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- 1. Componentes Simétricas y Redes de Secuencia M.Sc. Víctor Garrido Arévalo
- 2. Agenda 1. Objetivos 2. Contexto 3. Operador 𝜶 4. Transformación de componentes simétricas 5. Impedancia y redes de secuencia 6. Ejemplo 7. Referencias
- 3. 1. Objetivos Al finalizar este capítulo el estudiante estará en capacidad de: • Identificar las impedancias de secuencia de los principales elementos de un sistema de potencia. • Establecer las redes de secuencia de los principales elementos de un sistema de potencia. • Obtener las redes de secuencia de un sistema de potencia genérico.
- 4. 2. Contexto 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 Falla trifásica (3L) Tipo % de Ocurrencia Fallas trifásicas (3L) 5% Fallas doble línea a tierra (LLG) 10% Falla doble línea (LL) 15% Falla una línea a tierra (LG) 70%
- 5. Falla de doble línea a tierra (LLG) Falla de una línea a tierra (LG) Falla de doble línea (LL) 2. Contexto
- 6. 3. Operador 𝜶 𝛼 = 𝑒𝑗120° 𝛼2 = 𝑒𝑗240° = 𝑒−𝑗120° = 𝛼∗ 𝛼2 ∗ = 𝛼 𝛼3 = 1 1 + 𝛼 + 𝛼2 = 0 El operador 𝛼 de un número complejo se define como: Tiene las siguientes propiedades:
- 7. El Teorema de Fortesque (1918) prueba que un sistema desbalanceado de n fasores relacionados, se puede resolver con n sistemas de fasores balanceados llamados componentes simétricas de los fasores originales. Los n fasores de cada conjunto de componentes son iguales en longitud y los ángulos entre fasores adyacentes de un conjunto son iguales. 4. Transformación de componentes simétricas
- 8. 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉 𝑐 𝑉 𝑎 𝑉𝑏 −120° 120° 120° 𝑉𝑎1 = 𝑉𝑎1 𝑉𝑏1 = 𝛼2𝑉𝑎1 𝑉𝑐1 = 𝛼𝑉𝑎1 Secuencia positiva 𝜔
- 9. 𝑉𝑏 𝑉 𝑎 𝑉 𝑐 −120° 120° 120° 𝑉𝑎2 = 𝑉𝑎2 𝑉𝑏2 = 𝛼𝑉𝑎2 𝑉𝑐2 = 𝛼2𝑉𝑎2 Secuencia negativa 4. Transformación de componentes simétricas 𝜔
- 10. 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉𝑏 𝑉 𝑎 𝑉 𝑐 𝑉𝑎0 = 𝑉𝑎0 𝑉𝑏0 = 𝑉𝑎0 𝑉𝑐0 = 𝑉𝑎0 Secuencia cero
- 11. 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉 𝑎 = 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 𝑉𝑏 = 𝑉𝑏1 + 𝑉𝑏2 + 𝑉𝑏0 𝑉 𝑐 = 𝑉𝑐1 + 𝑉𝑐2 + 𝑉𝑐0 Consideremos un conjunto de tres voltajes 𝑉 𝑎, 𝑉𝑏 y 𝑉 𝑐, que en general pueden estar desbalanceados. De acuerdo con el teorema de Fortesque se pueden expresar así: Componentes simétricas
- 12. 𝑉𝑎1 𝑉𝑐1 𝑉𝑏1 𝑉𝑏2 𝑉𝑎2 𝑉𝑐2 𝑉𝑏2 𝑉𝑎2 𝑉𝑐2 𝑉𝑐0 𝑉𝑎0 𝑉𝑏0 𝑉 𝑐 𝑉𝑏 𝑉 𝑎 𝑉𝑐0 𝑉𝑎0 𝑉𝑏0 𝑉𝑎1 𝑉𝑐1 𝑉𝑏1 4. Transformación de componentes simétricas
- 14. 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉 𝑎 = 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 𝑉𝑏 = 𝑉𝑏1 + 𝑉𝑏2 + 𝑉𝑏0 𝑉 𝑐 = 𝑉𝑐1 + 𝑉𝑐2 + 𝑉𝑐0 𝑉 𝑎 = 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 𝑉𝑏 = 𝛼2𝑉𝑎1 + 𝛼𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 𝑉 𝑐 = 𝛼𝑉𝑎1 + 𝛼2 𝑉𝑎2 + 𝑉𝑎0 𝛼 = 𝑒𝑗120° Expresemos las ecuaciones de las componentes simétricas en función de los fasores de referencia, 𝑉𝑎1, 𝑉𝑎2 y 𝑉𝑎0. Así:
- 15. 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉 𝑎 𝑉𝑏 𝑉 𝑐 = 1 1 1 𝛼2 𝛼 1 𝛼 𝛼2 1 𝑉𝑎1 𝑉𝑎2 𝑉𝑎0 Vector de los fasores iniciales Vector de las componentes simétricas 𝑽𝑝 = 𝑨𝑽𝑠 Expresando en forma matricial la ecuación anterior:
- 16. 𝑽𝑠 = 𝑨−1𝑽𝑝 𝑨−1 = 1 3 1 𝛼 𝛼2 1 𝛼2 𝛼 1 1 1 4. Transformación de componentes simétricas 𝑉𝑎1 = 1 3 𝑉 𝑎 + 𝛼𝑉𝑏 + 𝛼2 𝑉 𝑐 𝑉𝑎2 = 1 3 𝑉 𝑎 + 𝛼2 𝑉𝑏 + 𝛼𝑉 𝑐 𝑉𝑎0 = 1 3 𝑉 𝑎 + 𝑉𝑏 + 𝑉 𝑐 Permiten obtener las componentes a partir de los fasores originales Reescribiendo la ecuación anterior, se obtiene: En forma desarrollada, la ecuación es: Donde,
- 17. 4. Transformación de componentes simétricas 𝐼𝑎 = 𝐼𝑎1 + 𝐼𝑎2 + 𝐼𝑎0 𝐼𝑏 = 𝛼2𝐼𝑎1 + 𝛼𝐼𝑎2 + 𝐼𝑎0 𝐼𝑐 = 𝛼𝐼𝑎1 + 𝛼2𝐼𝑎2 + 𝐼𝑎0 𝐼𝑎1 = 1 3 𝐼𝑎 + 𝛼𝐼𝑏 + 𝛼2𝐼𝑐 𝐼𝑎2 = 1 3 𝐼𝑎 + 𝛼2 𝐼𝑏 + 𝛼𝐼𝑐 𝐼𝑎0 = 1 3 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 Las ecuaciones anteriores son igualmente válidas para el caso de las corrientes, así:
- 18. De las ecuaciones anteriores podemos hacer algunas observaciones: 4. Transformación de componentes simétricas La suma de tres voltajes de línea siempre será cero, entonces: 𝑉𝑎𝑏0 = 1 3 𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑏𝑐 + 𝑉 𝑐𝑎 = 0 La suma de las tres corrientes de línea es igual a la corriente del neutro, entonces: 𝐼𝑎0 = 1 3 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 = 1 3 𝐼𝑛 𝐼𝑎0 = 1 3 𝐼𝑛 = 0 En el caso de no haber neutro:
- 19. Ejemplo 1 Se conecta una carga resistiva balanceada en delta a una fuente trifásica desbalanceada, como se ve en la figura. Estando especificadas las corrientes en las líneas A y B, calcular las componentes simétricas de las corrientes delta.
- 20. 5. Impedancia y redes de secuencia – Líneas de transmisión 𝑉 𝑎 − 𝑉 𝑎 ′ = 𝑗𝑋𝑠𝐼𝑎 + 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑏 + 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑐 𝑉𝑏 − 𝑉𝑏 ′ = 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑎 + 𝑗𝑋𝑠𝐼𝑏 + 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑐 𝑉 𝑐 − 𝑉 𝑐 ′ = 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑎 + 𝑗𝑋𝑚𝐼𝑏 + 𝑗𝑋𝑠𝐼𝑐
- 21. 𝑉 𝑎 𝑉𝑏 𝑉 𝑐 − 𝑉 𝑎′ 𝑉𝑏′ 𝑉 𝑐′ = 𝑗 𝑋𝑠 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑋𝑠 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑋𝑠 𝐼𝑎 𝐼𝑏 𝐼𝑐 𝑉 𝑝 − 𝑉 𝑝 ′ = 𝑍𝐼𝑝 𝐴 𝑉 𝑠 − 𝑉 𝑠 ′ = 𝑍𝐴𝐼𝑠 𝑉 𝑠 − 𝑉 𝑠 ′ = 𝐴−1 𝑍𝐴𝐼𝑠 5. Impedancia y redes de secuencia – Líneas de transmisión
- 22. 𝑉1 𝑉2 𝑉0 − 𝑉1′ 𝑉2′ 𝑉0′ = 𝑗 𝑋𝑠 − 𝑋𝑚 0 0 0 𝑋𝑠 − 𝑋𝑚 0 0 0 𝑋𝑠 + 2𝑋𝑚 𝐼1 𝐼2 𝐼0 𝑉1 𝑉2 𝑉0 − 𝑉1′ 𝑉2′ 𝑉0′ = 𝑍1 0 0 0 𝑍2 0 0 0 𝑍0 𝐼1 𝐼2 𝐼0 5. Impedancia y redes de secuencia – Líneas de transmisión
- 23. 5. Impedancia y redes de secuencia – Líneas de transmisión 𝐼1 𝑉1 𝑉′1 𝑍1 Red de secuencia positiva 𝐼2 𝑉2 𝑉′2 𝑍2 Red de secuencia negativa 𝐼0 𝑉0 𝑉′0 𝑍0 Red de secuencia cero 𝑍1 = 𝑗 𝑋𝑠 − 𝑋𝑚 𝑍2 = 𝑗 𝑋𝑠 − 𝑋𝑚 𝑍0 = 𝑗 𝑋𝑠 + 2𝑋𝑚 𝑋𝑠 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑋𝑚 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙í𝑛𝑒𝑎 i. Impedancias de secuencia positiva y negativa iguales. ii. Impedancia de secuencia cero aprox. 2.5 veces mayor. iii. No hay inductancias mutuas de secuencia.
- 24. 5. Impedancia y redes de secuencia – Máquinas síncronas 𝑍1 𝐸𝑎 𝑉𝑎1 𝑍2 𝑉𝑎2 𝑉𝑎1 = 𝐸𝑎 − 𝑍1𝐼𝑎1 𝑉𝑎2 = − 𝑍2𝐼𝑎2 𝑍1 = 𝑗𝑋𝑑 ′′ = 𝑗𝑋𝑑 ′ = 𝑗𝑋𝑑 𝑍2 = 𝑗 𝑋𝑞 ′′ + 𝑋𝑑 ′′ 2 ; 𝑍2 < 𝑍1 Red de secuencia positiva Red de secuencia negativa
- 25. 5. Impedancia y redes de secuencia – Máquinas síncronas 𝑍0𝑔 3𝑍𝑛 𝑉𝑎0 Red de secuencia cero 𝑉𝑎0 = − 3𝑍𝑛𝐼𝑎0 − 𝑍0𝑔𝐼𝑎0 = − 3𝑍𝑛 + 𝑍0𝑔 𝐼𝑎0 𝑍𝑛 = 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑍0𝑔 = 𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑍0𝑔 𝑍0𝑔 𝑍0𝑔 𝑍𝑛 𝐼𝑎0 𝐼𝑏0 𝐼𝑐0 𝐼𝑛 = 3𝐼𝑎0
- 26. 5. Impedancia y redes de secuencia - Transformadores La impedancia en serie de secuencia positiva de un transformador es igual a su impedancia de dispersión. Al ser un elemento estático, la impedancia de dispersión no cambia al alterar la secuencia de fase. Por ello la impedancia de secuencia negativa también es igual a la impedancia de fuga: 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑍𝑓𝑢𝑔𝑎
- 27. 5. Impedancia y redes de secuencia - Transformadores Observaciones para analizar las redes de secuencia cero en transformadores: i. Se desprecia la corriente magnetizante, por tanto, el primario solo conducirá corriente si hay corriente en el secundario. ii. Las corrientes de secuencia cero pueden pasar por las ramas de una conexión Y sólo si el neutro está aterrizado. iii. No pueden fluir corrientes de secuencia cero en las líneas conectadas a sistemas delta, por que no hay trayectoria de retorno. Sin embargo, pueden existir corrientes de secuencia cero en las ramas de la delta.
- 28. 5. Impedancia y redes de secuencia - Transformadores Redes de secuencia cero en transformadores: Caso 1: Banco de transformadores Y-Y con cualquier neutro aterrizado L H 𝑍0 L H Bus de ref.
- 29. 5. Impedancia y redes de secuencia – Transformadores Caso 2: Banco de transformadores Y-Y con ambos neutros aterrizados 𝑍0 L H L H Bus de ref.
- 30. 5. Impedancia y redes de secuencia – Transformadores Caso 3: Banco de transformadores Y-∆ con el neutro de Y aterrizado L H 𝑍0 L H Bus de ref.
- 31. 5. Impedancia y redes de secuencia – Transformadores Caso 4: Banco de transformadores Y-∆ con estrella no aterrizada L H 𝑍0 L H Bus de ref.
- 32. 5. Impedancia y redes de secuencia – Transformadores Caso 5: Banco de transformadores ∆ -∆ L H 𝑍0 L H Bus de ref.
- 33. Un generador trifásico de 25 MVA, 11 kV, tiene una reactancia subtransitoria de 20%. El generador alimenta a dos motores a través de una LT con transformadores en ambos extremos. Las capacidades nominales de los motores son de 15 y 7.5 MVA, ambos a 10 kV con reactancia subtransitoria de 25%. Los dos transformadores trifásicos tienen capacidad nominal de 30 MVA, 10.8/121 kV, conexión D-Y con una reactancia de dispersión de 10% cada uno. La reactancia serie de a línea es 100 ohms Determine las redes de secuencia del sistema de potencia presentado en la siguiente figura. Ejemplo 2
- 34. Ejemplo 2 G1 T1 T2 M1 M2 d e f g p q
- 35. 8. Ejemplo – Solución d e f g p q Red de secuencia positiva
- 36. d e f g p q 8. Ejemplo – Solución Red de secuencia negativa
- 37. 8. Ejemplo – Solución Red de secuencia cero
- 38. ¿Preguntas?
- 39. Bibliografía Kothari, D.P. y Nagrat, I.J. Sistemas Eléctricos de Potencia. 3ª edición. McGraw Hill. Grainger, J.J. y Stevenson, W.D. Análisis de Sistemas de Potencia. 1ª edición. McGraw Hill.
- 40. Formando líderes para la construcción de un nuevo país en paz
- 41. 5. Impedancia y redes de secuencia – Líneas de transmisión 𝐼𝑎 𝑉 𝑎 𝑋𝑠 𝐼𝑏 𝐼𝑛 = 𝐼𝑎 + 𝐼𝑏 + 𝐼𝑐 𝑋𝑠 𝐼𝑐 𝑋𝑠 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑋𝑚 𝑉𝑏 𝑉 𝑐 𝑉 𝑎′ 𝑉𝑏′ 𝑉 𝑐′
- 42. 𝐼𝑎 = 10∠30º 𝐼𝑏 = 10∠ − 60º 𝐼𝑐 𝑅 𝑅 𝑅
- 46. T1 G1 G2 T2 F
Notas del editor
- Cambio de numeral
- Cambio de numeral
- La Zcero es mayor debido a que la diferencia del campo magnético ya que no hay desfase entre cada fase. No hay acoplamiento entre las redes de secuencia
- Reactancia síncrona Debido a que la máquina síncrona se diseña con devanados simétricos, estos inducen fem solo en secuencia positiva, es decir, en ella no se inducen voltajes en secuencia negativa o cero. Cuando la máquina solo conduce secuencia positiva es igual al modo balanceado. Reactancia directa de eje Rd. El campo gira a la velocidad síncrona en la misma dirección que el rotor. Es estacionaria respecto a la excitación de campo. Sec negativa… se crea un campo rotatorio que gira en dirección contraria a la del campo de secuencia positiva, es decir al doble de la velocidad síncrona con respecto al rotor. Se inducen corrientes al doble de la frecuencia en el campo del rotor y en el devanado amortiguador. La FEM de sec negativa se presenta en forma alternativa con reluctancias con ejes directo y en cuadratura.
- No se inducen voltajes de secuencia cero en una máquina síncrona, ver tabla 9,1
- Secuencia Cero Se cortocircuitan las tres fases del primario, aplicando una tensión sinusoidal Vo entre ellas y el neutro (tierra). Al cortocircuitar y poner a tierra los bornes del secundario, y medir la corriente Io que circula se obtendrá: Zo = Vo/Io.
- Camino cerrado para la corriente de secuencia cero
- Hay un camino cerrado en el lado de Y que va al bus de referencia. Si existe Zn entonces la impedancia es 3Zn en serie con Zo. Camino abierto en el extremo delta
- El trafo 1 es delta Y El trafo 2 es Y delta El M1 es Y sin neutro, algo muy raro, solo para fines didácticos