Para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, se debe resolver primero la ecuación homogénea asociada para obtener la solución complementaria, y luego proponer una forma para la solución particular basada en la forma de la función no homogénea, determinando los coeficientes para que satisfaga la ecuación. La solución general es la suma de la solución complementaria y la solución particular.

1. ECUACIONES LINEALES
NO HOMOGENEAS
(COEFICIENTES
INDETERMINADOS)

2. • Para resolver una ecuación diferencial lineal no
homogénea:
an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x )
se deben hacer dos cosas:
• Resolver la ecuación diferencial lineal homogénea
asociada (función complementaria) con lo cual se
obtiene yh.
• Obtener alguna solución particular yp de la ecuación
no homogénea.
A partir de ellas: y = yh + yp.

3. Coeficientes indeterminados
Cuando en la EDL no homogénea:
an ( x ) y ( n ) + an −1 ( x ) y ( n −1) +  + a1 ( x ) y´+ a0 ( x ) y = g ( x )
la función g(x) contiene sólo tres tipos de funciones:
polinomios, exponenciales y trigonométricas (senos
o cosenos), o combinaciones de ellas tres, el
método de solución de la ED se denomina de
“coeficientes indeterminados”.
•El método consiste en proponer la forma de la
solución particular yp (con coeficientes
indeterminados) a partir de la forma del término
g(x).

4. Soluciones particulares
g(x) Forma de yp
1. 8 (Cualquier constante) A
2. 3x-1 Ax+B
3. 5x2+1 Ax2+Bx+C
4. x3+x Ax3+Bx2+Cx+D
5. e6x Ae6x
6. Sen(3x) ASen(3x)+BCos(3x)
7. Cos(2x) ASen(2x)+BCos(2x)
8. (9x2-x)e4x (Ax2+Bx+C)e4x
9. e5xSen(2x) Ae5xSen(2x)+Be5xCos(2x)
10. 3x2Sen(5x) (Ax2+Bx+C)Sen(5x)+ (Dx2+Ex+F)Cos(5x)
11. xe5xSen(2x) (Ax+B)e5xSen(2x)+ (Cx+D)e5xCos(2x)

5. Modificación a la solución particular
propuesta
• Cuando se propone una solución particular para
la ED no homogénea puede ocurrir que una
función de la solución particular propuesta es
también solución de la ED homogénea
relacionada.
• En este caso se debe modificar la yp propuesta
comparándola con yh y multiplicando por x los
términos de yp que estén incluidos en yh. Después
se vuelven a comparar yp y yh y se vuelven a
multiplicar por x los términos que sigan incluidos.
Este proceso continúa hasta que ninguno de los
términos de yh esté repetido en yp.

6. Solución de la ED no
homogénea
• Para obtener la solución de la ED se deben realizar
los siguientes pasos:
• Sustituyendo la solución particular propuesta
“modificada” en la EDL no homogénea original se
determinan los coeficientes de los términos en el
lado izquierdo de la ecuación con los términos
semejantes del lado derecho de la ecuación.
• Con los coeficientes obtenidos se determina yp y
• Finalmente se suman yp y yh para obtener la
solución general de la EDL no homogénea
y = yp + yh .

9. Ejemplo
Al derivar yp= (Ax2+Bx+C) + Dx2e3x tenemos:
yp´ = 2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x
yp´´ = 2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x
Al remplazar estos términos en la ED
y´´-6y´+9y=6x2+2-12e3x
2A+9Dx2e3x+12Dxe3x+2De3x - 6(2Ax+B+3Dx2e3x+2Dxe3x) +
9(Ax2+Bx+C+Dx2e3x) = 6x2+2-12e3x
9Ax2 +(-12A+9B)x + (2A-6B+9C) + 2De3x =6x2+2-12e3x

10. Ejemplo
De esta última ecuación
9Ax2 +(-12A+9B)x+(2A-6B+9C)+2De3x = 6x2+2-12e3x
tenemos:
9A = 6
-12A + 9B = 0
2A-6B+9C = 2
2D = -12 De donde: A=2/3, B=8/9, C=2/3, D=-6
Por consiguiente, la solución general de la EDL es finalmente:
y = yh+yp = c1e3x+c2xe3x + 2/3x2+8/9x+2/3-6x2e3x