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ECUACIONES LINEALES
   NO HOMOGENEAS
    (COEFICIENTES
  INDETERMINADOS)
• Para resolver una ecuación diferencial lineal no
  homogénea:


    an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x )
 se deben hacer dos cosas:
 • Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea
   asociada (función complementaria) con lo cual se
   obtiene yh.
  • Obtener alguna solución particular yp de la ecuación
    no homogénea.
  A partir de ellas: y = yh + yp.
Coeficientes indeterminados
Cuando en la EDL no homogénea:

    an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x )
la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones:
polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos
o cosenos), o combinaciones de ellas tres, el
método de solución de la ED se denomina de
“coeficientes indeterminados”.
•El método consiste en proponer la forma de la
solución particular yp (con coeficientes
indeterminados) a partir de la forma del término
g(x).
Soluciones particulares
                g(x)                          Forma de yp

1. 8 (Cualquier constante)   A
2. 3x-1                      Ax+B
3. 5x2+1                     Ax2+Bx+C
4. x3+x                      Ax3+Bx2+Cx+D
5. e6x                       Ae6x
6. Sen(3x)                   ASen(3x)+BCos(3x)
7. Cos(2x)                   ASen(2x)+BCos(2x)
8. (9x2-x)e4x                (Ax2+Bx+C)e4x
9. e5xSen(2x)                Ae5xSen(2x)+Be5xCos(2x)
10. 3x2Sen(5x)               (Ax2+Bx+C)Sen(5x)+ (Dx2+Ex+F)Cos(5x)
11. xe5xSen(2x)              (Ax+B)e5xSen(2x)+ (Cx+D)e5xCos(2x)
Modificación a la solución particular
propuesta
• Cuando se propone una solución particular para
  la ED no homogénea puede ocurrir que una
  función de la solución particular propuesta es
  también solución de la ED homogénea
  relacionada.
• En este caso se debe modificar la yp propuesta
  comparándola con yh y multiplicando por x los
  términos de yp que estén incluidos en yh. Después
  se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a
  multiplicar por x los términos que sigan incluidos.
  Este proceso continúa hasta que ninguno de los
  términos de yh esté repetido en yp.
Solución de la ED no
homogénea
• Para obtener la solución de la ED se deben realizar
  los siguientes pasos:
   • Sustituyendo la solución particular propuesta
     “modificada” en la EDL no homogénea original se
     determinan los coeficientes de los términos en el
     lado izquierdo de la ecuación con los términos
     semejantes del lado derecho de la ecuación.
   • Con los coeficientes obtenidos se determina yp y
  • Finalmente se suman yp y yh para obtener la
    solución general de la EDL no homogénea
             y = yp + yh .
Ejemplo
Al derivar yp= (Ax2+Bx+C) + Dx2e3x tenemos:
    yp´ = 2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x
    yp´´ = 2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x


Al remplazar estos términos en la ED
     y´´-6y´+9y=6x2+2-12e3x

2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x - 6(2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x) +
9(Ax2+Bx+C+Dx2e3x) = 6x2+2-12e3x

9Ax2 +(-12A+9B)x + (2A-6B+9C) + 2De3x =6x2+2-12e3x
Ejemplo
De esta última ecuación
9Ax2 +(-12A+9B)x+(2A-6B+9C)+2De3x = 6x2+2-12e3x
tenemos:
     9A = 6
     -12A + 9B = 0
     2A-6B+9C = 2
     2D = -12         De donde: A=2/3, B=8/9, C=2/3, D=-6
Por consiguiente, la solución general de la EDL es finalmente:
   y = yh+yp = c1e3x+c2xe3x + 2/3x2+8/9x+2/3-6x2e3x

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Coeficientes indeterminados

  • 1. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS (COEFICIENTES INDETERMINADOS)
  • 2. • Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea: an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x ) se deben hacer dos cosas: • Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea asociada (función complementaria) con lo cual se obtiene yh. • Obtener alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea. A partir de ellas: y = yh + yp.
  • 3. Coeficientes indeterminados Cuando en la EDL no homogénea: an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x ) la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones: polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos o cosenos), o combinaciones de ellas tres, el método de solución de la ED se denomina de “coeficientes indeterminados”. •El método consiste en proponer la forma de la solución particular yp (con coeficientes indeterminados) a partir de la forma del término g(x).
  • 4. Soluciones particulares g(x) Forma de yp 1. 8 (Cualquier constante) A 2. 3x-1 Ax+B 3. 5x2+1 Ax2+Bx+C 4. x3+x Ax3+Bx2+Cx+D 5. e6x Ae6x 6. Sen(3x) ASen(3x)+BCos(3x) 7. Cos(2x) ASen(2x)+BCos(2x) 8. (9x2-x)e4x (Ax2+Bx+C)e4x 9. e5xSen(2x) Ae5xSen(2x)+Be5xCos(2x) 10. 3x2Sen(5x) (Ax2+Bx+C)Sen(5x)+ (Dx2+Ex+F)Cos(5x) 11. xe5xSen(2x) (Ax+B)e5xSen(2x)+ (Cx+D)e5xCos(2x)
  • 5. Modificación a la solución particular propuesta • Cuando se propone una solución particular para la ED no homogénea puede ocurrir que una función de la solución particular propuesta es también solución de la ED homogénea relacionada. • En este caso se debe modificar la yp propuesta comparándola con yh y multiplicando por x los términos de yp que estén incluidos en yh. Después se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a multiplicar por x los términos que sigan incluidos. Este proceso continúa hasta que ninguno de los términos de yh esté repetido en yp.
  • 6. Solución de la ED no homogénea • Para obtener la solución de la ED se deben realizar los siguientes pasos: • Sustituyendo la solución particular propuesta “modificada” en la EDL no homogénea original se determinan los coeficientes de los términos en el lado izquierdo de la ecuación con los términos semejantes del lado derecho de la ecuación. • Con los coeficientes obtenidos se determina yp y • Finalmente se suman yp y yh para obtener la solución general de la EDL no homogénea y = yp + yh .
  • 7.
  • 8.
  • 9. Ejemplo Al derivar yp= (Ax2+Bx+C) + Dx2e3x tenemos: yp´ = 2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x yp´´ = 2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x Al remplazar estos términos en la ED y´´-6y´+9y=6x2+2-12e3x 2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x - 6(2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x) + 9(Ax2+Bx+C+Dx2e3x) = 6x2+2-12e3x 9Ax2 +(-12A+9B)x + (2A-6B+9C) + 2De3x =6x2+2-12e3x
  • 10. Ejemplo De esta última ecuación 9Ax2 +(-12A+9B)x+(2A-6B+9C)+2De3x = 6x2+2-12e3x tenemos: 9A = 6 -12A + 9B = 0 2A-6B+9C = 2 2D = -12 De donde: A=2/3, B=8/9, C=2/3, D=-6 Por consiguiente, la solución general de la EDL es finalmente: y = yh+yp = c1e3x+c2xe3x + 2/3x2+8/9x+2/3-6x2e3x