2. EL CAMINO MÁS CORTO
Supongamos que tenemos que llevar agua de un punto A a un punto B,
pasando previamente por un río para recogerla.
¿Cuál es el camino más corto para realizar esta tarea?
3. BILLARES.
Supongamos ahora que, en una mesa de billar, queremos golpear la bola B
con la bola A, realizando previamente tres carambolas.
¿Cómo determinarías la dirección en que has de golpear la bola A?
4. LA MOSCA Y LA ARAÑA
En un cuarto de 30 pies de longitud, 12 de ancho y 12 de altura hay una araña
en el centro de una de las paredes menores, a un pie del cielo raso, y también
hay una mosca en el medio de la pared opuesta, a un pie del piso.
La araña pretende alcanzar la mosca. Si se pone en marcha en línea recta
descendiendo por la pared, luego en línea recta a lo largo del piso y
ascendiendo luego, también en línea recta, por la otra pared, o bien siguiendo
una ruta análoga pasando por el cielo raso, la distancia a recorrer es de 42
pies.
Da la impresión de que es el menor recorrido, pero no es así.
¿Cuál es la ruta más corta posible según la cual la araña puede
arrastrarse para alcanzar su presa?
5. MANERAS DE ANUDARSE LOS CORDONES DE LOS
ZAPATOS.
Existen múltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre
estas podemos diferenciar 3: la manera europea, la manera americana y la
manera en que los suelen anudar en las zapaterías:
¿Sabrías decir cual de éstas requiere los cordones más largos, y cuál
necesita menos?
¿Te atreverías a conjeturar cuál es, de entre todas las maneras posibles
de anudarse los cordones, la que necesita los cordones menos largos?
6. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS Nº 1.
Consideremos un tablero de ajedrez (64 cuadros). Es claro que el tablero
puede ser recubierto con fichas rectangulares de tamaño 2´1.
¿Sigue siendo esto cierto si suprimimos del tablero las dos últimas
casillas?
11. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS Nº 6.
¿Se puede generalizar lo anterior a tableros cuadrados de cualquier
tamaño?
12. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS Nº 7.
Si suprimimos una sola casilla en el tablero de ajedrez.
¿Se puede recubrir el resto con fichas de tamaño 3x1?
13. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS Nº 8.
Dado un tablero de tamaño 4×4, se suprime una casilla.
¿Se puede recubrir el resto con fichas en forma de L formadas por 3
cuadrados?
¿Y en el caso de que el tablero sea 2n×2n?
14. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS Nº 9.
Si pegamos cuatro cuadrados por sus lados de todas las formas posibles
obtenemos las siguientes figuras:
Estas figuras se llaman tetrominós y son, salvo rotaciones y reflexiones, las
únicas figuras posibles obtenidas en las condiciones anteriores. Entre todas
suman 20 cuadrados.
¿Será posible recubrir con ellas un rectángulo 4x5?
15. LA RAZÓN ÁUREA.
Dado un segmento AB,
se trata de encontrar C entre A y B tal que la razón de AB a AC se igual que la
razón de AC a CB. A esta razón se le llama razón áurea, y la denotaremos por φ
(de Phidias).
Para conocer el valor de la razón áurea, podemos considerar la longitud de CB
igual a 1. Así, se tendrá φ=AC. Sustituyendo en AB/AC=AC/CB se tiene
(φ+1)/φ=φ/1 y operando, φ2-φ-1=0 y por tanto,
φ=1.6180339887498948482045868343656381177203...
Si hubiéramos tomado como 1 la longitud AC habríamos obtenido φ=AB y
CB=1/φ=0.61803....=1-φ.
Como φ verifica la igualdad φ=1+1/φ, siempre podemos reemplazar φ por 1+1/φ.
En particular, si sustituimos φ en el miembro derecho de la igualdad anterior
obtenemos φ=1+1/(1+1/φ). Si iteramos este proceso indefinidamente
obtenemos la siguiente expresión
φ = 1 + 1
1 + 1
1 + 1
1 + ···
de φ como fracción continua.
La expresión anterior nos permite obtener aproximaciones racionales de φ. En
particular, obtenemos las siguientes aproximaciones:
• φ1=1
• φ2=1+1/1=2
• φ3=1+1/(1+1/1)=1+1/2=3/2
• φ4=1+1/(1+1/(1+1/1))=1+1/(3/2)=1+2/3=5/3
en donde aparecen los sucesivos cocientes entre términos sucesivos de la
sucesión de Fibonacci.
16. PROBLEMA Nº 1
Demostrar que la sucesión de aproximaciones que obtenemos es precisamente
la sucesión de cocientes entre términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci.
17. PROBLEMA Nº 2
Obtener otra expresión para φ a partir de la igualdad φ2=φ+1.
Un rectángulo áureo es aquél en el que la razón de las longitudes de sus lados
es φ. Para construir un rectángulo áureo basta dibujar un cuadrado y marcar el
punto medio de uno de sus lados. Si unimos este punto con uno de los vértices
del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, obtenemos el
lado mayor del rectángulo.
Demostrar que el anterior es efectivamente un rectángulo áureo.
18. Los rectángulos áureos han sido utilizados en arquitectura desde tiempos de
los griegos. El ejemplo más famoso quizás sea el Partenon de Atenas.
Más recientemente, Le Corbusier utilizó frecuentemente rectángulos áureos en
el diseño de sus edificios. Un ejemplo es el Edificio de la ONU en Nueva York
que además tiene marcas distintivas lo dividen de nuevo según la razón áurea.
Un rectángulo áureo tiene la propiedad de que se puede dividir en un cuadrado
y un rectángulo de manera que este último es también un rectángulo áureo.
Este nuevo rectángulo puede ser a su vez dividido en un cuadrado y un nuevo
rectángulo áureo. Si iteramos este proceso indefinidamente dibujando arcos de
circunferencia en los cuadrados que vamos obteniendo, se obtiene una espiral
áurea cuyo centro está en la intersección de las dos diagonales dibujadas en
azul.
En realidad esta curva no es una espiral puesto que está formada por arcos de
circunferencia pegados. Es una aproximación de una espiral logarítmica.
Vamos a intentar ver cuál. Observamos que cada rectángulo (o cuadrado) es
semejante al inmediatamente inferior en tamaño pero φ veces mayor (y rotado
90º alrededor del centro de la espiral). Por tanto un giro de 90º compuesto con
una homotecia de razón φ dejaría invariante la espiral. En coordenadas polares
esta transformación es h(ρ,θ)=(φρ,θ+π/2).
Por tanto, una posible ecuación de la espiral sería ρ=φ y θ=t·π/2 (rotada
t
convenientemente). Eliminando t en ambas ecuaciones obtenemos
ρ=φ2θ/π=(φ2/π)θ.
Esta espiral ya no es tangente a los cuadrados sino que los corta, aunque con
ángulos muy pequeños.
La espiral logarítmica es el único tipo de espiral que mantiene su forma al ser
reescalada. Este hecho explica porque existen numerosas formas en la
naturaleza que siguen esta pauta; por ejemplo, semillas de flores como el
girasol y conchas. Por otra parte, los fenómenos de crecimiento biológico
presentan frecuentemente pautas relacionadas con la sucesión de Fibonacci.
Éstas aparecen, por ejemplo, en distribuciones de hojas alrededor de tallos o
de pétalos en flores. Ya habíamos destacado la relación con los números de
Fibonacci (¿sabrías encontrar una sucesión de Fibonacci en la espiral áurea?).
19. Otra espiral logarítmica puede obtenerse a partir de un triángulo isósceles de
ángulos 36º 72º 72º. Es fácil ver que AB/BC=φ. Se dice entonces que es un
triángulo áureo.
En ABC, si bisecamos el ángulo en B obtenemos dos triángulos: DAB y BCD.
El primero cumple que AB/AD=φ y por tanto es un triángulo áureo. El segundo
de ellos es semejante al original y por tanto también lo es. Si en este triángulo
bisecamos el ángulo en C, obtenemos CDE también semejante a los dos
anteriores. Continuando este proceso se obtiene una sucesión espiral de
triángulos que converge a un punto situado en la intersección de dos medianas
de los dos primeros triángulos.
El triángulo anterior es la base del pentagrama escogido como símbolo por los
pitagóricos.
Hallar en el pentagrama pares de segmentos que estén en razón áurea.
20. LA RANA SALTARINA.
Se tiene una cuadrícula de cuadros en los que quepa una ficha, y señalada a la
mitad por una recta horizontal más gruesa:
Se coloca al principio un número cualquiera de fichas (todas iguales)
distribuidas de cualquier forma, cada una en algún cuadro de los de debajo de
la raya gruesa. Se empieza a mover y retirar fichas del tablero de la siguiente
forma: Se pueden mover sólo horizontalmente y verticalmente, saltando por
encima de otra contigua, siempre que el cuadro al que se salta esté vacío, y se
retira la ficha sobre la que se ha saltado. Así por ejemplo, de la situación
☺ ☺
se puede pasar a la siguiente
21. ☺
¿Cuál es el mínimo número de fichas que se necesita tener al comienzo
para poder llegar con alguna a la primera fila por encima de la línea
gruesa?
¿Y a la segunda?
¿Es posible llegar a la tercera fila ?
¿Y a la cuarta?
¿Es posible llegar a la quinta fila?
Demostrar que el número mínimo de fichas para llegar a la tercera fila es
8, y para llegar a la cuarta es 20.
¿Se puede llegar a las siguientes situaciones?
☺ ☺ ☺ ☺
☺ ☺ ☺ ☺
Si la respuesta es afirmativa.
¿Cómo?
22. FALACIASNº1.
El cuadrado de la figura
se corta en las cuatro piezas indicadas.
Éstas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura,
que es un rectángulo:
Como el área del rectángulo es 5 x 13 = 65 cm2; y la del cuadrado es 8 x 8 = 64
cm2, tenemos que 64 = 65.
Imposible ¿verdad?
¿Dónde está el error?
23. FALACIAS Nº 2.
Demostrar que si se toman tres números consecutivos de la sucesión de
Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,.... la diferencia de áreas siempre es de una
unidad, es decir,
un2=un+1un-1±1.
24. FALACIAS Nº 3.
Demostrar que la serie:
1, φ, 1+φ, 1+2φ, 2+3φ, 3+5φ, ...
es, esencialmente, la única serie aditiva en la que al tomar las figuras con tres
términos sucesivos, las áreas resultantes son iguales.
25. FALACIAS Nº 4.
Consideramos ahora el cuadrado
Si ahora cortamos las piezas indicadas, éstas pueden colocarse tal como se ve
en la segunda figura,
Ambos son cuadrados de igual área. Sin embargo el segundo cuadrado
superior tiene un agujero de 1cm2.
¿Dónde está ahora el error.
26. EL ENANO PERDIDO.
Consideramos los enanos de la figura
Si ahora cortamos las piezas indicadas, éstas pueden colocarse tal como se ve
en la segunda figura,
Ha desaparecido un enano.
¿Dónde está?
27. EL MISTERIO DE RAVENSDENE PARK.
El 17 de Febrero, a las 11 de la noche cayó una fuerte nevada y aunque sólo
duró media hora, la tierra quedó cubierta de una gruesa capa de nieve. El
señor Hastings había pasado la velada en casa de un vecino y salió a media
noche para dirigirse a su hogar. Iba a pie y tomó el camino más corto, a través
de Ravensdene Park, desde el portón D al A.
A la mañana siguiente fue hallado muerto, en el punto señalado con un
asterisco, apuñalado en el corazón. Los siete portones fueron clausurados y se
examinaron las pisadas en la nieve. De éstas la policía obtuvo los siguientes
datos:
• Las huellas del señor Hasting iban derechas desde D hasta el lugar
donde fue hallado muerto.
• Había huellas del guardián del parque, que se echo a dormir 5 minutos
antes de la medianoche después de haber caminado desde E hasta EE.
• Estaban las huellas del jardinero desde A hasta AA.
• Había huellas de alguien desde B hasta BB, y otras desde C hasta CC.
• Únicamente estas personas habían entrado al parque desde la nevada.
La noche había sido de mucha niebla y algunos de los caminantes habían
seguido recorridos muy sinuosos, pero es de destacar que ningún recorrido
pasaba sobre otro. La policía estaba segura de este hecho, pero nadie hizo un
croquis de estos recorridos antes de que la nieve se derritiera.
¿Sabrías deducir quién fue el autor del crimen?
28. DRAGO.
Este juego fue creado en una tarde del martes 21 de febrero de 1967 por John
Horton Conway, profesor de matemáticas en el Sidney Sussex College,
Cambridge, y Michael Stewart Paterson, estudiante graduado que trabajaba en
la misma universidad sobre teoría abstracta de programación de ordenadores.
El juego comienza dibujando n puntos sobre una hoja de papel (por ejemplo, se
puede empezar colocando 3 ó 4 puntos en el plano). Un movimiento consiste
en trazar una línea que una un punto con otro o consigo mismo y luego trazar
sobre ella, en cualquier lugar, un nuevo punto. Deben observarse las siguientes
restricciones:
1. La línea puede tener cualquier forma pero sin cortarse a sí misma,
cruzar otra ya dibujada, ni pasar por un punto previamente dibujado.
2. De ningún punto podrán salir más de tres líneas. (Por tanto, de los
puntos que se dibujan sobre una línea sólo puede partir una línea más).
Gana la última persona capaz de mover. Si se juega a la inversa, gana el
primer jugador que no puede mover.
Una partida de Drago que comienza con n puntos
¿Puede llegar a no terminar?
¿Tiene que terminar necesariamente después de un número finito de
movimientos?
Demostrar que cualquier partida puede durar al menos 2n movimientos.
En una partida de drago jugada con dos puntos.
¿Gana el primero o el segundo jugador?
Conway encontró que el primer jugador puede ganar siempre en el juego
normal de tres puntos, y el segundo en la versión inversa. Denis P. Mollison, un
estudiante de matemáticas de Cambridge, ha mostrado que el primer jugador
tiene las de ganar en los juegos normales de cuatro y cinco puntos y
29. posteriormente, en un artículo de 49 páginas probó que el segundo jugador
gana en un juego normal de seis puntos. Un análisis completo del juego de
ocho puntos parece estar más allá de las posibilidades de los computadores
actuales.
No hay formulada una estrategia para jugar correctamente al Drago, pero al
final de la partida se puede ver a menudo cómo trazar curvas cerradas que
dividan el plano en regiones de tal manera que se consiga el triunfo. Pero al
parecer, no hay ninguna estrategia que conduzca a una victoria segura.
30. COLES DE BRUSELAS.
Las coles de Bruselas fue un juego que inventó posteriormente Conway,
aparentemente similar al Drago.
El juego comienza con n cruces en lugar de puntos. Un movimiento consiste en
prolongar un brazo cualquiera de una cruz cualquiera, formando una curva que
termine en la misma cruz o en el brazo libre de cualquier otra. A continuación
se traza una nueva barra transversal en cualquier lugar a lo largo de la curva,
creando así una nueva cruz.
1. Al igual que el drago ninguna curva puede cortarse a sí misma ni a
ninguna otra que se haya trazado previamente, ni puede pasar por una
cruz ya dibujada.
2. De cada cruz sólo pueden salir cuatro curvas (y por tanto las cruces
añadidas sólo tendrán dos vidas).
El ganador del juego normal es la última persona en jugar. Si se juega a la
inversa, el ganador es la primera persona que no puede hacer movimiento.
En las Coles de Bruselas, es cada movimiento se matan dos vidas y se añaden
otras dos, sin embargo el juego siempre tiene fin, un juego que comienza con n
cruces acaba siempre exactamente a los 5n-2 movimientos.
Demostrar que un juego que comienza con n cruces acaba a los 5n-2
movimientos exactamente.
En una partida que comienza con n cruces
¿Gana el primero o el segundo jugador?
Es imposible jugar bien o mal este juego, ya que cada partida que comienza
con n cruces debe acabar exactamente a los 5n-2 movimientos. Por tanto, las
Coles de Bruselas es un juego falso a pesar de que en apariencia parece una
versión más complicada y elaborada que el Drago.
31. CHOMP O TRAGÓN.
Es éste un juego para dos jugadores, que se juega en un tablero rectangular,
en principio de cualquier dimensión. El primer jugador selecciona uno
cualquiera de los cuadros del tablero y lo elimina, eliminando también todos los
cuadrados que están encima y a la derecha de él. Así, si tenemos el siguiente
tablero:
y el primer jugador selecciona el cuadrado negro, eliminará éste y todos los
azules:
El segundo jugador hace lo mismo, y así sucesivamente. El jugador que elimina
el cuadrado inferior izquierdo pierde la partida.
¿Existe alguna estrategia ganadora para alguno de los jugadores, si el
tablero es cuadrado?
¿Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es un rectángulo n×2?
¿Existe alguna estrategia ganadora si el tablero es un rectángulo ∝×2? ¿y
si es ∞×n, con n>2 ?
¿Existe alguna estrategia ganadora para cualquier tablero finito?