                x−1
                              e       x dx
     ex sin x dx

                                       cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
 arctan x dx
                                                  ln(x − 3) dx
           u = arctan x

                                ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
        2                                          u = ln x

                          u=x
u = ln x

                              e x−1
                                      x dx         u = ln x
     ex sin x dx

                                       cos x ln x dx
u = ln(x − 3)
 arctan x dx
                                                  ln(x − 3) dx
           u = arctan x

                                ex ln x dx
(x − 1) ln x dx
        2                                          u = ln x

                          u=x
u = ln x

                              e x−1
                                      x dx         u = ln x
     ex sin x dx

                                       cos x ln x dx
       ¡Oscilante!
¡Oscilante!


 e sin x dx
  x
¡Oscilante!
              u = sin x    du = cos x dx

 e sin x dx
  x
              dv = ex dx   v=    ex dx = ex + k
¡Oscilante!
                       u = sin x    du = cos x dx

  e sin x dx
   x
                       dv = ex dx   v=    ex dx = ex + k


= ex sin x −   ex cos x dx
¡Oscilante!
                       u = sin x    du = cos x dx

  e sin x dx
   x
                       dv = ex dx   v=    ex dx = ex + k


= ex sin x −   ex cos x dx

                        u = cos x   du = − sin x dx

                       dv = e dx
                             x
                                    v=    ex dx = ex + k
¡Oscilante!
                          u = sin x     du = cos x dx

  e sin x dx
   x
                          dv = ex dx   v=     ex dx = ex + k


= ex sin x −   ex cos x dx

                           u = cos x    du = − sin x dx

                          dv = e dx
                                 x
                                       v=     ex dx = ex + k


= ex sin x − ex cos x +      ex (− sin x)dx
¡Oscilante!
                          u = sin x        du = cos x dx

  e sin x dx
   x
                          dv = ex dx       v=    ex dx = ex + k


= ex sin x −   ex cos x dx

                           u = cos x       du = − sin x dx

                          dv = e dx
                                 x
                                           v=    ex dx = ex + k


= ex sin x − ex cos x +      ex (− sin x)dx


= ex sin x − ex cos x −      ex sin x dx
¡Oscilante!

e sin x dx
 x
             = e sin x − e cos x −
                x        x
                                     e sin x dx
                                      x
¡Oscilante!

e sin x dx
 x
             = e sin x − e cos x −
                x        x
                                     e sin x dx
                                      x
¡Oscilante!

e sin x dx
 x
             = e sin x − e cos x −
                x        x
                                     e sin x dx
                                      x




     I       = e sin x − e cos x−
                x        x
                                       I
¡Oscilante!

e sin x dx
 x
             = e sin x − e cos x −
                 x         x
                                        e sin x dx
                                         x




     I       = e sin x − e cos x−
                 x         x
                                          I
             2I = ex sin x − ex cos x
¡Oscilante!

e sin x dx
 x
              = e sin x − e cos x −
                  x          x
                                         e sin x dx
                                          x




     I        = e sin x − e cos x−
                  x          x
                                           I
              2I = ex sin x − ex cos x


                      e sin x − e cos x
                         x         x
 I=      e sin x dx =
          x
                                        +k
                              2
Cálculo De Primitivas
3. ¿Se trata de una integral
         racional?
3. ¿Se trata de una integral
         racional?

                x−3
              2 + 5x − 6
                         dx
             x

Las integrales compuestas por cocientes de
polinomios, tienen un tratamiento especial...
x−3
 2 + 5x − 6
            dx
x
x−3                   x−3
            dx   =                  dx
x2 + 5x − 6          (x + 6)(x − 1)
x−3                    x−3
            dx   =                   dx
x2 + 5x − 6           (x + 6)(x − 1)

       x−3           A   B
                  =    +
   (x + 6)(x − 1)   x+6 x−1

    x − 3 = A(x − 1) + B(x + 6)

                              2
x=1→        −2 = 7B       B=−
                              7

                              9
x = −6 → −9 = −7A          A=
                              7
x−3                       x−3
            dx       =                  dx
x2 + 5x − 6              (x + 6)(x − 1)

                 9
                 −2
       =       + 77
                    dx
            x+6 x−1
x−3                       x−3
            dx       =                  dx
x2 + 5x − 6              (x + 6)(x − 1)

                 9
                 −2
       =       + 77
                    dx
            x+6 x−1
       9     dx   2          dx
     =          −
       7    x+6 7           x−1
x−3                       x−3
            dx       =                  dx
x2 + 5x − 6              (x + 6)(x − 1)

                 9
                 −2
       =       + 77
                    dx
            x+6 x−1
       9     dx   2          dx
     =          −
       7    x+6 7           x−1

    9            2
   = ln |x + 6| − ln |x − 1| + k
    7            7
x−3                       x−3
                dx       =                  dx
    x2 + 5x − 6              (x + 6)(x − 1)

                     9
                     −2
           =       + 77
                        dx
                x+6 x−1
           9     dx   2          dx
         =          −
           7    x+6 7           x−1

        9            2
       = ln |x + 6| − ln |x − 1| + k
        7            7

Así que el truco está en la descomposición
de fracciones... ¿Cómo hacerlo?
Cálculo De Primitivas
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
          dividiéndolos si es necesario.
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
          dividiéndolos si es necesario.


          x2 + 1                4x − 12
                    dx =   1+ 2          dx
       x2 − 4x + 13          x − 4x + 13

                         x−3
             =x+4                  dx
                      x2 − 4x + 13
En primer lugar, asegúrate que el polinomio del
denominador tiene mayor grado que el numerador,
          dividiéndolos si es necesario.


          x2 + 1                4x − 12
                    dx =   1+ 2          dx
       x2 − 4x + 13          x − 4x + 13

                          x−3
             =x+4                   dx
                       x2 − 4x + 13


  El siguiente paso es factorizar el denominador,
  calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
                    tres tipos...
Raíces Reales Simples



           Raíces Reales Múltiples


              Raíces Complejas



El siguiente paso es factorizar el denominador,
calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de
                  tres tipos...
Raíces Reales Simples
Raíces Reales Simples


              x−3           A   B
                         =    +
          (x + 6)(x − 1)   x+6 x−1


   La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantes
                 que debemos calcular.
Raíces Reales Simples


              x−3           A   B
                         =    +
          (x + 6)(x − 1)   x+6 x−1


   La fracción se separa en tantas fracciones como
factores simples, siendo sus numeradores constantes
                 que debemos calcular.


 Raíces Reales Múltiples        Raíces Complejas
Raíces Reales Múltiples
Raíces Reales Múltiples


              x             A      B        C
                        =      +         +
       (x − 2)2 (x + 1)   x − 2 (x − 2)2   x+1


  En este caso, el factor múltiple se separa en tantas
fracciones como indica su exponente, aumentando el
      grado del denominador progresivamente.
Raíces Reales Múltiples


              x             A      B        C
                        =      +         +
       (x − 2)2 (x + 1)   x − 2 (x − 2)2   x+1


  En este caso, el factor múltiple se separa en tantas
fracciones como indica su exponente, aumentando el
      grado del denominador progresivamente.


 Raíces Reales Simples            Raíces Complejas
Raíces Complejas
Raíces Complejas


                 5            Ax + B      C
                            = 2       +
        (x2 + x + 1)(x − 8)  x + x + 1 (x − 8)


En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se
    separa en una fracción cuyo numerador es un
              polinomio de primer grado.
Raíces Complejas


                 5            Ax + B      C
                            = 2       +
        (x2 + x + 1)(x − 8)  x + x + 1 (x − 8)


En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se
    separa en una fracción cuyo numerador es un
              polinomio de primer grado.


  Raíces Reales Simples      Raíces Reales Múltiples
Cálculo De Primitivas
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:

            x2 − 2x − 2
                                  =
  (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2




   ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:

            x2 − 2x − 2
                                  =
  (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2

        A
     =     +
       x+1




   ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:

            x2 − 2x − 2
                                  =
  (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2

         A     B      C          D
     =      +     +         +          +
       x + 1 x − 8 (x − 8)2   (x − 8)3




   ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de
todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:

            x2 − 2x − 2
                                  =
  (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2

         A     B      C          D
     =      +     +         +          +
       x + 1 x − 8 (x − 8)2   (x − 8)3

                   Ex + F        Gx + H
                             +
                 3x2 + 2x + 1 (3x2 + 2x + 1)2


   ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
Cálculo De Primitivas
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:

                   dx
                      = ln |x − 4| + k
                  x−4
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:

                   dx
                      = ln |x − 4| + k
                  x−4


                   dx           1
                         =−           +k
                (x + 2)3    2(x + 2)2
Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás
integrales típicas, que te deben resultar familiares:

                      dx
                         = ln |x − 4| + k
                     x−4


                   dx           1
                         =−           +k
                (x + 2)3    2(x + 2)2


         dx                  dx
                 =                   = arctan(x + 1) + k
     x2 + 2x + 2        (x + 1)2 + 1
x+2
            dx =
x2 + 2x + 3
x+2           1      2x + 4
            dx =                 dx =
x2 + 2x + 3      2   x2 + 2x + 3
x+2           1       2x + 4
                dx =                  dx =
    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3
1       2x + 2        1         2
                 dx +                  dx =
2    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3
x+2           1       2x + 4
                dx =                  dx =
    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3
1       2x + 2        1         2
                 dx +                  dx =
2    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3

    1                          dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                     =
    2                     (x + 1)2+2
x+2           1         2x + 4
                dx =                    dx =
    x2 + 2x + 3      2      x2 + 2x + 3
1       2x + 2        1           2
                 dx +                    dx =
2    x2 + 2x + 3      2      x2 + 2x + 3

    1                            dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                       =
    2                       (x + 1)2+2

    1                   1           dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                              =
    2                   2     (x+1)2
                                         +1
                                2
x+2           1          2x + 4
                dx =                     dx =
    x2 + 2x + 3      2       x2 + 2x + 3
1       2x + 2        1            2
                 dx +                     dx =
2    x2 + 2x + 3      2       x2 + 2x + 3

    1                             dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                        =
    2                        (x + 1)2+2

   1                     1        dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                             =
   2                     2     (x+1)2
                                        +1
                                 2
                      √            1
1                       2         √
                                    2
  ln |x + 2x + 3| +
        2
                                             dx =
2                      2       x+1 2
                              ( √2 )    +1
x+2           1       2x + 4
                dx =                  dx =
    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3
1       2x + 2        1         2
                 dx +                  dx =
2    x2 + 2x + 3      2    x2 + 2x + 3

    1                          dx
      ln |x + 2x + 3| +
           2
                                     =
    2                     (x + 1)2+2

    1                    1         dx
      ln |x + 2x + 3| +
            2
                                         =
    2                    2     (x+1)2
                                      +1
                                 2
                      √            1
1                       2         √
                                    2
  ln |x + 2x + 3| +
        2
                                         dx =
2                      2            2
                              ( √2 ) + 1
                               x+1

                       √
  1                       2         x+1
    ln |x + 2x + 3| +
          2
                            arctan √ + k
  2                      2            2
Cálculo De Primitivas
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x
           dx =
    1 + ex




Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x
           dx =
    1 + ex

                  t = ex




Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x
           dx =
    1 + ex

                  t = ex
                                   dt
                  dt = e dx
                       x
                              dx = x
                                  e

Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x            e3x dt
           dx =              =
    1 + ex          1 + t ex

                  t = ex
                                      dt
                  dt = e dx
                       x
                                 dx = x
                                     e

Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x            e3x dt      e2x
           dx =              =       dt =
    1 + ex          1 + t ex     1+t

                  t = ex
                                       dt
                  dt = e dx
                       x
                                  dx = x
                                      e

Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
      e3x            e3x dt      e2x         t2
           dx =              =       dt =       dt
    1 + ex          1 + t ex     1+t        1+t

                  t = ex
                                       dt
                  dt = e dx
                       x
                                  dx = x
                                      e

Un cambio de variable, nos permite transformar una
       integral árida en otra más familiar...
4. Entonces, el método correcto
      es el de sustitución.
     e3x            e3x dt      e2x         t2
          dx =              =       dt =       dt
   1 + ex          1 + t ex     1+t        1+t

                 t = ex
                                      dt
                 dt = e dx
                      x
                                 dx = x
                                     e

                    La cuestión es:

  ¿Qué cambio de variable realizar?
¿Qué cambio de variable realizar?
¿Qué cambio de variable realizar?
La elección depende mucho del aspecto concreto de
            nuestra integral indefinida.
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.

    2 x3
  x e      dx =
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.

    2 x3
  x e      dx =

              t=x 3
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.

    2 x3
  x e      dx =

              t=x 3

             dt = 3x dx
                    2
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.

    2 x3               dt   1         1 t     1 x3
  x e      dx =    2 t
                  x e     =     e dt = e + k = e + k
                                t
                      2x2   2         2       2
                                    (no olvides deshacer el cambio)
              t=x  3

             dt = 3x dx
                    2
¿Qué cambio de variable realizar?
  La elección depende mucho del aspecto concreto de
              nuestra integral indefinida.
Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del
 integrando cuya derivada (salvo un factor constante)
               aparezca multiplicando.

    2 x3               dt   1         1 t     1 x3
  x e      dx =    2 t
                  x e     =     e dt = e + k = e + k
                                t
                      2x2   2         2       2
                                    (no olvides deshacer el cambio)
              t=x  3

             dt = 3x dx
                    2



   En el resto, tendrás que guiarte por tu intuición.
intuición
Pero a la intuición hay que entrenarla.
Pero a la intuición hay que entrenarla.

A veces, hay que manipular primero la expresión.
Pero a la intuición hay que entrenarla.

 A veces, hay que manipular primero la expresión.

En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
  tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
Pero a la intuición hay que entrenarla.

 A veces, hay que manipular primero la expresión.

En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
  tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.

                      Hmm...

Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.
Pero a la intuición hay que entrenarla.

 A veces, hay que manipular primero la expresión.

En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que
  tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.

                      Hmm...

Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.

  Las más conocidas son las que incluyen a las...
Funciones Trigonométricas
      (por cambio de variable)
Funciones Trigonométricas
      (por cambio de variable)



      Con el mismo argumento


      Con diferente argumento


        Cambios Universales
Funciones
                  Con el mismo argumento
Trigonométricas
Funciones
                      Con el mismo argumento
Trigonométricas


          sin x cos x dx
                  m         n
Funciones
                        Con el mismo argumento
 Trigonométricas


              sin x cos x dx
                   m           n




El proceso a seguir, depende del tipo de exponentes:
Funciones
                      Con el mismo argumento
Trigonométricas


             sin x cos x dx
                  m           n


Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
   variable con la otra función trigonométrica.
Funciones
                        Con el mismo argumento
Trigonométricas


              sin x cos x dx
                    m         n


Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
   variable con la otra función trigonométrica.

      sin x cos3 x dx
        2
Funciones
                        Con el mismo argumento
Trigonométricas


              sin x cos x dx
                    m         n


Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
   variable con la otra función trigonométrica.

      sin x cos3 x dx
        2
                               t = sin x
Funciones
                        Con el mismo argumento
Trigonométricas


                sin x cos x dx
                    m         n


Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
   variable con la otra función trigonométrica.

      sin x cos3 x dx
        2
                               t = sin x


         sin x dx
            5
Funciones
                        Con el mismo argumento
Trigonométricas


                sin x cos x dx
                    m         n


Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de
   variable con la otra función trigonométrica.

      sin x cos3 x dx
        2
                               t = sin x


         sin x dx
            5
                               t = cos x
Cálculo De Primitivas
¡Prueba en este caso!

sin3 x cos5 x dx
¡Prueba en este caso!

   sin3 x cos5 x dx


 Como ambos exponentes son       t = sin x
     impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:   t = cos x
¡Prueba en este caso!

   sin3 x cos5 x dx


 Como ambos exponentes son       t = sin x
     impares, funcionará
cualquiera de los dos cambios:   t = cos x
¡Prueba en este caso!

       sin3 x cos5 x dx


     Como ambos exponentes son           t = sin x
         impares, funcionará
    cualquiera de los dos cambios:       t = cos x

               dt
=     t cos x
       3   5
                      =   t3 cos4 x dt
              cos x
¡Prueba en este caso!

       sin3 x cos5 x dx


     Como ambos exponentes son               t = sin x
         impares, funcionará
    cualquiera de los dos cambios:           t = cos x

               dt
=     t cos x
       3   5
                      =   t cos x dt =
                          3   4
                                         t (1 − sin x)2 dt
                                         3          2
              cos x
¡Prueba en este caso!

       sin3 x cos5 x dx


     Como ambos exponentes son                           t = sin x
         impares, funcionará
    cualquiera de los dos cambios:                       t = cos x

               dt
=     t cos x
       3       5
                            =         t cos x dt =
                                      3   4
                                                     t (1 − sin x)2 dt
                                                     3          2
              cos x

           =       t3 (1 − t2 )2 dt
¡Prueba en este caso!

       sin3 x cos5 x dx


     Como ambos exponentes son                                  t = sin x
         impares, funcionará
    cualquiera de los dos cambios:                              t = cos x

               dt
=     t cos x
       3       5
                            =         t cos x dt =
                                      3       4
                                                            t (1 − sin x)2 dt
                                                            3          2
              cos x

           =       t3 (1 − t2 )2 dt       =       t3 + t7 − 2t5 dt
Funciones
                      Con el mismo argumento
Trigonométricas


          sin x cos x dx
                  m         n
Funciones
                       Con el mismo argumento
Trigonométricas


             sin x cos x dx
                  m           n


Por otra parte, si todos los exponentes son pares,
 el truco es ir reduciendo su grado mediante las
       siguientes fórmulas trigonométricas:
Funciones
                       Con el mismo argumento
Trigonométricas


             sin x cos x dx
                  m           n


Por otra parte, si todos los exponentes son pares,
 el truco es ir reduciendo su grado mediante las
       siguientes fórmulas trigonométricas:
                      1 1
               cos a = + cos 2a
                  2
                      2 2
                      1 1
               sin a = − cos 2a
                  2
                      2 2
Cálculo De Primitivas
¡Prueba en este caso!

sin4 x dx
¡Prueba en este caso!

sin4 x dx =   (sin2 x)2 dx
¡Prueba en este caso!

                             1 1
sin x dx =
  4
             (sin x) dx =
                2   2
                            ( − cos 2x)2 dx
                             2 2
¡Prueba en este caso!

                             1 1
sin x dx =
  4
             (sin x) dx =
                2   2
                            ( − cos 2x)2 dx
                             2 2

      1 1        1
 =     + cos 2x − cos 2x dx
            2
      4 4        2
¡Prueba en este caso!

                             1 1
sin x dx =
  4
             (sin x) dx =
                2   2
                            ( − cos 2x)2 dx
                             2 2

      1 1        1
 =     + cos 2x − cos 2x dx
            2
      4 4        2

      1 1 1 1         1
 =     + ( + cos 4x) − cos 2x dx
      4 4 2 2         2
¡Prueba en este caso!

                                 1 1
sin x dx =
  4
             (sin x) dx =
                2    2
                                ( − cos 2x)2 dx
                                 2 2

      1 1        1
 =     + cos 2x − cos 2x dx
            2
      4 4        2

      1 1 1 1         1
 =     + ( + cos 4x) − cos 2x dx
      4 4 2 2         2

  1  1   1                      1
 = x+ x+            cos 4x dx −     cos 2x dx
  4  8   8                      2
Funciones      Con diferente argumento
Trigonométricas
Funciones      Con diferente argumento
Trigonométricas


           sin ax cos bx dx
Funciones         Con diferente argumento
  Trigonométricas


               sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando
  los productos de funciones trigonométricas en
     sumas gracias a las relaciones siguientes:
Funciones            Con diferente argumento
  Trigonométricas


               sin ax cos bx dx
Estas integrales se pueden resolver transformando
  los productos de funciones trigonométricas en
     sumas gracias a las relaciones siguientes:
                       1
         sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
                       2
                       1
         cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
                       2
                        1
        sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)]
                        2
Cálculo De Primitivas
¡Observa la transformación!
¡Observa la transformación!

sin x sin 2x sin 3x dx
¡Observa la transformación!

sin x sin 2x sin 3x dx

                     1
     sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x)
                     2
¡Observa la transformación!

 sin x sin 2x sin 3x dx

                        1
        sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x)
                        2
                        1
sin x sin 2x sin 3x = − (cos 3x − cos x) sin 3x
                        2
             1
       = − (cos 3x sin 3x − cos x sin 3x)
             2
               1
         = − (sin 6x − sin 4x − sin 2x)
               4
¡Observa la transformación!

sin x sin 2x sin 3x dx

            1
         =−         sin 6x − sin 4x − sin 2x dx
            4
¡Observa la transformación!

sin x sin 2x sin 3x dx

            1
         =−         sin 6x − sin 4x − sin 2x dx
            4

          1 cos 6x cos 4x cos 2x
       = − (−     +      +       )+k
          4   6      4      2

             cos 6x cos 4x cos 2x
           =       −      −       +k
               24     16     8
Funciones
                  Cambios Universales
Trigonométricas
Funciones
                            Cambios Universales
   Trigonométricas

Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
       hay dos cambios de variable “multiusos”:
Funciones
                             Cambios Universales
   Trigonométricas

Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
       hay dos cambios de variable “multiusos”:

                            2t                2t
                  tan x =           sin x =
        x                 1 − t2            1 + t2
     tan = t
        2
                         2dt                1−t  2
                   dx =             cos x =
                        1 + t2              1 + t2
Funciones
                             Cambios Universales
   Trigonométricas

Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
       hay dos cambios de variable “multiusos”:

                            2t                2t
                  tan x =           sin x =
        x                 1 − t2            1 + t2
     tan = t
        2
                         2dt                1−t  2
                   dx =             cos x =
                        1 + t2              1 + t2


       Éste es un cambio algo complicado, pero
        tiene la virtud de convertir cualquier
             trigonométrica en racional.
Funciones
                            Cambios Universales
   Trigonométricas

Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
       hay dos cambios de variable “multiusos”:




                                               t
                                   sin x = √
                          dt                 1 + t2
     tan x = t     dx =
                        1 + t2                1
                                   cos x = √
                                             1 + t2
Funciones
                            Cambios Universales
   Trigonométricas

Si una integral trigonométrica no sale por otro camino,
       hay dos cambios de variable “multiusos”:


       Y éste otro, en apariencia más lógico,
      deberás aplicarlo cuando veas que esas
            raíces pueden eliminarse...


                                               t
                                   sin x = √
                          dt                 1 + t2
     tan x = t     dx =
                        1 + t2                1
                                   cos x = √
                                             1 + t2
Cálculo De Primitivas
¡Prueba y adivina cuál hacer!
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1
          dx
1 + sin x
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1                                      x
          dx   El cambio correcto es   tan = t
1 + sin x                                 2
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1                                           x
          dx       El cambio correcto es    tan = t
1 + sin x                                      2

               1       2dt            dt
    =                        =2
         1+     2t
               1+t2
                      1 + t2      1 + t2 + 2t
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1                                           x
          dx       El cambio correcto es    tan = t
1 + sin x                                      2

               1       2dt            dt
    =                        =2
         1+     2t
               1+t2
                      1 + t2      1 + t2 + 2t

    cos x
              dx
sin x + cos x
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1                                           x
          dx       El cambio correcto es    tan = t
1 + sin x                                      2

               1       2dt            dt
    =                        =2
         1+     2t
               1+t2
                      1 + t2      1 + t2 + 2t

    cos x
              dx El cambio correcto es tan x = t
sin x + cos x
¡Prueba y adivina cuál hacer!
   1                                               x
          dx       El cambio correcto es        tan = t
1 + sin x                                          2

               1         2dt              dt
    =                          =2
         1+     2t
               1+t2
                        1 + t2        1 + t2 + 2t

    cos x
              dx El cambio correcto es tan x = t
sin x + cos x

               √ 1                              dt
                1+t2             dt
   =                                  =
        √ t        +   √ 1     1 + t2     (t + 1)(1 + t2 )
         1+t2           1+t2
Y finalmente...
Y finalmente...

     9−   x2   dx
Y finalmente...

                 9−    x2   dx

   Este último modelo de integral sugiere
también un (oculto) cambio trigonométrico.
Y finalmente...

                      9−    x2    dx

   Este último modelo de integral sugiere
también un (oculto) cambio trigonométrico.

                    Recuerda...

sin x + cos x = 1
  2       2                       cos x = 1 − sin x
                                    2           2
Y finalmente...

                    9−    x2   dx

Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:
Y finalmente...

                    9−      x2     dx

Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:

                   x = 3 sin t
                 dx = 3 cos t dt


    Vamos allá (enseguida verás por qué)...
9 − x2 dx
9 − x2 dx =   9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
9 − x2 dx =         9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt
9 − x2 dx =       9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt = 3      9(1 − sin2 t) cos t dt
9 − x2 dx =        9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt = 3       9(1 − sin2 t) cos t dt



=9      1 − sin2 t cos t dt
9 − x2 dx =        9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt = 3       9(1 − sin2 t) cos t dt



=9      1 − sin2 t cos t dt   =9     cos2 t dt
9 − x2 dx =        9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt = 3       9(1 − sin2 t) cos t dt



=9      1 − sin2 t cos t dt   =9     cos2 t dt


      1 1
=9     + cos 2t dt
      2 2
9 − x2 dx =        9 − (3 sin t)2 3 cos t dt



=3      9 − 9 sin2 t cos t dt = 3       9(1 − sin2 t) cos t dt



=9      1 − sin2 t cos t dt   =9     cos2 t dt


      1 1                 9   9
=9     + cos 2t dt       = t + sin 2t + k
      2 2                 2   4
9   9
= t + sin 2t + k
 2   4
9   9                Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k   deshacer el cambio es algo más
 2   4                      elaborado...
9   9                 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k    deshacer el cambio es algo más
 2   4                       elaborado...

                   Recuerda:
                           x                 x
 x = 3 sin t       sin t =        t = arcsin
                           3                 3
9   9                 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k    deshacer el cambio es algo más
 2   4                       elaborado...

                   Recuerda:
                           x                 x
 x = 3 sin t       sin t =        t = arcsin
                           3                 3


 9      x 9            x
= arcsin + sin(2 arcsin ) + k
 2      3 4            3
9   9                 Fíjate que, para acabar,
= t + sin 2t + k    deshacer el cambio es algo más
 2   4                       elaborado...

                   Recuerda:
                           x                 x
 x = 3 sin t       sin t =        t = arcsin
                           3                 3


 9      x 9            x
= arcsin + sin(2 arcsin ) + k
 2      3 4            3


Pero hay una manera más elegante de expresarlo...
x = 3 sin t
                     x               x
             sin t =      t = arcsin
                     3               3

 9   9
= t + sin 2t + k
 2   4
x = 3 sin t
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              sin t =      t = arcsin
                      3               3

 9   9
= t + sin 2t + k
 2   4
 9   9
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 2   2
x = 3 sin t
                     x               x
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 9   9
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 2   4
 9   9                 9   9
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                                               2
 2   2                 2   2
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 9   9                 9   9
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 2   2                 2   2

 9      x 9x          x 2
= arcsin +         1−( ) +k
 2      3 23          3
x = 3 sin t
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                     3               3

 9   9
= t + sin 2t + k
 2   4
 9   9                 9   9
= t + sin t cos t + k = t + sin t        1 − sin t + k
                                               2
 2   2                 2   2

 9      x 9x           x 2
= arcsin +          1−( ) +k
 2      3 23           3                  ¡Soy más
 9      x x                               elegante!
= arcsin +         9 − x2 + k
 2      3  2
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Cálculo De Primitivas

  • 1. Cálculo de Primitivas ¿Qué método elegir? IES Pirámide Fernando Salamero
  • 3. La resolución de una integral indefinida requiere un ejercicio de pensamiento creativo. f (x) dx
  • 4. La intuición, una vez desarrollada, cobra un papel fundamental. f (x) dx
  • 5. f (x) dx En el entreacto, debemos ir reflexionando, siguiendo un proceso metódico.
  • 6. f (x) dx Así que vamos a ir haciéndonos preguntas para llegar al método correcto...
  • 9. 1. ¿Se trata de una integral inmediata?
  • 10. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? Primero nos hemos de preguntar si aparece directamente en nuestras tablas...
  • 11. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx x
  • 12. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x
  • 13. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx 1+x 2
  • 14. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx = ln |1 + x2 | + k 1 + x2
  • 15. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx = ln |1 + x2 | + k 1 + x2 dx 1 + x2
  • 16. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx = ln |1 + x2 | + k 1 + x2 dx = arctan x + k 1+x 2
  • 17. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx = ln |1 + x2 | + k 1 + x2 dx = arctan x + k 1+x 2 cos x dx 1 + sin2 x
  • 18. 1. ¿Se trata de una integral inmediata? dx = ln |x| + k x 2x dx = ln |1 + x2 | + k 1 + x2 dx = arctan x + k 1+x 2 cos x dx = arctan(sin x) + k 1 + sin2 x
  • 20. ... o si lo hace con una pequeña modificación.
  • 21. ... o si lo hace con una pequeña modificación. x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x2 ) + k 1 + x2 2 1 + x2 2
  • 22. ... o si lo hace con una pequeña modificación. x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x2 ) + k 1 + x2 2 1 + x2 2 sin 3x dx 1 + cos2 3x
  • 23. ... o si lo hace con una pequeña modificación. x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x2 ) + k 1 + x2 2 1 + x2 2 sin 3x dx 1 + cos2 3x 1 −(3 sin 3x) =− dx 3 1 + cos2 3x
  • 24. ... o si lo hace con una pequeña modificación. x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x2 ) + k 1 + x2 2 1 + x2 2 sin 3x dx 1 + cos2 3x 1 −(3 sin 3x) =− dx 3 1 + cos2 3x 1 = − arctan(cos 3x) + k 3
  • 25. ... o si lo hace con una pequeña modificación. x 1 2x 1 dx = dx = ln(1 + x2 ) + k 1 + x2 2 1 + x2 2 sin 3x dx 1 + cos2 3x 1 −(3 sin 3x) =− dx 3 1 + cos2 3x 1 = − arctan(cos 3x) + k 3 ¿Te sabes las derivadas?
  • 27. 2. ¿Se trata de una integral por partes?
  • 28. 2. ¿Se trata de una integral por partes? Ésta es la siguiente pregunta que nos podemos hacer, ya que reconocer este tipo de integral es relativamente sencillo.
  • 29. 2. ¿Se trata de una integral por partes? ¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
  • 30. 2. ¿Se trata de una integral por partes? Alpes Arcosenos, ... Senos, ... (f. trigonométricas inversas) (f. trigonométricas) Exponenciales Logaritmos Polinomios ¿Qué tipo de funciones son nuestras sospechosas?
  • 31. Arcosenos, ... (f. trigonométricas inversas) Logaritmos Polinomios Exponenciales Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 32. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos Polinomios Exponenciales Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 33. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios Exponenciales Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 34. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios (x − 1) ln x dx 2 Exponenciales Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 35. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios (x − 1) ln x dx 2 Exponenciales ex ln x dx Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 36. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios (x − 1) ln x dx 2 Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx Senos, ... (f. trigonométricas)
  • 37. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios (x − 1) ln x dx 2 Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx Senos, ... ex sin x dx (f. trigonométricas)
  • 38. Arcosenos, ... arctan x dx (f. trigonométricas inversas) Logaritmos ln(x − 3) dx Polinomios (x − 1) ln x dx 2 Exponenciales ex ln x dx ex−1 x dx Senos, ... ex sin x dx cos x ln x dx (f. trigonométricas)
  • 39. arctan x dx ln(x − 3) dx ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 40. arctan x dx ln(x − 3) dx ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 41. arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 42. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 43. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 u = ln x x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 44. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 u = ln x u = ln x x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 45. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 u = ln x u=x u = ln x x−1 e x dx ex sin x dx cos x ln x dx
  • 46. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 u = ln x u=x u = ln x e x−1 x dx u = ln x ex sin x dx cos x ln x dx
  • 47. u = ln(x − 3) arctan x dx ln(x − 3) dx u = arctan x ex ln x dx (x − 1) ln x dx 2 u = ln x u=x u = ln x e x−1 x dx u = ln x ex sin x dx cos x ln x dx ¡Oscilante!
  • 49. ¡Oscilante! u = sin x du = cos x dx e sin x dx x dv = ex dx v= ex dx = ex + k
  • 50. ¡Oscilante! u = sin x du = cos x dx e sin x dx x dv = ex dx v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x dx
  • 51. ¡Oscilante! u = sin x du = cos x dx e sin x dx x dv = ex dx v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x dx u = cos x du = − sin x dx dv = e dx x v= ex dx = ex + k
  • 52. ¡Oscilante! u = sin x du = cos x dx e sin x dx x dv = ex dx v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x dx u = cos x du = − sin x dx dv = e dx x v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x + ex (− sin x)dx
  • 53. ¡Oscilante! u = sin x du = cos x dx e sin x dx x dv = ex dx v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x dx u = cos x du = − sin x dx dv = e dx x v= ex dx = ex + k = ex sin x − ex cos x + ex (− sin x)dx = ex sin x − ex cos x − ex sin x dx
  • 54. ¡Oscilante! e sin x dx x = e sin x − e cos x − x x e sin x dx x
  • 55. ¡Oscilante! e sin x dx x = e sin x − e cos x − x x e sin x dx x
  • 56. ¡Oscilante! e sin x dx x = e sin x − e cos x − x x e sin x dx x I = e sin x − e cos x− x x I
  • 57. ¡Oscilante! e sin x dx x = e sin x − e cos x − x x e sin x dx x I = e sin x − e cos x− x x I 2I = ex sin x − ex cos x
  • 58. ¡Oscilante! e sin x dx x = e sin x − e cos x − x x e sin x dx x I = e sin x − e cos x− x x I 2I = ex sin x − ex cos x e sin x − e cos x x x I= e sin x dx = x +k 2
  • 60. 3. ¿Se trata de una integral racional?
  • 61. 3. ¿Se trata de una integral racional? x−3 2 + 5x − 6 dx x Las integrales compuestas por cocientes de polinomios, tienen un tratamiento especial...
  • 62. x−3 2 + 5x − 6 dx x
  • 63. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1)
  • 64. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) x−3 A B = + (x + 6)(x − 1) x+6 x−1 x − 3 = A(x − 1) + B(x + 6) 2 x=1→ −2 = 7B B=− 7 9 x = −6 → −9 = −7A A= 7
  • 65. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) 9 −2 = + 77 dx x+6 x−1
  • 66. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) 9 −2 = + 77 dx x+6 x−1 9 dx 2 dx = − 7 x+6 7 x−1
  • 67. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) 9 −2 = + 77 dx x+6 x−1 9 dx 2 dx = − 7 x+6 7 x−1 9 2 = ln |x + 6| − ln |x − 1| + k 7 7
  • 68. x−3 x−3 dx = dx x2 + 5x − 6 (x + 6)(x − 1) 9 −2 = + 77 dx x+6 x−1 9 dx 2 dx = − 7 x+6 7 x−1 9 2 = ln |x + 6| − ln |x − 1| + k 7 7 Así que el truco está en la descomposición de fracciones... ¿Cómo hacerlo?
  • 70. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador, dividiéndolos si es necesario.
  • 71. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador, dividiéndolos si es necesario. x2 + 1 4x − 12 dx = 1+ 2 dx x2 − 4x + 13 x − 4x + 13 x−3 =x+4 dx x2 − 4x + 13
  • 72. En primer lugar, asegúrate que el polinomio del denominador tiene mayor grado que el numerador, dividiéndolos si es necesario. x2 + 1 4x − 12 dx = 1+ 2 dx x2 − 4x + 13 x − 4x + 13 x−3 =x+4 dx x2 − 4x + 13 El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de tres tipos...
  • 73. Raíces Reales Simples Raíces Reales Múltiples Raíces Complejas El siguiente paso es factorizar el denominador, calculando sus raíces. Nos pueden aparecer de tres tipos...
  • 75. Raíces Reales Simples x−3 A B = + (x + 6)(x − 1) x+6 x−1 La fracción se separa en tantas fracciones como factores simples, siendo sus numeradores constantes que debemos calcular.
  • 76. Raíces Reales Simples x−3 A B = + (x + 6)(x − 1) x+6 x−1 La fracción se separa en tantas fracciones como factores simples, siendo sus numeradores constantes que debemos calcular. Raíces Reales Múltiples Raíces Complejas
  • 78. Raíces Reales Múltiples x A B C = + + (x − 2)2 (x + 1) x − 2 (x − 2)2 x+1 En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el grado del denominador progresivamente.
  • 79. Raíces Reales Múltiples x A B C = + + (x − 2)2 (x + 1) x − 2 (x − 2)2 x+1 En este caso, el factor múltiple se separa en tantas fracciones como indica su exponente, aumentando el grado del denominador progresivamente. Raíces Reales Simples Raíces Complejas
  • 81. Raíces Complejas 5 Ax + B C = 2 + (x2 + x + 1)(x − 8) x + x + 1 (x − 8) En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un polinomio de primer grado.
  • 82. Raíces Complejas 5 Ax + B C = 2 + (x2 + x + 1)(x − 8) x + x + 1 (x − 8) En este tipo, el factor de segundo grado, irreducible, se separa en una fracción cuyo numerador es un polinomio de primer grado. Raíces Reales Simples Raíces Reales Múltiples
  • 84. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente:
  • 85. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente: x2 − 2x − 2 = (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2 ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
  • 86. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente: x2 − 2x − 2 = (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2 A = + x+1 ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
  • 87. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente: x2 − 2x − 2 = (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2 A B C D = + + + + x + 1 x − 8 (x − 8)2 (x − 8)3 ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
  • 88. Naturalmente, rizando el rizo, puedes tener mezcla de todo... Prueba a adivinar la descomposición siguiente: x2 − 2x − 2 = (x + 1)(x − 8)3 (3x2 + 2x + 1)2 A B C D = + + + + x + 1 x − 8 (x − 8)2 (x − 8)3 Ex + F Gx + H + 3x2 + 2x + 1 (3x2 + 2x + 1)2 ... ¡aunque resolver esto nos dejaría exhaustos!
  • 90. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares:
  • 91. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares: dx = ln |x − 4| + k x−4
  • 92. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares: dx = ln |x − 4| + k x−4 dx 1 =− +k (x + 2)3 2(x + 2)2
  • 93. Finalmente, observa que en el desarrollo obtendrás integrales típicas, que te deben resultar familiares: dx = ln |x − 4| + k x−4 dx 1 =− +k (x + 2)3 2(x + 2)2 dx dx = = arctan(x + 1) + k x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1
  • 94. x+2 dx = x2 + 2x + 3
  • 95. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
  • 96. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 2x + 2 1 2 dx + dx = 2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3
  • 97. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 2x + 2 1 2 dx + dx = 2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 (x + 1)2+2
  • 98. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 2x + 2 1 2 dx + dx = 2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 (x + 1)2+2 1 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 2 (x+1)2 +1 2
  • 99. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 2x + 2 1 2 dx + dx = 2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 (x + 1)2+2 1 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 2 (x+1)2 +1 2 √ 1 1 2 √ 2 ln |x + 2x + 3| + 2 dx = 2 2 x+1 2 ( √2 ) +1
  • 100. x+2 1 2x + 4 dx = dx = x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 2x + 2 1 2 dx + dx = 2 x2 + 2x + 3 2 x2 + 2x + 3 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 (x + 1)2+2 1 1 dx ln |x + 2x + 3| + 2 = 2 2 (x+1)2 +1 2 √ 1 1 2 √ 2 ln |x + 2x + 3| + 2 dx = 2 2 2 ( √2 ) + 1 x+1 √ 1 2 x+1 ln |x + 2x + 3| + 2 arctan √ + k 2 2 2
  • 102. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución.
  • 103. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x dx = 1 + ex Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 104. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x dx = 1 + ex t = ex Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 105. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x dx = 1 + ex t = ex dt dt = e dx x dx = x e Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 106. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x e3x dt dx = = 1 + ex 1 + t ex t = ex dt dt = e dx x dx = x e Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 107. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x e3x dt e2x dx = = dt = 1 + ex 1 + t ex 1+t t = ex dt dt = e dx x dx = x e Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 108. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x e3x dt e2x t2 dx = = dt = dt 1 + ex 1 + t ex 1+t 1+t t = ex dt dt = e dx x dx = x e Un cambio de variable, nos permite transformar una integral árida en otra más familiar...
  • 109. 4. Entonces, el método correcto es el de sustitución. e3x e3x dt e2x t2 dx = = dt = dt 1 + ex 1 + t ex 1+t 1+t t = ex dt dt = e dx x dx = x e La cuestión es: ¿Qué cambio de variable realizar?
  • 110. ¿Qué cambio de variable realizar?
  • 111. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida.
  • 112. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando.
  • 113. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando. 2 x3 x e dx =
  • 114. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando. 2 x3 x e dx = t=x 3
  • 115. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando. 2 x3 x e dx = t=x 3 dt = 3x dx 2
  • 116. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando. 2 x3 dt 1 1 t 1 x3 x e dx = 2 t x e = e dt = e + k = e + k t 2x2 2 2 2 (no olvides deshacer el cambio) t=x 3 dt = 3x dx 2
  • 117. ¿Qué cambio de variable realizar? La elección depende mucho del aspecto concreto de nuestra integral indefinida. Un consejo: Suele ser un buen cambio tomar la parte del integrando cuya derivada (salvo un factor constante) aparezca multiplicando. 2 x3 dt 1 1 t 1 x3 x e dx = 2 t x e = e dt = e + k = e + k t 2x2 2 2 2 (no olvides deshacer el cambio) t=x 3 dt = 3x dx 2 En el resto, tendrás que guiarte por tu intuición.
  • 119. Pero a la intuición hay que entrenarla.
  • 120. Pero a la intuición hay que entrenarla. A veces, hay que manipular primero la expresión.
  • 121. Pero a la intuición hay que entrenarla. A veces, hay que manipular primero la expresión. En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio.
  • 122. Pero a la intuición hay que entrenarla. A veces, hay que manipular primero la expresión. En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio. Hmm... Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda.
  • 123. Pero a la intuición hay que entrenarla. A veces, hay que manipular primero la expresión. En otras ocasiones, deberás imaginar el aspecto que tendrá tu integral una vez efectuado el cambio. Hmm... Vale, de acuerdo, existen algunas técnicas de ayuda. Las más conocidas son las que incluyen a las...
  • 124. Funciones Trigonométricas (por cambio de variable)
  • 125. Funciones Trigonométricas (por cambio de variable) Con el mismo argumento Con diferente argumento Cambios Universales
  • 126. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas
  • 127. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n
  • 128. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n El proceso a seguir, depende del tipo de exponentes:
  • 129. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica.
  • 130. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica. sin x cos3 x dx 2
  • 131. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica. sin x cos3 x dx 2 t = sin x
  • 132. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica. sin x cos3 x dx 2 t = sin x sin x dx 5
  • 133. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Si alguno de ellos es impar, haremos el cambio de variable con la otra función trigonométrica. sin x cos3 x dx 2 t = sin x sin x dx 5 t = cos x
  • 135. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx
  • 136. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x
  • 137. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x
  • 138. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x dt = t cos x 3 5 = t3 cos4 x dt cos x
  • 139. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x dt = t cos x 3 5 = t cos x dt = 3 4 t (1 − sin x)2 dt 3 2 cos x
  • 140. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x dt = t cos x 3 5 = t cos x dt = 3 4 t (1 − sin x)2 dt 3 2 cos x = t3 (1 − t2 )2 dt
  • 141. ¡Prueba en este caso! sin3 x cos5 x dx Como ambos exponentes son t = sin x impares, funcionará cualquiera de los dos cambios: t = cos x dt = t cos x 3 5 = t cos x dt = 3 4 t (1 − sin x)2 dt 3 2 cos x = t3 (1 − t2 )2 dt = t3 + t7 − 2t5 dt
  • 142. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n
  • 143. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las siguientes fórmulas trigonométricas:
  • 144. Funciones Con el mismo argumento Trigonométricas sin x cos x dx m n Por otra parte, si todos los exponentes son pares, el truco es ir reduciendo su grado mediante las siguientes fórmulas trigonométricas: 1 1 cos a = + cos 2a 2 2 2 1 1 sin a = − cos 2a 2 2 2
  • 146. ¡Prueba en este caso! sin4 x dx
  • 147. ¡Prueba en este caso! sin4 x dx = (sin2 x)2 dx
  • 148. ¡Prueba en este caso! 1 1 sin x dx = 4 (sin x) dx = 2 2 ( − cos 2x)2 dx 2 2
  • 149. ¡Prueba en este caso! 1 1 sin x dx = 4 (sin x) dx = 2 2 ( − cos 2x)2 dx 2 2 1 1 1 = + cos 2x − cos 2x dx 2 4 4 2
  • 150. ¡Prueba en este caso! 1 1 sin x dx = 4 (sin x) dx = 2 2 ( − cos 2x)2 dx 2 2 1 1 1 = + cos 2x − cos 2x dx 2 4 4 2 1 1 1 1 1 = + ( + cos 4x) − cos 2x dx 4 4 2 2 2
  • 151. ¡Prueba en este caso! 1 1 sin x dx = 4 (sin x) dx = 2 2 ( − cos 2x)2 dx 2 2 1 1 1 = + cos 2x − cos 2x dx 2 4 4 2 1 1 1 1 1 = + ( + cos 4x) − cos 2x dx 4 4 2 2 2 1 1 1 1 = x+ x+ cos 4x dx − cos 2x dx 4 8 8 2
  • 152. Funciones Con diferente argumento Trigonométricas
  • 153. Funciones Con diferente argumento Trigonométricas sin ax cos bx dx
  • 154. Funciones Con diferente argumento Trigonométricas sin ax cos bx dx Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en sumas gracias a las relaciones siguientes:
  • 155. Funciones Con diferente argumento Trigonométricas sin ax cos bx dx Estas integrales se pueden resolver transformando los productos de funciones trigonométricas en sumas gracias a las relaciones siguientes: 1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] 2 1 cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] 2
  • 158. ¡Observa la transformación! sin x sin 2x sin 3x dx
  • 159. ¡Observa la transformación! sin x sin 2x sin 3x dx 1 sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x) 2
  • 160. ¡Observa la transformación! sin x sin 2x sin 3x dx 1 sin x sin 2x = − (cos 3x − cos x) 2 1 sin x sin 2x sin 3x = − (cos 3x − cos x) sin 3x 2 1 = − (cos 3x sin 3x − cos x sin 3x) 2 1 = − (sin 6x − sin 4x − sin 2x) 4
  • 161. ¡Observa la transformación! sin x sin 2x sin 3x dx 1 =− sin 6x − sin 4x − sin 2x dx 4
  • 162. ¡Observa la transformación! sin x sin 2x sin 3x dx 1 =− sin 6x − sin 4x − sin 2x dx 4 1 cos 6x cos 4x cos 2x = − (− + + )+k 4 6 4 2 cos 6x cos 4x cos 2x = − − +k 24 16 8
  • 163. Funciones Cambios Universales Trigonométricas
  • 164. Funciones Cambios Universales Trigonométricas Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”:
  • 165. Funciones Cambios Universales Trigonométricas Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”: 2t 2t tan x = sin x = x 1 − t2 1 + t2 tan = t 2 2dt 1−t 2 dx = cos x = 1 + t2 1 + t2
  • 166. Funciones Cambios Universales Trigonométricas Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”: 2t 2t tan x = sin x = x 1 − t2 1 + t2 tan = t 2 2dt 1−t 2 dx = cos x = 1 + t2 1 + t2 Éste es un cambio algo complicado, pero tiene la virtud de convertir cualquier trigonométrica en racional.
  • 167. Funciones Cambios Universales Trigonométricas Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”: t sin x = √ dt 1 + t2 tan x = t dx = 1 + t2 1 cos x = √ 1 + t2
  • 168. Funciones Cambios Universales Trigonométricas Si una integral trigonométrica no sale por otro camino, hay dos cambios de variable “multiusos”: Y éste otro, en apariencia más lógico, deberás aplicarlo cuando veas que esas raíces pueden eliminarse... t sin x = √ dt 1 + t2 tan x = t dx = 1 + t2 1 cos x = √ 1 + t2
  • 170. ¡Prueba y adivina cuál hacer!
  • 171. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 dx 1 + sin x
  • 172. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 x dx El cambio correcto es tan = t 1 + sin x 2
  • 173. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 x dx El cambio correcto es tan = t 1 + sin x 2 1 2dt dt = =2 1+ 2t 1+t2 1 + t2 1 + t2 + 2t
  • 174. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 x dx El cambio correcto es tan = t 1 + sin x 2 1 2dt dt = =2 1+ 2t 1+t2 1 + t2 1 + t2 + 2t cos x dx sin x + cos x
  • 175. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 x dx El cambio correcto es tan = t 1 + sin x 2 1 2dt dt = =2 1+ 2t 1+t2 1 + t2 1 + t2 + 2t cos x dx El cambio correcto es tan x = t sin x + cos x
  • 176. ¡Prueba y adivina cuál hacer! 1 x dx El cambio correcto es tan = t 1 + sin x 2 1 2dt dt = =2 1+ 2t 1+t2 1 + t2 1 + t2 + 2t cos x dx El cambio correcto es tan x = t sin x + cos x √ 1 dt 1+t2 dt = = √ t + √ 1 1 + t2 (t + 1)(1 + t2 ) 1+t2 1+t2
  • 178. Y finalmente... 9− x2 dx
  • 179. Y finalmente... 9− x2 dx Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico.
  • 180. Y finalmente... 9− x2 dx Este último modelo de integral sugiere también un (oculto) cambio trigonométrico. Recuerda... sin x + cos x = 1 2 2 cos x = 1 − sin x 2 2
  • 181. Y finalmente... 9− x2 dx Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio:
  • 182. Y finalmente... 9− x2 dx Y con esto en mente, prueba el siguiente cambio: x = 3 sin t dx = 3 cos t dt Vamos allá (enseguida verás por qué)...
  • 183. 9 − x2 dx
  • 184. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt
  • 185. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt
  • 186. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt
  • 187. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt =9 1 − sin2 t cos t dt
  • 188. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt =9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt
  • 189. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt =9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt 1 1 =9 + cos 2t dt 2 2
  • 190. 9 − x2 dx = 9 − (3 sin t)2 3 cos t dt =3 9 − 9 sin2 t cos t dt = 3 9(1 − sin2 t) cos t dt =9 1 − sin2 t cos t dt =9 cos2 t dt 1 1 9 9 =9 + cos 2t dt = t + sin 2t + k 2 2 2 4
  • 191. 9 9 = t + sin 2t + k 2 4
  • 192. 9 9 Fíjate que, para acabar, = t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más 2 4 elaborado...
  • 193. 9 9 Fíjate que, para acabar, = t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más 2 4 elaborado... Recuerda: x x x = 3 sin t sin t = t = arcsin 3 3
  • 194. 9 9 Fíjate que, para acabar, = t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más 2 4 elaborado... Recuerda: x x x = 3 sin t sin t = t = arcsin 3 3 9 x 9 x = arcsin + sin(2 arcsin ) + k 2 3 4 3
  • 195. 9 9 Fíjate que, para acabar, = t + sin 2t + k deshacer el cambio es algo más 2 4 elaborado... Recuerda: x x x = 3 sin t sin t = t = arcsin 3 3 9 x 9 x = arcsin + sin(2 arcsin ) + k 2 3 4 3 Pero hay una manera más elegante de expresarlo...
  • 196. x = 3 sin t x x sin t = t = arcsin 3 3 9 9 = t + sin 2t + k 2 4
  • 197. x = 3 sin t x x sin t = t = arcsin 3 3 9 9 = t + sin 2t + k 2 4 9 9 = t + sin t cos t + k 2 2
  • 198. x = 3 sin t x x sin t = t = arcsin 3 3 9 9 = t + sin 2t + k 2 4 9 9 9 9 = t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k 2 2 2 2 2
  • 199. x = 3 sin t x x sin t = t = arcsin 3 3 9 9 = t + sin 2t + k 2 4 9 9 9 9 = t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k 2 2 2 2 2 9 x 9x x 2 = arcsin + 1−( ) +k 2 3 23 3
  • 200. x = 3 sin t x x sin t = t = arcsin 3 3 9 9 = t + sin 2t + k 2 4 9 9 9 9 = t + sin t cos t + k = t + sin t 1 − sin t + k 2 2 2 2 2 9 x 9x x 2 = arcsin + 1−( ) +k 2 3 23 3 ¡Soy más 9 x x elegante! = arcsin + 9 − x2 + k 2 3 2
  • 201. Para integrar debes ser creativo
  • 202. Para integrar debes ser creativo ¡Buena Suerte!

Notas del editor