IPC UBA XXI 2015 intensivo, tablas de la verdad

1. Cómo resolver tablas de
verdad
UBA XXI

2. Proposiciones atómicas
El sauce perdió sus hojas.
Hoy es jueves
Todos los perros son mamíferos
He visto la luna.
Las proposiciones que no pueden ser divididas en partes que sean
también proposiciones, se denominan proposiciones atómicas. A cada una
de ellas se la traduce, reescribe o formaliza asignándoles una letra.
p
q
r
s

3. Valores de verdad
p
q
r
s
Verdadero
Falso
Hay dos valores de verdad: verdadero y falso

4. Valores de verdad para una
proposición atómica
p
Verdadero
Falso
Si consideramos sólo una proposición atómica hay dos posibilidades:
que sea verdadera o que sea falsa.

5. Tabla de verdad
p
V
F
Una tabla de Verdad representa posibilidades. En particular, representa
todos los valores de verdad posibles para una proposición. Para una
proposición atómica hay dos posibilidades. Cada posibilidad ocupa una línea
de la tabla.
Posibilidad 1
Posibilidad 2

6. Para confeccionar tablas de verdad para proposiciones compuestas, formadas
por más de una proposición simple, el primer paso consiste en determinar
cuántas son las combinaciones posibles de valores de verdad de las
proposiciones simples. En la tabla deben representarse todas las
posibilidades.
Tabla de verdad

7. Asignación de valores de verdad:
dos proposiciones.
p
Considerando dos proposiciones, las combinaciones posibles de valores de
verdad son cuatro.
Posibilidad 1
Posibilidad 2
q
Posibilidad 3
Posibilidad 4

8. Asignación de valores de verdad:
dos proposiciones.
p
V
F
Considerando dos proposiciones, las posibilidades son cuatro. Las dos
posibilidades antes consideradas para una proposición simple, siendo la
segunda proposición verdadera. Y esas mismas dos posibilidades siendo la
segunda proposición falsa.
Posibilidad 1
Posibilidad 2
q
V
V
Posibilidad 3
Posibilidad 4
V
F
F
F

9. Asignación de valores de verdad:
tres proposiciones.
p q r
Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho.
Posib. 1
Posib. 2
Posib. 3
Posib. 4
Posib. 5
Posib. 6
Posib. 7
Posib. 8

10. Asignación de valores de verdad:
tres proposiciones.
p q r
Considerando tres proposiciones, las posibilidades son ocho. Las cuatro
posibilidades antes consideradas siendo la tercer proposición verdadera y
esas mismas posibilidades siendo falsa la tercer proposición.
Posib. 1 V V V
Posib. 2 F V V
Posib. 3 V F V
Posib. 4 F F V
Posib. 5 V V F
Posib. 6 F V F
Posib. 7 V F F
Posib. 8 F F F

11. Asignación de valores de verdad:
más de tres proposiciones.
Considerando una proposición, las posibilidades son 2
Considerando dos proposiciones, las posibilidades son 4
Considerando tres proposiciones, las posibilidades son 8
Considerando cuatro proposiciones, las posibilidades son 16
Considerando un número n de proposiciones, las posibilidades son:
2n
El número de posibilidades y, en consecuencia, el número de filas de la tabla
de verdad que las representa, es función de la cantidad de valores de verdad
(que son dos, V y F) y del número de proposiciones considerado (que puede
ser cualquier número n que elijamos).

12. Tablas de verdad de las conectivas
Para solucionar las tablas de verdad deben recordar las tablas de verdad de
las conectivas.
p q ~ p p . q p v q p → q p ↔ q
v v f v v v v
f v v f v v f
v f f f v f f
f f v f f v v

13. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
El primer paso para resolver una tabla de verdad consiste, como decíamos,
en asignar los valores de verdad de acuerdo al número de proposiciones.
( p . q ) v ~ p

14. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v
f v
v f
f f
En este caso tenemos dos proposiciones, con lo cual la tabla de verdad
tendrá 4 filas.

15. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v v v v
f v f v f
v f v f v
f f f f f
Asignamos los valores de verdad correspondientes a cada proposición
simple.

16. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v v v v v
f v f f v f
v f v f f v
f f f f f f
Ahora comenzamos a resolver la tabla, apelando a las tablas de las
conectivas. En este caso la conectiva principal es una conjunción. Para
resolverla, debemos primero resolver el paréntesis y la negación.
Resolvemos la conjunción entre paréntesis.

17. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v v v v f v
f v f f v v f
v f v f f f v
f f f f f v f
Resolvemos la negación.

18. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v v v v f v
f v f f v v f
v f v f f f v
f f f f f v f
Una vez hecho esto, debemos solucionar la disyunción final, que es la
conectiva principal de la proposición. Para esto comparamos los valores de
verdad de cada una de las alternativas de la disyunción, que son en este caso
proposiciones compuestas: la conjunción por una parte y la negación de p
por otra (marcadas con azul).

19. Resolución de una tabla de verdad de
dos proposiciones
p q ( p . q ) v ~ p
v v v v v V f v
f v f f v V v f
v f v f f F f v
f f f f f V v f
El resultado de la tabla de verdad (marcado en rojo) se encuentra debajo de
la conectiva principal de la proposición, que en este caso es una disyunción.
Como el resultado tiene los dos tipos de valores de verdad, esta forma de
proposición es una contingencia.

20. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
[ ( ~ p → q ) v r ] → p
La mecánica para resolver una tabla de tres proposiciones es la misma.
Primero, entonces, asignamos los valores de verdad a las diferentes
proposiciones atómicas. En este caso serán 8 filas.

21. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v v v v v
f v v f v v f
v f v v f v v
f f v f f v f
v v f v v f v
f v f f v f f
v f f v f f v
f f f f f f f
Se distribuyen los valores según vimos antes en esta presentación.

22. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v
f v v v f v v f
v f v f v f v v
f f v v f f v f
v v f f v v f v
f v f v f v f f
v f f f v f f v
f f f v f f f f
La conectiva principal es el condicional que tiene por antecedente a la
proposición entre corchetes y por consecuente a p. Empezamos por resolver
el antecedente. Para eso, debemos primero resolver la proposición entre
paréntesis, empezando por la negación.

23. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v v
f v v v f v v v f
v f v f v v f v v
f f v v f f f v f
v v f f v v v f v
f v f v f v v f f
v f f f v v f f v
f f f v f f f f f
Ahora solucionamos lo que se encuentra dentro del paréntesis apelando, en
este caso, a la tabla del condicional (en azul). En cada fila tomamos como valor
del antecedente el resultado de la negación de p y como valor del consecuente
el valor de q. Para no confundirse, pueden ir tachando las columnas que ya
utilizaron.

24. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v v
f v v v f v v v f
v f v f v v f v v
f f v v f f f v f
v v f f v v v f v
f v f v f v v f f
v f f f v v f f v
f f f v f f f f f
Ahora debemos solucionar la conectiva principal de la proposición entre
corchetes, comparando los valores de verdad de cada alternativa de la
disyunción (en azul).

25. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v v v
f v v v f v v v v f
v f v f v v f v v v
f f v v f f f v v f
v v f f v v v v f v
f v f v f v v v f f
v f f f v v f v f v
f f f v f f f f f f
La solución de la disyunción se encuentra en rojo.

26. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v v v
f v v v f v v v v f
v f v f v v f v v v
f f v v f f f v v f
v v f f v v v v f v
f v f v f v v v f f
v f f f v v f v f v
f f f v f f f f f f
Ahora debemos solucionar el valor de verdad de la conectiva principal de la
proposición, que en este caso es un condicional. Para eso debemos comparar
los valores en azul.

27. Resolución de una tabla de verdad de
tres proposiciones
p q r [ ( ~ p → q ) v r ] → p
v v v f v v v v v v v
f v v v f v v v v f f
v f v f v v f v v v v
f f v v f f f v v f f
v v f f v v v v f v v
f v f v f v v v f f f
v f f f v v f v f v v
f f f v f f f f f v f
El resultado de la tabla se encuentra en rojo. Como puede verse, también se
trata de una contingencia. Si en el resultado fuesen todos verdaderos, sería
una tautología, si fuesen todos falsos, una contradicción.

28. Importante!
~ p . q ~ ( p . q)
Es importante distinguir entre estas proposiciones. En la primera, la negación
afecta solo a p, mientras que en la segunda se niega toda la conjunción.
Realicemos las tablas de verdad.

29. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v v v v v
f v f v f v
v f v f v f
f f f f f f
Esta tabla tendrá 4 filas, ya que las proposiciones atómicas son dos. Primero
asignamos los valores a las proposiciones atómicas.

30. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v f v v v v
f v v f v f v
v f f v f v f
f f v f f f f
Resolvamos primero la primera proposición. Empezamos resolviendo las
proposiciones atómicas negadas.

31. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v f v F v v v
f v v f V v f v
v f f v F f v f
f f v f F f f f
Ahora resolvemos la conjunción, tomando en cada fila el resultado de la
negación y el valor de q. El resultado de la tabla es una contingencia (en
rojo). Pasemos a resolver la segunda tabla.

32. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v f v F v v v v
f v v f V v f f v
v f f v F f v f f
f f v f F f f f f
Noten que en este caso no hay ninguna proposición simple negada. Lo
primero que hay que resolver en este caso es la conjunción. Para esto
tomamos en cada fila los valores de p y q.

33. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v f v F v v v v
f v v f V v f f v
v f f v F f v f f
f f v f F f f f f
Recién ahora podemos resolver la negación. Luego de tachar lo que ya
usamos, aplicamos la negación al resultado de lo que se niega. En este caso,
lo negado es lo que está entre paréntesis, es una conjunción.

34. Importante!
p q ~ p . q ~ ( p . q)
v v f v F v F v v v
f v v f V v V f f v
v f f v F f V v f f
f f v f F f V f f f
Como se puede ver, aunque ambas proposiciones son contingencias, sus
respectivas tablas son distintas y se resuelven de manera diferente. En la
confección de una tabla, siempre hay que prestar atención al alcance de la
negación.