Este documento presenta 25 ejercicios de combinatoria y permutaciones. Los ejercicios involucran el cálculo de número de posibilidades para formar números, palabras, equipos, y otros escenarios que involucran la selección y ordenamiento de elementos de un conjunto. Las respuestas a los ejercicios se proveen junto con ayudas breves sobre los conceptos matemáticos aplicados en cada caso.
La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:
La lógica es una herramienta importante para todo tipo de conocimiento y de actividad racional, pero también para la vida cotidiana (donde, de hecho, la usamos de manera inadvertida). En palabras de Ricardo Guibourg:
compilado de lógica matemática y álgebra con temas varios:
1 Lógica
1.1 Introducción a la lógica. Proposiciones. Principio de no contradicción. Principio del tercer excluido.
1.2 Conectivos Lógicos. Tablas de valores de verdad.
1.3 Proposiciones compuestas. Tautologías y contradicciones.
1.4 Predicados y Cuantificadores.
1.5 Métodos de demostración.7
2 Conjuntos
2.1 Definiciones Básicas. Representación de conjuntos.
2.2 Clasificación de conjuntos. Conjuntos numéricos. Intervalos.
2.3 Diagramas de Venn. Relaciones entre conjuntos. Intersecancia, disyunción, inclusión, e igualdad.
2.4 Conjunto de partes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Unión, intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.
2.5 Producto Cartesiano.
3 Los Números Reales
3.1 Los números reales. Axiomas de la suma y de la multiplicación.
3.2 Recta Real. Valor Absoluto. Distancia entre dos puntos.
3.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas.
3.4 Productos notables.
3.5 Factorización. Principales métodos de factorización.
3.6 Fracciones. Operaciones con fracciones.
3.7 Potenciación. Exponente natural, 0 (cero), negativo, fraccionario.
3.8 Leyes de la potenciación.
3.9 Radicación. Leyes de los radicales. Operaciones con radicales.
3.10 Racionalización de radicales.
3.11 Ecuaciones lineales. Solución analítica y representación gráfica.
3.12 Ecuaciones cuadráticas. Solución analítica y propiedades de las raíces. Representación gráfica.
3.13 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.
3.14 Métodos de resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
3.15 Axiomas de orden y propiedades de las desigualdades.
3.16 Resolución de inecuaciones con factores lineales y cuadráticos.
3.17 Problemas de aplicación de ecuaciones.
3.18 Resolución de inecuaciones con valor absoluto.
4 Números complejos
4.1 Números imaginarios curvos. Números complejos. Representación en el plano.
4.2 Operaciones: Suma, diferencia, producto y división. Valor absoluto, forma polar, teorema de Moiure.
5 Matrices-Determinantes
5.1 Matrices definición. Operaciones y propiedades. Transpuesta. Tipos de matrices.
5.2 Determinantes de matrices de orden 2, orden 3, y de orden n términos de sus cofactores. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes usando las propiedades.
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por los métodos Gauss, Gauss Jordan, regla de Kramer, inversa de una matriz (de F método de Gauss Jordan, método de la matricidad adjunta).
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
compilado de lógica matemática y álgebra con temas varios:
1 Lógica
1.1 Introducción a la lógica. Proposiciones. Principio de no contradicción. Principio del tercer excluido.
1.2 Conectivos Lógicos. Tablas de valores de verdad.
1.3 Proposiciones compuestas. Tautologías y contradicciones.
1.4 Predicados y Cuantificadores.
1.5 Métodos de demostración.7
2 Conjuntos
2.1 Definiciones Básicas. Representación de conjuntos.
2.2 Clasificación de conjuntos. Conjuntos numéricos. Intervalos.
2.3 Diagramas de Venn. Relaciones entre conjuntos. Intersecancia, disyunción, inclusión, e igualdad.
2.4 Conjunto de partes de un conjunto. Operaciones con conjuntos. Unión, intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.
2.5 Producto Cartesiano.
3 Los Números Reales
3.1 Los números reales. Axiomas de la suma y de la multiplicación.
3.2 Recta Real. Valor Absoluto. Distancia entre dos puntos.
3.3 Operaciones básicas con expresiones algebraicas.
3.4 Productos notables.
3.5 Factorización. Principales métodos de factorización.
3.6 Fracciones. Operaciones con fracciones.
3.7 Potenciación. Exponente natural, 0 (cero), negativo, fraccionario.
3.8 Leyes de la potenciación.
3.9 Radicación. Leyes de los radicales. Operaciones con radicales.
3.10 Racionalización de radicales.
3.11 Ecuaciones lineales. Solución analítica y representación gráfica.
3.12 Ecuaciones cuadráticas. Solución analítica y propiedades de las raíces. Representación gráfica.
3.13 Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.
3.14 Métodos de resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
3.15 Axiomas de orden y propiedades de las desigualdades.
3.16 Resolución de inecuaciones con factores lineales y cuadráticos.
3.17 Problemas de aplicación de ecuaciones.
3.18 Resolución de inecuaciones con valor absoluto.
4 Números complejos
4.1 Números imaginarios curvos. Números complejos. Representación en el plano.
4.2 Operaciones: Suma, diferencia, producto y división. Valor absoluto, forma polar, teorema de Moiure.
5 Matrices-Determinantes
5.1 Matrices definición. Operaciones y propiedades. Transpuesta. Tipos de matrices.
5.2 Determinantes de matrices de orden 2, orden 3, y de orden n términos de sus cofactores. Propiedades de los determinantes. Cálculo de determinantes usando las propiedades.
5.3 Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución por los métodos Gauss, Gauss Jordan, regla de Kramer, inversa de una matriz (de F método de Gauss Jordan, método de la matricidad adjunta).
Demostraciones de teoremas acerca de límitesJames Smith
Los teoremas acerca de límites de funciones básicas nos proporcionan una estucha de herramientas con las que podemos encontrar límites de funciones compuestas y complejos. En este documento, se demuestran seis de los teoremas más útiles, para luego usarlos en la resolución, paso a paso, de un problema un poco complicado.
1. GUIA DE EJERCICIOS DE COMBINATORIAS
1. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números 2, 3, 5, 7, 8, 9?
R: P 6 120
3
Ayuda: Usar permutaciones.
2. Cinco personas entran en un vagón de ferrocarril en que hay 7 asientos. ¿De cúantas maneras
distintas pueden sentarse?
R: De P 7 2520
5
Ayuda: Usar permutaciones.
3. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los números 1, 3, 5, 6, 8, 0?
¿cuantos de ellos son pares?
R: P 6 P 5 360 60 300, Pares P 5 3 P 5 120
4 3 3 3
Ayuda: No hay que considerar los que empiezan con 0, por ejemplo 0135 135, y éste no es
un número de 4 cifras.
4. Si tenemos la siguiente patente de auto , con 2 letras y 4 números, de las cuales se pueden
repetir. ¿Cuántas patentes se pueden formar?. (Considere como 27 el número de letras del
abecedario.)
R: 27 2 10 4 7290 000
5. Si se quiere formar el siguiente cómite con 1 presidente, 2 secretarios y 3 tesoreros, para lo cual
se tienen 32 postulantes para los cargos mencionados anteriormente. ¿cuántos cómites se
pueden formar?
R: 32 C 31 C 30 32 465 4060 60 412 800
2 3
Ayuda: Combinaciones
6. ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses, y 2 italianos pueden sentarse en una
fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
R: 165. 888 formas se puede
Ayuda: Por ser 4 nacionalides, existen 4! formas distintas de que se formen, y en el caso de los
americanos existen 3! distintas de que se puedan juntar, y asi para los franceses 4!, 4! para los
daneses y 2! para los
italianos, asi que, en total hay 4!3!4!4!2! 165 888
7. ¿Cúantas combinaciones distintas pueden formarse tomando cuatro dígitos 3, 4, 7, 5, 8, 1?
R: De 2052000 combinaciones.(Es una combinatoria de 4 sobre 6)
8. Se tienen cuatro banderas distintas para hacer señales , las cuales se muestran en un asta
vertical.¿Cúantas señales pueden hacerse, si cada señal puede tener 1, 2, 3,4 o 5 banderas?
R: 325 señales.( Es una pemutación de 1 sobre 5 más una permutación de 2 sobre 5 más una
permutación de 3 sobre 5 más una permutación de 4 sobre 5 y más una permutación de 5 sobre
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2. 5)
9. ¿Cúantas señales distintas, cada una de 6 banderas colgadas en una línea vertical pueden
formarse con 4 banderas rojas y 2 azules?.
R: 15 señales.(Es una permutación con repetición de 4, 2 sobre 6).
10. El CAIMA desea formar una comisión de 5 alumnos, 3 de primer año y 2 de segundo año. Si se
presentan 7 voluntarios de primero pero solo 3 de segundo. ¿De cúantas maneras puede
formarse esta comisión?.
R: De 105 maneras.(La combinatoria de 3 sobre 7 por la combinatoria de 2 sobre 3)
11. Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de MARCELINO
R: 9! 362880
12. ¿Cuántos numeros diferentes de 5 cifras se pueden escribir con los digitos 1,2,3,4,5?. ¿Cuántos
empiezan con 1?
R: 5! 120 R: 4! 24
13. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 7 personas en una fila?
R: 7! 5040
14. Se tienen 12 cadetes, 5 de la 1ª compañia, 4 de la 2ª y 3 de la 3ª. ¿De cuántas maneras pueden
alinearse los cadetes, por compañia?
R: De 103680.
15. Si entre las ciudades A y B existen 5 caminos ¿De cuántas maneras se puede ir y volver da A a
B?¿De cuántas maneras se va y vuelve pero por caminos distintos?
R: De 25 maneras y de 20.
16. ¿Cuántas combinaciones de 3 cifras, puede hacerse con los digitos impares?
R: 10
17. De una empresa se seleccionan 7 trabajadores, de un grupo de 12 ¿De cuántas maneras se
pueden seleccionar?
R: 792
18. Un D.T. dispone de 5 defensas, 6 delanteros, 4 centros. ¿Cuántos equipos puede formar, si cada
equipo es de 2 defensas, 2 delanteros y 1 centro?
R: 600
19. Cada uno de los cuatro jugadores recibe 13 cartas de 52, en un juego.¿Cuántos juegos distintos
pueden formar?
R: 52! 4
13!
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3. 20. En una biblioteca hay 20 libros latinos y 6 griegos. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en
un estante en grupos de 5, de los cuales 3 sean latinos y 2 griegos?
R: 205200 maneras.
21. Encontrar el numero de palabras que se pueden formar con todas las letras de ALGEBRA, pero
que la L siempre esté primero.
R: 360
Ayuda:son 7 letras pero como la L debe ir siempre primero me quedan 6 asi tengo 6! , pero
como tengo 2 A ellas se pueden mover y queda la misma palabra , luego se debe dividir 6! por
2!
22. ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los digitos 1,2,4,6,7,8 sin cifras repetidas?
¿Cuántos son pares y cuántas son impares?
R: 720; pares 480, impares 240
23. ¿Cuántos términos sucesivos de la progresión: 9, 6, 3,..... hay que tomar para que su suma
sea 66?
R: 11 términos.
24. En cierto cultivo, ciertas bacterias se duplican en 20 min. . Si se comienza con una bacteria,
¿cuántas habrá después de 2 horas? ¿ y después de dos dias?
R: en dos horas 26 y en 2 dias 2144.
25. De cuántas maneras se pueden sentar 4 hombres y 4 mujeres en una mesa redonda de modo
que siempre haya sexo alternados.
R: 56 formas.
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