Compilacion curso de matematicas

1
SENTIDO
NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
EJERCICIOS RETOMADOS DE LAS ANTOLOGIAS DEL CURSO.

2
sesión 1
S1 Actividad 1
El borrego Erick
1. El borrego Erick está al final de una fila de borregos esperando para ser
trasquilado. Hay 50 borregos delante de él. Pero como es un borrego
impaciente, cada vez que se toma un borrego del frente para trasquilarlo,
Erick se escabulle de la línea dos lugares hacia delante, salvo cuando
queda un sólo borrego delante de él. En ese caso él se escabulle sólo un
lugar hacia delante y queda al frente de la fila. ¿Cuántos borregos serán
trasquilados antes que Erick? Intente dar una respuesta mentalmente.
a. Una versión más sencilla del problema de Erick, es considerar una
fila de borregos más corta.
Si hay tres borregos antes que Erick,
sólo un borrego es trasquilado antes que él.

3
Si hay seis borregos antes que Erick,
sólo dos borregos son trasquilados antes que él.
b. Utilice monedas, frijoles, o algún otro material manipulable para
simular la situación y complete la siguiente tabla.
Número de borregos
delante de Erick
Número de borregos
trasquilados antes que
Erick
4
5
6
7
8
9
10
11
c. Utilice la tabla anterior para predecir cuántos borregos serán
trasquilados antes de Erick si hay 50 en línea delante de él.

4
d. Describa las estrategias que utilizó para dar respuesta al punto
anterior.
e. ¿Cómo podría predecir la respuesta para cualquier número de
borregos en la línea?
f. ¿Su método para predecir es "algebraico"? ¿Por qué sí o por qué
no?
g. Ahora complete la siguiente tabla. ¿Se puede completar de una sola
manera? Explique.
Número de borregos
delante de Erick
Número de borregos
trasquilados antes que
Erick
37
296
1,000
7,695
13
21

5
h. Erick se vuelve más y más impaciente. Explore cómo cambia la regla
si Erick se pasa tres borregos a la vez. Recuerde que Erick llegará al
frente de la fila, aunque en el último brinco, pase menos de tres
borregos.
i. ¿Y qué pasa si se pasa 4 borregos a la vez?
j. ¿Y 10 borregos a la vez?
k. Si conoce el número de borregos delante de Erick y cuántos pasa
cada vez ¿puede predecir el número de borregos que serán
trasquilados antes de Erick? Describa cómo lo hace.
l. ¿Qué sucede si Erick pasa primero dos borregos y luego el
trasquilador toma un borrego del frente de la línea? ¿Esto cambia su
regla? ¿Si es así, cómo?

6
m. El granjero emplea otro trasquilador de modo que los dos borregos
del frente de la línea son trasquilados al mismo tiempo. Explore lo
que hace esto a su regla.
n. Hay varias maneras de representar una situación problémica: una
regla escrita, en palabras o símbolos; una gráfica, una ecuación, o
una tabla. ¿Qué tipo de representaciones utilizó para el problema de
Erick? ¿Por qué eligió esas representaciones?
2. El Problema de la Oveja Erick es uno de los que se reporta
internacionalmente en varios artículos que discuten precisamente el tema
de los componentes de pensamiento algebraico y su desarrollo en el ámbito
escolar. Comente con sus compañeros de equipo cuáles de esas
componentes identifican en todo el proceso de solución que han llevado a
cabo.

7
S1 Actividad 4
Significado de los procesos de
multiplicación y división con decimales
Lo que hemos visto en las primeras actividades de esta sesión, nos permiten dar
significado a los decimales con expansión finita como fracciones cuyo
denominador es alguna potencia de 10. Con esto en mente podemos dar sentido a
algunas cuestiones que surgen cuando multiplicamos o dividimos este tipo de
decimales, por ejemplo:
¿Por qué al multiplicar decimales, para establecer el lugar del punto
decimal en el producto lo que hacemos es sumar el número de dígitos
que tiene la parte no entera de ambos factores?
Para multiplicar 0.2 0.03 lo que comúnmente hacemos –más o menos-, es
efectuar la operación como 2 3 6 y luego vemos que como hay 1 dígito no
entero en el primer factor y 2 en el segundo, decimos que debe haber 1+2 =3
lugares decimales en el resultado (la expansión no entera debe ser de 3 dígitos).
O sea, el resultado es 0.006
En el desarrollo que se presenta enseguida, llene los espacios que hacen
falta al efectuar la misma operación mediante las fracciones
correspondientes (con denominadores expresados como potencias de 10)
para que justifique el procedimiento común antes descrito:
0.2 0.03
2
....
3
....
2 10.....
3 10.....
6 10.....
0.........
¿Por qué recorremos los puntos decimales cuando dividimos?
Al dividir 2.5 0.05 lo que hacemos es recorrer el punto decimal dos lugares a la
derecha, que es el número de dígitos no enteros que tiene el divisor. Visualizar la
razón para esto requiere que recurramos al sentido de “división” que le damos a
las fracciones. Es decir, podemos escribir esta división como la fracción 2.5 .
0.05
Al hacerlo, nos damos cuenta que para encontrar ahora algún sentido a esta
expresión, requerimos que al menos el denominador sea entero... Llene los
espacios en el desarrollo siguiente:

8
S2 Actividad 2
Doblando papel
1. Utilice las tiras de papel que le entregará el instructor. Doble una tira a la
mitad y luego extiéndala. Conteste lo siguiente:
a. ¿Cuántas partes se observan en la tira desdoblada?
b. ¿Cuántas líneas se observan a lo largo de la tira desdoblada?
2. Vuelva a doblar la tira a la mitad. Ahora, repita la operación de modo que
haya realizado dos dobleces sobre la tira. Al desdoblar completamente la tira
observará algo como lo representado en la siguiente figura.
3. Repita el proceso y complete la siguiente tabla:
Etapa de
doblado
Partes que se observan
en la tira desdoblada
Líneas que se observan
1
2
3
4
5
10
a. Si se observan 128 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces de ha
doblado la tira?
b. ¿En cuántas partes está dividida una tira en la que se observan 255
líneas?

9
c. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?
¿Cuántas partes se ven en la tira cuando la misma se ha doblado
n veces?
¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando la misma se ha doblado
n veces?
d. ¿Es posible observar 10,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí o
no y por qué?
4. Tome una nueva tira y dóblela en tres partes iguales:
5. Vuelva a doblar la tira en tres partes iguales y sin desdoblarla, doble la tira a
la mitad. Al desdoblar completamente la tira observará algo como lo
representado en la siguiente figura.

10
6. Repita el proceso (doblar en tres partes iguales y luego, sin desdoblar,
doblar a la mitad) y complete la siguiente tabla:
Etapa de
doblado
Partes que se observan
Líneas que se observan
1
2
3
4
5
10
a. Si se observan 108 partes en la tira desdoblada. ¿Cuántas veces se
ha doblado la tira?
b. ¿Es posible encontrar un patrón aquí?
¿Cuántas partes se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
¿Cuántas líneas se ven en la tira cuando se ha doblado k veces?
c. ¿Es posible observar 20,000 líneas en una tira suficientemente larga, sí
o no y por qué?

11
S3 Actividad 3
Cambio de Variable
1. Resuelva la siguiente ecuación:
2. Intente una forma alternativa de resolver la ecuación. Discútala con sus
compañeros.
3. Analice cada una de las alternativas de solución, en términos de las ventajas y
desventajas que ofrece cada una de ellas.

12
4. Construya otra ecuación que pueda ser abordada mediante las estrategias antes
propuestas y resuélvala.
5. ¿Es posible generar un patrón que permita construir ecuaciones que
respondan a los tratamientos antes estudiados? Explique.

13
S4 Actividad 8
Llenado de Botellas
¿Ha observado alguna vez que cuando se están llenando botellas
mediante un flujo de agua constante, al llegar casi al tope,
súbitamente el agua se empieza a derramar? ¿Por qué sucede
esto?
1. Imagine que cada una de las seis botellas que se muestran abajo, se llena
manteniendo un flujo constante. Para cada botella, elija la gráfica adecuada
que relacione la altura del agua con el volumen del agua que se ha vertido.
2. Para las gráficas que quedan sin seleccionar, muestre como sería la botella
que se llena.

Forma, Espacio y Medida
Geometría
Sesión 2
14
3. Bosqueje la gráfica para siguiente secuencia de botellas
4. Usando estos bosquejos, explique por qué el llenado de una botella con
lados rectos e inclinados no da una recta como gráfica.
5. ¿Es posible que dos botellas distintas produzcan la misma gráfica de la
relación altura-volumen? En caso afirmativo bosquéjelas.

Geometría
Sesión 2
15
S4 Actividad 9
Nuestros materiales de trabajo
En esta actividad se propone que realicen, en equipos integrados por los
compañeros que trabajen en el mismo grado escolar, el análisis de
algunas situaciones que se proponen en su libro de texto. Primeramente
deben seleccionar las situaciones correspondientes al grado en el que
desempeñan su trabajo, de acuerdo a un tema de su interés que esté
relacionado con el sentido numérico o el pensamiento algebraico.
Con el propósito de que esta actividad se desarrolle de acuerdo a lo antes
declarado es necesario que ustedes tengan disponibles, además de su libro de
texto, los Planes y Programas de estudio de Matemáticas.
Con base en el Programa de estudio, seleccionen una lección de su Libro
de Texto de Matemáticas del grado en el que trabajan, relacionada con los
temas mencionados y y analícenla de acuerdo a lo siguiente:
h) Nombre de la lección:
i) Grado:
j) Contenidos que se tratan en la lección:
k) Habilidades que, en su opinión, se pueden desarrollar:
l) Grado de dificultad que, en su opinión, presenta la lección (analicen
las actividades y expliquen)
m) ¿Qué modificaciones o variantes propondrían ustedes a esta lección
para enriquecerla?
n) Relacionen la actividad seleccionada con otras actividades que traten
el mismo tema en su Libro de Texto.

Geometría
Sesión 2
16
FORMA, ESPACIO
Y MEDIDA

Geometría
Sesión 2
17
Sesión 2
A1
Adquiriendo la noción de reflexión
1. Haga movimientos de su mano o parte de ella (Por ejemplo mover los
dedos) frente a uno de los pequeños espejos que se le proporcionan. Anote
sus observaciones acerca de la relación que encuentra entre el objeto (La
mano) y la imagen reflejada en el espejo.
2. Colóquense dos compañeros, uno frente al otro, imagínense que en medio
de ellos se encuentra un gran espejo (Que a la vez transparenta), uno de
los compañeros realiza algún movimiento y el otro intenta representar la
imagen reflejada del compañero en el espejo imaginario, enseguida se
invierten los papeles. Describa cómo tuvieron que ser los movimientos del
que representaba la imagen, con respecto al que representaba el objeto y
las dificultades que ello le representó.
3. Dibuje la imagen reflejada de la siguiente figura con respecto a la recta
dada, como si fuera un espejo.

Geometría
Sesión 2
18
4. Dada una figura y una línea recta sobre una hoja de papel, obtenga la
imagen reflejada de dicha figura, como si la línea fuera el espejo, utilizando
papel carbón y doblez de papel.
5. Discuta con sus compañeros sus experiencias, escriba lo que concluyeron.
A2
Iniciando matematización
1. Trate de hacer un resumen tomando en cuenta las siguientes preguntas:
¿En qué forma están colocados los pares de figuras en los que una es
―reflejo‖ de la otra?. ¿Qué características medibles tienen entre sí
los objetos y sus ―reflejos‖ ?.

Geometría
Sesión 2
19
2. En la actividad anterior dibujó el reflejo de una figura utilizando una línea
como si fuera un espejo mediante doblado de papel y papel carbón. Utilice
su dibujo anterior, tome un punto (llámele P) de la figura original y
siguiendo el mismo procedimiento (de trabajar con el papel carbón)
encuentre su reflejo P’, una el punto P con el punto P’ por medio de un
segmento de recta, analice la relación del segmento PP’ con el eje de
reflexión y escriba lo que observa. Experimente para más puntos de la
figura haciendo el mismo tipo de observaciones. En los renglones
siguientes, escriba el resumen de sus observaciones sistemáticas.
3. Corrobore, con la ayuda de una escuadra, el tipo de ángulo que existe entre
el eje de reflexión (mal llamado de simetría) y el segmento determinado por
el par de puntos P y P’, así como para al menos otros dos pares de puntos
en el que uno sea el reflejo del otro y escriba sus observaciones.
4. ¿Qué relación hay entre la distancia del punto P al eje de reflexión y de éste
al punto P’? Comente su respuesta.
5. ¿Sucede lo mismo con los demás pares de puntos? Explique su respuesta.

Geometría
Sesión 2
20
6. Discuta con sus compañeros lo que en conjunto observó en esta actividad y
anote sus conclusiones:
A3
Afianzando lo noción de Reflexión
1.- En cada una de las siguientes cuadrículas, decir si los pares de figuras en ellas
contenidas son simétricas o no con respecto al eje que se resalta por el grosor.
2.- En cada una de las siguientes cuadrículas, dibujar la figura simétrica a la figura dada
con respecto al eje indicado.

Geometría
Sesión 2
21

Geometría
Sesión 3
22
Sesión 3
A1
Dibujos a Escala: Identificar una buena imagen
I. He aquí el dibujo de una pantera:
1. ¿Cuál de las siguientes reproducciones del dibujo le parece la ―mejor‖ ?
2. Compare su selección y los métodos utilizados para determinarla.
3. Explique brevemente en qué basa su decisión:

Geometría
Sesión 3
23
En matemáticas se utiliza el adjetivo “semejantes” para describir dos figuras que tienen la
misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Si una se obtiene como una
“copia a escala” de la otra, entonces las dos figuras son semejantes.
II. Observe los dos grupos de figuras siguientes y responda lo que se le pide:
9
6 3
2
1. Marque con una cruz los
rectángulos que son semejantes
entre sí.
4
10
2. ¿Cómo puede asegurar que su selección es correcta? ¿Está basada
solamente en los ángulos?
Establezca el o los criterios para determinar cuándo dos o más rectángulos son semejantes:
3. ¿Son estos dos triángulos semejantes?
4. ¿Cómo lo puede verificar?
5. Discuta con sus compañeros bajo qué condiciones cree usted que se puede
determinar la semejanza de polígonos en general y de triángulos en particular.

Geometría
Sesión 3
24
6. Escriba en el recuadro sus determinaciones (en las actividades que siguen a
ésta tendrá oportunidad de ratificarlas o modificarlas).
Otros Criterios de Semejanza de Triángulos?
1. En la Actividad 1 de esta sesión se le solicitó que expresara los criterios que
determinan particularmente la semejanza de triángulos. ¿Qué se requiere para
determinar si dos triángulos son semejantes?
a. Para cada par de medidas de ángulos, trace usted un triángulo y
enseguida compare sus cuatro triángulos con los de sus compañeros de
equipo:
90° y 60° 45° y 45°

Geometría
Sesión 3
25
120° y 30° 80° y 40°
b. ¿Qué se advierte? Argumente brevemente por qué es así.
c. Enuncie, consecuentemente a sus observaciones anteriores, el o los
criterios que determinan la semejanza de triángulos únicamente en función
de sus ángulos:
d. ¿Sucede lo análogo con el criterio que se refiere únicamente a la
proporcionalidad de los lados? ¿por qué?

Geometría
Sesión 3
26
2. Exploren en equipo qué datos mínimos adicionales sobre los lados se
requieren para construir triángulos semejantes cuando se conoce
solamente un ángulo.
Recordar que la notación usada para etiquetar vértices y
lados en los triángulos se conviene como sigue: Vértices
con mayúscula, siguiendo las manecillas del reloj. Lados
con la minúscula que corresponde al vértice
opuesto. B
a
c
C
A b
a. Por ejemplo, dado un par de triángulos con las siguientes características:
en un triángulo, uno de sus lados mide 6 cm y uno de sus ángulos 60 ; en
el otro triángulo, el lado y el ángulo correspondientes miden 3 cm y 60
respectivamente ¿Se trata indiscutiblemente de triángulos semejantes?
Argumente acerca de la suficiencia o insuficiencia para asegurar la
semejanza antes de hacer los trazos. Luego realice los trazos y verifique
con sus compañeros lo antes argumentado.
b. O bien, si dado un par de triángulos cuyas características son: a=3, b=2,
BAC 35 y su correspondiente a’= 6, b’=4 y B' A'C' 35 ¿qué pasa?
¿de qué criterio estamos hablando? ¿es suficiente para validar la
semejanza?

Geometría
Sesión 3
27
c. Y si se conservan las medidas de los lados del caso anterior, pero el
ángulo que se mantiene fijo es el CBA 35
d. Enuncie el criterio o los criterios que determinan la semejanza de
triángulos en función de un ángulo y dos lados.
3. Ejercicio para responder argumentando oralmente su respuesta:
Determine si en las situaciones que se describen a continuación se trata
necesariamente de figuras semejantes
a) Dos triángulos cualesquiera
b) Dos triángulos isósceles ABC, A’B’C’ en los que el
ángulo formado por los lados iguales mide 45°.
c) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que
un cateto de ABC es el doble de un cateto de A’B’C’
d) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C en que un
ángulo agudo de ABC es congruente con el ángulo
agudo de A’B’C’ correspondiente.
e) Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’ en los que
la hipotenusa y un cateto son proporcionales
f) Dos rectángulos cualesquiera
g) Dos rectángulos ABCD y A’B’C’D’ en los que un lado
de ABCD es la mitad de un lado A’B’C’D’
h) Dos cuadrados cualesquiera

Geometría
Sesión 4
Propongan en el grupo situaciones de polígonos en general para explorar
condiciones de semejanza.

Geometría
Sesión 4
57
A3
Explorando áreas en el geoplano
Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar
un geoplano simulado con un software de geometría dinámica.
1. La unidad de área en el geoplano será la del cuadrado más pequeño que
pueda obtenerse al unir cuatro clavos. A esta unidad la llamaremos unidad
cuadrada.
2. En el geoplano, la unidad de longitud será la distancia vertical u horizontal
entre dos clavos consecutivos.
3. Utilice el geoplano y ligas de colores, o una de las alternativas
mencionadas, para reproducir las siguientes figuras y encuentre el área de
cada una en unidades cuadradas:
4. Ahora, construya las siguientes figuras:
a. Un cuadrado con área de cuatro unidades cuadradas.
b. Un triángulo isósceles con área de cuatro unidades cuadradas.
c. Un cuadrado con área de dos unidades cuadradas.

Geometría
Sesión 4
58
A4
Triángulos y rectángulos
Para esta actividad necesitará un geoplano y ligas de colores. En su defecto,
puede utilizar los puntos marcados en esta hoja de trabajo, o bien, puede utilizar
un geoplano simulado con un software de geometría dinámica.
1. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de los
siguientes triángulos.
2. Explique cómo puede utilizar rectángulos para determinar el área de las
siguientes figuras.
.

Geometría
Sesión 4
59
3. Construya las formas siguientes:
a. Un triángulo con un área de 3 unidades cuadradas
b. Un triángulo y un cuadrado con áreas iguales (¿Cuál tiene el
perímetro más pequeño?)
c. Triángulos con áreas de 5, 6, y 7 unidades cuadradas,
respectivamente.
A5
Calculando áreas
1. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un rectángulo
en el geoplano.
2. Si llamamos b a la base del rectángulo y h a su altura, escriba y explique la
fórmula para obtener el área del rectángulo.
3. Explique con sus propias palabras cómo encuentra el área de un triángulo
rectángulo en el geoplano.
4. Si llamamos b a la base del triángulo rectángulo y h a su altura, escriba y
explique la fórmula para obtener el área del triángulo rectángulo.

Geometría
Sesión 4
60
5. ¿La fórmula anterior sirve para calcular el área de cualquier triángulo? Para
responder esta pregunta, primero observemos lo siguiente:
Tenemos un paralelogramo de base b y altura a, y un rectángulo de base b
y altura a. Compare las áreas de las dos figuras. ¿Cuál es la fórmula para el
área de un paralelogramo?
6. Recorte dos triángulos congruentes. Puede seguir el siguiente
procedimiento: Doble una hoja de papel y dibuje un triángulo arbitrario.
Marque su base y su altura. Recorte el triángulo sobre el papel doblado, de
modo que obtendrá dos triángulos congruentes.
Acomódelos de modo que se forme un paralelogramo con la misma base y
la misma altura del triángulo.
a. ¿Cómo se relaciona el área del triángulo con la del paralelogramo?
b. Escriba la fórmula para el área de un triángulo arbitrario, de base b y
altura h.
7. Recorte dos trapecios congruentes. Puede usar el procedimiento descrito
en el punto anterior. Marque en cada trapecio, su base mayor B, su base
menor b y su altura h. Acomódelos de modo que se forme un
paralelogramo.
a. ¿Cuál es el área de este paralelogramo? Escriba la fórmula.
b. ¿Cómo se relaciona el área del trapecio con la del paralelogramo?

61
c. Escriba la fórmula para el área del trapecio.
8. Encuentre el área de los triángulos marcados en los siguientes polígonos
regulares. Suponga que la medida de cada lado de los polígonos es de 2
unidades.
a. Utilice la información para encontrar el área de los polígonos.
b. ¿Cómo relaciona estos resultados con la fórmula que usted conoce
para encontrar el área de un polígono regular?
9. Complete la siguiente tabla que relaciona la medida de la apotema sobre la
medida del lado para cada polígono regular indicado.

No. de lados Medida del lado Medida de la
apotema
Cociente indicado
3 2
4 2
5 2
5 3
6 2
6 4
7 2
7 5
8 2
8 6
a. ¿Qué observa en la relación de variación del cociente conforme
cambiamos el número de lados del polígono?
10.Utilice software de geometría dinámica para explorar la variación del
cociente de la apotema sobre la medida del lado al variar la longitud del
lado para un polígono de un número determinado de lados
(preferentemente mayor que 4).
a. Al observar la tabla construida en el punto 9 y la exploración gráfica
dinámica que se acaba de realizar, explique y justifique lo que
sucede.

MANEJO DE LA
INFORMACIÓN

Sesión 1
Actividad 1: El uso del juego para introducir ideas estocásticas básicas
Participan en el juego dos personas. Se enumeran cuatro casillas del 0 al 3, ver figura. Cada
jugador escoge un color de ficha y alternadamente seleccionan una casilla y colocan una ficha
en ella, de modo que las cuatro casillas queden cubiertas, dos para un jugador y las otras para
el otro. Se lanzan tres monedas, se cuenta el número de águilas que resulten del lanzamiento
y, enseguida, avanza una casilla la ficha del jugador que corresponda al número de águilas
obtenidas. Gana el primero que alcance la meta con alguna de sus fichas.
0 … M
1 … E
2 … T
3 … A
1. Antes de iniciar el juego, responda a lo siguiente:
a. ¿Qué números seleccionará con preferencia? ¿Por qué?
b. ¿Qué números no seleccionaría? ¿Por qué?
c. Si tuviera que escoger entre el 0 y el 3, ¿Cuál seleccionaría? ¿Por qué?
d. Si tuviera que escoger entre el 1 y el 2, ¿Cuál seleccionaría? ¿Por qué?
e. ¿Importa en el juego qué números se seleccionen? ¿Por qué?
f.Si se realizan 10 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas cree que
avanzará cada uno de los jugadores? ¿Por qué?

0 M
1 E
2 T
3 A
g. Si se realizan 100 veces los lanzamientos de las tres monedas, ¿Cuántas casillas cree que
avanzará cada uno de los jugadores? ¿Por qué?
2. Al responder a las preguntas anteriores, de alguna manera ha formulado argumentaciones, que
intuye suceden, con respecto al desarrollo y resultados del juego. El análisis del juego nos llevará
a la aceptación o rechazo de las hipótesis que se han seguido para la elección o elecciones
realizadas. Para esto, es necesario jugar varias partidas y tomar datos, ¿Qué datos serán
relevantes para el análisis del juego?
También es indispensable decidir una forma de codificar la información de modo que sea fácil su
organización y análisis posterior.
Para el propósito de la actividad, es importante resaltar que lo que interesa es el análisis del juego
y no quien gana, por lo que una cuestión de interés será determinar si hay alguna o algunas
elecciones más convenientes que otras, por lo tanto los datos que interesa tomar son números
seleccionados, número ganador, movimiento realizado y no quien ganó en cada partida
(denominamos partida a cada una de las ocasiones que se lanzan las tres monedas. Resulta
ganador de la partida el jugador cuya casilla coincide con el número de águilas obtenidas).
Enseguida, forme una bina con alguno de sus compañeros y juegue las partidas necesarias hasta
que alguno de los jugadores logre llegar a la meta.
3. Una vez realizado el experimento anterior, ¿Qué observaciones puede hacer con respecto a los
resultados del juego?
4. ¿Coinciden con los resultados esperados al principio del juego?
5. ¿Modificaría su elección si jugara de nuevo? ¿Por qué?
6. Los resultados obtenidos de la simulación de 100 lanzamientos de tres monedas, en grupos de
diez, se presenta enseguida:
6 DGFCMS

11DGFCMS
1 0 1 2 0 1 0 3 2 2
1 1 2 2 3 0 3 2 1 3
1 2 1 2 1 2 2 3 2 2
2 0 2 1 1 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0 1 1 2 1 2
1 3 2 2 2 1 3 0 1 1
2 1 2 0 2 1 1 2 2 2
2 2 3 3 2 3 3 0 2 2
0 2 3 2 0 2 0 3 2 1
1 3 0 2 1 1 2 1 1 3
Si el jugador A, seleccionó las casillas 0 y 2 y el jugador B las restantes, proponga una
organización de los datos obtenidos en la simulación, de modo que se pueda observar el número
de partidas jugadas y el número de veces que ha avanzado cada ficha:
7. Al número de veces que se han obtenido un resultado en particular le llamamos
frecuencia absoluta, mientras que al cociente entre el número de veces que se ha obtenido un
resultado particular y el total de veces que se ha realizado el experimento (total de partidas) le
llamamos frecuencia relativa. Complete su tabla incluyendo las frecuencias relativas y proponga
una representación gráfica que refleje los resultados obtenidos en el juego.
8. A partir del trabajo realizado, es posible realizar alguna conjetura, en concreto, un juicio
acerca del resultado que ha aparecido con mayor frecuencia y, en todo caso, si se desea ganar
el juego, cual se seleccionaría. Estas conjeturas se realizan a partir del análisis de los datos, de
la construcción de sus resúmenes y de la observación de las gráficas resultantes. ¿Modificaría
las respuestas dadas en el punto 1, a partir del trabajo realizado en los puntos 6 y 7?
Establezca una conjetura acerca del resultado del juego y plantee una estrategia para la
validación de su conjetura.
9. Finalmente, exponga cómo utilizaría lo estudiado si tuviera que participar de nuevo en el juego
y que esperaría que sucediera una vez concluido el mismo.

12DGFCMS
actividad 4: Situaciones aleatorias en el contexto de juegos1
La utilización de monedas, dados o ruletas en diversos juegos hace que el resultado o desarrollo
del juego no dependa sólo del conocimiento del juego y las habilidades o destrezas desarrolladas
por cada uno de los participantes. Digamos que estos dispositivos incorporan un factor de
incertidumbre en los posibles resultados y con ello hacen interesante el juego. En estos ambientes
los resultados que determinan al ganador no se pueden conocer sino hasta después de realizado
el juego. El comportamiento impredecible de los resultados posibles en cada momento del juego
brinda un contexto idóneo para poner en acción las ideas de azar, probabilidad y regularidad
estadística, entre otras que son importantes desde la perspectiva escolar.
Un caso sencillo viene a ser el juego de volados, en donde se trata de adivinar el resultado del
lanzamiento de una moneda, una predicción antes del lanzamiento, que de verificarse con el
resultado del lanzamiento una vez efectuado permite decidir si el jugador gana o pierde.
Alrededor de esta situación caben algunas interrogantes que ayudan a definir lo que resulta
importante en este tipo de situaciones: ¿Cuál es la gama de posibles pronósticos que pueden
efectuarse? ¿Cuál es el conjunto de posibles resultados? ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
¿Cómo se puede calcular dicha probabilidad? ¿Bajo qué condiciones es válido el procedimiento
empleado? ¿Qué significa la probabilidad obtenida?, etc. En cierto modo estas interrogantes
orientan nuestra visión hacia un modelo probabilístico de la situación y al cálculo de probabilidades
bajo dicho modelo y /o sus implicaciones.
En esta actividad, presentamos una serie de situaciones con monedas, dados, ruletas en las que
se plantean interrogantes encaminadas a esclarecer aspectos que guardan una intima relación
con nociones probabilísticas, las cuales son contempladas en los estudios que se hacen en la
escuela secundaria.
Juego con monedas
Situación 1
Al jugar volados con una o varias monedas nos podemos hacer una serie de preguntas acerca del
comportamiento del resultado obtenido, antes de realizar algún lanzamiento. Si en condiciones
como las de este día despejamos, de mesas y sillas, un área del salón de clase y lanzamos una
moneda de un peso hacia arriba:
1
Esta actividad fue retomada del Módulo III del Diplomado “La Enseñanza y el Aprendizaje de las
Matemáticas en Educación Secundaria”; 2006, Un iv ersid ad d e So n o ra .

Las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria III
a. ¿Caerá la moneda al piso?
b. ¿Es posible asegurar que siempre pasará lo anterior?_ ¿Por qué?
c. Las preguntas anteriores, ¿Tratan de una situación determinista o aleatoria? ¿Por qué?
d. Si la moneda cae al piso, ¿Qué cara de la moneda quedará hacia arriba? ¿Por qué?
e. La situación planteada en d, ¿Es determinista o aleatoria? ¿Por qué?
f.Si hacemos el lanzamiento de una moneda y registramos la cara que queda hacia arriba,
¿Puedes decir qué ocurrirá en el próximo lanzamiento de esa moneda? ¿Por qué?
g. Si lanzamos dos veces una moneda, ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden
registrar?
h. Si hacemos tres lanzamientos de una moneda y registramos las caras que quedan hacia arriba,
¿Puedes decir con certeza cuál es el resultado que se obtendrá en los próximos tres
lanzamientos? ¿Por qué?
Juego con dados
Situación 2
Los juegos de dados son un buen contexto para trabajar algunas de las ideas básicas de las
situaciones aleatorias. Si se hace el lanzamiento de dos dados, uno verde y uno azul y
registramos el número de puntos que aparecen en la cara que queda hacia arriba de cada dado de
la siguiente manera: primero el verde y después el azul.
12 DGFCMS

13DGFCMS
Responde a cada uno de los siguientes planteamientos:
a. De acuerdo a lo que se quiere registrar, ¿Es una situación determinista o aleatoria?
, ¿Por qué?
b. Si se requiere hacer el registro de los puntos de las caras de los dados que quedan hacia
arriba, ¿Cuáles son todos los resultados posibles?
c. ¿Cuántos son los resultados posibles?
d. ¿En cuántos resultados posibles el dado verde caerá 3? . ¿Cuáles son?
e. ¿En cuántos resultados posibles la suma de los puntos es 8?, . ¿Cuáles son esos
resultados?
f.¿En cuántos resultados posibles el dado azul tiene un número de puntos par? , ¿Cuáles
son?
g. ¿En cuántos resultados posibles el número de puntos es igual en ambos dados? ,
¿Cuáles son?
h. ¿Qué tiene más oportunidad de ocurrir, un cinco y un cinco o un cinco y un
seis?_ ¿Por qué?
i. ¿Cuál de los siguientes resultados tiene más oportunidad de ocurrir, el verde 4 y el azul 3 o el
verde 4 y el azul 4? ¿Por qué

situación 3
Juego con ruletas
Si se giran las ruletas que se muestran enseguida y se hace el producto de los números que
marque la flecha en cada ruleta:
a. ¿Cuáles son los resultados posibles que se pueden presentar?
b. ¿Cuál de ellos es más probable que salga? , ¿Por qué?
c. ¿Cuál de ellos es menos probable que salga? , ¿Por qué
d. Dejando una de las ruletas como está, ¿Cómo deberá quedar la otra ruleta para que los valores
de b y c sean igualmente probables?

2. Represente la información de la tabla en un diagrama de Venn.
Actividad 6: Estudiantes de concurso
En una escuela secundaria hay un grupo de 65 estudiantes que han participado en concursos de
ciencias: Matemáticas (M), Física (F) y Química (Q). De acuerdo a los resultados del año pasado
los estudiantes están clasificados de acuerdo al tipo de concurso en el que han ganado algún
lugar, tal como se muestra en el diagrama que se presenta en el siguiente diagrama.
F 9 8
10 7
5
6
12 8
Q
M
La escuela ha gestionado una beca para ser asignada entre los estudiantes que han participado
en dichos concursos. Los profesores deciden seleccionar, al azar, a un estudiante de los 65 que
han participado en alguno de los concursos señalados para proponerlo para que le sea asignada
la beca, ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante que seleccionen sea alguien que haya
ganado algún lugar:
a. En el concurso de matemáticas?
b. En el concurso de física?
c. En el concurso de química?
d. Sólo en el concurso de matemáticas?
e. Sólo en el concurso de física?
f.Sólo en el concurso de química?
32 DGFCMS

g. En el concurso de matemáticas y física?
h. Sólo en el concurso de matemáticas y física?
i. Sólo en uno de los tres concursos? j. Sólo en dos de los tres
concursos? k. En los tres concursos?
l.En al menos uno de los tres concursos?
m.En al menos dos de los tres concursos?
n. En ninguno de los tres concursos?

No.deestudiantes
Sesión 3
Actividad 1: El examen de admisión
La siguiente gráfica muestra el número de reactivos correctos obtenidos por un grupo de
aspirantes a ingresar al bachillerato en un examen de opción múltiple.
60
No. de reactivos correctos
A partir de la información representada en la gráfica, determine lo que se le pide a continuación:
I. Si el examen constó de nueve reactivos de falso y verdadero:
a. ¿Cuáles son todos los valores de la variable estadística involucrada en el problema?
b. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión?
c. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron el máximo de reactivos correctos?
d. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron cuatro reactivos correctos?
e. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron ocho reactivos correctos?
f.¿Qué consideraciones realizó para dar respuesta a los incisos anteriores?
g. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo dos o más reactivos correctos?
h. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo a lo más cuatro reactivos correctos?
i.Proponga una representación tabular para la información presentada en la gráfica.
36 DGFCMS

37DGFCMS
II. Si el examen constó de 70 reactivos y el mínimo de reactivos correctos fue 5 y el máximo de 65,
considerando la misma representación gráfica:
j.¿Cuántos estudiantes presentaron el examen de admisión?
k. De nuevo construye una representación tabular para la información representada en la gráfica.
l.Explique las consideraciones que hizo para presentar la propuesta tabular solicitada en los
incisos i y k.
Actividad 2: Calificaciones finales
Las tablas que aparecen a continuación contienen los datos de un estudio sobre el número de
alumnos reprobados, de los cursos de Matemáticas y Español, en una escuela secundaria
durante el ciclo escolar 2009-2010. El primer renglón registra el número de alumnos reprobados
por grupo y el segundo, el número de grupos en los que ello ocurrió.
1) Cursos de Matemáticas I
No. de
Reprobados 0 1 2 3 4 5 6 7
No. de
Grupos 3 6 8 7 5 2 2 1
2) Cursos de Matemáticas II
No. de
Reprobados 0 1 2 3 4 5 6
No. de
Grupos 1 1 3 4 5 3 1
3) Cursos de Matemáticas III
No. de
No. de
Grupos 2 2 6 8 10 6 2
4) Cursos de Español I
No. de
Reprobados
1 2 3 4 5 6 7
No. de
Grupos
2 3 7 9 9 6 2

5) Cursos de Español II
No de
No. de
Grupos 1 2 6 8 8 5 2
6) Cursos de Español III
No. de
Reprobados 0 1 2 3 4 5 6 7
No. de
Grupos 3 3 4 7 8 6 3 1
a. ¿Cuántos grupos de cursos de Matemáticas I se impartieron el ciclo escolar 2009-2010 en la
escuela secundaria?, ¿Cuántos de Español II?, ¿Cuántos de Matemáticas III?
No. de cursos de Matemáticas I
No. de cursos de Español II
No. de cursos de Matemáticas III
b. ¿Cuántos estudiantes reprobaron cursos de Español I en el ciclo escolar 2009-2010 en la
escuela secundaria? ¿Cuántos estudiantes reprobaron algún curso de Matemáticas?
No. de estudiantes que reprobaron cursos de Español I
No. de estudiantes que reprobaron cursos de Matemáticas
c. Analice y relacione cada uno de los cursos con las gráficas que a continuación se presentan.
Utilice la tabla 1 para realizar el concentrado de las relaciones encontradas entre las tablas de
frecuencia y las gráficas. En caso de que no exista gráfica para alguna de las tablas de
frecuencia, modifique alguna o construya una, asignando en la segunda columna de la Tabla 1 la
palabra ninguno. También existe la posibilidad de que un curso se pueda relacionar con más de
una gráfica.
38 DGFCMS

D
Nodegrupos
No.degrupos
Nodegrupos
Nodegrupos
Tabla 1
Nombre de los cursos Inciso de la gráfica correspondiente
Matemáticas I
Matemáticas II
Matemáticas III
Español I
Español II
Español III
a) b)
No. de reprobados No de reprobados
d)
c)
No. de reprobados
GFCMS 39

No.degrupos
No.degrupos
No. de reprobados
e) f) f)
No. de reprobados
No. de reprobados
d.Explique los elementos que consideró para realizar la relación entre las tablas de frecuencia y
las gráficas.
Actividad 3: La carga académica de los profesores
Para que el rendimiento de un profesor no se vea afectado por el exceso de trabajo en el aula, se
recomienda que deba atender a lo más 5 grupos diarios, con duración de una hora por grupo. Un
estudio acerca del número de grupos que los profesores de estudiantes de nuevo ingreso en una
escuela secundaria imparten, indica que todos ellos imparten cinco grupos o menos. Se tiene
además, la siguiente información:
1. Profesores de Matemáticas.
1.1.Hay exactamente trece profesores de Matemáticas
1.2.Los profesores de Matemáticas atienden al menos dos grupos diariamente y cuando mucho
cuatro.
1.3.Tres profesores son lo que imparten menos grupos diarios.
1.4.Los que imparten más grupos son cuatro profesores.
40 DGFCMS

41DGFCMS
1.5.La mayoría de los maestros que imparten Matemáticas, tienen exactamente tres grupos
diarios.
2. Profesores de Ciencias.
2.1.En estos profesores se dieron todas las posibilidades del número de grupos diarios impartidos.
2.2.Un solo profesor es el que menos grupos imparte diariamente.
2.3.Tres profesores imparten al día dos grupos.
2.4.El número de grupos diarios impartidos donde coinciden más profesores, es tres.
2.5.La gráfica que representa la información acerca del número de grupos impartidos por
profesores de Ciencias es una figura simétrica
3. Profesores de Lenguas Extranjeras.
1.1.De los nueve profesores de Lenguas Extranjeras, todos tuvieron un número impar de grupos
diarios impartidos.
1.2.Es igual el número de profesores, independientemente de cuál sea el número de grupos
diarios que imparta.
4. Profesores de Historia.
4.1.En este caso hubo cuatro posibilidades para el número de grupos diarios impartidos.
4.2.Ninguno de los profesores imparte el mínimo de grupos diarios.
4.3.El número de profesores que imparten menos cantidad de grupos diarios es igual al número de
profesores que imparten mayor cantidad y en ambos casos es de dos profesores.
5. Profesores de Español.
5.1.En el caso de estos profesores no se observaron casos extremos, en cuanto al número de
curso diarios impartidos.
5.2.Entre estos profesores, sólo hay dos que imparten dos grupos.
5.3.Hay diez profesores que imparten más de dos grupos.
6. Profesores de Educación Física.
6.1.El profesor de deportes tiene a su cargo cinco grupos diarios.
a. Relacione las gráficas que se presentan a continuación con las seis diferentes descripciones
que presentaron anteriormente, utilizando la tabla 2 para el concentrado de las relaciones. En caso
de que no exista gráfica para alguna de las tablas de frecuencia, modifique alguna o construya
una, asignando en la segunda columna de la Tabla 2, la palabra ninguna.
Tabla 2
Descripción de los profesores de: Inciso de la gráfica correspondiente
Matemáticas
Ciencias
Lenguas Extranjeras
Historia
Español
Educación Física

42DGFCMS
a) b)
c )
d )
e)
f )
b. Describe los aspectos que consideró para dar respuesta al planteamiento hecho
en el inciso a.

44DGFCMS
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Ernesto Sánchez Sánchez, Cinvestav, IPN
Verónica Hoyos Aguilar, Universidad Pedagógica Nacional, México
Gonzalo López Rueda, Escuela Normal Superior de México
Sentido numérico
La aritmética tiene un lugar privilegiado en las matemáticas de
los niveles básicos; los docentes, los elaboradores del currículo,
los investigadores y todos los que opinan e influyen en la
educación reconocen su importancia fundamental para la vida
diaria, la formación y el desempeño profesional, y el cultivo del
pensamiento científico.
El aprendizaje y la enseñanza de la aritmética es el área de la
didáctica de las matemáticas que más se ha estudiado; las
operaciones con un solo dígito, las operaciones con números de
dos y más dígitos, la estimación, el sentido numérico, la
resolución de problemas, son temas de esta extensa área de la
didáctica. Este apartado se dedicará específicamente al sentido
numérico.
El sentido numérico consiste en los conocimientos, las
habilidades y las intuiciones que una persona desarrolla acerca
de los números y sus operaciones. Implica la habilidad e
inclinación hacia el empleo del conocimiento numérico, de
manera flexible, para formular proposiciones matemáticas,
desarrollar estrategias útiles para manipular números, realizar
operaciones y resolver problemas. Alguien con sentido numérico
utiliza los números y métodos cuantitativos como un medio de
comunicación, procesamiento e interpretación de información;
además, está convencido de que las matemáticas son útiles y
aprecia su belleza. McIntosh, Reys y Reys (1992) proponen un
modelo en que se distinguen tres componentes fundamentales
del sentido numérico:
a) El concepto de número. Consiste en el conocimiento de, y la
facilidad con los números. En este componente se incluyen

45DGFCMS
habilidades para identificar, saber y manejar el orden de los
números, las diversas representaciones de un mismo número,
las magnitudes relativas y absolutas, y un sistema de estrategias
para acotar números.
b) Las operaciones con números. Es el conocimiento y la
facilidad para las operaciones. Incluye la comprensión del efecto
de las operaciones en los resultados, el conocimiento de las
propiedades de las operaciones (conmutatividad, asociatividad
y distribución), su aplicación en la creación de procedimientos
de estimación y cálculo mental, y entender las relaciones que
hay entre las operaciones.
c) Las aplicaciones de los números y sus operaciones en la
solución de problemas. Es la aplicación de los conocimientos
sobre los números y sus operaciones en situaciones que
requieren un manejo cuantitativo. Involucra habilidades como
determinar la operación necesaria en relación con el contexto de
un problema; ser consciente de que existe más de un camino
correcto para encontrar una solución; ser proclive a utilizar
métodos o representaciones cada vez más eficientes; y,
finalmente, la inclinación para revisar los datos y resultados en
función del contexto original.
Pensamiento algebraico
El álgebra es la rama de las matemáticas que trata con la
simbolización de las relaciones numéricas generales, las
estructuras matemáticas y la forma de operar con éstas. De
acuerdo con Christmas y Fey (1999), los conceptos, principios y
métodos del álgebra constituyen poderosas herramientas
intelectuales para representar información cuantitativa y
razonar acerca de esa información. En trabajos de investigación
recientes se ha sugerido que desde la enseñanza primaria se
pueden, y deben, desarrollar rasgos del pensamiento algebraico
(Butto y Rojano, 2009). Es lícito decir que la génesis del
pensamiento algebraico en la primaria comienza con el
desarrollo del sentido numérico. Sin embargo, tradicionalmente
se considera que en la escuela secundaria es cuando comienza

46DGFCMS
formalmente el aprendizaje del álgebra. Los tres temas que aquí
se abordarán, a saber, pensamiento algebraico, ecuaciones y
generalización, se ubican en este nivel académico.
¿Qué es el pensamiento algebraico?
Varios expertos en didáctica del álgebra ofrecen características
del pensamiento algebraico que nos dan una idea de la
complejidad de este tipo de pensamiento. Por ejemplo, Greenes
y Findell (1998) sostienen que las grandes ideas del pensamiento
algebraico involucran la representación, el razonamiento
proporcional, el significado de variable, patrones y funciones,
razonamiento inductivo y razonamiento deductivo. Por su parte,
Kaput (1998) señala que incluye la construcción y
representación de patrones y regularidades, generalizaciones
deliberadas y, más importante, la exploración activa en la
resolución de problemas y la formulación de conjeturas.
Asimismo, Kieran y Chalough (1993) resaltan la construcción de
significados para los símbolos y operaciones del álgebra en
términos de la aritmética. Kriegler (2000) recoge las expresiones
anteriores sobre el pensamiento algebraico, más otras de
diferentes autores, y propone un marco para organizarlas, que
en seguida se expondrá de forma resumida. Está formado por
dos componentes, el primero se refiere a las Herramientas del
pensamiento matemático, que incluye las habilidades de
resolución de problemas, representación y razonamiento; el
segundo trata de las Ideas algebraicas fundamentales, que
consiste en ver el álgebra como aritmética generalizada, un
lenguaje y herramienta para la modelación y el estudio de
funciones.
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 37 y 38.

47DGFCMS
Forma, espacio y medida
Ángel Gutiérrez Rodríguez, Universidad de Valencia, España
Mariana Sáiz Roldán, Universidad Pedagógica Nacional, México
La enseñanza de la geometría en los niveles no universitarios
tradicionalmente ha sido escasa y centrada en unos pocos
polígonos y cuerpos espaciales, de los que se enseñan las
características físicas destacadas, los principales elementos y
algunas propiedades básicas. Algo similar se puede decir de la
enseñanza de las medidas de longitud, área y volumen, centrada
en lograr que los estudiantes memoricen el Sistema Métrico
Decimal y las fórmulas de cálculo de perímetros, áreas y
volúmenes de las principales figuras geométricas planas y
espaciales.
Aprendizaje de la geometría durante la educación básica
La geometría está formada por varios bloques de contenidos
entre los que hay una multitud de relaciones. Por ello, su
enseñanza y su aprendizaje se basarán en descubrir y explorar
esas relaciones. La misión del profesor es organizar la actividad
en clase para dar a los estudiantes oportunidades de aplicar los
contenidos geométricos que estudian en situaciones diversas.
En esta sección analizamos varios aspectos comunes a todos los
contenidos de geometría, tanto en el plano como el espacio.
El desarrollo del razonamiento matemático
La investigación didáctica muestra claramente que los niveles
de razonamiento matemático de Van Hiele son un exitoso modelo
de organización de la enseñanza y del aprendizaje de la
geometría (Battista, 2007). Los cinco niveles de razonamiento
identificados por el modelo de Van Hiele ofrecen una
descripción de las características de las diferentes formas de
razonamiento matemático de los estudiantes, que se suceden
desde que están en preescolar hasta que alcanzan el máximo

48DGFCMS
desarrollo de su capacidad matemática, incluso como
matemáticos profesionales. Sólo podemos hacer una breve
descripción de los niveles 1 a 4, que son los relacionados con la
educación básica. Hay descripciones y análisis más detallados
en Burger y Shaughnessy (1986), Jaime (1993), Jaime y
Gutiérrez (1990) y Van Hiele (1986).
El razonamiento de nivel 1 se caracteriza porque los estudiantes
perciben las figuras geométricas globalmente y como objetos
individuales; sólo razonan sobre propiedades llamativas
relacionadas con los elementos físicos de las figuras; dan
importancia a propiedades como posiciones, formas o tamaños,
y no son capaces de generalizar. Un estudiante de nivel 1 puede
decir que un rombo se diferencia de un rectángulo en que “el
rectángulo es más largo” o que “el rombo es más picudo” (Jaime
y Gutiérrez, 1990:307).
Los estudiantes que razonan en el nivel 2 ya identifican y usan
partes y propiedades matemáticas de las figuras, pero no son
capaces de relacionar unas propiedades con otras; por ejemplo,
en un rectángulo, no asocian la perpendicularidad con el
paralelismo de los lados. El razonamiento de nivel 2 se basa en la
observación de ejemplos para identificar regularidades, que se
convierten en propiedades generales, y los propios ejemplos son
la demostración o explicación de la veracidad de la propiedad
descubierta. Así, por ejemplo, después de observar o manipular
varios rombos, descubren que las diagonales de un rombo son
perpendiculares y, desde ese momento, admiten que las
diagonales de cualquier otro rombo también son
perpendiculares sin necesidad de más comprobaciones (Jaime y
Gutiérrez,1990:309).
La principal característica del nivel 3 de Van Hiele es que los
estudiantes aprenden a realizar razonamiento deductivo
abstracto, si bien todavía no pueden leer ni entender
demostraciones complejas ni presentadas en lenguaje formal.
Por ejemplo, entienden la demostración deductiva usual de que
los ángulos de un triángulo suman 180° (figura 3.1), pero no
sienten la necesidad de justificar las congruencias de ángulos,

49DGFCMS
porque éstas son visualmente evidentes (Jaime y Gutiérrez,
1990:314). Por otra parte, los estudiantes pueden comprender
cualquier definición dada en los libros de texto y realizar todo
tipo de clasificación entre familias de figuras geométricas.
Los estudiantes que razonan en el nivel 4 son capaces de hacer
y entender demostraciones matemáticas formales, así como
entender las características de un sistema axiomático y
aspectos más operativos, como la posibilidad de que un
concepto tenga varias definiciones formales diferentes, pero
equivalentes. Por ejemplo, un estudiante del nivel 4 admite que
se defina un rectángulo como “el cuadrilátero que tiene dos ejes
de simetría que pasan por los puntos medios de sus lados” y es
capaz de demostrar formalmente que esta definición es
equivalente a la usual.
Los niveles de Van Hiele permiten evaluar el progreso de la
capacidad de razonamiento matemático de los estudiantes a
medida que avanzan a lo largo del sistema educativo. Gutiérrez,
Jaime y Fortuny (1991), Jaime (1993) y Gutiérrez y Jaime (1998)
ofrecen ejemplos de cómo realizar estas evaluaciones y de
resultados de evaluaciones ya hechos.
El conocimiento de los niveles de Van Hiele también puede
ayudar a los profesores a diseñar tareas apropiadas para cada
nivel y a establecer las condiciones para ayudar a sus alumnos a
transitar al nivel inmediato superior. Van Hiele sostenía que el
progreso por niveles depende en gran medida de la experiencia
matemática que los estudiantes adquieren gracias a la
enseñanza, por esto también propuso directrices para el diseño
de actividades. En particular, sugiere que las actividades de
aprendizaje estén organizadas siguiendo cinco fases:
información, orientación dirigida, explicación, orientación libre e
integración.
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 59-62.

50DGFCMS
Manejo de la Información
Ernesto Sánchez, Cinvestav, México
Carmen Batanero, Universidad de Granada, España
Datos, gráficas y medidas de tendencia central
La estadística ha jugado un papel primordial en el desarrollo de
la sociedad moderna al proporcionar herramientas
metodológicas generales para recopilar y organizar todo tipo de
datos; describir y analizar su variabilidad, determinar relaciones
entre variables; diseñar en forma óptima estudios y
experimentos, y mejorar las predicciones y la toma de
decisiones en situaciones de incertidumbre. Es por esto que en
muchos países, incluyendo México, se incorpora la estadística
en los currículos de los diferentes niveles escolares, desde el
básico hasta el universitario. Además de su utilidad, se reconoce
la necesidad de un razonamiento estadístico en una sociedad
caracterizada por la disponibilidad de información y de toma de
decisiones en ambientes de incertidumbre.
Problemática de la didáctica de la estadística. Batanero, Godino,
Green, Holmes y Vallecillos (1994) resumieron los principales
errores y dificultades que los estudiantes encuentran en las
ideas estadísticas elementales, y hacen la observación de que
tales dificultades no se presentan de un modo aleatorio o
imprevisible, sino que es posible encontrar regularidades y
asociaciones con variables de las tareas propuestas. Ben-Zvi y
Garfield (2004) explican algunas de estas dificultades con base
en el desconocimiento que los estudiantes tienen de las
matemáticas que subyacen tras los conceptos y procedimientos
estadísticos (fracciones, decimales, proporcionalidad y
porcentajes, fórmulas algebraicas). Además, no están
acostumbrados a trabajar con datos de situaciones reales que,
con frecuencia, requieren interpretaciones y razonamientos de
alto nivel. La aleatoriedad de las situaciones conlleva que los

51DGFCMS
resultados no sean únicos, presentándose una mayor
variabilidad que en otras áreas de las matemáticas. Por otro
lado, la enseñanza de la estadística no ha tenido en cuenta la
especificidad de la materia y se reduce a la exposición de
algunas definiciones y a la reproducción de procedimientos
algorítmicos, lo que con frecuencia crea en los estudiantes una
fobia hacia la materia, pues les resulta irrelevante y aburrida.
Como consecuencia, los conocimientos y la cultura estadística
de la población, son insuficientes para enfrentar los
requerimientos de, y desenvolverse adecuadamente en, la
actual sociedad de la información (Gal, 2002).
Azar y probabilidad
Cuando se le pregunta a un profesor cómo cree que deben
trabajarse en el aula los temas de probabilidad sugeridos en los
programas, es muy probable que responda que con la ayuda de
juegos de azar, como monedas, dados, ruletas y urnas. Sin
embargo, como muestra Salinas (2007), a veces no saben qué
hacer exactamente con los juegos de azar de manera que
emerjan los conceptos que marca el programa (sep, 2006) ni
cómo los estudiantes llegan a aprenderlos. La investigación
relacionada con este tema es muy amplia, como se muestra en el
libro recientemente editado por Jones (2005), pero por razones
de espacio sólo describimos algunos ejemplos, remitiendo a
Batanero y Sánchez (2005) para la descripción de las
dificultades específicas de los estudiantes de secundaria en el
tema.
Al iniciar el estudio de la probabilidad se debe insistir en que los
niños sean capaces de distinguir las situaciones aleatorias y las
deterministas. Piaget e Inhelder (1951) defendieron que los niños
concebirían el azar como resultado de la interferencia y
combinación de una serie de causas que, actuando
independientemente, producirían un resultado inesperado. En
consecuencia, pensaron que hasta que el niño no comprende la
idea de causa, no tiene un marco de referencia para identificar
los fenómenos aleatorios.

52DGFCMS
Relaciones de proporcionalidad
Las fracciones, las razones y las proporciones son conceptos
numéricos de un nivel inmediatamente superior a los de los
números naturales y sus operaciones, pues tienen algunas
propiedades significativamente diferentes, por ejemplo, en los
números naturales el producto de dos enteros es mayor que
cualquiera de sus factores, mientras que esta proposición no es
cierta para el producto de fracciones. En lo que sigue se pueden
apreciar algunas características del razonamiento proporcional,
el cual se distingue en muchos aspectos del razonamiento con
los números naturales y enteros.
¿Qué es el razonamiento proporcional?
En general se entiende como razonamiento proporcional la
habilidad para establecer ciertas relaciones estructurales en
problemas de comparación de razones y de valor faltante, es por
esto que también se le nombra razones y proporciones. En los
problemas de razones se dan cuatro cantidades a, b, c y d, y se
tiene que determinar si es mayor, menor o igual que; por
ejemplo, Karplus (1983) formuló el siguiente problema:
Juan hace un concentrado para preparar limonada con tres
cucharadas de azúcar y 12 de jugo de limón. María hace un
concentrado con cinco cucharadas de azúcar y 20 de jugo de
limón. ¿Cuál de los dos concentrados tiene un sabor más dulce,
el de Juan o el de María? o ¿ambos tienen un sabor igual de
dulce? En los problemas de valor faltante se proporcionan tres
de los cuatro valores de la proporción a = c y el objetivo es
encontrar el cuarto valor. b d
El pensamiento proporcional no sólo significa dominar la
operatividad presente en los problemas de razones y
proporciones, sino que también implica reconoce las situaciones
en que la proporcionalidad es pertinente.
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: casos y perspectivas. pp. 79,80,92,101 y 102.

PRINCIPIOS PEDAGÓGICOS
QUE SUSTENTAN EL PLAN DE ESTUDIOS
LOS PRINCIPIOS PEDAGÓGICOS SON CONDICIONES
ESENCIALES PARA LA IMPLANTACIÓN DEL
CURRÍCULO, LA TRANSFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA
DOCENTE, EL LOGRO DE LOS APRENDIZAJES
ESPERADOS Y LA MEJORA DE LA CALIDAD
EDUCATIVA
10

El aprendizaje. Es el elemento sustantivo de la
práctica docente para potenciar
IMPLICA:
ORGANIZAR ACTIVIDADES DEAPRENDIZAJE
SITUACIONES DIDÁCTICAS
SECUENCIAS DIDÁCTICAS
PROYECTOS
ESTUDIO DECASOS
12

CONTEXTO
SOCIAL
Y
NATURAL
MATERIALES
EDUCATIVOS
APRENDIZAJES
ESPERADOS
INTERACCIÓN
MAESTRO
ALUMNO
HOGAR
13

• INCLUSIVO
• DEFINE METAS
• LIDERAZGO COMPARTIDO
• INTERCAMBIO DE RECURSOS
• SENTIDO DE RESPONSABILIDAD Y CORRESPONSABILIDAD
• ENTORNO PRESENCIAL Y VIRTUAL
1.4 TRABAJAR EN
COLABORACIÓN PARA CONSTRUIR
EL APRENDIZAJE
14

PLAN DE ESTUDIOS 2011
ENFOQUE GENERAL FORMATIVO
1.5 PONER ÉNFASIS EN EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS, EL LOGRO DE LOS ESTÁNDARES
CURRICULARES Y LOS APRENDIZAJES ESPERADOS
ESTANDARES
CURRICULARES
APRENDIZAJES
ESPERADOS
COMPETENCIAS
PARA LA VIDA
Centrado en el desarrollo
•Capacidad de responder a
diferentes situaciones.
IMPLICA:
•Saber hacer(habilidades)
Saber(conocimientos)
Saber ser(Valoración de las
consecuencias del hacer)
•Son descriptores de logro.
•Definen aquello que los alumnos
demostraran al concluir el periodo.
•Sintetizan los aprendizajes esperados.
•Son equiparables con estándares
internacionales.
•Constituyen referentes para las
evaluaciones nacionales e
internacionales.
•Son complejos y graduales de acuerdo al
avance de cada trayecto formativo.
•Son indicadores de logro en
términos de temporalidad.
•Definen lo que se espera de
cada alumno, en términos del
saber, saber hacer y saber ser.
•Dan concreción al trabajo
docente.
•Constituyen el referente para la
planificación y la evaluación en
el aula.
PERFIL DE EGRESO
15

1.6 USAR MATERIALES EDUCATIVOS PARA FAVORECER EL
APRENDIZAJE
Una escuela actual debe favorecer que la
comunidad educativa, además de usar el libro
de texto como recurso, emplee otros
materiales para el aprendizaje permanente.• Acervos para la Biblioteca
escolar y Biblioteca de aula.
•Materiales audiovisuales ,
multimedia e internet.
•Materiales y recursos
educativos informáticos
-Objetos de aprendizaje (odas). Son materiales digitales para promover la
interacción y el desarrollo de las habilidades digitales, el aprendizaje continuo y
para que los estudiantes logren su autonomía.
-Planes de clase. Sugieren a los docentes estrategias didácticas que incorporan
las odas, los libros de texto y demás recursos existentes dentro y fuera del aula.
-Plataformas tecnológicas y software educativo. Los portales “Explora primaria”
y “Explora secundaria”, HDT, que integran bancos de materiales digitales,
ofrecen herramientas para construir contenidos y propician el trabajo
colaborativo dentro y fuera del aula; utilizan redes de aprendizaje y generan la
integración de comunidades de aprendizaje.
•Uso del tiempo libre.
•Creación de redes de aprendizaje.
•Integración de comunidades de aprendizaje
Permiten
16

Elexamentieneuncaráctermássancionadorque
educativo;obedecealalógicadelcastigoynodelaenseñanza
(M.Foucault).
1.7 EVALUARPARA
APRENDER
17

1.8 FAVORECER LA INCLUSIÓN PARA ATENDER LA DIVERSIDAD
LA EDUCACIÓN:
Es un derecho fundamental.
Una estrategia para ampliar las oportunidades.
Para instrumentar las relaciones interculturales.
Reducir las desigualdades entre grupos sociales.
Cerrar brechas e impulsar la equidad.
Ser pertinente e inclusiva.
PERTINENTE: Porque valora, protege,
desarrolla las culturas y sus visiones, y
conocimientos del mundo; mismos que
se incluyen en el desarrollo curricular.
INCLUSIVA: Porque se ocupa de reducir al
máximo la desigualdad al acceso de
oportunidades y evita los distintos tipos
de discriminación.
CORRESPONDE A LOS DOCENTES
Promover en los
estudiantes:
El reconocimiento de la
pluralidad social,
lingüística y cultural.
Fomentar para que la
escuela se convierta en
un espacio donde la
diversidad puede
apreciarse.
Atender a los
alumnos que por su
discapacidad
cognitiva, física
(visual o auditiva),
mental o sensorial
requieran de
estrategias de
aprendizaje
diferenciadas.
Atender a los alumnos
con aptitudes
sobresalientes.
Es indispensable la
organización, toma de
acuerdos y vinculación
entre autoridades,
directivos, docentes y
madres, padres o
tutores.
18

1.9 INCORPORAR TEMAS DE RELEVANCIA SOCIAL
TEMAS DE
RELEVANCIA
SOCIAL
EDUCACIÓN PARA LA SALUD
EQUIDAD DE GÉNERO
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD
EDUCACIÓN SEXUAL
EDUCACIÓN AMBIENTAL
PARA LA
SUSTENTABILIDAD
LA EDUCACIÓN
FINANCIERA
LA PREVENCIÓN DE LA VIOLENCIA
ESCOLAR
LA EDUCACIÓN
VIAL
EDUCACIÓN PARA
LA PAZ Y LOS DERECHOS
HUMANOS
LA EDUCACIÓN EN VALORES Y CIUDADANÍA
19

1.10 RENOVAR EL PACTO ENTRE EL ESTUDIANTE, EL DOCENTE, LA
FAMILIA Y LA ESCUELA.
ACTORES EDUCATIVOS
ESTUDIANTE DOCENTE FAMILIA ESCUELA
1. PROMOVER NORMAS
QUE REGULEN LA
CONVIVENCIA DIARIA.
2. ESTABLECER VÍNCULOS
ENTRE DERECHOS Y
RESPONSABILIDADES.
3. DELIMITAR EL EJERCICIO
DEL PODER Y LA
AUTORIDAD
Involucrar a estudiantes y padres de
familia en la elaboración de las normas
escolares para:
- Comprensión de su sentido.
- Compromiso compartido.
- Revisión periódica.
- En su aplicación se involucre a las
distintas partes.
20

1.11 REORIENTAR EL LIDERAZGO
Compromiso personal y con el grupo (Trabajo colaborativo).
Contribuir a la administración eficaz de la
organización.
Mantener una relación de colegas.
Producir cambios necesarios y útiles.
LIDERAZGO HORIZONTAL Y COMPARTIDO
Relación horizontal/Diálogo informado/Toma de decisiones.
Desarrollo de una gestión centrada en la escuela
y el aseguramiento de los aprendizajes.
Participación activa de estudiantes, docentes, directivos
escolares, padres de familia, sociedad, etc.
TODA LA
ESTRUCTURA
HACIA EL LOGRO
EDUCATIVO
21

22
1.12 LA TUTORÍA Y LA ASESORÍA ACADÉMICAEN LA ESCUELA
• Sus destinatarios son estudiantes o
docentes.
• En el caso de los estudiantes se dirige a
quienes presentan rezago educativo, o por
el contrario poseen aptitudes
sobresalientes.
• Si es para los maestros se implementa para
solventar situaciones de dominioespecífico.
TUTORÍA
CONJUNTO DE ALTERNATIVAS
DE ATENCIÓN INDIVIDUALIZADA
QUE PARTE DE UN
DIAGNÓSTICO
• Su reto esta en laresignificaciónde
conceptos y prácticas (cambio de
paradigmas).
• Tanto la tutoría como la asesoría
suponen acompañamiento cercano esto
es concebir a la escuela como un
espacio de aprendizaje . Tutor y asesor
también aprenden.
LA ASESORÍA
ACADÉMICA
ES EL ACOMPAÑAMIENTO A
LOS DOCENTES PARA LA
COMPRENSIÓN E
IMPLEMENTACIÓN DE LAS
NUEVAS PROPUESTAS
CURRICULARES

ESTÁNDARES CURRICULARES
PERÍODO
ESCOLAR
GRADO ESCOLAR
DE CORTE
EDAD
APROXIMADA
TERCERGRADO DE
PREESCOLAR
SEXTOGRADO DE
PRIMARIA
CUARTO
TERCERO
SEGUNDO
TERCERGRADO DE
SECUNDARIA
ENTRE8 Y 9 AÑOS
ENTRE11 Y 12 AÑOS
ENTRE14 Y 15 AÑOS
23
PRIMERO
TERCERGRADO DE
PRIMARIA
5 Y 6 AÑOS

PROPÓSITODEL
ESTUDIODE LAS
MATEMÁTICAS
PARA LA
EDUCACIÓN
SECUNDARIA
•UTILICEN EL CÁLCULO MENTAL, ESTIMACIÓN DE
RESULTADOS ( RESOLVER OPERACIONES BÁSICAS).
•MODELEN Y RESUELVAN PROBLEMAS DE SEGUNDO GRADO
Y EXPRESIONES GENERALES.
•JUSTIFIQUEN PROPIEDADES DE RECTAS, ÁNGULOS Y
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
•UTILICEN EL TEORÉMA DE PITÁGORAS.
•JUSTIFIQUEN Y USEN FÓRMULAS PARA CALCULAR
PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLUMENES.
•EXPRESEN PROCESOS DE BÚSQUEDA, ORGANIZACIÓN ,
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS (REPRESENTACIÓN
TABULAR O GRÁFICA).
•IDENTIFIQUEN CONJUNTO DE CANTIDADES DE VARIACIÓN
PROPORCIONAL.
•CALCULEN LA PROBALIDAD DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS
SIMPLES, EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES.
26

SENTIDO NUMÉRICO Y
PENSAMIENTO ALGEBRÁICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA
INFORMACIÓN
ACTITUD HACIA EL ESTUDIO
DE LAS MATEMÁTICAS
28

72DGFCMS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Alcalde, J., Montejano, A., Mora, E. (2003) Signo. Matemáticas Grado 3. sm.
México, Annenberg Media (2005). Learning math: Patterns, functions and algebra
http://www.learner.org/channel.
Block,D., García, S. (2007) Fractal Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos
Didácticos para Secundaria, Ediciones sm.
Briseño, L. A., Verdugo, J. (2000) Matemáticas 3. Santillana. México.
De la Peña, J.A. (1999), Álgebra en todas partes, Fondo de Cultura Económica
Driscoll, Mark (1999) Fostering Algebraic Thinking. A Guide for Teachers Grades
6-10. EUA. Editorial Heinemann.
Duval, R., (1995). Geometrical pictures: kinds of representation and specific
proceses, in existing mental imaginery with computers. In Mathematics Education
(Sutherlan & Mason Eds), Springer p. 142-157. E.U.A.
Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 1. Libro del
alumno. Ediciones, Castillo-SEC SONORA. México.
Leñero, M. et al. (2005) Enseñanza de las matemáticas asistida por computadora.
Instituto de Matemáticas, UNAM. http://puemac.matem.unam.mx/
Mancera, E. (2007) Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos Didácticos para
Secundaria, Santillana.
Keith, W. Álgebra Lineal, 4ta. edición, Mc. Graw Hill.
PRONAP (1996) La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria.
Lecturas. México Sánchez, F. (2007) Matemáticas, Libros de Texto y Apoyos
Didácticos para Secundaria, Fernández Editores.
SEP (1997). La enseñanza de las Matemáticas en la escuela secundaria. Guía de
Estudio. México.
SEP (2006). Educación Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio. México

73DGFCMS
SEP (2006) Educación Básica. Secundaria. Plan de Estudios 2006
SEP (1996). El Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria.
México.-
SEP (1999) Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación
Secundaria. México.
SEP (2000) Secuencia y Organización de Contenidos. Matemáticas. Educación
Secundaria. México.
Ureta R., C. (2001). El papel del maestro en la educación matemática. Grupo
Editorial, Iberoamérica, México.
Forma Espacio y Medida
Alcalde, J., Montejano, A., Mora, E. (2003) Signo. Matemáticas Grado 3. sm. México
Annenberg Media. Learning math: geometry. Sitio Web visitado en 2006 Disponible en
http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/geometry/index.html
Briseño, L. A., Verdugo, J. (2000) Matemáticas 3. Santillana. México
Chacara, M. (2004). Las nociones de isometría y simetría en el plano, estudiadas a
través del modelo de Van Hiele, enriquecido con principios constructivistas. Tesis de
Maestría. UNISON
Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio. (2008-2009).
Lineamientos de participación de las Instituciones de Educación Superior en la
conformación y desarrollo del Catálogo Nacional de Formación Continua y Superación
Profesional de Maestros de Educación Básica en Servicio.
Manejo de la información
Duval, R., (1995). Geometrical pictures: kinds of representation and specific proceses,
in existing mental imaginery with computers. In Mathematic Education (Sutherlan &
Mason Eds), Springer p. 142-157. E.U.A.

74DGFCMS
Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). El modelo de razonamiento de Van Hiele como
marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: los giros. En
Educación Matemática Vol. 3, pp. 49-65
Jardines, F. J., Ramones, M., Salas, M. S. (1997) Matemáticas 1. Libro del alumno.
Ediciones Castillo-SEC SONORA. México
SEP. Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio. (2008-
2009). Lineamientos de participación de las Instituciones de Educación Superior en la
conformación y desarrollo del Catálogo Nacional de Formación Continua y Superación
Profesional de Maestros de Educación Básica en Servicio.
SEP. 2006. Reforma de la Educación Secundaria: Fundamentación curricular.
Matemáticas. México
SEP. 2006. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. Programas de Estudio 2006.
México.
Adicionales:
Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas escolares; Casos y perspectivas;
Primera edición, 2011; D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2011; Argentina 28,
Centro, CP 06020; Cuauhtémoc, México, DF
Plan de estudios 2011. Educación Básica, Primera edición, 2011, D. R. © Secretaría
de Educación Pública, 2011, Argentina 28, Centro, 06020, Cuauhtémoc, México, D. F.
Programas de Estudio 2011, Guía para el Maestro; Educación Básica Secundaria
Matemáticas; primera edición, 2011; D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2011,
Argentina 28, Centro, C.P. 06020, Cuauhtémoc, México, D. F. ISBN: en trámite,
Impreso en México

75DGFCMS
Secretaria de Educación Pública
José Ángel Córdova Villalobos
Dirección General de Formación Continua
Víctor Mario Gamiño Casillas
Secretaria de Educación
Ricardo Aguilar Gordillo
Coordinación Estatal de Formación Continua
Daniel Samayoa Penagos
Coordinación Académica
Salvador Gómez Moreno
Compilación, Adaptación y Diseño
Maricruz Ruiz Gallegos, Candelaria Hernández Meléndez, Armando Elesban
García Velasco, Eleazar Mateos García
Revisión Técnico-Pedagógica
Ana Guadalupe Cruz López, César Antonio Díaz Moreno, Vanessa Grajales
Hernández, Eugenia Guadalupe Hernández Pozo, Héctor A. Pérez Nango, Valeria
Salgado Rosales, Orfília Luna Márquez.

Compilacion curso de matematicas

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Compilacion curso de matematicas

Similar a Compilacion curso de matematicas (20)

Compilacion curso de matematicas