Este documento describe el método de coeficientes indeterminados para encontrar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. El método implica proponer una solución particular basada en la forma de la función no homogénea y determinar los coeficientes para que satisfaga la ecuación. Se ilustra con un ejemplo de encontrar la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES CON EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

2. Método empleado para encontrar una solución particular de una ecuación lineal no homogénea, o también dicho una suposición inteligente que solo se aplica a una clase restringida de ecuaciones.

3. Este método se aplica cuando la función f(x) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas: Polinomios en x Función exponencial Combinaciones lineales de cos(  x ) y sen(  x )

4. La ecuación lineal general no homogénea de orden n con coeficientes constantes tiene la forma: (1) Una solución general de la anterior ecuación es: En la función complementaria es una solución general de la ecuación general asociada

5. Y es una solución particular de la ecuación 1. Algunas propuestas de soluciones particulares. = A x +B. ( x ) = Ax 2 + Bx + C ( x ) = ( Ax + B ) ( x ) = A sen 3 x + B cos 3 x

6. Ejemplo Utilizando el método de coeficientes indeterminados, calcular una solución particular y escribir la solución general de la E.D. y ’ ’ − 4 y’ + 4 y = 12 x ² − 40 x + 42 Primero se obtiene la solución general de la E.D. homogénea asociada (solución complementaria ( x )): y ’ ’− 4 y’ + 4 y = 0 Proponiendo y = se obtiene μ 2 − 4 μ + 4 = ( μ − 2) 2 = 0

7. Proponiendo y = se obtiene μ 2 − 4 μ + 4 = ( μ − 2)2 = 0 Cuya solución es μ = 2, de multiplicidad 2, entonces = c 1 + c 2 x = ( c 1 + c 2 x ) Se obtiene una solución particular (x) de la no homogénea. y’’-4y’ +4y=12x2-40x+42 Aquí el termino no homogéneo es un polinomio de grado 2, además se tiene a y con coeficiente 4 diferente de 0. Se propone una solución particular a (x)= Ax2+Bx+C

8. Con A , B , C coeficientes a determinarse. Si = Ax ² + Bx + C  = 2 Ax + B  = 2 A Sustituyendo en − 4 + 4 = 12 x ² − 40 x + 42 , se obtiene 2 A − 4(2 Ax + B ) + 4( Ax 2 + Bx + C ) = 12 x ² − 40 x + 42 Asociando respecto a x (4 A ) x² + (−8 A + 4 B ) x + (2 A − 4 B + 4 C ) = 12 x ² − 40 x + 42 Igualdad que se cumple cuando 4 A = 12 − 8 A + 4 B = −40 2 A − 4 B + 4 C = 42

9. Sistema de ecuaciones que tiene por solución a A = 3 , B = −4 y C = 5 Entonces, la solución particular es ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5 Por lo tanto, la solución general es y = ( x ) + ( x ) y = 3 x ² − 4 x + 5 + ( c 1 + c 2 x ) Referencias: http://canek.uam.mx/Ecuaciones/CoIndeterminados/E0100.pdf