Estadística

1. Técnicas de enumeración o conteo.
Las técnicas de enumeración o conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar, es decir, que nos sirven para enumerar
los elementos de un conjunto, teniendo especial cuidado en no olvidar contar
algún elemento o contarlo más de una vez.
Uno de los ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de
enumeración o conteo serían:
-¿Cuántas representaciones de alumnos pueden ser formadas a) si se desea que
estas consten solo de alumnos de ingeniería química?, b) se desea que el
presidente sea un químico, c) se desea que el presidente y el tesorero sean
químicos. Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de 11
alumnos.
Las bases para entender el uso de las técnicas de enumeración o conteo son el
principio multiplicativo y el aditivo, de los cuales a continuación sólo será definido
el principio multiplicativo y se hace uso de este.
Principio multiplicativo:
Si un acontecimiento A puede ocurrir m maneras diferentes, y si para cada
una de esas m maneras posibles de ocurrencia de A, un segundo
acontecimiento B puede ocurrir de n maneras diferentes. Entonces, el
número de maneras diferentes en que puede ocurrir el acontecimiento A
seguido del acontecimiento B es mn.
Este principio resulta muy útil para modelar y resolver un problema de
conteo. Además, podemos darnos cuenta que este principio puede llegar a
tener más de 2 acontecimientos.
Ejemplos:
1. Un fabricante tiene dificultades para obtener registros consistentes
de resistencias a la tensión entre 3 máquinas localizadas en la planta
de producción, el laboratorio de investigación y el laboratorio de
control de calidad, respectivamente, al mismo tiempo hay 4 posibles
técnicos, Tomás, Enrique, Rafael y Javier, quienes operan al menos
una de las máquinas a prueba, regularmente.
a. ¿cuántos pares operador-máquina deben incluirse en un
experimento planeado en el que cada operador maneje todas las
máquinas?

2. b. Si se requiere que cada par operador-máquina pruebe ocho
especímenes, ¿cuántos especímenes de prueba se necesitan para
el procedimiento íntegro? Nota: un espécimen se destruye cuando
se mide su resistencia a la tensión.
Solución:
Máquinas=3;
Técnicos=4;
Especímenes=8
a. r=4 x 3=12 pares de operador-maquina
b. r=12 x 8=96 especímenes por cada par de operador-máquina
2. POZOS EXPLORATORIOS. Considere el experimento consistente
en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos
exploratorios. El resultado del primer pozo puede presentarse de 2
maneras (0: seco, 1: productor), el resultado del segundo, tercero y
cuarto pozos también puede presentarse de 2 maneras.
Entonces, el número de maneras en que puede observarse el
conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos
simultáneamente es:
r=2 x 2 x 2 x 2= 16
Se les denomina técnicas de enumeración o conteo a las combinaciones,
permutaciones y diagrama de árbol, la cuales serán definidas a continuación y de
las cuales hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas
las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.
Permutaciones:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que
ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Una
permutación, es una combinación ordenada, es decir, que el orden o
posición de los elementos sí importa.

3. Existen 2 tipos de permutaciones:
a. Permutaciones con repetición: Son fáciles de calcular. Si tienes n
cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles
son:
n x n x... (r veces )=nr
Porque hay n posibilidades para la primera elección, después hay
n posibilidades para la segunda elección, y así sucesivamente.
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(se puede repetir, el orden importa)
Un ejemplo de las permutaciones con repetición, es la del código de
una cerradura de permutación, la cual podría ser "333".
b. Permutaciones sin repetición: En este caso, el número de opciones en
cada paso se reduce. La fórmula se escribe de la siguiente manera:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(no se puede repetir, el orden importa)
Un ejemplo de este tipo de permutación es, que los 3 primeros en
una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
Ejemplos:
1. ¿Cuántas maneras hay de asignar 7 una pipeta para una práctica en
el laboratorio de química, si hay 15 estudiantes en este laboratorio y
estos se encuentran en grupos de 5?
Solución:
n=7;
r=3;
Para este ejercicio se aplica la fórmula de permutaciones sin repetición:

4. 2. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas (x, y, z), será posible generar
con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si:
a. No es posible repetir dígitos.
b. Es posible repetir dígitos.
Solución:
n=6;
r=3;
a.
b.
3. Cuántas soluciones de 4 sustancias será posible crear, si debe
constar de cinco sustancias puras y dos impuras.
a. Considere que se pueden repetir dichas sustancias.
Solución:
Primero se aplica el principio multiplicativo:
n=5 x 2 = 10;
r=4;
Ahora,
Combinaciones:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos importa el lugar o posición
que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Lo
que interesa en una combinación es formar grupos y el contenido de los
mismos. También podemos decir, que las combinaciones son todo lo
contrario a las permutaciones.
Al igual que las permutaciones, en las combinaciones también hay 2 tipos
de combinaciones:
a. Combinaciones con repetición: Son las distintas formas en que se
puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado,
permitiendo que la seleccione puedan repetirse.

5. También se puede decir que, es la selección de un multiconjunto
cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas (se puede repetir, el orden no importa)
b. Combinaciones sin repetición: Las combinaciones sin repetición de
n elementos tomados de p en p se definen como las distintas
agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de
entre los n elementos de que disponemos, considerando una
variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (no
influye el orden de colocación de sus elementos).
El número de combinaciones que se pueden construir se puede
calcular mediante la fórmula:
Ejemplos:
1. a. Si solo asisten 14 alumnos a una práctica de laboratorio, cuantos
grupos de trabajo podrán formarse si se desea que consten de 5
alumnos cada uno de ellos
b. Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de
trabajos tendrán a 3 mujeres?
c. ¿cuántos de los grupos de trabajo contarán con 4 hombres por lo
menos?
Solución:
a. n=14;
r=5;
b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5
En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3
mujeres y 2 hombres, así que:

6. c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres
o más
Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos
con 5 hombres
2. Digamos que tenemos cinco elementos químicos: cloro, nitrógeno,
carbono, hierro y cromo. Si se toman 3 de ellos. ¿Cuántas
variaciones existirán?
Solución:
3. ¿Cuántas variaciones de mezclas hay?, Si tengo siete sustancias
puras, de las cuales sólo se tomarán cuatro de ellas para la mezcla.
Solución:
Diagrama de árbol:
Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar
todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones
secuenciales o independientes.
Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar
todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada
evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método
sistemático de enumeración objetiva de los resultados.
El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción
a efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes
se pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan
otros nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se
desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda
realizarse esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza
la primera. Y así, sucesivamente.

7. Ejemplos:
1. Un ingeniero químico clasifica los elementos de acuerdo a: Sus tipos
y a los grupos a los cuales pertenecen. Realice un diagrama de
árbol.
Solución:

8. 2. Un químico dispone de 2 soluciones básicas: KOH, y NaOH y de 3
soluciones ácidas: HCl, HBr y HF. Calcule el número de maneras en
que el químico puede mezclar estas sustancias y enumérelas.
Solución:
Se aplica el principio multiplicativo:
r=número total de maneras
r=2 x 3 =6
Luego, a construir el diagrama de árbol para enumerar los arreglos

9. Bibliografía.
 http://www.buenastareas.com/ensayos/Tecnicas-De-
Conteo/3485917.html
 http://nuneznjaimer.mex.tl/frameset.php?url=/648604_Tecnicas-de-
Conteo-----1-1--1-2-Principio-Aditivo-y-Multiplicativo.html
 http://www.monografias.com/trabajos93/tecnicas-conteo/tecnicas-
conteo.shtml#ixzz2gIyLniv8
 http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-
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 http://portal.perueduca.edu.pe/modulos/mod_matconteo/mod_4publish/in
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 http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/10PROB
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 http://www.iqcelaya.itc.mx/~roosph/pye/u3/eu3t2.pdf
 http://www.amolasmates.es/cuarto_eso/tecnicas_de_recuento/combinato
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 http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaciones_con_repetici%C3%B3n
 http://www.unalmed.edu.co/~estadist/esta_inv/APENDICE.
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 http://pvidela.mat.utfsm.cl/MAT%20042-01/APUNTES/12%20-%20T
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 http://www.itapizaco.edu.mx/~joseluis/apuntes/estadistica/tecnicas%20de
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