Le damos el significado que le da el lenguaje usual, como una colección de objetos cualesquiera. Así, el conjunto formado por los números 1,2,3,4, entre otros.
2. Un conjunto es una agrupación de
objetos que serán llamados
elementos, se denotan con letras
mayúsculas mientras que sus
elementos son denotados en
minúscula los cuales son
encerrados entre llaves o un
círculo lo que llamamos diagrama
de Venn. El conjunto será
universal (U) cuando contiene
todos los elementos a considerar.
3. • Por Extensión : Aquí se enumera cada uno de los
elementos que conforman el conjunto.
A={a, b, c, d} Los elementos del conjunto A son a, b,
cyd
• Por Comprensión: Se indica el rango dentro del
cual se encuentran contenidos los elementos del
conjunto.
B = {x ∈ Z / x = 2n siendo n un entero} Enteros pares
4. Un subconjunto es aquel que esta contenido dentro de otro
conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto de B si
todos los elementos de A pertenecen a B y es expresado de
la manera:
A ⊂ B ⇔ ( ∀ x ∈ U) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )
A esto se le llama relación de inclusión y por teorema esta
puede ser de tres maneras:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Antisimétrica: A ⊂ B ⋀ B ⊂ A ⇒ A = B.
Transitiva: A ⊂ B ⋀ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Un conjunto A estará incluido propiamente en un conjunto
B será subconjunto propio de B si y sólo si A ⊂ B y A ≠ B.
El conjunto vacío de A (ɸA) es el conjunto ɸA = { x ⊂ A / x ≠ x }
el cual no posee elementos ya que para todo x ⊂ A se
cumple que x = x . Este por definición es subconjunto de
A.
5. El conjunto potencia o conjunto partes de A es
aquel que esta formado por todos los
subconjuntos de A. Sea A = {a, b, c} entontes el
conjunto potencia de A será:
p(A)={{ɸ},{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}
Como puede observarse todos sus elementos son
conjuntos y si A tiene n elementos entonces su
conjunto potencia p(A) tendrá 2n elementos.
Este conjunto por teorema mantiene la relación de
inclusión
Teorema: A ⊂ B ⇔ p(A) ⊂ p(A)
6. Se dice que dos conjuntos son iguales si poseen los
mismos elementos, lo cual puede comprobarse
mediante el siguiente teorema:
Teorema: A = B ⇔ A ⊂ B ⋀ B ⊂ A
La unión entre dos conjuntos A y B se define como
todos aquellos elementos que pertenecen a A o
pertenecen a B.
A U B = { x ∈ U / x ∈ A v x ∈ B}
7. Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las
siguientes propiedades:
i. A U A = A
ii. A U U = U
iii. A U ɸ = A
iv. A U B = B U A
8. La intersección de dos conjuntos A y B esta
definida por todos aquellos elementos que
pertenezcan a ambos conjuntos.
A ⋂ B = { x ∈ U / x ∈ A ⋀ x ∈ B}
Propiedades de la Intersección de
Conjuntos
Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
i. A ⋂ A = A
ii. A ⋂ U = A , donde U es el conjunto
universal
iii. A ⋂ ɸ = ɸ
iv. A ⋂ B = B ⋂ A
9. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto
formado por todos los elementos que pertenecen a A y
no pertenecen a B. Se nota por A - B.
A - B = {x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∉ B}
El complemento de un conjunto A es el conjunto
formado por todos los elementos del conjunto
universal que no pertenecen a A. Se nota C(A).
C(A) = {x ∈ U / x ∉ A}
Diferencia simétrica
AD B = (A-B) U (B-A)
10. Sean A,B,C tres conjuntos,
luego se cumple que:
(AUB) - C = (A - C) U (B - C)
(A ⋂ B) - C = (A - C) ⋂ (B -
C)
(AD B) - C = (A - C) D (B - C)
A ⋂ ( B - C) = (A ⋂ B) - (A ⋂
C)
(B - C) ⋂ A = (B ⋂ A) - (C ⋂
A)
11. Sean A y B dos conjuntos luego:
A - B = A ⋂ C(B)
C(C(A)) = A
AUC(A) = U
AI C(A) = ɸ
C(U) = ɸ
C(ɸ) = U
Leyes de De Morgan para conjuntos
i. C(AUB) = C(A) ⋂ C(B)
ii. C(A ⋂ B) = C(A) U C(B)
12. 1. Leyes de Idempotencia b. A ∩ ∅ = ∅
AUA=A∩A=A 6. Leyes de Dominación
2. Leyes Asociativas a. A ∪ U = U U: conjunto
a. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C universal
b. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C b. A ∩ U = A
3. Leyes Conmutativas 7. Leyes de Complementación
a. A ∪ B = B ∪ A a. A ∪ C(A) = U
b. A ∩ B = B ∩ A b. C(U) = ∅
4. Leyes Distributivas c. A ∩ C(A) = ∅
a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ d. C(∅) = U
C) 8. Leyes de De Morgan
b. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A a. C(A ∪ B) = C(A)∩ C (B)
∩ C) b. C(A ∩ B) = C(A)∪ C(B)
5. Leyes de Identidad
a. A ∪ ∅ = A
13. El conjunto producto ó producto
cartesiano de dos conjuntos A y B, el
cual se denota AxB, es l conjunto
formado por pares ordenados (a,b) de
la forma:
AxB = {(a, b) / a ∈ A ⋀ b ∈ B}
Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos
entonces:
A x (BUC) = (A x B) U (A x C)
A x (B ⋂ C) = (A x B) ⋂ (A x C)
A x(B -C) = (A x B) - (A x C)
14. Se refiere a la familia de conjuntos {A1, A2,…, An}
la cual será denotada de la forma {Ai}i∈I donde I es
el conjunto de índices I = {1,2,…,n}
Para cualquier familia indizada de conjuntos, se
define:
• La unión de esta familia como el conjunto
U Ai = {x ∈ U / ∃i ∈ I : x ∈ Ai}
i∈I
• La intersección de esta familia como el conjunto
⋂ Ai = {x ∈ U / ∀i ∈ I : x ∈ Ai}
i∈I
15. Se refiere a una familia de
conjuntos {Ai}i∈I de U donde
cada conjunto de la familia es
no-vacío, la intersección entre
dos miembros de la familia es
vacía y la unión de todos los
miembros da U.
16. Un conjunto se dice que es finito si se pueden contar sus
elementos, es decir, contiene n elementos donde n
representa un número natural.
El cardinal de un conjunto finito A denotado #A será n si A
tiene n elementos #A = n. Para un conjunto vacío su cardinal
será 0
Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos:
i. B - A) = #B - #(A ⋂ B)
ii. #(AUB) = #A + #B - #(A ⋂ B)
Teorema: Si A, B y C son tres conjuntos finitos entonces
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(A ⋂ B) - #(A ⋂ C) - #(B ⋂ C) + #(A
⋂ B ⋂ C).